第13講 數(shù)列性質(zhì):單調(diào)性 參考答案與試題解析一．填空題（共6小題）1．（2021?南通模擬）已知為遞減數(shù)列，且對于任意正整數(shù)，恒成立，恒成立，則的取值范圍是　　．【解答】解：恒成立又由恒成立即又由故答案為：2．（2021秋?秀嶼區(qū)校級月考）已知數(shù)列滿足：，是與無關(guān)的常數(shù)且，若數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，則的取值范圍為　　．【解答】解：是與無關(guān)的常數(shù)且，，數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為，，．數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，對于都成立．對于都成立．令，則是關(guān)于的單調(diào)遞增數(shù)列，．．的取值范圍為．故答案為．3．（2021?衡水模擬）若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“差遞減”數(shù)列，若數(shù)列是“差遞減”數(shù)列，且其通項(xiàng)與其前項(xiàng)和滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　．【解答】解：，時(shí)，，解得．時(shí)，，化為．同理可得：，，．，，，，，解得：．則實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為：．4．（2021?東湖區(qū)校級模擬）若數(shù)列滿足，且，若使不等式成立的有且只有三項(xiàng)，則的取值范圍為　　．【解答】解：當(dāng)時(shí)，，于是有：，所以，顯然也適合，因此數(shù)列的通項(xiàng)公式為：．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，此時(shí)數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)數(shù)列是單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，此時(shí)數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)數(shù)列是單調(diào)遞增函數(shù)，要想使不等式成立的有且只有三項(xiàng)，只需有：．故答案為：．5．（2021?遼寧模擬）已知數(shù)列滿足：，，若，，且數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　．【解答】解：因?yàn)?/span>，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，則有，即，所以，則，，因?yàn)閿?shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，所以對恒成立，即對恒成立，所以，又，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為：．6．（2021秋?渝中區(qū)校級月考）設(shè)數(shù)列滿足．（1）若，則　　；（2）若數(shù)列是正項(xiàng)單調(diào)遞增數(shù)列，則的取值范圍是　　．【解答】解：（1）若，則，故數(shù)列為常數(shù)列，故．（2）解法一：若數(shù)列是正項(xiàng)單調(diào)遞增數(shù)列，則（舍去）或，當(dāng)時(shí)，則，故若，則數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，綜上所述，的取值范圍是．解法二：若數(shù)列是正項(xiàng)單調(diào)遞增數(shù)列，則對于任意，，且，又此時(shí)，故或（舍去），綜上所述，的取值范圍是．二．解答題（共7小題）7．（2021秋?洛陽期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）若對任意整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1）證明：，可得，即有，則數(shù)列是1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列；（2）由（1）可得，即有，由可得，即，令，則，即有數(shù)列為遞增數(shù)列，當(dāng)時(shí)，取得最小值，且為，可得，解得或．即實(shí)數(shù)的取值范圍為，．8．（2021?內(nèi)江四模）已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為．（1）求，的值；（2）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若正項(xiàng)數(shù)列滿足，，證明：數(shù)列是遞減數(shù)列．【解答】解：（1）由題意得，，則　，解得，；（2）由（1）可得，由題意得，，①當(dāng)時(shí)，令，解得或，所以在和上單調(diào)遞增；令，解得，所以在上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，令，解得或，所以在和上單調(diào)遞增；令，解得，所以在上單調(diào)遞減；綜上：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間和，單調(diào)遞減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間和，單調(diào)遞減區(qū)間是．（3）證明：正項(xiàng)數(shù)列滿足，，，數(shù)列是遞減數(shù)列，等價(jià)為，即為，即為即，令，是上的增函數(shù)，，即，故，是遞減數(shù)列．9．（2021春?安徽期末）已知數(shù)列中，，且．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和為①當(dāng)時(shí)，求；②若單調(diào)遞增，求的取值范圍．【解答】解：（1）證明：設(shè)，則，，，（1分），（3分）數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，故數(shù)列是等比數(shù)列，（4分），，（6分）（2）由（1）得，，，（7分），（8分），，（10分）①當(dāng)時(shí)，；（11分）②單調(diào)遞增，對且恒成立，（12分）即，設(shè)，則，在且單調(diào)遞減，（14分），，即，故的取值范圍為．（16分）10．（2021春?南昌期末）已知首項(xiàng)為正的數(shù)列中，相鄰兩項(xiàng)不為相反數(shù)，且前項(xiàng)和（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對一切正整數(shù)都有成立，求的最大值．【解答】（本小題12分）解：（1）證明：，，，或．又相鄰兩項(xiàng)不為相反數(shù)，，數(shù)列為公差為2的等差數(shù)列．（2）由或，數(shù)列的首項(xiàng)為正，，由（1）得，數(shù)列在，上是遞增數(shù)列．又當(dāng)時(shí)，要使得對于一切正整數(shù)都有成立，只要，所以的最大值為．11．（2021?天津一模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對一切正整數(shù)都有．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)，使不等式對一切正整數(shù)都成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．【解答】解：，，，即．在中，令，得，代入得．，，兩式相減，得：，數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)，，，，，依次構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，且公差為，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，由上式及知：，數(shù)列的通項(xiàng)公式是．，等價(jià)于，令，則由知，．，即的值隨的增大而減小，時(shí)，的最大值為，若存在實(shí)數(shù)，符合題意，則必有：，即，它等價(jià)于，解得，或，因此，存在實(shí)數(shù)，符合題意，其取值范圍為．12．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對一切正整數(shù)都有．（1）證明：；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)，求證：對一切都成立．【解答】解：（1）．①．②②①得：；（2）；；又（3）對一切都成立．13．（2017秋?海安市校級月考）首項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列滿足．（1）證明：若為奇數(shù)，則對，都是奇數(shù)；（2）若對，都有，求的取值范圍．【解答】（1）證明：利用數(shù)學(xué)歸納法證明：已知是奇數(shù)，時(shí)成立．假設(shè)是奇數(shù)，其中為正整數(shù)，則由遞推關(guān)系得是奇數(shù)．即時(shí)也成立．根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，對任何，都是奇數(shù)．（2）解：由，得，于是或．，因?yàn)?/span>，，所以所有的均大于0，因此與同號．因此，對一切都有的充要條件是或．

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