?專題18 函數(shù)的概念及其表示
【知識點(diǎn)梳理】
知識點(diǎn)一：函數(shù)的概念
1．函數(shù)的定義
設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng)，那么就稱為從集合A到集合B的一個函數(shù).
記作：，．
其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域.
知識點(diǎn)詮釋：
（1）A、B集合的非空性；（2）對應(yīng)關(guān)系的存在性、唯一性、確定性；（3）A中元素的無剩余性；（4）B中元素的可剩余性。
2．構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域
①構(gòu)成函數(shù)的三個要素是定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域.由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全—致，即稱這兩個函數(shù)相等(或?yàn)橥缓瘮?shù))；
②兩個函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全—致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān).
3．區(qū)間的概念
(1)區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；
(2)無窮區(qū)間；
(3)區(qū)間的數(shù)軸表示．
區(qū)間表示：
；
； ；
； .

知識點(diǎn)二：函數(shù)的表示法
1．函數(shù)的三種表示方法：
解析法：用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系． 優(yōu)點(diǎn)：簡明，給自變量求函數(shù)值.
圖象法：用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系． 優(yōu)點(diǎn)：直觀形象，反應(yīng)變化趨勢.
列表法：列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系． 優(yōu)點(diǎn)：不需計算就可看出函數(shù)值.
2．分段函數(shù)：
分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個不同的方程，而應(yīng)寫函數(shù)幾種不同的表達(dá)式并用個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況．
知識點(diǎn)三：函數(shù)定義域的求法
(1)確定函數(shù)定義域的原則
①當(dāng)函數(shù)是以解析式的形式給出時，其定義域就是使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值的集合.具體地講，就是考慮分母不為零，偶次根號的被開方數(shù)、式大于或等于零，零次冪的底數(shù)不為零以及我們在后面學(xué)習(xí)時碰到的所有有意義的限制條件.
②當(dāng)函數(shù)是由實(shí)際問題給出時，其定義域不僅要考慮使其解析式有意義，還要有實(shí)際意義.
③當(dāng)函數(shù)用表格給出時，函數(shù)的定義域是指表格中實(shí)數(shù)的集合。
（2）抽象函數(shù)定義域的確定
所謂抽象函數(shù)是指用表示的函數(shù)，而沒有具體解析式的函數(shù)類型，求抽象函數(shù)的定義域問題，關(guān)鍵是注意對應(yīng)法則。在同一對應(yīng)法則的作用下，不論接受法則的對象是什么字母或代數(shù)式，其制約條件是一致的，都在同一取值范圍內(nèi)。
（3）求函數(shù)的定義域，一般是轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組的問題，注意定義域是一個集合，其結(jié)果必須用集合或區(qū)間來表示.
知識點(diǎn)四：函數(shù)值域的求法
實(shí)際上求函數(shù)的值域是個比較復(fù)雜的問題，雖然給定了函數(shù)的定義域及其對應(yīng)法則以后，值域就完全確定了，但求值域還是特別要注意講究方法，常用的方法有：
觀察法：通過對函數(shù)解析式的簡單變形，利用熟知的基本函數(shù)的值域，或利用函數(shù)的圖象的“最高點(diǎn)”和“最低點(diǎn)”，觀察求得函數(shù)的值域；
配方法：對二次函數(shù)型的解析式可先進(jìn)行配方，在充分注意到自變量取值范圍的情況下，利用求二次函數(shù)的值域方法求函數(shù)的值域；
判別式法：將函數(shù)視為關(guān)于自變量的二次方程，利用判別式求函數(shù)值的范圍，常用于一些“分式”函數(shù)等；此外，使用此方法要特別注意自變量的取值范圍；
換元法：通過對函數(shù)的解析式進(jìn)行適當(dāng)換元，將復(fù)雜的函數(shù)化歸為幾個簡單的函數(shù)，從而利用基本函數(shù)的取值范圍來求函數(shù)的值域.
求函數(shù)的值域沒有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，還有最值法、數(shù)形結(jié)合法等.總之，求函數(shù)的值域關(guān)鍵是重視對應(yīng)法則的作用，還要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s.
【題型歸納目錄】
題型一：函數(shù)的概念
題型二：給出解析式求函數(shù)的定義域
題型三：抽象函數(shù)求定義域
題型四：給出函數(shù)定義域求參數(shù)范圍
題型五：同一函數(shù)的判斷
題型六：給出自變量求函數(shù)值
題型七：求函數(shù)的值域
題型八： 求函數(shù)的解析式
題型九： 分段函數(shù)求值、不等式問題
題型十： 區(qū)間的表示與定義

【典型例題】
題型一：函數(shù)的概念
1．（2022·湖南·高一課時練習(xí)）設(shè)集合，，那么下列四個圖形中，能表示集合到集合的函數(shù)關(guān)系的有（???????）

A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)函數(shù)的定義，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】
由題意，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br /> 對于①中，函數(shù)的定義域不是集合，所以不能構(gòu)成集合到集合的函數(shù)關(guān)系；
對于②中，函數(shù)的定義域?yàn)榧?，值域?yàn)榧?，所以可以?gòu)成集合到集合的函數(shù)關(guān)系；
對于③中，函數(shù)的定義域?yàn)榧?，值域?yàn)榧?，所以可以?gòu)成集合到集合的函數(shù)關(guān)系；
對于④中，根據(jù)函數(shù)的定義，集合中的元素在集合中對應(yīng)兩個函數(shù)值，不符合函數(shù)的定義，所以不正確.
故選：C
2．（2022·四川南充·高一期末）下列各圖中，可表示函數(shù)的圖象的是（???????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)函數(shù)的定義判斷即可.
【詳解】
根據(jù)函數(shù)的定義，對于定義域內(nèi)的每一個x值對應(yīng)唯一的y值，可看出只有選項(xiàng)B符合.
故選：B.
3．（2022·全國·高一）下列圖象中不能作為函數(shù)圖象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【詳解】
本題考查函數(shù)的定義和函數(shù)圖像的含義.
能作為函數(shù)圖象,需滿足：按照圖像得出的對應(yīng)關(guān)系，對于自變量x的取值范圍內(nèi)的每一個值，按照圖像得出的對應(yīng)關(guān)系，都有唯一的一個y值和它對應(yīng)；從圖像直觀來看，平行與y軸的直線與圖像至多有一個交點(diǎn).則B不能作為函數(shù)圖象.故選B
4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)y=f(x)的圖象與直線的交點(diǎn)個數(shù)（????????）
A．至少1個 B．至多1個 C．僅有1個 D．有0個、1個或多個
【答案】B
【解析】
【分析】
利用函數(shù)的定義判斷.
【詳解】
若1不在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)，y=f(x)的圖象與直線沒有交點(diǎn)，
若1在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)，y=f(x)的圖象與直線有1個交點(diǎn)，
故選：B.
（多選題）5．（2022·浙江·平湖市當(dāng)湖高級中學(xué)高二期中）（多選）集合，下列表示從到的函數(shù)的是（???????）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根據(jù)函數(shù)的定義，當(dāng)時，根據(jù)對應(yīng)法則檢驗(yàn)對應(yīng)的函數(shù)值是否在集合B中，即可得到答案.
【詳解】
由題意，集合，
對于A中，，當(dāng)時，則，可得表示從到的函數(shù)；
對于B中，，當(dāng)時，則，可得表示從到的函數(shù)；
對于C中，，當(dāng)時，則，可得不能表示從到的函數(shù)；
對于D中，，當(dāng)時，則，可得表示從到的函數(shù).
故選：ABD
（多選題）6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，，請根據(jù)函數(shù)定義，下列四個對應(yīng)法則能構(gòu)成從到的函數(shù)的是（???????）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
根據(jù)函數(shù)的概念逐一判斷即可.
【詳解】
A，集合中在集合中沒有對應(yīng)元素，故A不選.
B，由函數(shù)的定義集合中的每一個元素在集合中都有唯一元素與之對應(yīng)，故B可選；
C，集合中、在集合中沒有對應(yīng)元素，故C不選.
D，由函數(shù)的定義集合中的每一個元素在集合中都有唯一元素與之對應(yīng)，故D可選；
故選：BD
（多選題）7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列對應(yīng)關(guān)系f，能構(gòu)成從集合M到集合N的函數(shù)的是（???????）
A．，，，，
B．，
C．，
D．，，
【答案】ABD
【解析】
根據(jù)函數(shù)的定義，結(jié)合函數(shù)的定義，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】
對于A中，集合中的任意一個元素，按某種對應(yīng)法則，在集合中存在唯一的元素相對應(yīng)，所以能構(gòu)成從集合到集合的函數(shù)；
對于B中，集合中的任意一個元素，按某種對應(yīng)法則，在集合中存在唯一的元素相對應(yīng)，所以能構(gòu)成從集合到集合的函數(shù)；
對于C中，集合，當(dāng)時，可得，所以不能構(gòu)成從集合到集合的函數(shù)；
對于D中，集合中的任一元素，按，在集合有唯一的元素與之對應(yīng)，所以能構(gòu)成從集合到集合的函數(shù).
故選：ABD
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了函數(shù)的基本概念及判定，其中解答中熟記函數(shù)的基本概念，結(jié)合函數(shù)的定義逐項(xiàng)判定是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與判定能力，屬于基礎(chǔ)題.
8．（2022·全國·高一課時練習(xí)）函數(shù)符號表示( )
A．y等于f與x的乘積???????B．一定是一個式子
C．y是x的函數(shù)???????D．對于不同的x，y也不同
【答案】C
【解析】
【詳解】
解：對函數(shù)的理解為：
（1）表示一個含有的式子，故錯誤；
（2）表示由按法則f求出的結(jié)果，故錯誤；
（3）表示y是x的函數(shù)，故正確；
（4）不同的輸入值x，對應(yīng)的y可以相同
故選：C
9．（2022·黑龍江·大慶外國語學(xué)校高一階段練習(xí)）如圖，設(shè)，，表示A到B的函數(shù)的是__________填序號．

【答案】④
【解析】
【分析】
根據(jù)函數(shù)的定義結(jié)合圖象判斷即可．
【詳解】
根據(jù)函數(shù)的定義，在③中，存在一個x對應(yīng)兩個y，③不是函數(shù)；
①，②中函數(shù)的值域不是，故排除①②③；
可知④符合題意.
故答案為：④．
10．（2022·河北·武安市第一中學(xué)高一期末）有對應(yīng)法則f：
（1）A＝{0，2}，B＝{0，1}，x→；
（2）A＝{－2，0，2}，B＝{4}，x→x2；
（3）A＝R，B＝{y|y＞0}，x→；
（4）A＝R，B＝R，x→2x＋1；
（5）A＝{(x，y)|x，y∈R}，B＝R，(x，y)→x＋y.
其中能構(gòu)成從集合A到集合B的函數(shù)的有________(填序號)．
【答案】（1）(4)
【解析】
【分析】
利用函數(shù)的定義判斷.
【詳解】
（1）由函數(shù)的定義知，正確；
（2）當(dāng)x＝0時，B中不存在數(shù)值與之對應(yīng)，故錯誤；
（3）當(dāng)x＝0時，B中不存在數(shù)值與之對應(yīng)，故錯誤；
（4）由函數(shù)的定義知，正確；
（5）因?yàn)榧螦不是數(shù)集，故錯誤；
故答案為：（1）(4)
11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列從P到Q的各對應(yīng)關(guān)系f不是函數(shù)的是________．(填序號)
①f：x→y＝x；②f：x→y＝x；③f：x→y＝x；④f：x→y＝.
【答案】③
【解析】
【分析】
根據(jù)函數(shù)的定義，即可判斷.
【詳解】
①②④滿足函數(shù)的定義，所以是函數(shù)，
對于③，因?yàn)楫?dāng)x＝4時，，所以③不是函數(shù)．
故答案為：③
題型二：給出解析式求函數(shù)的定義域
1．（2022·新疆喀什·高一期末）函數(shù)中，自變量x的取值范圍是（???????）
A． B． C．且 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)二次根式的意義和分式的意義可得，解之即可.
【詳解】
由題意知，
，解得，
即函數(shù)的定義域?yàn)?
故選：B
2．（2022·四川自貢·高一期末）函數(shù)的定義域?yàn)椋???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由題意列不等式組求解
【詳解】
由題意得，解得且，
故選：D
3．（2022·全國·高一階段練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)椋???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)函數(shù)解析式，可知，解不等式，即可求出結(jié)果.
【詳解】
要使函數(shù)有意義，則有，解得且，所以其定義域?yàn)椋?br /> 故選：C.
4．（2022·山東省臨沂第一中學(xué)高一開學(xué)考試）函數(shù)的定義域是（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由分母中根式內(nèi)部的代數(shù)式大于0，0指數(shù)冪的底數(shù)不為0聯(lián)立不等式組求解．
【詳解】
由，解得且．
函數(shù)的定義域?yàn)椋?br /> 故選：C．
5．（2022·廣東潮州·高一期末）函數(shù)的定義域?yàn)椋???????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
列出使函數(shù)有意義的不等式組，求解即可得答案.
【詳解】
解：由，得且，
所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?br /> 故選：B.
6．（2022·安徽·歙縣教研室高一期末）函數(shù)的定義域?yàn)椋???????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)偶次方根的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)得到不等式，解得即可；
【詳解】
解：依題意可得，即，即，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)椋?br /> 故選：A
7．（2022·廣東揭陽·高一期末）函數(shù)的定義域是（???????）
A． B．
C．R D．
【答案】A
【解析】
【分析】
顯然這個問題需要求交集.
【詳解】
對于：，；
對于：，；
故答案為：A.
8．（2022·福建三明·高一期末）函數(shù)的定義域?yàn)椋???????）
A．（－∞，2） B．（－∞，2] C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用根式、分式的性質(zhì)列不等式組求定義域即可.
【詳解】
由題設(shè)，，可得，
所以函數(shù)定義域?yàn)?
故選：D
9．（2022·新疆吐魯番·高一期末）函數(shù)的定義域?yàn)開__．
【答案】
【解析】
【分析】
解不等式組即得解.
【詳解】
解：由題得且,
所以函數(shù)的定義域?yàn)?
故答案為：
10．（2022·湖南·高一課時練習(xí)）求下列函數(shù)的定義域：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)且且.
【解析】
【分析】
（1）解不等式組即得解；
（2）解不等式即得解.
(1)
解：由題得且.
所以函數(shù)的定義域?yàn)?
(2)
解：由題得且且.
所以函數(shù)的定義域?yàn)榍仪?

題型三：抽象函數(shù)求定義域
1．（2022·貴州畢節(jié)·高一期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)椋???????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)抽象函數(shù)的定義域利用替換思想求相關(guān)函數(shù)的定義域.
【詳解】
∵函數(shù)的定義域?yàn)椋?br /> ∴，則，
即的定義域?yàn)椋?br /> 由，得，
∴的定義域是，
故選：A
2．（2022·遼寧·高一期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)椋???????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)抽象函數(shù)定義域的求法求得正確答案.
【詳解】
依題意函數(shù)的定義域?yàn)椋?br /> ，
所以，
解得或，
所以的定義域?yàn)?
故選：B
3．（2022·全國·高一）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域是（???????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
解不等式和即得解.
【詳解】
解：由題意得：，解得，
由解得，
故函數(shù)的定義域是?.
故選：D
4．（2022·新疆昌吉·高一期末）已知f(x)的定義域是，則函數(shù)的定義域是（???????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用給定條件結(jié)合函數(shù)的意義列不等式即可求解作答.
【詳解】
因f(x)的定義域是，則在中有：，解得且，
所以函數(shù)的定義域是.
答案：B
5．（2022·吉林·長春市第二中學(xué)高一期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)????????)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)函數(shù)的定義域求出的范圍，結(jié)合分母不為0求出函數(shù)的定義域即可．
【詳解】
由題意得：，解得：，
由，解得：，
故函數(shù)的定義域是，
故選：B．
6．（2022·安徽阜陽·高一期中）已知，則的定義域?yàn)椋???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先求得的定義域，然后將看作一個整體代入計算即可.
【詳解】
由題可知：且
所以函數(shù)定義域?yàn)榍?br /> 令且，所以且
所以，所以的定義域?yàn)?br /> 故選：C
7．（2022·河南安陽·高一期末（理））若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由題可列出，可求出.
【詳解】
的定義域是，
在中，，解得，
故的定義域?yàn)?
故選：C.
8．（2022·黑龍江·大慶外國語學(xué)校高一階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t的定義域是（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由計算出的取值范圍，由此可計算出函數(shù)的定義域.
【詳解】
對于函數(shù)，，可得，
因此，函數(shù)的定義域是.
故選：C.
9．（2022·全國·高一）已知函數(shù)y=f（x+1）定義域是[-2，3]，則y=f（2x-1）的定義域是（???????）
A．[0，] B．[-1，4] C．[-5，5] D．[-3，7]
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)抽象函數(shù)的定義域求法，首先求出，再由，解不等式即可.
【詳解】
函數(shù)y=f（x+1）定義域是[-2，3]，則，
所以，解得，
所以函數(shù)的定義域?yàn)閇0，].
故選：A
【點(diǎn)睛】
本題考查了抽象函數(shù)的定義域求法，考查了基本運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.
10．（2022·四川·遂寧中學(xué)高一階段練習(xí)）已知的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【詳解】
試題分析：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋屎瘮?shù)有意義只需即可，解得，選B．
考點(diǎn)：1、函數(shù)的定義域的概念；2、復(fù)合函數(shù)求定義域．
11．（2022·河南·溫縣第一高級中學(xué)高一階段練習(xí)）若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是______.
【答案】
【解析】
由函數(shù)的定義域是，得到，然后由求解.
【詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是，
所以，
所以，
解得，
所以函數(shù)的定義域是.
故答案為：
12．（2022·全國·高一）（1）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，求函?shù)的定義域；
（2）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，求函?shù)的定義域．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)已知條件可得出關(guān)于的不等式組，由此可解得函數(shù)的定義域；
（2）求出函數(shù)的定義域，對于函數(shù)可得出關(guān)于的不等式組，解出的取值范圍，即可得出函數(shù)的定義域.
【詳解】
（1）對于函數(shù)，有，解得，
因此，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br /> （2）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，即，則，
所以，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br /> 對于函數(shù)，有，解得，
因此，函數(shù)的定義域?yàn)?

題型四：給出函數(shù)定義域求參數(shù)范圍
1．（2022·貴州·遵義市南白中學(xué)高一期末）已知函數(shù)的定義域與值域均為，則（???????）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)函數(shù)的定義域可得，，，再根據(jù)函數(shù)的值域即可得出答案.
【詳解】
解：∵的解集為，
∴方程的解為或4，
則，，，
∴，
又因函數(shù)的值域?yàn)椋?br /> ∴，∴.
故選：A.
2．（2021·河北·滄縣中學(xué)高一階段練習(xí)）若函數(shù)的定義域?yàn)镽，則a的范圍是（???????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分、、討論即可求解.
【詳解】
若的定義域?yàn)镽，則當(dāng)時，滿足題意；
當(dāng)時，，解得：；
當(dāng)時，無法滿足定義域?yàn)镽．
綜上所述：，D正確．
故選：D
3．（2021·北京·東直門中學(xué)高一階段練習(xí)）若函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
對參數(shù)分類討論，結(jié)合三個二次的關(guān)系可得結(jié)果.
【詳解】
函數(shù)的定義域?yàn)榈葍r于恒成立，
當(dāng)時，顯然不恒成立；
當(dāng)時，由，得，
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．
故選：C．
4．（2021·江蘇·高一期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)a的取值集合為（???????）
A．{1} B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求出函數(shù)的定義域，對比即可得出.
【詳解】
由可得，即的定義域?yàn)?，所以?br /> 則實(shí)數(shù)a的取值集合為.
故選：A.
5．（2021·廣東·廣州市白云中學(xué)高一期中）已知的定義域是R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(???????)
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
結(jié)合函數(shù)特征和已知條件可得到解集為，當(dāng)時，可得到與已知條件矛盾；當(dāng)時，結(jié)合一元二次函數(shù)圖像即可求解.
【詳解】
由題意可知，的解集為，
①當(dāng)時，易知，即，這與的解集為矛盾；
②當(dāng)時，若要的解集為，則只需圖像開口向上，且與軸無交點(diǎn)，即判別式小于0，
即，解得，
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
故選：D.
6．（2022·福建·廈門一中高一期中）函數(shù)的定義域是，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．
【答案】
【解析】
【分析】
由題知不等式恒成立，進(jìn)而分和兩種情況討論求解即可.
【詳解】
解：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是.
所以不等式恒成立．
所以，當(dāng)時，不等式等價于，顯然恒成立；
當(dāng)時，則有，即，解得.
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
故答案為:
7．（2021·湖南·長沙一中高一期中）函數(shù)的定義域?yàn)?，若，則的取值范圍是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
轉(zhuǎn)化條件為，即可得解.
【詳解】
由于，所以解得或.
所以的取值范圍是.
故答案為：
8．（2022·安徽·霍邱縣第一中學(xué)高一開學(xué)考試）已知函數(shù)
(1)若函數(shù)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)當(dāng)時，解關(guān)于x的不等式．
【答案】(1)；
(2)答案見解析.
【解析】
【分析】
（1）由題設(shè)可得，即可求a的取值范圍；
（2）討論的大小關(guān)系，求一元二次不等式的解集即可.
(1)
由題設(shè)，令，由的定義域?yàn)镽，
∴，可得.
∴a的取值范圍為.
(2)
由題意，，
當(dāng)，即時，解集為；
當(dāng)，即時，解集為；
當(dāng)，即時，解集為；
9．（2022·全國·高一）已知函數(shù)的定義域?yàn)榧?
(1)若，求的取值范圍；
(2)若，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由題意可得，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）由題意可知，對任意的恒成立，對的取值進(jìn)行分類討論，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
(1)
解：由題得恒成立，所以，所以.
(2)
解：由題得在上恒成立，即，
當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，
則時，，所以；
當(dāng)，即，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則時，，所以；
當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，
則時，，又，所以此時無解.
綜上所述：.
10．（2021·全國·高一課前預(yù)習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)題意得到在上恒成立，分和兩種情況，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】
由題意，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br /> 即在上恒成立，
當(dāng)時，對任意恒成立；
當(dāng)時，要使恒成立，即方程無實(shí)根，
只需判別式，解得，
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

題型五：同一函數(shù)的判斷
1．（2022·新疆喀什·高一期末）下列四組函數(shù)中，表示相同函數(shù)的一組是（???????）
A．，
B．，
C． ，
D．，
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)相同函數(shù)的判斷原則進(jìn)行定義域的判斷即可選出答案.
【詳解】
解：由題意得：
對于選項(xiàng)A：的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)?，所以這兩個函數(shù)的定義域不同，不表示相同的函數(shù)，故A錯誤；
對于選項(xiàng)B：的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)椋赃@兩個函數(shù)的定義域不同，不表示相同的函數(shù)，故B錯誤；
對于選項(xiàng)C：的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，這兩函數(shù)的定義域相同，且對應(yīng)關(guān)系也相同，所以表示相同的函數(shù)，故C正確；
對于選項(xiàng)D：的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)榛?，所以這兩個函數(shù)的定義域不同，不表示相同的函數(shù)，故D錯誤.
故選：C
2．（2022·云南·會澤縣實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)校高一開學(xué)考試）下列四組函數(shù)中，表示相等函數(shù)的一組是（???????）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】
【分析】
依次判斷每個選項(xiàng)中兩個函數(shù)的定義域和解析式是否完全相同，由此可得結(jié)果.
【詳解】
對于A，與定義域均為，，與為相等函數(shù)，A正確；
對于B，定義域?yàn)椋x域?yàn)?，與不是相等函數(shù)，B錯誤；
對于C，定義域?yàn)?，定義域?yàn)?，與不是相等函數(shù)，C錯誤；
對于D，定義域?yàn)?，定義域?yàn)?，與不是相等函數(shù)，D錯誤.
故選：A.
3．（2022·黑龍江·鐵人中學(xué)高一開學(xué)考試）以下各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（???????）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】
【分析】
要判斷兩個函數(shù)是否是同一個函數(shù)，需要從三個方面來分析，即定義域，對應(yīng)法則和值域，觀察每一選項(xiàng)中的函數(shù)即可得到結(jié)論．
【詳解】
對于A，，對應(yīng)法則不同，故不是同一函數(shù)；
對于B，的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，定義域不相同，故不是同一函數(shù)；
對于C，的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)?，故是同一函?shù)；
對于D，的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，故不是同一函?shù).
故選：C．
4．（2022·黑龍江·齊齊哈爾市第八中學(xué)校高一開學(xué)考試）下列函數(shù)中與是同一個函數(shù)的是（???????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)函數(shù)相等的定義是：定義域相同且對應(yīng)關(guān)系相同，逐個分析可得答案.
【詳解】
對于A，的定義域?yàn)?，與的定義域?yàn)椴煌?，故A不正確；
對于B，與是同一函數(shù)，故B正確；
對于C，與的對應(yīng)關(guān)系不同，故C不正確；
對于D，與的定義域不同，故D不正確.
故選：B
5．（2022·四川·遂寧中學(xué)高一階段練習(xí)）下列各組函數(shù)中的兩個函數(shù)是相等函數(shù)的是（???????）
A．與 B．與
C．與 D．與
【答案】B
【解析】
【分析】
逐項(xiàng)求各個函數(shù)的定義域可得答案.
【詳解】
的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，故A錯誤；
因?yàn)?，，故B正確；
因?yàn)榈亩x域?yàn)?，的定義域?yàn)?，故C錯誤；
的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)榛?，?D錯誤；
故選：B.
6．（2022·四川達(dá)州·高一期末）下列函數(shù)中，與函數(shù)相等的是（???????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
兩個函數(shù)相同，需要滿足定義域相同和對應(yīng)法則相同.
【詳解】
對于函數(shù) 的定義域?yàn)镽
對于A：
定義域?yàn)镽， ，故A正確；
對于B：
定義域?yàn)镽， ，故B錯誤；
對于C：
定義域?yàn)?，故C錯誤；
對于D：
定義域?yàn)?，故D錯誤
故選：A
（多選題）7．（2022·重慶市巫山大昌中學(xué)校高一期末）下列各組函數(shù)中，兩個函數(shù)是同一函數(shù)的有（???????）
A．與 B．與
C．與 D．與
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根據(jù)兩個函數(shù)為同一函數(shù)的定義，對四個選項(xiàng)逐個分析可得答案.
【詳解】
對于A，，，兩個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系和定義域都相同，所以兩個函數(shù)為同一函數(shù)，故A正確；
對于B，，，兩個函數(shù)的定義域不同，所以兩個函數(shù)不為同一函數(shù)，故B不正確；
對于C，，，兩個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系和定義域都相同，所以兩個函數(shù)為同一函數(shù)，故C正確；
對于D，與的對應(yīng)關(guān)系和定義域都相同，所以兩個函數(shù)為同一函數(shù)，故D正確.
故選：ACD
（多選題）8．（2022·湖南永州·高一期末）下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（???????）
A．與 B．與
C．與 D．與
【答案】CD
【解析】
【分析】
分別判斷各個選項(xiàng)中的兩個函數(shù)的對應(yīng)法則和定義域是否相同，從而得出答案.
【詳解】
選項(xiàng)A. 函數(shù)與的法則不同，故不是同一函數(shù).
選項(xiàng)B. 的定義域?yàn)閤∈R|x≠3，的定義域?yàn)椋?br /> 他們的定義域不同，故不是同一函數(shù).
選項(xiàng)C. 函數(shù)與的對應(yīng)法則和定義域均相同
所以他們表示同一函數(shù).
選項(xiàng)D. 函數(shù)與的對應(yīng)法則和定義域均相同，所以他們表示同一函數(shù).
故選：CD
9．（2022·全國·高一課時練習(xí)）給出下列三組函數(shù)，其中表示同一函數(shù)的是___________（填序號）．
①；
②；
③．
【答案】③
【解析】
【詳解】
對于①，與的定義域不同；
對于②，的對應(yīng)關(guān)系不同；
對于③，其定義域相同，解析式化簡后也相同，值域也相同，故是同一函數(shù).
故答案為：③

題型六：給出自變量求函數(shù)值
1．（2022·重慶·高一期末）已知，則（???????）
A． B． C．5 D．-5
【答案】C
【解析】
【分析】
令，代入直接計算即可.
【詳解】
令，即，
則，
故選：C.
（多選題）2．（2022·廣西·憑祥市高級中學(xué)高一階段練習(xí)）定義在上的函數(shù)，對于任意的，都有，且，則（???????）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】
【分析】
對于A，令，代入中化簡可求出，對于B，令，代入中化簡可求出，對于C，令，可求出，再令，可求出，從而可求出，對于D，令，代入計算可得答案
【詳解】
對于A，令，則，因?yàn)?，所以，所以，所以A正確，
對于B，令，則，所以，所以，所以，所以B錯誤，
對于C，令，則，令，則，所以，所以C錯誤，
對于D，令，則，所以D正確，
故選：AD
3．（2022·遼寧朝陽·高一開學(xué)考試）已知函數(shù)，且，則______．
【答案】11
【解析】
【分析】
由，可得，從而可求出的值
【詳解】
因?yàn)?，且?br /> 所以，得，
所以，
故答案為：11
4．（2022·廣東潮州·高一期末）已知，則______．
【答案】6
【解析】
【分析】
由已知函數(shù)解析式即可求解.
【詳解】
解：因?yàn)椋?br /> 所以，
故答案為：6.
5．（2022·湖北·江夏一中高一階段練習(xí)）已知，若，則_______．
【答案】2021
【解析】
【分析】
計算得出，結(jié)合已知條件即可得答案.
【詳解】
解：由已知可得，
故.
故答案為：.
6．（2022·黑龍江·大慶外國語學(xué)校高一階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的定義域；
(2)求的值；
(3)當(dāng)時，求，的值．
【答案】(1)且
(2)
(3)，
【解析】
【分析】
（1）由根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0，分式的分母不為0聯(lián)立不等式組求解；
（2）直接取代入得答案；
（3）分別取及代入求解．
(1)
由題意，解得且,
函數(shù)的定義域?yàn)榍?
(2)
.
(3)
，．
7．（2022·湖南·新化縣教育科學(xué)研究所高一期末）已知函數(shù).
(1)求的定義域和的值；
(2)當(dāng)時，求，的值.
【答案】(1)定義域?yàn)?，?br /> (2)，.
【解析】
【分析】
（1）由根式、分式的性質(zhì)求函數(shù)定義域，將自變量代入求即可.
（2）根據(jù)a的范圍，結(jié)合（1）的定義域判斷所求函數(shù)值是否有意義，再將自變量代入求值即可.
(1)
由，則定義域?yàn)椋?br /> 且.
(2)
由，結(jié)合（1）知：，有意義.
所以，.
8．（2022·湖南·高一課時練習(xí)）已知定義域?yàn)镹的函數(shù)．
(1)求，的值；
(2)求的值．
【答案】(1)，；
(2)
【解析】
【分析】
（1）代入求值；（2）分別代入再作差.
(1)
，；
(2)
.
9．（2022·湖南·高一課時練習(xí)）如圖，函數(shù)的圖象是折線段，其中點(diǎn)，，的坐標(biāo)分別為，，，求的值．

【答案】2
【解析】
【分析】
直接利用函數(shù)的圖象從里往外計算.
【詳解】
解：由題得.
10．（2022·湖南·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】
化簡函數(shù)，逐項(xiàng)運(yùn)算，即可求解.
【詳解】
由題意，函數(shù)，
所以，
所以.
11．（2022·湖南·高一課時練習(xí)）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)和，求，，，的值．
【答案】，，，．
【解析】
【分析】
根據(jù)函數(shù)式先計算，再代入函數(shù)式計算即可得．
【詳解】
由已知，，同理，，
所以，，，．

題型七：求函數(shù)的值域
1．（2022·重慶·西南大學(xué)附中高一期中）函數(shù)f(x)=1-的值域?yàn)椋???????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用反比例型函數(shù)值域求法求解.
【詳解】
解：函數(shù)f(x)=1-的定義域?yàn)椋?br /> 所以，則，
所以函數(shù)f(x)=1-的值域?yàn)椋?br /> 故選：A
2．（2022·四川自貢·高一期中）函數(shù)的值域是（????????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
將函數(shù)分離常數(shù)后可直接求解.
【詳解】
，從而可知函數(shù)的值域?yàn)?
故選：C
3．（2022·全國·高一課時練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)???????????????????????????????????????????????????????????????????????????（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
本題通過換元法求值域，先令，將函數(shù)轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)進(jìn)行求解.
【詳解】
函數(shù)的定義域是，令，則， ，所以，
因?yàn)?，所以，所以原函?shù)的值域?yàn)椋?br /> 故選：D.
4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的最大值為，最小值為，則（???????）
A．4 B．6
C．7 D．8
【答案】B
【解析】
【分析】
直接用判別式法求函數(shù)的最大值和最小值．
【詳解】
設(shè)，，，
時，，
時，因?yàn)?，所以，解得，即且?br /> 綜上，最大值是，最小值是，和為6．
故選：B．
（多選題）5．（2022·廣東·金山中學(xué)高一期中）下列函數(shù)， 值域?yàn)榈氖牵???????）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
逐一求出每個函數(shù)的值域即可.
【詳解】
當(dāng)時，，故A滿足；
當(dāng)時，，故B不滿足；
，故C滿足；
，故D不滿足；
故選：AC
6．（2022·全國·高一）函數(shù)的值域是________________．
【答案】．
【解析】
【分析】
先求出，再利用不等式的性質(zhì)逐步求出函數(shù)的值域得解.
【詳解】
，且，
，
，
，
，
故函數(shù)的值域是．
故答案為：
7．（2022·安徽·合肥市第六中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，且，則的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
首先根據(jù)題意得到，根據(jù)得到，再解不等式即可.
【詳解】
因?yàn)?，所?
又因?yàn)椋?br /> 所以，解得.
故答案為：.
8．（2022·全國·高一課前預(yù)習(xí)）求值域(用區(qū)間表示)：
(1)，①；②；
(2)；
(3).
【答案】(1)①[7，28]；②[3，12]
(2)
(3)(∞，1)∪(1，+∞)
【解析】
【分析】
（1）①②,配方后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可，
（2）利用換元法求解，
（3）利用分離常數(shù)法求解
(1)
，
①當(dāng)時，，
∴值域?yàn)閇7，28]；
②當(dāng)時，，
∴值域?yàn)閇3，12]．
(2)
令，則，
因?yàn)?，所以，即?br /> 所以函數(shù)的值域?yàn)椋?br /> (3)
，
因?yàn)?，所?br /> 所以函數(shù)的值域?yàn)?∞，1)∪(1，+∞).
9．（2022·湖北十堰·高一期中）求下列函數(shù)的值域：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）二次函數(shù)配方求值域；（2）分離常數(shù)求值域.
(1)
因?yàn)椋?br /> 所以函數(shù)的值域?yàn)椋?br /> (2)
，
因?yàn)?，所以?br /> 所以函數(shù)的值域?yàn)椋?br /> 10．（2022·全國·高一課前預(yù)習(xí)）求下列函數(shù)的值域：
(1)y＝2x＋1；
(2)y＝x2－4x＋6，x∈[1，5)；
(3)y＝；
(4)y＝x＋．
【答案】(1)R；
(2)[2,11)；
(3){y|y≠3}；
(4)[0,＋∞).
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)一次函數(shù)的圖像性質(zhì)即可求其值域；
(2)作二次函數(shù)在[1，5)之間的圖像，數(shù)形結(jié)合即可求其值域；
(3)函數(shù)解析式分離常數(shù)法即可求其值域；
(4)利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求其值域.
(1)
因?yàn)閤∈R，所以2x＋1∈R，即函數(shù)的值域?yàn)镽．
(2)
y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2，因?yàn)閤∈[1，5)，如圖所示：


所以所求函數(shù)的值域?yàn)閇2，11)．
(3)
借助反比例函數(shù)的特征求．
，
顯然可取0以外的一切實(shí)數(shù)，即所求函數(shù)的值域?yàn)閧y|y≠3}．
(4)
設(shè)(x≥0)，則x＝u2(u≥0)，，
由u≥0，可知≥，所以y≥0．
所以函數(shù)y＝x＋的值域?yàn)閇0,＋∞)．
11．（2020·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）已知函數(shù)的值域?yàn)閇1，3]，求的值
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)判別式法求解函數(shù)值域即可求解
【詳解】
由題意定義域?yàn)椋瑒t在上有解，當(dāng)符合題意，當(dāng)，即 的解集為[1，3]，故1和3為關(guān)于y的二次方程的兩個根所以
解得

題型八： 求函數(shù)的解析式
1．（2022·江蘇·高一）已知，若，則（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
設(shè)，求出，再由求出.
【詳解】
設(shè)，因?yàn)?br /> 所以，
又，所以，
所以.
故選：C.
2．（2022·江蘇·高一）設(shè)，，則（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出解析式，即得到的解析式，再利用換元法求出的解析式即可.
【詳解】
因?yàn)?，所?br /> 又因?yàn)?，所以?br /> 令，則，
，
所以.
故選：B.
3．（2022·江蘇·高一）設(shè)函數(shù)，則的表達(dá)式為（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
令，可得出且，化簡可得出，即可得出函數(shù)的解析式.
【詳解】
令，則且，所以，，因此，.
故選：B.
4．（2022·江蘇·高一）若函數(shù)，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】
通過換元，令，則，代入原式即可得解.
【詳解】
令，則，，函數(shù)的解析式為.
故答案為：.
5．（2022·黑龍江·大慶外國語學(xué)校高一期末）若，則_____．
【答案】
【解析】
【分析】
首先求函數(shù)，再求的值.
【詳解】
設(shè)，則
所以，即，，
.
故答案為：
6．（2022·全國·高一單元測試）若函數(shù)，則______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用換元法，令，再用表示代入原函數(shù)即可得.
【詳解】
令，則，
∴，故，
∴.
故答案為：.
7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，則的解析式為___________.
【答案】
【解析】
用換元法，設(shè)，解出代入即得．
【詳解】
設(shè)，則，，
，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查求函數(shù)的解析式，解題方法是換元法．
8．（2022·江蘇·高一）（1）已知是一次函數(shù)，且，求；
（2）已知是二次函數(shù)，且滿足，求.
【答案】（1）或 ；（2）.
【解析】
【分析】
（1）設(shè)，代入，整理，得恒等式，求出即可；
（2）設(shè)，代入條件，求出即可
【詳解】
（1）設(shè)，
則
因?yàn)?，所?br /> 所以解得或
所以或
（2）設(shè)
由，得
由
得
整理，得
所以 所以
所以
9．（2022·全國·高一）（1）已知f（x）是一次函數(shù)，且滿足f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋3，求f（x）的解析式．
（2）若二次函數(shù)g（x）滿足g（1）＝1，g（－1）＝5，且圖象過原點(diǎn)，求g（x）的解析式．
【答案】（1）f（x）＝－2x－9；（2）g（x）＝3x2－2x.
【解析】
【分析】
（1）設(shè)f（x）＝kx＋b（k≠0），代入條件式子中化簡可求解參數(shù)，即可得函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)g（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），依題意列方程求解即可．
【詳解】
（1）設(shè)f（x）＝kx＋b（k≠0），
則f（x＋1）－2f（x－1）＝kx＋k＋b－2kx＋2k－2b＝－kx＋3k－b，
即－kx＋3k－b＝2x＋3不論x為何值都成立，
∴解得∴f（x）＝－2x－9.
（2） 設(shè)g（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），∵g（1）＝1，g（－1）＝5，且圖象過原點(diǎn)，
∴解得
∴g（x）＝3x2－2x.
10．（2022·全國·高一）根據(jù)下列條件，求函數(shù)的解析式；
（1）已知是一次函數(shù)，且滿足；
（2）已知；
（3）已知等式對一切實(shí)數(shù)?都成立，且；
（4）知函數(shù)滿足條件對任意不為零的實(shí)數(shù)恒成立
【答案】（1）；（2）或；（3）；（4）.
【解析】
【分析】
（1）設(shè)函數(shù)，結(jié)合等式，利用一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別相等列出方程組解出的值，即可得出函數(shù)的解析式；
（2）用配湊法根據(jù),然后換元可得出函數(shù)的解析式，利用雙勾函數(shù)求出的取值范圍，即為函數(shù)的定義域；
（3）由已知令，則有且，化簡即可求得結(jié)果；
（4）將代入等式得出，與原式列方程組解出函數(shù)的解析式.
【詳解】
（1）設(shè)，則

所以解得：所以；
（2）
，
令，由雙勾函數(shù)的性質(zhì)可得或，
，
或
（3）因?yàn)閷σ磺袑?shí)數(shù)?都成立，且
令則，又因?yàn)?br /> 所以，即
（4）將代入等式得出，
聯(lián)立，變形得：，
解得
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：本題主要考查求函數(shù)解析式的一般方法：配湊法、換元法、待定系數(shù)法、方程組法.
11．（2022·安徽宣城·高一期中）根據(jù)下列條件，求的解析式
(1)已知滿足
(2)已知是一次函數(shù)，且滿足；
(3)已知滿足
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）利用換元法即可求解；
（2）設(shè)，然后結(jié)合待定系數(shù)法即可得解；
（3）由題意可得，利用方程組思想即可得出答案.
(1)
解：令，則，
故，
所以；
(2)
解：設(shè)，
因?yàn)椋?br /> 所以，
即，
所以，解得，
所以；
(3)
解：因?yàn)棰伲?br /> 所以②，
②①得，
所以.
12．（2022·全國·高一課時練習(xí)）若對任意實(shí)數(shù)，均有，求.
【答案】.
【解析】
【分析】
利用方程組方法即可求解.
【詳解】
利用方程組法求解即可；
∵（1）
∴（2）
由得，
∴.
故答案為： .
題型九： 分段函數(shù)求值、不等式問題
1．（2022·江蘇·高一）已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a＝（???????）
A． B． C．2 D．9
【答案】C
【解析】
【分析】
由函數(shù)的解析式可得，求解可得答案．
【詳解】
函數(shù)，
，則，
即，解可得：.
故選：C
2．（2022·江蘇·高一）設(shè)函數(shù)，則的值為（???????）
A． B． C． D．18
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)分段函數(shù)的不同定義域?qū)?yīng)的函數(shù)解析式，進(jìn)行代入計算即可.
【詳解】
，
故選：B
3．（2022·安徽阜陽·高一期中）函數(shù)則（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)分段函數(shù)的解析式即可求解.
【詳解】
.
故選：D.
4．（2022·遼寧·東港市第二中學(xué)高一開學(xué)考試）已知函數(shù)，若，則（???????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)分段函數(shù)，分，，由求解.
【詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)，且，
當(dāng)時，，即，
解得或，
當(dāng)時，，無解，
綜上：，
所以，
故選：A
5．（2022·云南·會澤縣實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)校高一開學(xué)考試）已知函數(shù)，則是（???????）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
由分段函數(shù)解析式中自變量的范圍，先求，再求即可.
【詳解】
由題設(shè)，，
∴.
故選：C.
6．（2022·江蘇·高一）函數(shù)f(x)＝若f(x)＝2，則x的值是(???????)
A． B．± C．0或1 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)函數(shù)值為2，分類討論即可.
【詳解】
若f(x)＝2，
①x≤－1時，x＋2＝2，解得x＝0(不符合，舍去)；
②－1＜x＜2時，，解得x＝(符合)或x＝(不符，舍去)；
③x≥2時，2x＝2，解得x＝1(不符，舍去).
綜上，x＝.
故選：A.
7．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·高一期末）已知函數(shù)，若，則x的值是（???????）
A．3 B．9 C．或1 D．或3
【答案】A
【解析】
【分析】
分段解方程即可.
【詳解】
當(dāng)時，，解得（舍去）；
當(dāng)時，，解得或（舍去）.
故選：A
8．（2022·遼寧丹東·高一期末）已知函數(shù)若，則（???????）
A．或1 B． C．1 D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)分段函數(shù)的解析式，分段求解即可.
【詳解】
根據(jù)題意得x≤1x2-1=8或，
解得
故選：B
9．（2022·廣東·高一期末）已知，若，則（???????）
A．或 B．3或5 C．或5 D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)分段函數(shù)的定義，分與兩種情況討論即可求解.
【詳解】
解：由題意，當(dāng)時，，解得或（舍去）；
當(dāng)，，解得（舍去）；
綜上，.
故選：D.
10．（2022·江西撫州·高一期末）設(shè)函數(shù)，若，則______.
【答案】或2##2或-1
【解析】
【分析】
由分段函數(shù)列方程直接求解.
【詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)，由，
所以或
解得：或2.
故答案為：或2
11．（2022·浙江臺州·高一期末）設(shè)函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的值為___________.
【答案】5
【解析】
【分析】
先求，再求，列出方程，求出a的值.
【詳解】
，，解得：.
故答案為：5
12．（2022·四川·遂寧中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)求：
(1)求與的值；
(2)若，當(dāng)時，求的值．
【答案】(1)，
(2)或
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)的范圍代入相應(yīng)的解析式即可；
（2）根據(jù)代入相應(yīng)的解析式可得答案.
(1)
因?yàn)椋?br /> ，.
(2)
若，則，得或.
13．（2022·湖南·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)
(1)求的值；
(2)對函數(shù)，若存在點(diǎn)，使得，求實(shí)數(shù)的值．
【答案】(1)
(2)或
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)分段函數(shù)的解析式，分別求得，即可得解；
（2）根據(jù)分段函數(shù)的解析式，分三種情況討論，即可得解.
(1)
解：由，
得，
所以
(2)
解：由，
當(dāng)時，則，解得（舍去），
當(dāng)時，則，解得，
當(dāng)時，則恒成立，
綜上所述，實(shí)數(shù)的值為或.

題型十： 區(qū)間的表示與定義
1．（2022·江蘇·高一）下列集合不能用區(qū)間的形式表示的個數(shù)為（???????）
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)區(qū)間的概念及區(qū)間形式可以表示連續(xù)數(shù)集，是無限集，逐個判斷即可得出結(jié)論.
【詳解】
區(qū)間形式可以表示連續(xù)數(shù)集，是無限集
①②是自然數(shù)集的子集，③是空集為有限集，都不能用區(qū)間形式表示，
④是圖形的集合，不是數(shù)集，等邊三角形組成的集合．
⑥Q是有理數(shù)，數(shù)軸上大于1的有理數(shù)不是連續(xù)的，
故只有⑤可以，區(qū)間形式為，
故答案為：D.
2．（2019·遼寧·撫順市雷鋒高級中學(xué)高一期中）已知區(qū)間，，則（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用區(qū)間交集的定義求解即可.
【詳解】
因?yàn)?，，由交集的定義，所以，
故選：C.
3．（2022·全國·高一）集合A={x|x≤5且x≠1}用區(qū)間表示____________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用區(qū)間的定義即可求解.
【詳解】
因?yàn)榧螦={x|x≤5且x≠1}，表示從負(fù)無窮到5（包括5）去掉1，所以用區(qū)間表示為.
【點(diǎn)睛】
本題考查集合與區(qū)間的轉(zhuǎn)化，考查區(qū)間的定義以及斷點(diǎn)的區(qū)間表示，屬于基礎(chǔ)題.
4．（2020·全國·高一課時練習(xí)）已知區(qū)間，則的取值范圍為______．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)區(qū)間的概念，得到不等式，即可求解．
【詳解】
由題意，區(qū)間，則滿足，解得，
即的取值范圍為．
故答案為．
【點(diǎn)睛】
本題考查了區(qū)間的概念及其應(yīng)用，其中解答中熟記區(qū)間的概念，列出不等式是解答的關(guān)鍵，屬于容易題．
5．（2022·全國·高一課時練習(xí)）下列區(qū)間與集合相對應(yīng)的是( )
A．???????B．
C．???????D．
【答案】C
【解析】
【詳解】
集合中的可以表示為區(qū)間，
集合中的可以表示為區(qū)間，
或是并集關(guān)系，
所以集合表示為
故選：C
6．（2022·全國·高一課時練習(xí)）區(qū)間等于( )
A．???????B．???????C．???????D．
【答案】C
【解析】
【詳解】
區(qū)間表示由的實(shí)數(shù)組成的集合
故答案為：C
7．（2022·湖南·高一課時練習(xí)）在什么條件下，有？
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)并集的概念與運(yùn)算法則及區(qū)間的定義求解.
【詳解】
根據(jù)并集的概念，只有當(dāng)時，滿足.
8．（2022·湖南·高一課時練習(xí)）用描述法寫出下面這些區(qū)間的含義：
；；；．
【答案】；；；.
【解析】
【分析】
將區(qū)間轉(zhuǎn)化為集合，用描述法寫出答案.
【詳解】
用描述法表示為：；用描述法表示為：；用描述法表示為：；用描述法表示為：.
9．（2022·湖南·高一課時練習(xí)）用區(qū)間表示下列集合：
(1)；
(2)且.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
先求解集合中的不等式，再利用區(qū)間表示即可
(1)
由題意，
(2)
由題意，且且



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