2023年上海市楊浦區(qū)中考數(shù)學(xué)三模試卷一、選擇題（本大題共6小題，共24.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.  下列各數(shù)中，無(wú)理數(shù)是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列計(jì)算中，正確的是(    )A.  B.
C.  D. 3.  下列各統(tǒng)計(jì)量中，表示一組數(shù)據(jù)波動(dòng)程度的量是(    )A. 平均數(shù) B. 眾數(shù) C. 方差 D. 頻數(shù)4.  平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)和在反比例函數(shù)圖象上，則下列關(guān)系式正確的是(    )A.  B.  C.  D. 5.  下列四邊形中，是中心對(duì)稱但不是軸對(duì)稱的圖形是(    )A. 矩形 B. 等腰梯形 C. 正方形 D. 平行四邊形6.  新定義：由邊長(zhǎng)為的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上的三角形稱為格點(diǎn)三角形如圖，已知是的網(wǎng)格圖中的格點(diǎn)三角形，那么該網(wǎng)格中所有與相似且有一個(gè)公共角的格點(diǎn)三角形的個(gè)數(shù)是(    )
 A.  B.  C.  D. 二、填空題（本大題共12小題，共48.0分）7.  計(jì)算：______．8.  函數(shù)的定義域是______．9.  二次根式的有理化因式是______ ．10.  不等式組的解集是______ ．11.  如果關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么的值是______．12.  如果拋物線在對(duì)稱軸左側(cè)呈上升趨勢(shì)，那么的取值范圍是______ ．13.  一個(gè)不透明的盒子中裝有個(gè)紅球，個(gè)黃球，這些球除了顏色外無(wú)其他差別，從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，則摸到黃球的概率為______．14.  已知一個(gè)個(gè)數(shù)據(jù)的樣本，把它分成組，第一組到第四組的頻數(shù)分別是、、、，第五組的頻率是，那么第六組的頻數(shù)是______ ．15.  已知點(diǎn)是的重心，設(shè)，，那么用、可表示為______ ．16.  如果一個(gè)矩形的面積是，兩條對(duì)角線夾角的余切值是，那么它的一條對(duì)角線長(zhǎng)是______ ．17.  如圖，已知點(diǎn)在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，如果，那么線段的長(zhǎng)度的取值范圍是______ ．
 18.  如圖，已知在中，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)、分別落在點(diǎn)、處，連接，如果，那么邊的長(zhǎng)為______ ．
 三、解答題（本大題共7小題，共78.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）19.  本小題分
計(jì)算：．20.  本小題分
解方程組：．21.  本小題分
某商店購(gòu)進(jìn)了一種生活用品，進(jìn)價(jià)為每件元，銷售過程中發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量件與每件售價(jià)元之間存在一次函數(shù)關(guān)系其中，且為整數(shù)，部分對(duì)應(yīng)值如表：每件售價(jià)元每天的銷售量件求與的函數(shù)解析式；
如果該商店打算銷售這種生活用品每天獲得元的利潤(rùn)，那么每件生活用品的售價(jià)應(yīng)定為多少元？22.  本小題分
如圖，已知是的直徑，弦與相交于點(diǎn)，，，．
求的值；
求點(diǎn)到弦的距離．
23.  本小題分
已知：如圖，在中，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，，連接、．
求證：≌；
如果平分，求證：．
24.  本小題分
已知拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為點(diǎn)．
求拋物線的表達(dá)式和頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)，如果，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
在第小題的條件下，點(diǎn)在軸上，且點(diǎn)到直線、的距離相等，求線段的長(zhǎng)．
25.  本小題分
已知在矩形中，，，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)不與點(diǎn)重合，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓，交射線于點(diǎn)．
如圖，當(dāng)與直線相切時(shí)，求半徑的長(zhǎng)；
當(dāng)與的三邊有且只有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求半徑的取值范圍；
連接，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)，如果以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓與相切，求的正切值．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：．是無(wú)理數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意；
B.是分?jǐn)?shù)，屬于有理數(shù)，故本選項(xiàng)不合題意；
C.，是整數(shù)，屬于有理數(shù)，故本選項(xiàng)不合題意；
D.是有限小數(shù)，屬于有理數(shù)，故本選項(xiàng)不合題意．
故選：．
根據(jù)無(wú)理數(shù)的定義判斷即可．
本題考查了無(wú)理數(shù)，掌握無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)是解題的關(guān)鍵．
 2.【答案】 【解析】解：、，故A不符合題意；
B、，故B不符合題意；
C、，故C符合題意；
D、，故D不符合題意；
故選：．
利用完全平方公式，合并同類項(xiàng)的法則，同底數(shù)冪的乘法的法則，冪的乘方的法則對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算即可．
本題主要考查完全平方公式，合并同類項(xiàng)，冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．
 3.【答案】 【解析】解：能反映一組數(shù)據(jù)波動(dòng)程度的是方差或標(biāo)準(zhǔn)差，
故選：．
根據(jù)平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)反映一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，而方差、標(biāo)準(zhǔn)差反映一組數(shù)據(jù)的離散程度或波動(dòng)大小進(jìn)行選擇．
本題考查了標(biāo)準(zhǔn)差的意義，波動(dòng)越大，標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定，反之也成立．
 4.【答案】 【解析】解：解法一：反比例函數(shù)，
反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過一、三象限，且在每一象限內(nèi)，隨的增大而減小，
和都在第一象限，
，
．
故選：．
解法二：點(diǎn)和在反比例函數(shù)圖象上，
，，
，，
，
．
故選：．
解法一：結(jié)合題意根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可得，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過一、三象限，且在每一象限內(nèi)，隨的增大而減小，再結(jié)合點(diǎn)，的坐標(biāo)即可解答．
解法二：將點(diǎn)，的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中，解得，，根據(jù)同分子分式的性質(zhì)即可比較，的大?。?/span>
本題主要考查反比例函數(shù)的性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題關(guān)鍵是明確題意，利用反比函數(shù)的性質(zhì)或反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征解決問題．
 5.【答案】 【解析】解：、矩形是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
B、等腰梯形不是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
C、正方形是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
D、平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意．
故選：．
根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義旋轉(zhuǎn)后能夠與原圖形完全重合即是中心對(duì)稱圖形，以及軸對(duì)稱圖形的定義：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸，即可判斷出答案．
此題主要考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱的定義，關(guān)鍵是找出圖形的對(duì)稱中心與對(duì)稱軸．
 6.【答案】 【解析】解：如圖，

符合條件的三角形有：，，共個(gè)．
故選：．
根據(jù)格點(diǎn)三角形的定義進(jìn)行分析，結(jié)合相似三角形的判定定理進(jìn)行求解即可．
本題主要考查相似三角形的判定，解答的關(guān)鍵是熟記兩組對(duì)應(yīng)邊成比例并夾角相等的兩個(gè)三角形相似．
 7.【答案】 【解析】解：．
故填．
根據(jù)有理數(shù)減法的法則，減去等于加上，即可得解．
有理數(shù)的減法法則：減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)．
有理數(shù)的加法法則：兩個(gè)負(fù)數(shù)相加，符號(hào)不變，把絕對(duì)值相加．
 8.【答案】 【解析】解：由題意得，，
解得．
故答案為：．
根據(jù)分母不等于列式計(jì)算即可得解．
本題考查了函數(shù)自變量的范圍，一般從三個(gè)方面考慮：
當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是整式時(shí)，自變量可取全體實(shí)數(shù)；
當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是分式時(shí)，考慮分式的分母不能為；
當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是二次根式時(shí)，被開方數(shù)非負(fù)．
 9.【答案】或答案不唯一 【解析】解：，，
二次根式的有理化因式是或，
故答案為：或答案不唯一．
根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
本題考查了分母有理化，熟練掌握有理化因式的意義是解題的關(guān)鍵．
 10.【答案】 【解析】解：，
解得，
解得，
則不等式組的解集是：．
故答案是：．
首先解每個(gè)不等式，兩個(gè)不等式的解集的公共部分就是不等式組的解集．
本題考查的是一元一次不等式組的解，解此類題目常常要結(jié)合數(shù)軸來(lái)判斷．還可以觀察不等式的解，若較小的數(shù)、較大的數(shù)，那么解集為介于兩數(shù)之間．
 11.【答案】 【解析】解：關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
，
解得：，
的值為．
故答案為：．
根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，即可得出關(guān)于的一元一次方程，解之即可得出的值．
本題考查了根的判別式，牢記“當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．
 12.【答案】 【解析】解：拋物線在對(duì)稱軸左側(cè)呈上升趨勢(shì)，
拋物線開口向下，
，
故答案為：．
由題意可得拋物線開口向下，進(jìn)而求解．
本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．
 13.【答案】 【解析】解：盒子中裝有個(gè)紅球，個(gè)黃球，共有個(gè)球，
從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，恰好是黃球的概率是；
故答案為：．
直接根據(jù)概率公式求解．
本題考查了概率公式：隨機(jī)事件的概率事件可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)除以所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)．
 14.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意，得：第一組到第四組的頻率和是，
又第五組的頻率是，
第六組的頻率為，
第六組的頻數(shù)為：．
故答案為：．
首先根據(jù)頻率頻數(shù)總數(shù)，計(jì)算從第一組到第四組的頻率之和，再進(jìn)一步根據(jù)一組數(shù)據(jù)中，各組的頻率和是，進(jìn)行計(jì)算即可．
本題主要考查了對(duì)頻率、頻數(shù)靈活運(yùn)用，注意：各小組頻數(shù)之和等于數(shù)據(jù)總和，各小組頻率之和等于，比較簡(jiǎn)單．
 15.【答案】 【解析】解：設(shè)的中點(diǎn)為，


，
故答案為：．
根據(jù)重心的性質(zhì)以及向量線性運(yùn)算即可求出答案．
本題考查平面向量運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用平面向量的線性運(yùn)算以及三角形的重心，本題屬于基礎(chǔ)題型．
 16.【答案】 【解析】解：如圖，作于．

四邊形是矩形，
，設(shè)，
，
，，
由題意：，
，
，
故答案為：．
如圖，作于由四邊形是矩形，推出，設(shè)，由，可得，，由題意：，求出即可解決問題．
本題考查矩形的性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．
 17.【答案】 【解析】解：如圖，正六邊形的外接圓為，連接，，則點(diǎn)在上，
正六邊形，
，，
，
，
在中，，，
，
點(diǎn)在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)線段的長(zhǎng)度的取值范圍是，
故答案為：．
根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，求出其內(nèi)角的度數(shù)，進(jìn)而得出是含有角的直角三角形，求出，的長(zhǎng)即可．
本題考查正多邊形和圓，掌握正六邊形的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提．
 18.【答案】 【解析】解：如圖，連接，，
將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)、分別落在點(diǎn)、處，
，，，
與是等邊三角形，
，，
，
，
點(diǎn)，，三點(diǎn)共線，
，
，
設(shè)，
，，
，
，
負(fù)值舍去，
的長(zhǎng)為，
故答案為：．
如圖，連接，，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，，求得，推出點(diǎn)，，三點(diǎn)共線，得到，設(shè)，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 19.【答案】解：

． 【解析】根據(jù)實(shí)數(shù)的相關(guān)運(yùn)算法則計(jì)算即可．
本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算能力，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪的相關(guān)計(jì)算及絕對(duì)值的性質(zhì)的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．
 20.【答案】解：，
由得：，
即，，
則由和組成兩個(gè)方程組，，
解之得：，，
即原方程組的解是，． 【解析】由得出，求出，，由和組成兩個(gè)二元一方程組，再求出方程組的解即可．
本題考查了解高次方程組，能把高次方程組轉(zhuǎn)化成二元一次方程組低次方程組是解此題的關(guān)鍵．
 21.【答案】解：設(shè)與的函數(shù)解析式為，
將，代入得：，
解得：，
與的函數(shù)解析式為，且為整數(shù)；
根據(jù)題意得：，
整理得：，
解得：，不符合題意，舍去．
答：每件生活用品的售價(jià)應(yīng)定為元． 【解析】根據(jù)給定數(shù)據(jù)，利用待定系數(shù)法，即可求出與的函數(shù)解析式；
利用總利潤(rùn)每件的銷售利潤(rùn)日銷售量，可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．
本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：利用待定系數(shù)法，求出一次函數(shù)解析式；找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．
 22.【答案】解：如圖，過點(diǎn)作直徑，連接，
是直徑，
，
在中，，，
，
是直徑，，
，
，
又，
∽，
，
即，
解得，，
；
過點(diǎn)作于點(diǎn)，
在中，，
由于，
即，
，
即點(diǎn)到弦的距離是． 【解析】根據(jù)圓周角定理以及勾股定理可求出，再根據(jù)相似三角形求出、，由銳角三角函數(shù)的定義可求出答案；
過點(diǎn)作，垂足為，求出即可，在直角三角形中由銳角三角函數(shù)的定義可求出答案．
本題考查圓周角定理，垂徑定理以及弧、圓心角、弦的關(guān)系，掌握垂徑定理、圓周角定理以及相似三角形的性質(zhì)是正確解答的前提．
 23.【答案】證明：，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，
，
，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌；
延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，
，平分，
，
≌，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，
是的中位線，
，
，，
四邊形是平行四邊形，
，
，
． 【解析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可知，根據(jù)，可知，，根據(jù)等角的補(bǔ)角相等可得，根據(jù)即可得證；
延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，根據(jù)角平分線的定義和全等三角形的性質(zhì)可知，進(jìn)一步可得，根據(jù)可證≌，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，根據(jù)三角形中位線定理，可得，根據(jù)，，可知四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，進(jìn)一步即可得證．
本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理等，本題綜合性較強(qiáng)，添加合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．
 24.【答案】解：拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，
，
解得，
拋物線的表達(dá)式為，
由，
頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；
如圖，

設(shè)，則，
，
，解得，舍去，
點(diǎn)的坐標(biāo)為；
如圖，設(shè)直線與軸交于，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，
頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，
設(shè)直線的表達(dá)式為，
，解得，
直線的表達(dá)式為，
，
，，
，
點(diǎn)到直線、的距離相等，
點(diǎn)在的角平分線上，
軸，
． 【解析】利用待定系數(shù)法求出拋物線的表達(dá)式，轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式即可知頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
令，求得，設(shè)，則，根據(jù)已知條件得出，解方程即可求得的坐標(biāo)；
求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線的表達(dá)式，可得直線與軸的交點(diǎn)為，則，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求解．
本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的表達(dá)式，二次函數(shù)的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法以及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 25.【答案】解：如圖，設(shè)于相切于點(diǎn)，連接、，則，
四邊形是矩形，，，
，，
，，
是的半徑，
與相切于點(diǎn)，
，
，
，，
∽，
，
，
半徑的長(zhǎng)為．
設(shè)與相切于點(diǎn)，此時(shí)與的三邊有三個(gè)交點(diǎn)，
如圖，連接，則，
，
四邊形是矩形，
，
當(dāng)時(shí)，與的三邊有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，
如圖，經(jīng)過點(diǎn)，此時(shí)與的三邊有三個(gè)交點(diǎn)，
連接，則，
，，
，解得
當(dāng)點(diǎn)于點(diǎn)重合時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，與的三邊有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，
綜上所述，半徑的取值范圍是或．
如圖，與外切，
于點(diǎn)，
，
，
，
，
，
，
解得，
；
如圖，經(jīng)過點(diǎn)，此時(shí)與內(nèi)切，
，
，
，
綜上所述，的正切值是或． 【解析】設(shè)于相切于點(diǎn)，連接、，由勾股定理得，而與相切于點(diǎn)，所以，則，再證明∽，得，則；
存在兩種情況，一是與相切，設(shè)切點(diǎn)為點(diǎn)，此時(shí)與的三邊有三個(gè)交點(diǎn)，連接，可證明四邊形是矩形，則，所以當(dāng)時(shí)，與的三邊有且只有兩個(gè)交點(diǎn)；二是經(jīng)過點(diǎn)，此時(shí)與的三邊有三個(gè)交點(diǎn)，連接，則，，所以，得，則當(dāng)時(shí)，與的三邊有且只有兩個(gè)交點(diǎn)；
存在兩種情況，一是與外切，可證明，則，得，則，求得，則；二是經(jīng)過點(diǎn)，此時(shí)與內(nèi)切，則，所以．
此題重點(diǎn)考查矩形的判定與性質(zhì)、切線的性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)與解直角三角形、圓與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，此題綜合性強(qiáng)，難度較大，屬于考試壓軸題．
 

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