?專題17 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式
【知識(shí)點(diǎn)梳理】
知識(shí)點(diǎn)一　一元二次不等式的概念
一般地，我們把只含有一個(gè)末知數(shù)，并且末知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式，即形如或(其中a，b，c均為常數(shù)，的不等式都是一元二次不等式．
知識(shí)點(diǎn)二　二次函數(shù)的零點(diǎn)
一般地，對(duì)于二次函數(shù)，我們把使的實(shí)數(shù)叫做二次函數(shù)的零點(diǎn).
知識(shí)點(diǎn)三　一元二次不等式的解集的概念
使一元二次不等式成立的所有未知數(shù)的值組成的集合叫做這個(gè)一元二次不等式的解集．
知識(shí)點(diǎn)四 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對(duì)應(yīng)關(guān)系
對(duì)于一元二次方程的兩根為且，設(shè)，它的解按照，，可分三種情況，相應(yīng)地，二次函數(shù)的圖像與軸的位置關(guān)系也分為三種情況.因此我們分三種情況來(lái)討論一元二次不等式或的解集.




二次函數(shù)
（）的圖象




有兩相異實(shí)根

有兩相等實(shí)根

無(wú)實(shí)根








知識(shí)點(diǎn)詮釋：
（1）一元二次方程的兩根是相應(yīng)的不等式的解集的端點(diǎn)的取值，是拋物線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
（2）表中不等式的二次系數(shù)均為正，如果不等式的二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，應(yīng)先利用不等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式，然后討論解決；
（3）解集分三種情況，得到一元二次不等式與的解集.
知識(shí)點(diǎn)五　利用不等式解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟
(1)選取合適的字母表示題中的未知數(shù)；
(2)由題中給出的不等關(guān)系，列出關(guān)于未知數(shù)的不等式(組)；
(3)求解所列出的不等式(組)；
(4)結(jié)合題目的實(shí)際意義確定答案．
知識(shí)點(diǎn)六 一元二次不等式恒成立問(wèn)題
(1)轉(zhuǎn)化為一元二次不等式解集為的情況，即恒成立恒成立

(2)分離參數(shù)，將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求最值問(wèn)題.
知識(shí)點(diǎn)七 簡(jiǎn)單的分式不等式的解法
系數(shù)化為正，大于取“兩端”，小于取“中間”

【題型歸納目錄】
題型一：解不含參數(shù)的一元二次不等式
題型二：一元二次不等式與根與系數(shù)關(guān)系的交匯
題型三：含有參數(shù)的一元二次不等式的解法
題型四：一次分式不等式的解法
題型五：實(shí)際問(wèn)題中的一元二次不等式問(wèn)題
題型六：不等式的恒成立問(wèn)題





【典型例題】
題型一：解不含參數(shù)的一元二次不等式
1．（2022·新疆喀什·高一期末）“”是“”的（???????）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)一元二次不等式的解法可得或，結(jié)合充分不必要條件的定義即可得出結(jié)果.
【詳解】
由題意知，
，解得或，
又或，
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A
2．（2022·浙江·高一階段練習(xí)）不等式的解集是（???????）
A． B．
C．或 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
直接解一元二次不等式即可得答案.
【詳解】
解：原式化為，即，故不等式的解集為.
故選:D
3．（2022·安徽省利辛縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）不等式的解集為（???????）
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【解析】
【分析】
將式子變形再因式分解，即可求出不等式的解集；
【詳解】
解：依題意可得，故，解得或，
所以不等式的解集為或
故選：B．
4．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）下面四個(gè)不等式中解集為空集的是（???????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求出各選項(xiàng)中不等式的解，可得出合適的選項(xiàng).
【詳解】
對(duì)于A選項(xiàng)，解不等式得，A不滿足條件；
對(duì)于B選項(xiàng)，由得，該不等式的解集為，B不滿足條件；
對(duì)于C選項(xiàng)，由可得，解得或，C不滿足條件；
對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)椋什坏仁降慕饧癁榭占?，D滿足條件.
故選：D.
5．（2022·新疆喀什·高一期末）解下列不等式：
(1)；
(2).
【答案】(1)或
(2)
【解析】
(1)
(1)因?yàn)椋?
所以方程有兩個(gè)不等實(shí)根x1＝－1，x2＝－3.
所以原不等式的解集為或.
(2)
(2)因?yàn)椋?
所以方程 有兩個(gè)相等實(shí)根x1＝x2＝
所以原不等式的解集為.
6．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）解下列一元二次不等式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)或
【解析】
【分析】
依據(jù)二次不等式解法程序去求解即可.
(1)
二次方程有二重根，
則不等式的解集為
(2)
二次方程有二根，
則不等式的解集為
(3)
不等式可化為
由可知，二次方程無(wú)根，
則不等式的解集為
故不等式的解集為
(4)
不等式可化為
二次方程有二根，
則不等式的解集為
故不等式的解集為
(5)
不等式可化為
二次方程有二根，
則不等式的解集為
故不等式的解集為
(6)
不等式可化為
二次方程有二根，
則不等式的解集為或
故不等式的解集為或
7．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）解下列不等式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)或
(6)或
【解析】
【分析】
根據(jù)一元二次函數(shù)、方程、不等式的關(guān)系，依次分析即得解
(1)
由題意，
令，故
解得：
不等式解集為
(2)
由題意，
對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)開口向上，且
故恒成立，解集為
(3)
由題意，
對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)開口向上，
故恒成立，故不等式的解集為
(4)
由題意，
故
故不等式的解集為
(5)
由題意，
令，故
故不等式的解為或
即不等式的解集為或
(6)
由題意，
令
解得或
故不等式的解集為或

題型二：一元二次不等式與根與系數(shù)關(guān)系的交匯
1．（2022·四川·射洪中學(xué)高一階段練習(xí)）已知不等式的解集為，則（???????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)一元二次不等式的解集和一元二次方程根的關(guān)系直接求解即可.
【詳解】
由不等式的解集知：和是方程的兩根，.
故選：A.
2．（2022·福建·廈門一中高一期中）已知關(guān)于的不等式的解集為或，則下列說(shuō)法正確的是（????????）
A． B．不等式的解集為
C． D．不等式的解集為
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)解集形式確定選項(xiàng)A錯(cuò)誤；化不等式為即可判斷選項(xiàng)B正確；設(shè)，則，判斷選項(xiàng)C錯(cuò)誤；解不等式可判斷選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
【詳解】
解：因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集為或，所以，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
由題得，所以為.所以選項(xiàng)B正確；
設(shè)，則，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
不等式為，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：B
3．（2022·貴州畢節(jié)·高一期末）已知不等式的解集為，則a，b的值是（???????）
A．， B．， C．6，3 D．3，6
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)一元二次不等式的解集特點(diǎn)，再結(jié)合韋達(dá)定理建立關(guān)于的方程，解出方程即可
【詳解】
由題意知得：和是方程的兩個(gè)根
可得：，，即，
解得：，
故選：B
4．（2022·河南開封·高一期末）關(guān)于的不等式的解集為，且，則（???????）
A．3 B． C．2 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)一元二次不等式與解集之間的關(guān)系可得、，結(jié)合
計(jì)算即可.
【詳解】
由不等式的解集為，
得，不等式對(duì)應(yīng)的一元二次方程為，
方程的解為，由韋達(dá)定理，得，，
因?yàn)?，所以?br /> 即，整理，得.
故選：A
5．（2022·內(nèi)蒙古·赤峰市元寶山區(qū)第一中學(xué)高一期中）已知不等式的解集為，則不等式的解集為（???????）
A． B．{或} C． D．或
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)不等式的解集求出，代入不等式中，化簡(jiǎn)求出不等式的解集．
【詳解】
解：因?yàn)椴坏仁降慕饧癁椋?br /> 的兩根為，2，且，即，，解得，，
則不等式可化為，解得，則不等式的解集為．
故選：A.
6．（2022·云南昆明·高一期中）若關(guān)于x的不等式的解集為，則ab的值為（???????）
A．1 B．2 C．3 D．－1
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)一元二次不等式與一元二次方程之間的關(guān)系列出滿足的條件，解得答案.
【詳解】
由題意知，解得，
故選：A．
（多選題）7．（2022·浙江金華第一中學(xué)高一期末）已知關(guān)于的不等式的解集為或，則下列說(shuō)法正確的是（???????）
A．
B．的解集為
C．
D．的解集為
【答案】AD
【解析】
【分析】
根據(jù)一元二次不等式解集的性質(zhì)逐一判斷即可.
【詳解】
因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集為或，
所以且方程的兩個(gè)根為，，
即.
因此選項(xiàng)A正確；
因?yàn)?，，所以由，因此選項(xiàng)B不正確；
由可知：，因此選項(xiàng)C不正確；
因?yàn)椋杂桑?br /> 解得：，因此選項(xiàng)D正確，
故選：AD
8．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）已知一元二次不等式的解集為或，求不等式的解集．
【答案】或．
【解析】
【分析】
根據(jù)一元二次不等式的解集為或，得到 ，代入不等式求解.
【詳解】
因?yàn)橐辉尾坏仁降慕饧癁榛颍?br /> 所以 ，
所以不等式為，
即，即，
解得或，
所以不等式的解集是 或．
9．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）若不等式的解集是，求不等式的解集．
【答案】.
【解析】
【分析】
根據(jù)不等式的解集求得的值，把不等式化為，結(jié)合不等式的解法，即可求解.
【詳解】
由題意，不等式的解集是，
可得和是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
所以，解得，，
所以不等式化為，即，
解得，
∴不等式的解集為．

題型三：含有參數(shù)的一元二次不等式的解法
（多選題）1．（2022·江西上饒·高一期末）下列關(guān)于不等式的解集討論正確的是（???????）
A．當(dāng)時(shí)，的解集為
B．當(dāng)時(shí)，的解集為
C．當(dāng)時(shí)，的解集為
D．無(wú)論a取何值時(shí)，的解集均不為空集
【答案】CD
【解析】
【分析】
由一元二次不等式的解法逐一判斷可得選項(xiàng).
【詳解】
解：對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，原不等式為，解得，故A不正確；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，原不等式為，解得或，故B不正確；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，原不等式為，解得或，故C正確；
對(duì)于D，由二次函數(shù)，開口向上，所以無(wú)論a取何值時(shí)，不等式均有解，故D正確；
故選：CD.
2．（2022·廣東·梅州市梅江區(qū)梅州中學(xué)高一階段練習(xí)）解關(guān)于x的不等式
【答案】答案不唯一，具體見解析
【解析】
【分析】
原不等式可化為然后分，和三種情況求解不等式
【詳解】
解：關(guān)于x的不等式
可化為
（1）當(dāng)時(shí)，，解得．
（2）當(dāng)，所以
所以方程的兩根為-1和，
當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為或}，
當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為．
當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為或}，．
（3）當(dāng)時(shí)，
因?yàn)榉匠痰膬筛鶠椤?和，
又因?yàn)椋裕?br /> 即不等式的解集是，
綜上所述：當(dāng)時(shí)，不等式的解集為
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或}，
3．（2022·陜西·長(zhǎng)安一中高一期中）已知關(guān)于x的不等式的解集為．
(1)寫出a和b滿足的關(guān)系；
(2)解關(guān)于x的不等式．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）化簡(jiǎn)，結(jié)合不等式的解集即可判斷，得到即可得到a和b滿足的關(guān)系.
（2）可用或?qū)Σ坏仁竭M(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，化簡(jiǎn)計(jì)算即可求出不等式的解集.
(1)
解：因?yàn)?，所以?br /> 因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，所以，且，解得?br /> (2)
由（1）得
則不等式等價(jià)為，
即，即．
因?yàn)?，所以不等式的解為?br /> 即所求不等式的解集為．（說(shuō)明：解集也可以用a表示）
4．（2022·北京市第五中學(xué)高一階段練習(xí)）請(qǐng)回答下列問(wèn)題：
(1)若關(guān)于的不等式的解集為或，求，的值.
(2)求關(guān)于的不等式的解集.
【答案】(1)、
(2)答案見解析
【解析】
【分析】
（1）由題意可得和為方程的兩根，利用韋達(dá)定理得到方程組，解得即可；
（2）不等式為，即，討論，，，，，由二次不等式的解法，即可得到所求解集．
(1)
解：因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集為或，所以和為方程的兩根，所以，解得；
(2)
解：不等式，即，即，
當(dāng)時(shí)，原不等式解集為；
當(dāng)時(shí)，方程的根為，，
①當(dāng)時(shí)，，原不等式的解集為或；
②當(dāng)時(shí)，，原不等式的解集為；
③當(dāng)時(shí)，，原不等式的解集為；
④當(dāng)時(shí)，，原不等式的解集為．
5．（2022·甘肅省武威第一中學(xué)高一開學(xué)考試）解關(guān)于x的不等式：.
【答案】答案見解析
【解析】
【分析】
求出對(duì)應(yīng)方程的根，討論方程的根的大小即可得出答案.
【詳解】
解：即，
則對(duì)應(yīng)方程的根為，
①當(dāng)或時(shí)，原不等式的解集為，
②當(dāng)或時(shí)，原不等式的解集為，
③當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為.
6．（2022·安徽省蚌埠第三中學(xué)高一開學(xué)考試）求關(guān)于x的不等式的解集，其中a是常數(shù)；
【答案】當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)或者時(shí)，不等式的解集為 ；當(dāng)或者時(shí)，不等式的解集為．
【解析】
【分析】
首先求出不等式所對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根，再對(duì)兩根的大小情況分類討論，分別求出不等式的解集；
【詳解】
解：因?yàn)?，所?duì)應(yīng)的方程有兩個(gè)根、；
若，即，解得或，當(dāng)時(shí)原不等式即為，解得；當(dāng)時(shí)原不等式即為，解得；
若，即，解得，此時(shí)不等式，解得，即不等式的解集為；
若，即，解得或，此時(shí)不等式，解得，即不等式的解集為；
綜上可得：當(dāng)或時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)或時(shí)，不等式的解集為；
7．（2022·河北唐山·高一期末）已知關(guān)于x的不等式：．
(1)當(dāng)時(shí)，解此不等式；
(2)當(dāng)時(shí)，解此不等式．
【答案】(1)或
(2)當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為
【解析】
【分析】
（1）利用一元二次不等式的解法解出即可；
（2）不等式可變形為(x－3)(x－)＜0，然后分a＝、0＜a＜、a＞三種情況討論即可.
(1)
當(dāng)a＝－2時(shí)，不等式－2x2＋5x＋3＜0
整理得(2x＋1)(x－3)＞0，解得x＜－或x＞3，
當(dāng)a＝－2時(shí)，原不等式解集為{x|x＜－或x＞3}．
(2)
當(dāng)a＞0時(shí)，不等式ax2－(3a＋1)x＋3＜0
整理得：(x－3)(x－)＜0，???????????????????????????????????????????????
當(dāng)a＝時(shí)，＝3，此時(shí)不等式無(wú)解；???????????????????????????
當(dāng)0＜a＜時(shí)，＞3，解得3＜x＜；????????????????????
當(dāng)a＞時(shí)，＜3，解得＜x＜3；?????????????????????????????????
綜上：當(dāng)a＝時(shí)，解集為?；
當(dāng)0＜a＜時(shí)，解集為{x|3＜x＜}；
當(dāng)a＞時(shí)，解集為{x|＜x＜3}.
8．（2022·湖南·益陽(yáng)市箴言中學(xué)高一開學(xué)考試）已知恒成立．
(1)求的取值范圍；
(2)解關(guān)于的不等式.
【答案】(1)；
(2)答案見解析.
【解析】
【分析】
（1）分、兩種情況討論，在時(shí)，直接驗(yàn)證即可，在時(shí)，由已知條件可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）將所求不等式變形為，對(duì)與的大小進(jìn)行分類討論，結(jié)合二次不等式的解法可得出原不等式的解集.
(1)
解：因?yàn)楹愠闪ⅲ?br /> ①當(dāng)時(shí)，恒成立，合乎題意；
②當(dāng)時(shí)，則，解得.
綜上所述，.
(2)
解：由得.
①當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；
②當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；
③當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為.
綜上所述，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為.
9．（2022·廣東茂名·高一期末）解關(guān)于的不等式.
【答案】答案見解析
【解析】
【分析】
不等式等價(jià)于，再分，和三種情況討論解不等式.
【詳解】
原不等式可化為，即，
①當(dāng)，即時(shí)，；
②當(dāng)，即時(shí)，原不等式的解集為；
③當(dāng)，即時(shí)，.
綜上知：當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)原不等式的解集為.
10．（2022·河南·南陽(yáng)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知關(guān)于的x不等式．
(1)若此不等式的解集為，求實(shí)數(shù)a的值；
(2)若，解這個(gè)關(guān)于的不等式；
【答案】(1)
(2)答案見解析
【解析】
【分析】
（1）利用不等式解集與方程之間的關(guān)系可求得實(shí)數(shù)的值；
（2）對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，解不等式即可得解.
(1)
的解集為，
可得為方程的兩根，??????????
可得，即；
(2)
當(dāng)時(shí)，原不等式即為，解得，解集為；
當(dāng)時(shí)，原不等式化為，
①若，可得，解集為；
②若即，可得解集為；
③若即，可得解集為；

題型四：一次分式不等式的解法
（多選題）1．（2022·河北衡水·高三階段練習(xí)）若p：，則p成立的一個(gè)充分不必要條件是（???????）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】
【分析】
解不等式得命題的等價(jià)條件，然后根據(jù)充分不必要條件的定義判斷．
【詳解】
由p：得且，解得或，故選項(xiàng)C，D是命題p的充分不必要條件，
故選：CD．
2．（2022·陜西·咸陽(yáng)市高新一中高一期中）不等式的解集是_________
【答案】或
【解析】
【分析】
將該不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為整式不等式，利用數(shù)軸標(biāo)根法可得結(jié)果.
【詳解】
不等式等價(jià)于，
利用數(shù)軸標(biāo)根法解得或，
即不等式的解集是或，
故答案為：或.
3．（2022·四川·樹德中學(xué)高一競(jìng)賽）不等式的解集為______．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)分式不等式的解法即可得解.
【詳解】
解：由，得，
則，解得，
所以不等式的解集為.
故答案為：.
4．（2022·安徽省利辛縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）若集合，，則______．
【答案】
【解析】
【分析】
先求出集合A和集合B的補(bǔ)集，再求兩集合的交集即可
【詳解】
依題意，，，
則，
故．
故答案為：
5．（2022·黑龍江·大慶中學(xué)高二期中）不等式的解集為__________．
【答案】{x|x≥1或x＜﹣2}
【解析】
【分析】
利用移項(xiàng)，通分，轉(zhuǎn)化整式不等式求解即可．
【詳解】
由得，即，
解得：x≥1或x＜﹣2，
所以原不等式的解集為{x|x≥1或x＜﹣2}．
故答案為：{x|x≥1或x＜﹣2}．
6．（2022·上海市進(jìn)才中學(xué)高二階段練習(xí)）不等式的解集為__________.
【答案】或
【解析】
【分析】
利用移項(xiàng)，通分，轉(zhuǎn)化為二次不等式即可求解．
【詳解】
原不等式可化為，
即，
解得或，
故不等式的解集為或．
故答案為：或．
7．（2022·上海市進(jìn)才中學(xué)高三期中）不等式的解集為______．
【答案】或
【解析】
【分析】
將分式不等式變形轉(zhuǎn)化為二次不等式求解即可.
【詳解】
，
解得不等式解集為或
故答案為：或.
8．（2022·黑龍江·牡丹江市第三高級(jí)中學(xué)高一開學(xué)考試）若不等式的解集為，則不等式的解集為______.
【答案】
【解析】
【分析】
由三個(gè)二次的關(guān)系求，根據(jù)分式不等式的解法求不等式的解集.
【詳解】
∵不等式的解集為
∴，是方程的兩根，
∴???，
∴ 可化為
∴
∴不等式的解集為，
故答案為：.
9．（2022·黑龍江·大慶外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一階段練習(xí)）解不等式：
(1)
(2)
【答案】(1)或；
(2).
【解析】
【分析】
（1）將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)，然后因式分解，進(jìn)而求得答案；
（2）將分式不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，進(jìn)而求出答案.
(1)
由題意，，所以原不等式的解集為{或}.
(2)
原不等式可化為，則原不等式的解集為．

題型五：實(shí)際問(wèn)題中的一元二次不等式問(wèn)題
1．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）某商場(chǎng)若將進(jìn)貨單價(jià)為8元的商品按每件10元出售,每天可銷售100件,現(xiàn)準(zhǔn)備采用提高售價(jià)來(lái)增加利潤(rùn),已知這種商品每件銷售價(jià)提高1元,銷售量就要減少10件.那么要保證每天所賺的利潤(rùn)在320元以上,銷售價(jià)每件應(yīng)定為
A．12元 B．16元 C．12元到16元之間 D．10元到14元之間
【答案】C
【解析】
設(shè)銷售價(jià)定為每件元,利潤(rùn)為,根據(jù)題意可得利潤(rùn)的函數(shù)解析式.由題意可得關(guān)于的一元二次不等式,解不等式即可求得每件銷售價(jià)的范圍.
【詳解】
設(shè)銷售價(jià)定為每件元,利潤(rùn)為
則
依題意,得
即,解得
所以每件銷售價(jià)應(yīng)定為12元到16元之間
故選:C
【點(diǎn)睛】
本題考查了二次函數(shù)與一元二次不等式的關(guān)系,一元二次不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題.
2．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）甲廠以x千克/時(shí)的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品（生產(chǎn)條件要求），每小時(shí)可獲得利潤(rùn)元．要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時(shí)獲得的利潤(rùn)不低于3000元，則x的最小值是______．
【答案】3
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，由求解.
【詳解】
要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時(shí)獲得的利潤(rùn)不低于3000元，則，
整理得，又，
所以，
解得．
故x的最小值是3．
故答案為：3
3．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）某旅店有200張床位．若每張床位一晚上的租金為50元，則可全部租出；若將出租收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)每晚提高元（為正整數(shù)），則租出的床位會(huì)相應(yīng)減少?gòu)垼粢乖撀玫昴惩淼氖杖氤^(guò)12600元，則每張床位的出租價(jià)格可定在什么范圍內(nèi)？
【答案】每個(gè)床位的出租價(jià)格應(yīng)定在70元到180元之間（不包括70元，180元）
【解析】
【分析】
由題意可知該旅店某晚的收入為y元，可知，解不等式可求解.
【詳解】
設(shè)該旅店某晚的收入為y元，則

由題意，則
即，即，
解得：，且
所以每個(gè)床位的出租價(jià)格應(yīng)定在70元到180元之間（不包括70元，180元）
4．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）一家汽車制造廠引進(jìn)了一條摩托車整車裝配流水線，這條流水線生產(chǎn)的摩托車數(shù)量（輛）與創(chuàng)收價(jià)值（元）之間有如下關(guān)系式：．若這家制造廠希望在一個(gè)星期內(nèi)利用這條流水線創(chuàng)收6000元以上，那么它在一個(gè)星期內(nèi)生產(chǎn)的摩托車數(shù)量應(yīng)滿足什么條件？
【答案】.
【解析】
【分析】
根據(jù)已知列出一元二次不等式，結(jié)合解一元二次不等式的方法進(jìn)行求解即可.
【詳解】
由題意可得：，
解得：.
5．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）汽車在行駛中，由于慣性的作用，剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停住，這段距離稱為“剎車距離”．剎車距離是分析交通事故的一個(gè)重要指標(biāo)．在一個(gè)限速為40km/h的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對(duì)，同時(shí)剎車，但還是相碰了．事后現(xiàn)場(chǎng)勘查測(cè)得甲車的剎車距離略超過(guò)12m，乙車的剎車距離略超過(guò)10m，又知甲、乙兩種車型的剎車距離與車速分別有如下關(guān)系式：，．問(wèn)：甲、乙兩輛汽車是否有超速現(xiàn)象？
【答案】甲種車型沒(méi)有超速現(xiàn)象, 乙種車型有超速現(xiàn)象.
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，得到一元二次不等式，結(jié)合解一元二次方程的方法進(jìn)行求解即可.
【詳解】
因?yàn)榧追N車型的剎車距離與車速的關(guān)系式：，
所以由題意可得：，或舍去，即，當(dāng)時(shí)，，
顯然甲種車型沒(méi)有超速現(xiàn)象；
因?yàn)橐曳N車型的剎車距離與車速的關(guān)系式：，
所以由題意可得：，或舍去，即，因此乙種車型有超速現(xiàn)象.
6．（2022·吉林·梅河口市第五中學(xué)高二期中）為持續(xù)推進(jìn)“改善農(nóng)村人居環(huán)境，建設(shè)宜居美麗鄉(xiāng)村”，某村委計(jì)劃在該村廣場(chǎng)旁一矩形空地進(jìn)行綠化．如圖所示，兩塊完全相同的長(zhǎng)方形種植綠草坪，草坪周圍（陰影部分）均種植寬度相同的花，已知兩塊綠草坪的面積均為300平方米．

(1)若矩形草坪的長(zhǎng)比寬至少多5米，求草坪寬的最大值；
(2)若草坪四周的花壇寬度均為2米，求整個(gè)綠化面積的最小值．
【答案】(1)15米
(2)864平方米
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)“矩形草坪的長(zhǎng)比寬至少多5米”列不等式，解不等式來(lái)求得草坪寬的最大值.
（2）求得綠化面積的表達(dá)式，利用基本不等式求得最小值.
(1)
設(shè)草坪的寬為x米，長(zhǎng)為y米，由面積為300平方米，得，
∵矩形草坪的長(zhǎng)比寬至少多5米，∴，
∴，解得，
又，∴，
草坪寬的最大值為15米．
(2)
記整個(gè)綠化面積為S平方米，由題意可得
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
∴整個(gè)綠化面積的最小值為864平方米．
7．（2022·貴州黔東南·高一期末）黔東南某地有一座水庫(kù)，設(shè)計(jì)最大容量為128000m3．根據(jù)預(yù)測(cè)，汛期時(shí)水庫(kù)的進(jìn)水量（單位：m3）與天數(shù)的關(guān)系是，水庫(kù)原有水量為80000m3，若水閘開閘泄水，則每天可泄水4000m3；水庫(kù)水量差最大容量23000m3時(shí)系統(tǒng)就會(huì)自動(dòng)報(bào)警提醒，水庫(kù)水量超過(guò)最大容量時(shí)，堤壩就會(huì)發(fā)生危險(xiǎn)；如果汛期來(lái)臨水庫(kù)不泄洪，1天后就會(huì)出現(xiàn)系統(tǒng)自動(dòng)報(bào)警．
(1)求的值；
(2)當(dāng)汛期來(lái)臨第一天，水庫(kù)就開始泄洪，估計(jì)汛期將持續(xù)10天，問(wèn)：此期間堤壩會(huì)發(fā)生危險(xiǎn)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)汛期的第9天會(huì)有危險(xiǎn)，理由見解析
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)條件可建立方程，解出即可；
（2）設(shè)第天發(fā)生危險(xiǎn)，由題意得 ，解出此不等式，然后可得答案.
(1)
由題意得： ，
即
(2)
由（1）得
設(shè)第天發(fā)生危險(xiǎn)，由題意得 ，即，得．
所以汛期的第9天會(huì)有危險(xiǎn)
8．（2022·湖北十堰·高一期中）某學(xué)校欲在廣場(chǎng)旁的一塊矩形空地上進(jìn)行綠化.如圖所示，兩塊完全相同的長(zhǎng)方形種植綠草坪，草坪周圍（斜線部分）均種滿寬度相同的鮮花.已知兩塊綠草坪的面積均為200平方米.

(1)若矩形草坪的長(zhǎng)比寬至少多10米，求草坪寬的最大值；
(2)若草坪四周及中間的寬度均為2米，求整個(gè)綠化面積的最小值.
【答案】(1)10米
(2)平方米
【解析】
【分析】
（1）設(shè)草坪的寬為米，長(zhǎng)為米，則由題意，列出關(guān)于的不等式，求解即可；（2）求出整個(gè)綠化面的長(zhǎng)為米，寬為米，然后由面積公式以及基本不等式求解最值即可．
(1)
設(shè)草坪的寬為x米，長(zhǎng)為y米，由面積均為200平方米，得，
因?yàn)榫匦尾萜旱拈L(zhǎng)比寬至少多10米，
所以，又，
所以，解得，
所以寬的最大值為10米；
(2)
記整個(gè)綠化面積為S平方米，由題意得，
，當(dāng)且僅當(dāng)米時(shí)，等號(hào)成立，所以整個(gè)綠化面積的最小值為平方米
9．（2022·江蘇·南京市第二十九中學(xué)高一期中）1.通過(guò)技術(shù)創(chuàng)新，某公司的汽車特種玻璃已進(jìn)入歐洲市場(chǎng). 2021年，該種玻璃售價(jià)為25歐元/平方米，銷售量為80萬(wàn)平方米，銷售收入為2000萬(wàn)歐元.
(1)據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若售價(jià)每提高1歐元/平方米，則銷售量將減少2萬(wàn)平方米；要使銷售收入不低于2000萬(wàn)歐元，試問(wèn)：該種玻璃的售價(jià)最多提高到多少歐元/平方米？
(2)為提高年銷售量，增加市場(chǎng)份額，公司將在2022年對(duì)該種玻璃實(shí)施二次技術(shù)創(chuàng)新和營(yíng)銷策略改革：提高價(jià)格到歐元/平方米（其中），其中投入萬(wàn)歐元作為技術(shù)創(chuàng)新費(fèi)用，投入500萬(wàn)歐元作為固定宣傳費(fèi)用，投入萬(wàn)歐元作為浮動(dòng)宣傳費(fèi)用，試問(wèn)：該種玻璃的銷售量（單位/萬(wàn)平方米）至少達(dá)到多少時(shí)，才可能使2022年的銷售收入不低于2021年銷售收入與2022年投入之和？并求出此時(shí)的售價(jià).
【答案】(1)40
(2)該種玻璃的銷售量至少達(dá)到102萬(wàn)平方米時(shí)，才可能使2022年的銷售收入不低于2021年銷售收入與2022年投入之和，此時(shí)求出此時(shí)的售價(jià)為30歐元.
【解析】
【分析】
（1）設(shè)出未知數(shù)，列不等式進(jìn)行求解；（2）根據(jù)題意，得到關(guān)于的關(guān)系式，，利用基本不等式進(jìn)行求解
(1)
設(shè)該種玻璃的售價(jià)提高到x歐元/平方米

解得：
所以該種玻璃的售價(jià)最多提高到40歐元/平方米
(2)

整理得：
除以得：
由基本不等式得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以該種玻璃的銷售量至少達(dá)到102萬(wàn)平方米時(shí)，才可能使2022年的銷售收入不低于2021年銷售收入與2022年投入之和，此時(shí)求出此時(shí)的售價(jià)為30歐元/平方米.
10．（2022·云南·玉溪市江川區(qū)第二中學(xué)高一期中）北京、張家港2022年冬奧會(huì)申辦委員會(huì)在俄羅斯索契舉辦了發(fā)布會(huì)，某公司為了競(jìng)標(biāo)配套活動(dòng)的相關(guān)代言，決定對(duì)旗下的某商品進(jìn)行一次評(píng)估．該商品原來(lái)每件售價(jià)為元，年銷售萬(wàn)件．據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若價(jià)格每提高元，銷售量將相應(yīng)減少件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價(jià)最多為多少元？
【答案】每件定價(jià)最多為元．
【解析】
【分析】
設(shè)每件定價(jià)為元，依題可知原收入為萬(wàn)元，現(xiàn)收入為萬(wàn)元，即可列出不等式解出．
【詳解】
設(shè)每件定價(jià)為元，依題意得，整理得
，解得：．
所以要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價(jià)最多為元．

題型六：不等式的恒成立問(wèn)題
1．（2022·河北廊坊·高一期末）關(guān)于x的一元二次不等式對(duì)于一切實(shí)數(shù)x都成立，則實(shí)數(shù)k滿足（???????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
只需要滿足條件即可.
【詳解】
由題意，解得.
故選：C.
2．（2022·云南麗江·高一期末）對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
討論k＝0和兩種情況，并結(jié)合判別式法即可求得答案.
【詳解】
當(dāng)k＝0時(shí)，不等式即為－30恒成立.若命題p為真，求a的范圍___________________.
【答案】
【解析】
【分析】
當(dāng)時(shí)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有ax2＋ax＋1>0恒成立，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)，是二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的圖像性質(zhì)即可求解
【詳解】
當(dāng)時(shí)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有ax2＋ax＋1>0恒成立，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)，是二次函數(shù)，此時(shí)，等價(jià)于，計(jì)算得，
綜上，
故答案為：
8．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)二次函數(shù)．
（1）若方程有實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______；
（2）若不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______；
（3）若不等式的解集為R，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．
【答案】???? 或.???? ????
【解析】
【分析】
根據(jù)方程的解或不等式的解的情況結(jié)合判別式可得相應(yīng)的結(jié)果.
【詳解】
對(duì)于（1），因?yàn)榉匠逃袑?shí)根，故，解得或.
對(duì)于（2），因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，故，解?
對(duì)于（3），不等式的解集為R，故，故.
9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，，，對(duì)任意滿足的實(shí)數(shù)，都有，則的最大可能值為__.
【答案】3
【解析】
【分析】
可先通過(guò)賦值，判斷，再令，結(jié)合二次函數(shù)最值，可得所求最大值.
【詳解】
任意滿足的實(shí)數(shù)，都有，
若，則，
可取，，可得，即恒成立，
由于，可得最大取2，
可得，
即有的最大可能值為3.
故答案為：3.
10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.
【答案】
【解析】
分類討論，時(shí)，使得不等式成立，時(shí)結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得．
【詳解】
時(shí)，若，則不等式為，不等式成立，滿足題意，
時(shí)，在在使得不等式成立，則，∴．
綜上，．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查不等式有解問(wèn)題，可結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求解，本題也可按二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)分類：分，，三類分別求解．
11．（2022·河南許昌·高二期末（理））已知函數(shù)．
(1)求關(guān)于x的不等式的解集；
(2)若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)答案見解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出對(duì)應(yīng)方程的根，再根據(jù)根的大小進(jìn)行討論，即可得解；
（2）對(duì)任意的，恒成立，即恒成立，結(jié)合基本不等式求出的最小值即可得解.
(1)
解：由已知易得即為：，
令可得與，
所以，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；
(2)
解：由可得，
由，得，
所以可得，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以，
所以的取值范圍是.



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