2021-2022學年山東省實驗中學高一下學期期中數(shù)學試題一、單選題1．i是虛數(shù)單位，若，則乘積的值是（       ）A．－15 B．－3 C．3 D．15【答案】B【詳解】，∴，選B．2．已知向量，則與平行的單位向量的坐標為（       ）A． B．或C． D．或【答案】D【分析】由單位向量的定義，計算，即得．【詳解】由已知，所以與平行的單位向量為或．故選：D．【點睛】本題考查單位向量的概念，解題時要注意與與平行的單位向量有兩個，一個與同向，一個與反向．3．“幸福感指數(shù)”是指某個人主觀地評價他對自己目前生活狀態(tài)的滿意程度的指標，常用區(qū)間內(nèi)的一個數(shù)來表示，該數(shù)越接近10表示滿意程度越高，現(xiàn)隨機抽取6位小區(qū)居號，他們的幸福感指數(shù)分別為5，6，7，8，9，5，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是（       ）A．7 B．7.5 C．8 D．9【答案】C【分析】把該組數(shù)據(jù)從小到大排列，計算，從而找出對應的第80百分位數(shù)；【詳解】該組數(shù)據(jù)從小到大排列為：5，5，6，7，8，9，且，故選：C.【點睛】本題考查一組數(shù)據(jù)的百分數(shù)問題，屬于基礎題.4．已知向量若與平行，則實數(shù)的值是（    ）A．-2 B．0 C．1 D．2【答案】D【詳解】因為，所以由于與平行，得，解得.5．四名同學各擲一枚骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點數(shù).根據(jù)下面四名同學的統(tǒng)計結果，可以判斷出一定沒有出現(xiàn)點數(shù)6的是（       ）（注：一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，它的方差為）A．平均數(shù)為2，方差為2.4 B．中位數(shù)為3，眾數(shù)為2C．平均數(shù)為3，中位數(shù)為2 D．中位數(shù)為3，方差為2.8【答案】A【分析】假設出現(xiàn)6點，根據(jù)均值估計方差的大小，錯誤的可舉反例說明．【詳解】若平均數(shù)是2，若出現(xiàn)6點，則方差，不可能是2.4，因此A中一定不會出現(xiàn)6點，其它選項可各舉一反例：如，中位數(shù)是3，眾數(shù)是2；如，平均數(shù)為3，中位數(shù)為2；如，中位數(shù)為3，方差為2.8．故選：A．【點睛】本題考查樣本數(shù)據(jù)特征，掌握均值，方差，中位數(shù)，眾數(shù)等概念是解題基礎．屬于基礎題．6．的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，，.如果有兩解，則的取值范圍是（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出圖形，根據(jù)題意可得出關于的不等式，由此可解得的取值范圍.【詳解】如下圖所示：因為有兩解，所以，解得.故選：D.7．下列各對事件中，不互為相互獨立的事件的是（       ）A．擲一枚骰子一次，事件“出現(xiàn)奇數(shù)點”；事件“出現(xiàn)2點或5點”B．袋中有3白?2黑共5個大小相同的小球，依次有放回地摸兩球，事件“第一次摸到白球”，事件“第二次摸到白球”C．袋中有3白?2黑共5個大小相同的小球，依次不放回地摸兩球，事件“第一次摸到白球”，事件“第二次摸到黑球”D．甲組3名男生，2名女生；乙組2名男生，3名女生，現(xiàn)從甲?乙兩組中各選1名同學參加演講比賽，事件“從甲組中選出1名男生”，事件“從乙組中選出1名女生”【答案】C【分析】利用對立事件和相互獨立事件的概念求解．【詳解】解：對于選項A，事件，事件，事件，基本事件空間，所以，，，即，因此事件與事件N是相互獨立事件； 對于選項B，袋中有3白、2黑共5個大小相同的小球，依次有放回地摸兩球，事件“第一次摸到白球”， ；事件“第二次摸到白球”， ，所以，故事件與事件是相互獨立事件； 對于選項C，袋中有3白、2黑，5個大小相同的小球，依次不放回地摸兩球， 事件“第一次摸到白球”，事件“第二次摸到黑球”， 則事件發(fā)生與否和事件有關，故事件和事件與不是相互獨立事件；對于選項D，甲組3名男生，2名女生；乙組2名男生，3名女生，現(xiàn)從甲、乙兩組中各選1名同學參加演講比賽，事件“從甲組中選出1名男生”，事件“從乙組中選出1名女生”，則事件發(fā)生與否與無關，同時，事件發(fā)生與否與無關，則事件與事件是相互獨立事件；故選：C.8．已知O為的外心，，則的值為（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】設的外接圓的半徑為R，將平方后求出，找到，利用二倍角公式求出【詳解】設的外接圓的半徑為R，∵，∴，且圓心在三角形內(nèi)部，∴∴，∴根據(jù)圓心角等于同弧對應的圓周角的兩倍得： ∴解得=故選：A【點睛】方法點睛：（1)樹立“基底”意識，利用基向量進行線性運算；（2）求向量夾角通常用，還要注意角的范圍.二、多選題9．已知事件，，且，，則下列結論正確的是（       ）A．如果，那么，B．如果與互斥，那么，C．如果與相互獨立，那么，D．如果與相互獨立，那么，【答案】BD【分析】A選項在前提下，計算出，，即可判斷；B選項在與互斥前提下，計算出，，即可判斷；C、D選項在與相互獨立前提下，計算出，， ，，即可判斷.【詳解】解：A選項：如果，那么，，故A選項錯誤；B選項：如果與互斥，那么，，故B選項正確；C選項：如果與相互獨立，那么，，故C選項錯誤；D選項：如果與相互獨立，那么，，故D選項正確.故選：BD.【點睛】本題考查在包含關系，互斥關系，相互獨立的前提下的和事件與積事件的概率，是基礎題.10．某市教體局對全市高三年級的學生身高進行抽樣調(diào)查，隨機抽取了100名學生，他們的身高都處在，，，，五個層次內(nèi)，根據(jù)抽樣結果得到統(tǒng)計圖表，則下面敘述正確的是（       ） A．樣本中女生人數(shù)多于男生人數(shù) B．樣本中層人數(shù)最多C．樣本中層次男生人數(shù)為6人 D．樣本中層次男生人數(shù)多于女生人數(shù)【答案】ABC【解析】根據(jù)直方圖和餅圖依次判斷每個選項的正誤得到答案.【詳解】樣本中女生人數(shù)為：，男生數(shù)為，正確；樣本中層人數(shù)為：；樣本中層人數(shù)為：；樣本中層人數(shù)為：；樣本中層人數(shù)為：；樣本中層人數(shù)為：；故正確；樣本中層次男生人數(shù)為：，正確；樣本中層次男生人數(shù)為：，女生人數(shù)為，錯誤.故選：.【點睛】本題考查了統(tǒng)計圖表，意在考查學生的計算能力和應用能力.11．下列說法中正確的為（       ）A．已知，且與的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍是B．向量，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底C．非零向量，，滿足且與同向，則D．非零向量，，滿足，則與的夾角為30°【答案】BD【分析】對于A，由與的夾角為銳角，可得且與不共線，從而可求出的取值范圍；對于B，判斷兩個向量是否共線；對于C，根據(jù)向量不能比較大小即可判斷；對于D，由，可得，從而可求出，，再利用向量的夾角公式可求得結果.【詳解】解：對于A選項， ，，與的夾角為銳角，，且，所以，故A錯誤；對于B選項，向量，即共線，故不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底，B正確；對于C選項，且與同向，向量依然不能比較大小，故C錯誤；對于D選項，因為，兩邊平方得，則，，故，而向量的夾角范圍為，得與的夾角為，即為30°，故D項正確.故選：BD12．折扇又名“撒扇”“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨，韌紙或綾絹做扇面的能折疊的扇子，如圖1.其平面圖如圖2的扇形，其中，點E在弧上，下列說法正確的是（       ）A． B．若，則C．若，則 D．的最小值為【答案】BCD【分析】A選項先利用，再按照數(shù)量積運算即可；B選項由平行四邊形法則即可判斷；C選項通過解方程組即可；D選項先表示出，再結合正弦函數(shù)的范圍求出最小值.【詳解】，A錯誤；由知，E為弧的中點，又，由平行四邊形法則可知則，故，B正確.由知，，設，則解得故，C正確.，當且僅當時，等號成立，故的最小值為，D正確.故選：BCD.三、填空題13．計算________.【答案】【分析】由復數(shù)的除法和乘法化簡，，再求即可.【詳解】，故答案為：【點睛】本題主要考查了復數(shù)的四則運算，屬于中檔題.14．已知向量，且是與方向相同的單位向量，則在上的投影向量為_________．【答案】【分析】根據(jù)投影的計算公式，結合題意，即可得答案.【詳解】由題意得在上的投影為，所以在上的投影向量為.故答案為：15．已知在中，，，若，則___________.【答案】.【分析】根據(jù)平面向量的線性運算以及平面向量基本定理即可解出．【詳解】因為，所以，即，而，所以，即，所以．故答案為：．四、雙空題16．已知數(shù)據(jù)，，，…，的平均數(shù)為10，方差為2，則數(shù)據(jù)，，，…，的平均數(shù)為________，方差為________.【答案】     19     8【分析】由題意結合平均數(shù)公式和方差公式計算即可得解.【詳解】由已知條件可得，，所以數(shù)據(jù)、、、、的平均數(shù)為，方差為.故答案為：；.【點睛】本題考查了平均數(shù)與方差的計算，考查了運算求解能力，屬于基礎題.五、解答題17．已知復數(shù)（1）若z為純虛數(shù)，求實數(shù)m的值；（2）若z在復平面內(nèi)的對應點位于第二象限，求實數(shù)m的取值范圍及的最小值【答案】（1）1；（2），.【解析】（1）利用純虛數(shù)的定義，實部為零，虛部不等于零即可得出．（2）利用復數(shù)模的計算公式、幾何意義即可得出．【詳解】解：（1）為純虛數(shù)，且（2）在復平面內(nèi)的對應點為由題意：，．即實數(shù)的取值范圍是．而，當時，．18．某校高一舉行了一次數(shù)學競賽，為了了解本次競賽學生的成績情況，從中抽取了部分學生的分數(shù)（得分取正整數(shù)，滿分為）作為樣本（樣本容量）進行統(tǒng)計，按照、、、、的分組作出頻率分布直方圖，已知得分在、的頻數(shù)分別為、.（1）求樣本容量和頻率分布直方圖中的、的值；（2）估計本次競賽學生成績的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù).【答案】（1），，；（2）眾數(shù)為，中位數(shù)為，平均數(shù)為.【分析】（1）由題意先根據(jù)得分在的頻數(shù)求出樣本容量，根據(jù)得分在的頻數(shù)可計算出的值，再根據(jù)直方圖中所有矩形面積之和為可求出的值；（2）根據(jù)最高矩形底邊中點值求出眾數(shù)，將矩形底邊的中點值乘以相應矩形的面積，再將所得結果相加可得平均數(shù)，設中位數(shù)為，根據(jù)中位數(shù)左邊的矩形面積之和為列方程可求出的值，即為所求的中位數(shù).【詳解】（1）由題意可知，樣本容量為，，；（2）由頻率分布直方圖可知，本次競賽學生成績的眾數(shù)為，設中位數(shù)為，，則，由題意可得，解得，即本次競賽學生成績的中位數(shù)為.由頻率分布直方圖可知，本次競賽學生成績的平均數(shù)為.【點睛】本題考查利用頻率分布直方圖求參數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)，考查了頻率、頻率和樣本容量三者基本關系的應用，考查計算能力，屬于基礎題.19．在①，其中為角的平分線的長（與交于點），②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答.在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，___________.(1)求角的大?。?/span>(2)求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）選條件①，由結合已知得，進而得；選條件②，結合正弦定理角化邊得，再根據(jù)余弦定理求解即可得答案；選條件③，根據(jù)正弦定理邊化角，結合恒等變換得，進而得；（2）根據(jù)題意，結合恒等變換得，再根據(jù)求解即可.【詳解】(1)解：方案一：選條件①，由題意可得， .為的平分線，，，即又，，即，，方案二：選條件②由已知結合正弦定理得，由余弦定理得方案三：選條件③由正弦定理得， 又，，，易知，；(2)解： ，又，，所以.20．已知某區(qū)甲、乙、丙三所學校的教師志愿者人數(shù)分別為240，160，80.為助力疫情防控，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從這三所學校的教師志愿者中抽取6名教師，參與“抗擊疫情·你我同行”下卡口執(zhí)勤值守專項行動.（Ⅰ）求應從甲、乙、丙三所學校的教師志愿者中分別抽取的人數(shù)；（Ⅱ）設抽出的6名教師志愿者分別記為，，，，，，現(xiàn)從中隨機抽取2名教師志愿者承擔測試體溫工作.（i）試用所給字母列舉出所有可能的抽取結果；（ii）設為事件“抽取的2名教師志愿者來自同一所學校”，求事件發(fā)生的概率.【答案】（Ⅰ）3人，2人，1人；（Ⅱ）（i），，，，，，，，，，，，，，；（ⅱ）【分析】（Ⅰ）按照分層抽樣規(guī)則計算可得；（Ⅱ）（i）將所有可能結果一一列舉，做到不重復不遺漏；（ii）根據(jù)古典概型的概率公式計算可得；【詳解】解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三所學校的教師志愿者人數(shù)之比為3:2:1由于采用分層抽樣的方法從中抽取6名教師，因此應從甲、乙、丙三所學校的教師志愿者中分別抽取3人，2人，1人.（Ⅱ）（ⅰ）從抽出的 名教師中隨機抽取2名教師的所有可能結果為，，，，，，，，，，，，，，，共15種.（ⅱ）由（Ⅰ），不妨設抽出的6名教師中，來自甲學校的是，，，來自乙學校的是，，來自丙學校的是，則從抽出的6名教師中隨機抽取的2名教師來自同一學校的所有可能結果為，，，，共4種.所以，事件發(fā)生的概率.【點睛】本題考查分層抽樣及古典概型的概率計算，屬于基礎題.21．的內(nèi)角為A，B，C，邊上的高為.(1)用表示；(2)若E為邊上一點，且，試確定E點的位置，并說明理由.【答案】(1)(2)E為的中點，理由見解析【分析】（1）直接由平面向量的線性運算化簡得到；（2）先用表示出，再按照數(shù)量積運算即可.【詳解】(1)由題意得.因為，所以.又，所以，所以.(2)設.因為，所以，解得.故E為的中點.22．如圖，某污水處理廠要在一個矩形污水處理池的池底水平鋪設污水凈化管道（，是直角頂點）來處理污水，管道越長，污水凈化效果越好．設計要求管道的接口是的中點，分別落在線段上．已知米，米，記．（1）試將污水凈化管道的長度表示為的函數(shù)，并寫出定義域；（2）若，求此時管道的長度；（3）當取何值時，污水凈化效果最好？并求出此時管道的長度．【答案】(1)，．(2) 米 (3)或時，污水凈化效果最好，此時管道的長度為米【分析】根據(jù)直角三角形表示，，，即得結果，根據(jù)同角三角函數(shù)關系求得，即得結果，利用同角三角函數(shù)關系，將函數(shù)轉化為一元函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性得結果.【詳解】解：，，．由于，，所以，所以．所以，．當時，，米．，設，則，所以．由于，所以．由于在上單調(diào)遞減，所以當，即或時，L取得最大值米答：當或時，污水凈化效果最好，此時管道的長度為米【點睛】本題考查函數(shù)應用以及同角三角函數(shù)關系，考查基本分析求解能力，屬中檔題.

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