?2021-2022學(xué)年山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題
一、單選題
1．已知是邊長為3的等邊三角形，點(diǎn)在邊上，且滿足，點(diǎn)在邊上及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，則的最大值為（???????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示向量，求出數(shù)量積，再根據(jù)線性規(guī)劃的問題求出的最大值．
【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖1所示：
則，，，，，，
設(shè)點(diǎn)，則，；
所以，，；
所以；
令，根據(jù)線性規(guī)劃的問題知，可行域是及其內(nèi)部的點(diǎn)；如圖2所示：
平移目標(biāo)函數(shù)，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，取得最大值為．
故選：A．
????????（圖2）
2．已知外接圓圓心為，半徑為，，且，則向量在向量上的投影為（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算可知為中點(diǎn)，從而得到，在中利用余弦定理可求得，由所求投影向量為可求得結(jié)果.
【詳解】由知：為中點(diǎn)，
又為外接圓圓心，，，

，，，，
向量在向量上的投影為.
故選：D.
3．已知，，若（i為虛數(shù)單位），則的取值范圍是（???????）
A．或 B．或 C． D．
【答案】A
【分析】由題意，可判斷為實(shí)數(shù)，列出等量關(guān)系和不等關(guān)系求解即可
【詳解】由題意，
故為實(shí)數(shù)


或
故選：A
4．已知平面與為兩個(gè)完全不重合的平面，與也為兩不同的直線，則對此下列說法正確（???????）
A．若α∥β，⊥面α，則⊥面β B．若，面α∥，則∥面α
C．若α∥，β∥，則面α∥面β D．若面α⊥面β，⊥面α，則⊥面β
【答案】A
【分析】根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系，平面與平面的位置關(guān)系對選項(xiàng)逐一判斷即可．
【詳解】解：對于A，若，面，由面面平行的性質(zhì)可得面，故 A正確；
對于B，，面，則?面或面，故B錯(cuò)誤；
對于C，，，此時(shí)面與面可能相交，故 C錯(cuò)誤；
對于D，面面，面，則面或面，故D錯(cuò)誤．
故選：A．
5．正方體的棱長為1，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)都在球的球面上，則球的表面積為（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根據(jù)題意作出圖形，由題意知，為底面外接圓的圓心，由球心與截面圓圓心的連線垂直于截面可得，底面，利用三棱錐外接球的性質(zhì)：球心到每個(gè)頂點(diǎn)的距離相等為球的半徑，再利用勾股定理，解方程求出球的半徑，代入球的表面積公式求解即可.
【詳解】根據(jù)題意，作圖如下：

由題意知，為底面外接圓的圓心，因?yàn)槿忮F外接球的球心為，
由球心與截面圓圓心的連線垂直于截面可得，底面，
設(shè)所求球的半徑為，連接則，
作,則四邊形為矩形，設(shè)，
在中，，即，
在中，，即，
聯(lián)立方程解得，，
所以所求球的表面積為.
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查多面體的外接球問題和球的表面積公式；考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力；多面體外接球的性質(zhì)：球心與截面圓圓心的連線垂直于截面和球心到每個(gè)頂點(diǎn)的距離相等為球的半徑的運(yùn)用是求解本題的關(guān)鍵；屬于難度較大型試題、?？碱}型.
6．已知二面角P﹣AB﹣C的大小為120°，且∠PAB＝∠ABC＝90°，AB＝AP，AB+BC＝6．若點(diǎn)P，A，B，C都在同一個(gè)球面上，則該球的表面積的最小值為（???????）
A．45π B． C． D．
【答案】B
【分析】設(shè)AB＝x，（0＜x＜6），則，由題意知三棱錐外接球的球心是過△PAB和△ABC的外心E，H，且分別垂直這兩個(gè)三角形所在平面的垂線的交點(diǎn)O，OB為三棱錐外接球半徑，取AB的中點(diǎn)為G，推導(dǎo)出△EGH的外接圓直徑，從而，當(dāng)x時(shí)，OB2的最小值為，由此能求出該球的表面積的最小值．
【詳解】設(shè)AB＝x，（0＜x＜6），則，
由題意知三棱錐外接球的球心是過△PAB和△ABC的外心E，H，
且分別垂直這兩個(gè)三角形所在平面的垂線的交點(diǎn)O，
OB為三棱錐外接球半徑，取AB的中點(diǎn)為G，如圖，
由條件知
在△EGH中，由余弦定理可得

∴△EGH的外接圓直徑，

當(dāng)時(shí)，OB2的最小值為，
∴該球的表面積的最小值為.
故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查與球有關(guān)的切接問題以及求球的表面積，涉及到正余弦定理解三角形，考查學(xué)生的空間想象能力，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道有一定難度的壓軸填空題.
7．已知圓錐的頂點(diǎn)為點(diǎn)S，底面圓心為點(diǎn)O，高是底面半徑r的倍，點(diǎn)A，B是底面圓周上的兩點(diǎn)，若△SAB是等邊三角形，則O到平面SAB的距離為（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由等體積法求解
【詳解】由題意高，則，
即
解得
故選：B

8．已知函數(shù)，若函數(shù)在內(nèi)恰有個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（???????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分析可知，對實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，確定函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，然后再確定函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式（組），綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】當(dāng)時(shí)，對任意的，在上至多個(gè)零點(diǎn)，不合乎題意，所以，.
函數(shù)的對稱軸為直線，.
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且.
①當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，則函數(shù)在上無零點(diǎn)，
所以，函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，則，
由題意可得，解得，此時(shí)不存在；
②當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，則，則函數(shù)在上只有個(gè)零點(diǎn)，
此時(shí)，函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，不合乎題意；
③當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn)，
則函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn)，
則，解得，此時(shí)；
④當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn)，
則函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn)，
則，解得，此時(shí)，.
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：D.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；
（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；
（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

二、多選題
9．若不共線向量、滿足，則下列結(jié)論中正確的是（???????）
A．向量、的夾角恒為銳角 B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根據(jù)向量的減法及等腰三角形可判斷A，根據(jù)數(shù)量積的定義及運(yùn)算律，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)可判斷BCD.
【詳解】對于A，因?yàn)椴还簿€向量、滿足，所以由向量組成的三角形是等腰三角形，且向量是底邊，所以向量，的夾角恒為銳角，A正確；
對于B，，所以B不正確；
對于C，，
即，故，
又
故C正確；
對于D，若，類似C中，平方后化簡可得，
所以有，即，而不一定成立，例如，所以D不正確．
故選：AC
10．歐拉公式是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論里面占有非常重要的地位，被譽(yù)為數(shù)學(xué)中的天驕，依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)正確的是（???）
A．復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限 B．為純虛數(shù)
C．復(fù)數(shù)的模長等于 D．的共軛復(fù)數(shù)為
【答案】ABC
【分析】利用歐拉公式把選項(xiàng)A，B，D化成復(fù)數(shù)的代數(shù)形式即可計(jì)算判斷；利用歐拉公式把選項(xiàng)C的分子化成復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，再進(jìn)行除法運(yùn)算判斷即得.
【詳解】對于A，，因，即，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，A正確；
對于B，，為純虛數(shù)，B正確；
對于C，，
于是得，C正確；
對于D，，其共軛復(fù)數(shù)為，D不正確.
故選：ABC
11．香囊，又名香袋?花囊，是我國古代常見的一種民間刺繡工藝品，香囊形狀多樣，如圖1所示的六面體就是其中一種，已知該六面體的所有棱長均為2，其平面展開圖如圖2所示，則下列說法正確的是（???????）

A．AB⊥DE B．直線CD與直線EF所成的角為45°
C．該六面體的體積為 D．該六面體內(nèi)切球的表面積是
【答案】AD
【分析】對應(yīng)展開圖的各點(diǎn)，標(biāo)出立體圖形的各頂點(diǎn).利用線面垂直，可以得到線線垂直；與分別為正三角形的邊，其所成的角為；把幾何體分割成二個(gè)四面體求體積；計(jì)算內(nèi)切球的半徑，就可以求內(nèi)切球的表面積.
【詳解】由題知，所給六面體由兩個(gè)同底面的正四面體組成，將題圖2的平面展開圖還原為直觀圖后如下圖所示，其中四點(diǎn)重合.
對于A：
取的中點(diǎn)，連接，則.
又
平面
又平面

故正確.
對于B：
由圖可知，與分別為正三角形的邊，其所成的角為
故錯(cuò)誤.
對于C：
連接，過點(diǎn)作平面，則垂足在上，且，

該六面體的體積
故C錯(cuò)誤.
對于D：
該六面體的各棱長相等
其內(nèi)切球的球心必在公共面上
又為正三角形
點(diǎn)即為該六面體內(nèi)切球的球心，且該球與相切
過點(diǎn)作，則就是內(nèi)切球的半徑.
在Rt中，


該內(nèi)切球的表面積為
故D正確
故選：AD.

12．如圖所示，在長方體中，，點(diǎn)E是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，給出下列命題，其中真命題的是（???????）

A．三棱錐的體積恒為定值
B．存在唯一的點(diǎn)E，使得截面的周長取得最小值
C．不存在點(diǎn)E，使得平面
D．若點(diǎn)E滿足，則在棱上存在相應(yīng)的點(diǎn)G，使得∥平面
【答案】ABD
【分析】選項(xiàng)A：易證平面，則點(diǎn)到平面的距離為定值，又底面的面積為定值，由等體積法可判斷三棱錐的體積為定值，則選項(xiàng)A正確；
選項(xiàng)B：將側(cè)面翻折到與底面同一平面，得矩形，連接，與的交點(diǎn)即為周長最小時(shí)的點(diǎn)，則選項(xiàng)B正確；
選項(xiàng)C：由題可證得，則只需作，即可證得，那么平面成立，則選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D：要使∥平面，則考慮在平面內(nèi)找到一條直線與平行.將平面與長方體表面的交線作出來，這樣更利用下一步構(gòu)造平行四邊形證明線線平行.
【詳解】選項(xiàng)A：由可證平面，
則點(diǎn)到平面的距離為定值，又底面的面積為定值，
故三棱錐的體積為定值，
由等體積法可判斷三棱錐的體積為定值，則選項(xiàng)A正確；
選項(xiàng)B：將側(cè)面翻折到與底面同一平面，得矩形，
連接，與交于點(diǎn)，即為周長最小時(shí)的點(diǎn)，則選項(xiàng)B正確；

選項(xiàng)C： 連接，在底面內(nèi)過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，
又由長方體可知平面，則，
由可證得平面，則
連接，由可知四邊形是正方形，則，
因，則平面，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，在棱上取點(diǎn)，使，
連接，則可證得四邊形為平行四邊形.
過點(diǎn)作，交棱于點(diǎn)，
則四邊形 為平行四邊形，.
又過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，
連接，再過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，
則四邊形也為平行四邊形，，則，
連接，則四邊形為平行四邊形，.
因平面，平面，則選項(xiàng)D正確.

故選：ABD.

三、填空題
13．設(shè)向量 滿足 ，則_____
【答案】1
【分析】將已知兩向量等式，兩邊平方后相減，即可求得答案.
【詳解】由題意得：，
即 ，
∴，
故答案為：1
14．已知，則__________．
【答案】6
【分析】由已知通過兩角差的正弦公式得即，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解，考查運(yùn)算求解能力.
【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以，所以?br /> 故答案為：6
15．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，．若，則______．
【答案】
【分析】利用正弦定理，化邊為角，再轉(zhuǎn)化，展開化簡可得，結(jié)合的范圍，即得解
【詳解】因?yàn)?，由正弦定理?br /> 所以，
所以，
因?yàn)椋裕?br /> 因?yàn)闉槿切蔚膬?nèi)角，則．
故答案為：
16．△ABC中，角A，B，C所對的三邊分別為a，b，c，c＝2b，若△ABC的面積為1，則BC的最小值是________ ．
【答案】
【分析】由三角形面積公式得到，利用角A的三角函數(shù)表達(dá)出，利用數(shù)形結(jié)合及的幾何意義求出最值.
【詳解】因?yàn)椤鰽BC的面積為1，所，可得，
由，可得
，
設(shè)，其中，
因?yàn)楸硎军c(diǎn)與點(diǎn)（cosA，sinA）連線的斜率，
如圖所示，當(dāng)過點(diǎn)P的直線與半圓相切時(shí)，此時(shí)斜率最小，

在直角△OAP中，，可得，
所以斜率的最小值為，
所以m的最大值為，所以，所以，即BC的最小值為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】解三角形中最值問題，要結(jié)合基本不等式，導(dǎo)函數(shù)或者數(shù)形結(jié)合，利用代數(shù)式本身的幾何意義求解.

四、解答題
17．已知，.
(1)與夾角的余弦值；
(2)若與垂直，求k的值.
【答案】(1)；
(2)0.
【分析】（1）根據(jù)向量夾角的坐標(biāo)公式，計(jì)算即可；
（2）求得與的坐標(biāo)，利用向量垂直的坐標(biāo)表達(dá)公式，求解即可.
【詳解】(1)因?yàn)椋?，?
(2)因?yàn)椋?，故，?br /> 又向量與垂直，則，解得.
18．在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答問題.問題：在△中，角的對邊分別為，且___________
(1)求角B的大??；
(2)，求△周長的取值范圍.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)不同的選擇，結(jié)合正余弦定理，即可求得；
（2）根據(jù)余弦定理，求得的等量關(guān)系，結(jié)合基本不等式即可求得三角形周長的范圍.
【詳解】(1)若選①：在△ABC中，因?yàn)椋?br /> 故由可得，
由正弦定理得：，即，
則，又，故.
若選②：，
則，故，
，則，
解得.
若選③：由及正弦定理，，
又，所以，
即，因?yàn)?，所以?br /> 又，得.
綜上所述：選擇①②③，都有.
(2)根據(jù)（1）中所求，，又，
故由余弦定理可得
則，即，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號，又，

△周長的取值范圍為.
19．已知.
(1)求的最小正周期及對稱軸方程；
(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和相應(yīng)的x值.
【答案】(1),對稱軸方程為
(2)時(shí)，函數(shù)有最大值為3.
【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積定義表示出函數(shù)，然后利用二倍角和降冪公式化簡，然后由周期公式和對稱性可得；
（2）根據(jù)自變量范圍求得，然后根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)可得.
【詳解】(1)由題知，

所以的最小正周期
由，得對稱軸方程為
(2)因?yàn)椋?br /> 所以，
當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)有最大值.
20．在如圖所示的幾何體中，四邊形是矩形，平面，，，為與的交點(diǎn)，點(diǎn)H為棱的中點(diǎn).

(1)求證：平面；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）連接，根據(jù)三角形的中位線，證得，利用線面平行的判定定理，即可證得平面；
（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面和平面的法向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.
【詳解】(1)證明：如圖所示，連接，因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，?br /> 所以是的中點(diǎn)，
因?yàn)镠是的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?
(2)解：由條件可知，，兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示
則，，，，
可得，，，
設(shè)平面的法向量為，所以，
取，可得，所以.
設(shè)平面的法向量為，所以，
取，可得，所以，
所以，
由圖可知二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.

21．如圖，為圓柱的軸截面，是圓柱上異于，的母線.

(1)證明：平面DEF；
(2)若，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）證明，再證明，根據(jù)線面垂直的判定定理可證明結(jié)論；
（2）先推出三棱錐的體積最大時(shí)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，由此再求二面角的余弦值；
法一：通過證線面垂直可說明是二面角的平面角，解直角即可求得答案；
法二：建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出平面DEF和平面BDF的法向量，根據(jù)向量的夾角公式求得答案.
【詳解】(1)證明：如右圖，連接AE，由題意知AB為的直徑，所以.

因?yàn)锳D，EF是圓柱的母線，所以且,
所以四邊形AEFD是平行四邊形.
所以 ,
所以.
因?yàn)镋F是圓柱的母線，所以平面ABE,
又因?yàn)槠矫鍭BE，
所以.
又因?yàn)?，DF，平面DEF，
所以平面DEF.
(2)由（1）知BE是三棱錐底面DEF上的高，
由（1）知，，所以，
即底面三角形DEF是直角三角形.
設(shè)，，則,
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，即點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)時(shí)，
三棱錐的體積最大,
下面求二面角的余弦值：
法一：
由（1）得平面DEF，因?yàn)槠矫鍰EF，所以.
又因?yàn)?，，所以平面BEF.
因?yàn)槠矫鍮EF，所以,所以是二面角的平面角,
由（1）知為直角三角形，則.
故,
所以二面角的余弦值為.
法二：由（1）知EA，EB，EF兩兩相互垂直，
如圖，以點(diǎn)E為原點(diǎn)，EA，EB，EF所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則.
由（1）知平面DEF，故平面DEF的法向量可取為.
設(shè)平面BDF的法向量為，由，，
得，即，即，
取，得.
設(shè)二面角的平面角為θ,
則，
由圖可知θ為銳角，所以二面角的余弦值為.
22．在①平面，②平面平面，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解決該問題．
問題：如圖，在三棱錐中，平面平面，是以為斜邊的等腰直角三角形，，，為中點(diǎn)，為內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（含邊界）．

（1）求點(diǎn)到平面的距離；
（2）若__________，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍．
注：若選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）利用等體積，轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求其法向量，表示出線面角的正弦值，按照求值域的思路適當(dāng)換元求范圍即可.
【詳解】（1）在三棱錐中，連接，，
因?yàn)槭且詾樾边叺牡妊苯侨切?，，為中點(diǎn)，
所以，
又平面平面，平面平面，平面
∴平面
又平面∴∴，，兩兩垂直.
∴
又
∴
∴點(diǎn)到平面的距離為.
（2）與平面所成角的正弦值的取值范圍為．
以選條件①為例（亦可使用綜合法、綜合與向量混用法）
在三棱錐中，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為正交基底，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
設(shè)，則，，，
，
設(shè)平面的法向量為，則
即即，
不妨令，則
同理可求得平面的法向量
（選條件①）因?yàn)槠矫?，平?br /> ∴即
即∴
又∴∴
又平面，∴是平面的一個(gè)法向量
設(shè)直線與平面所成角為，則

令，，
∴
令，則
∴在上單調(diào)遞增
∴，∴，∴
∴直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為.
選條件②，條件③結(jié)果相同.
【點(diǎn)睛】本題的難點(diǎn)在表示出正弦值后值域的求法，可以適當(dāng)換元，借助導(dǎo)數(shù)工具求解.

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