2021-2022學(xué)年山東省淄博市高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．（       ）．A． B． C． D．【答案】B【分析】首先利用誘導(dǎo)公式進行變形，然后結(jié)合正弦和角公式即可求出結(jié)果.【詳解】故選：B.2．下列命題中正確的是（       ）A．－＝ B．＋＝0C．0＝ D．＋＋＝【答案】D【分析】根據(jù)向量的減法運算，可判斷A;根據(jù)相反向量的和應(yīng)為零向量可判斷B;根據(jù)向量的數(shù)乘判斷C;根據(jù)向量的加法判斷D.【詳解】起點相同的向量相減，則其結(jié)果應(yīng)是指向被減向量，即－＝，故A錯；，是一對相反向量，它們的和應(yīng)該為零向量即＋＝，故B錯，；0與向量的數(shù)乘應(yīng)是零向量，即0·＝，故C錯；根據(jù)向量的加法法則，’＋＋＝,故D正確，故選：D.3．已知，則復(fù)數(shù)（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由復(fù)數(shù)的除法求得，然后可得．【詳解】由題意，所以．故選：C．4．在中，下列各式正確的是（       ）A． B．C． D．【答案】D【解析】利用正弦定理、余弦定理以及誘導(dǎo)公式判斷四個選項的正誤，即可得正確答案.【詳解】對于選項A：由正弦定理有，故，故選項A錯誤；對于選項B：因為，故，故選項B錯誤；對于選項C：，由余弦定理得；故選項C錯誤；對于選項D：由正弦定理可得，再根據(jù)誘導(dǎo)公式可得：，即，故選項D正確；故選：D5．要得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象（       ）A．向左平移個單位 B．向右移個單位C．向左平移個單位 D．向右平移個單位【答案】C【分析】先用三角恒等變換化簡，再用平移法則求解即可【詳解】，因此要得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象向左平移個單位，故選：C6．在△ABC中，已知D是AB邊上一點， ＝＋λ，則λ＝（       ）A． B．－ C． D．【答案】A【分析】根據(jù)D是AB邊上一點，得到，再根據(jù)＝＋λ求解.【詳解】解：因為D是AB邊上一點，所以 ，則，即，又因為＝＋λ，所以，解得，故選：A7．已知兩條直線、和平面，若，則“”是“”的（       ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】利用已知條件判斷線面、線線的位置關(guān)系，結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】因為，若，則或，則“”“”；若，且，則與平行或異面，即“”“”.所以，“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.8．若所有棱長都是3的直三棱柱的六個頂點都在同一球面上，則該球的表面積是（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】正三棱柱的底面中心的連線的中點就是外接球的球心，求出球的半徑即可求出球的表面積．【詳解】解：由題意可知：正三棱柱的底面中心的連線的中點就是外接球的球心，底面中心到頂點的距離為：；所以外接球的半徑為：．所以外接球的表面積為：．故選：C【點睛】本題是基礎(chǔ)題，考查正三棱柱的外接球的表面積的求法，找出球的球心是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力，計算能力．9．已知平面平面，直線，，直線，且與相交，則和的位置關(guān)系不正確的是（       ）A．平行 B．相交 C．異面 D．以上都有可能【答案】C【分析】通過空間中線面與線線的位置關(guān)系，對三種不同情況進行討論與判斷，即可得到答案.【詳解】若與平行，，，與與相交矛盾，所以A錯誤；若與相交，由直線，直線，平面平面，可知與都在同一點處與相交，這與矛盾，所以B錯誤；因為空間中兩條直線的位置關(guān)系由平行、相交、異面這三種情況，故與只能異面，所以選項C正確；綜上所述，選項D錯誤.故選：C.二、多選題10．在中，如下判斷正確的是（       ）A．若，則為等腰三角形 B．若，則C．若為銳角三角形，則 D．若，則【答案】BCD【分析】選項A. 由題意可得或，從而可判斷；選項B. 若,則，由正弦定理可判斷；選項C. 若為銳角三角形，則，即所以，由 正弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷；選項D. 在中,若，由正弦定理可得，從而可判斷.【詳解】選項A. 在中, 若,則或所以或，所以為等腰或直角三角形. 故A 不正確.選項B. 在中, 若,則，由正弦定理可得,即，故B正確.選項C. 若為銳角三角形，則所以，所以 ,故C正確. 選項D. 在中,若，由正弦定理可得，即，所以，故D正確.故選：BCD11．下列命題正確的是（     ）A．復(fù)數(shù)z1，z2的模相等，則z1，z2互為共軛復(fù)數(shù)B．z1，z2都是復(fù)數(shù)，若z1＋z2是虛數(shù)，則z1不是z2的共軛復(fù)數(shù)C．復(fù)數(shù)z是實數(shù)的充要條件是z＝(是z的共軛復(fù)數(shù))D．已知復(fù)數(shù)z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i(i是虛數(shù)單位)，它們對應(yīng)的點分別為A，B，C，O為坐標原點，若(x，y∈R)，則x＋y＝5【答案】BCD【分析】由復(fù)數(shù)的模和共軛復(fù)數(shù)的概念可判斷；由虛數(shù)和共軛復(fù)數(shù)的概念可判斷；由復(fù)數(shù)為實數(shù)的條件可判斷；由復(fù)數(shù)的幾何意義和坐標表示，解方程可判斷.【詳解】：若復(fù)數(shù)的模相等，比如，則不是共軛復(fù)數(shù)，故錯誤；：都是復(fù)數(shù)，若是虛數(shù)，則不是的共軛復(fù)數(shù)，反之是共軛復(fù)數(shù)，可得其和為實數(shù)，故正確；：復(fù)數(shù)z是實數(shù)的充要條件是(是z的共軛復(fù)數(shù))，故正確；：已知復(fù)數(shù)，它們對應(yīng)的點分別是，為坐標原點，若，有，解得，則，故正確.故選：12．如圖是一幾何體的平面展開圖,其中四邊形ABCD為正方形E,F,G,H分別為的中點.在此幾何體中,給出下列結(jié)論,其中正確的結(jié)論是（       ）A．平面平面 B．直線平面C．直線平面 D．直線平面【答案】ABC【分析】由線面平行的判定定理可得平面，平面，進而得出平面平面，故A正確；由中位線可知，進而由線面平行的判定定理，可得平面，故B正確；由，可得平面，故C正確；，所以直線與平面不平行，故D錯誤.【詳解】作出立體圖形如圖所示.連接四點構(gòu)成平面.對于A，因為E,F分別是的中點,所以.又平面，平面，所以平面.同理, 平面.又,平面,平面，所以平面平面，故A正確；對于B，連接，設(shè)的中點為M，則M也是的中點，所以，又平面,平面，所以平面，故B正確；對于C，由A中的分析知，，所以，因為平面，平面，所以直線平面，故C正確；對于，根據(jù)C中的分析可知再結(jié)合圖形可得，，則直線與平面不平行，故D錯誤.故選：ABC【點睛】本題考查了線面平行、面面平行的判定定理，考查了邏輯推理能力和空間想象能力，屬于中檔題目.三、填空題13．已知，是與向量方向相同的單位向量，向量在向量上的投影向量為，則與的夾角為_________【答案】【分析】根據(jù)向量在向量上的投影向量為，由求解.【詳解】解：因為向量在向量上的投影向量為，所以，即，因為，所以，故答案為：14．如圖，，則_________【答案】【分析】先用表示向量，再利用向量數(shù)量積運算求解.【詳解】解：因為，所以，即，所以，故答案為：15．一船向正北方向航行，看見正西方向有相距海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上，船繼續(xù)航行半小時后，看見燈塔在船的南偏西方向，另一燈塔在船的南偏西方向，則這艘船的速度是____________【答案】海里/小時【分析】由題意作出圖形，可求得，知，利用求得后即可得到航行速度.【詳解】設(shè)船的初始位置為，航行半小時后到達位置，兩燈塔的位置為，如圖所示，由題意知：，，，，，，，；在中，，船的速度為（海里/小時）故答案為：海里/小時.16．在△ABC中，分別是角的對邊，若，，向量， 且. 則△ABC的面積是_________【答案】【分析】先根據(jù)向量平行求出，結(jié)合余弦定理可得，利用面積公式可求答案.【詳解】因為，；所以，解得；，即，解得；又，所以，所以△ABC的面積為.故答案為：四、解答題17．已知 是同一平面內(nèi)的三個向量，其中.（1）若，求 ；（2）若與共線，求的值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)向量的坐標的運算法則和向量垂直的條件，以及模的定義即可求出．（2）根據(jù)向量共線的條件即可求出．【詳解】（1）因為 （2）由已知： 【點睛】本題考查了向量的坐標運算以及向量的垂直和平行的坐標表示，屬于基礎(chǔ)題．18．（1）已知關(guān)于的實系數(shù)方程，若是方程的一個復(fù)數(shù)根，求出，的值；（2）復(fù)數(shù)的最大和最小值各是多少？（此小題只寫出結(jié)果）【答案】（1）；（2）最大值，最小值.【分析】（1）把復(fù)數(shù)根代入方程，結(jié)合復(fù)數(shù)相等可求答案；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義求解.【詳解】（1）因為是方程的一個復(fù)數(shù)根，所以，化簡得；所以，解得.（2）由復(fù)數(shù)的幾何意義知，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標為；表示復(fù)數(shù)對應(yīng)點的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，所以最大值為，最小值為.19．已知的最小正周期為，圖像關(guān)于直線對稱.(1)求函數(shù)的解析式；(2)將的圖像上所有點向左平移個單位長度，再將得到的圖像上每個點的橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖像，求的單調(diào)遞增區(qū)間．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)周期可求，根據(jù)對稱軸可求，從而可得解析式；（2）先根據(jù)圖像變換求出的解析式，然后求出的單調(diào)遞增區(qū)間．【詳解】(1)因為的最小正周期為，所以；因為圖像關(guān)于直線對稱，所以，即，因為，所以；所以.(2)由題意得；，，即，；所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.20．已知向量，函數(shù).（1）若，求函數(shù)的減區(qū)間；（2）若，方程有唯一解，求的取值范圍.【答案】（1）和；（2），．【分析】（1）由數(shù)量積的坐標表示求出，并利用二倍角公式和兩角和與差的正弦公式化為一個角的一個三角函數(shù)形式，然后由正弦函數(shù)性質(zhì)得減區(qū)間；（2）由（1）得出在上的單調(diào)性與最值，并計算端點處的函數(shù)值可得的范圍．【詳解】解：因為（1）令，，則，，，，或，故函數(shù)的減區(qū)間為和．（2），，，，，，方程有唯一解，，， ∴或，或．故的取值范圍為，．21．如圖所示，正四棱錐P—ABCD的各棱長均為13，M為PA上的點，且PM∶MA=5∶8.(1)在線段BD上是否存在一點N，使直線MN平面PBC？如果存在，求出BN∶ND的值，如果不存在，請說明理由；(2)假設(shè)存在滿足條件（1）的N點，求線段MN的長.【答案】(1)存在，(2)7【分析】（1）根據(jù)平行線的比例性質(zhì)得出，從而證明，得到線面平行；（2）根據(jù)比例可求的長，結(jié)合余弦定理可求的長，然后利用比例關(guān)系可得的長.【詳解】(1)存在，；理由如下：連接并延長，交于，連接.因為正方形中，，所以;又因為，所以；平面，平面，所以平面.(2)由（1）得，所以；中，，所以；因為，所以所以.22．的內(nèi)角，，所對邊分別為，，.已知.(1) 求；(2) 若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍。【答案】（1）B=60°；（2）.【分析】（1）根據(jù)正弦定理，已知條件等式化為角的關(guān)系，結(jié)合誘導(dǎo)公式和二倍角公式，即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)面積公式和已知條件面積用表示，再用正弦定理,結(jié)合不等式性質(zhì)，即可求出的范圍.【詳解】解：（1）由題設(shè)及正弦定理得．又因為中可得，,所以，                                 因為中sinA0，故．       因為，故，因此B=60°．（2）由題設(shè)及（1）知△ABC的面積．由正弦定理得．                                         由于△ABC為銳角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°，   由（1）知A+C=180°B＝120°，所以30°<C<90°，故   .                                                         所以，從而．因此，△ABC面積的取值范圍是．【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理、面積公式、二倍角公式，以及利用不等式性質(zhì)求取值范圍，熟練掌握公式是解題的關(guān)鍵，是一道綜合題. 

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