高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第3部分思想篇素養(yǎng)升華第4講轉(zhuǎn)化與化歸思想學(xué)案含解析-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

第4講　轉(zhuǎn)化與化歸思想SI XIANG FANG FA JIE DU思想方法·解讀轉(zhuǎn)化與化歸思想是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時采用某種手段將問題通過變換使之等價轉(zhuǎn)化，進(jìn)而成為解決問題的一種思想．其應(yīng)用包括以下三個方面：(1)將復(fù)雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單的問題．(2)將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題．(3)將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題．SI XIANG FANG FA YING YONG思想方法·應(yīng)用應(yīng)用一　特殊與一般的轉(zhuǎn)化典例1　(2020·葫蘆島模擬)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，點M在對角線AC上，點N在邊CD上，且＝，＝，則·＝(　C　)A．　　 B．4　C．　　 D．【解析】　＝－＝＋－(＋)＝＋，∴·＝·(＋)＝2＋2＋·＝＋＝.故選C．化一般為特殊的應(yīng)用(1)常用的特例有特殊數(shù)值、特殊數(shù)列、特殊函數(shù)、特殊圖形、特殊角、特殊位置等．(2)對于選擇題，當(dāng)題設(shè)在普通條件下都成立時，用特殊值進(jìn)行探求，可快捷得到答案．(3)對于填空題，當(dāng)填空題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件提供的信息暗示答案是一個定值時，可以把題中變化的量用特殊值代替，即可得到答案．應(yīng)用二　函數(shù)、方程、不等式之間的轉(zhuǎn)化典例2　(1)(2020·河南模擬)已知區(qū)間(a，b)是關(guān)于x的一元二次不等式mx2－2x＋1＜0的解集，則3a＋2b的最小值是(　C　)A．　　 B．5＋2C．＋　　 D．3(2)(2019·煙臺二模)已知函數(shù)f(x)＝ln x．若不等式mf(x)≥a＋x對所有m∈[0,1]，x∈都成立，則實數(shù)a的取值范圍為__(－∞，－e2]__.【解析】　(1)∵(a，b)是不等式mx2－2x＋1＜0的解集，∴a，b是方程mx2－2x＋1＝0的兩個實數(shù)根且m＞0，∴a＋b＝，ab＝，∴＝＋＝2；且a>0，b>0；∴3a＋2b＝·(3a＋2b)·＝·≥＝(5＋2)，當(dāng)且僅當(dāng)b＝a時“＝”成立；∴3a＋2b的最小值為(5＋2)＝＋.故選C．(2)由題意得，a≤mln x－x對所有的m∈[0,1]，x∈都成立，令H(m)＝ln x·m－x，m∈[0,1]，x∈是關(guān)于m的一次函數(shù)，因為x∈，所以－1≤ln x≤2，所以所以所以令g(x)＝ln x－x，所以g′(x)＝，所以函數(shù)g(x)在上是增函數(shù)，在[1，e2]上是減函數(shù)，所以g(x)min＝g(e2)＝2－e2，所以a≤2－e2．綜上知a≤－e2．函數(shù)、方程與不等式相互轉(zhuǎn)化的應(yīng)用函數(shù)、方程與不等式就像“一胞三兄弟”，解決方程、不等式的問題需要函數(shù)幫助，解決函數(shù)的問題需要方程、不等式的幫助，因此借助于函數(shù)、方程、不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸可以將問題化繁為簡，一般可將不等關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值(值域)問題，從而求出參變量的范圍．應(yīng)用三　正難則反的轉(zhuǎn)化典例3　(2019·大連二模)若對于任意t∈[1,2]，函數(shù)g(x)＝x3＋x2－2x在區(qū)間(t,3)上總不為單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是____.【解析】　g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，若g(x)在區(qū)間(t,3)上總為單調(diào)函數(shù)，則①g′(x)≥0在(t,3)上恒成立，或②g′(x)≤0在(t,3)上恒成立(正反轉(zhuǎn)化)．由①得3x2＋(m＋4)x－2≥0，即m＋4≥－3x，當(dāng)x∈(t,3)時恒成立，所以m＋4≥－3t恒成立，則m＋4≥－1，即m≥－5；由②得3x2＋(m＋4)x－2≤0，即m＋4≤－3x，當(dāng)x∈(t,3)時恒成立，則m＋4≤－9，即m≤－.于是g(x)在區(qū)間(t,3)上為單調(diào)函數(shù)的m的取值范圍為∪[－5，＋∞)．所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(t,3)上總不為單調(diào)函數(shù)的m的取值范圍為.(1)本題是正與反的轉(zhuǎn)化，由于不為單調(diào)函數(shù)有多種情況，先求出其反面，體現(xiàn)“正難則反”的原則．(2)題目若出現(xiàn)多種成立的情形，則不成立的情形相對很少，從反面考慮較簡單，因此，間接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命題情形的問題中．