1．命題“?x∈[1，2]，ax2－x＋a>0”為真命題的一個(gè)充分不必要條件可以是( )
A．a(chǎn)≥eq \f(1,2) B．a(chǎn)>eq \f(1,2)
C．a(chǎn)≥1 D．a(chǎn)≥eq \f(2,5)
答案 C
解析 因?yàn)?x∈[1，2]，ax2－x＋a>0等價(jià)于?x∈[1，2]，a>eq \f(x,x2＋1)恒成立，設(shè)h(x)＝eq \f(x,x2＋1)，則h(x)＝eq \f(x,x2＋1)＝eq \f(1,x＋\f(1,x))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,5)，\f(1,2))).所以命題為真命題的充要條件為a>eq \f(1,2)，所以命題為真命題的一個(gè)充分不必要條件可以為a≥1.故選C.
2．(2020·蘭州月考)為得到y(tǒng)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,3)))的圖像，只需要將y＝2cs3x函數(shù)的圖像( )
A．向左平移eq \f(π,6)個(gè)單位長度 B．向右平移eq \f(π,6)個(gè)單位長度
C．向左平移eq \f(5π,18)個(gè)單位長度 D．向右平移eq \f(5π,18)個(gè)單位長度
答案 D
解析 由題可知，y＝2cs3x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,2)))的圖像，
將其向右平移α個(gè)單位長度有y＝2sin[3(x－α)＋eq \f(π,2)]＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－3α＋\f(π,2)))，
欲得到y(tǒng)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,3)))的圖像，則－3α＋eq \f(π,2)＝－eq \f(π,3)?α＝eq \f(5π,18)
所以應(yīng)向右平移eq \f(5π,18)個(gè)單位長度．故選D.
3．(2020·唐山市摸底考試)已知e1，e2是兩個(gè)單位向量，λ∈R時(shí)，|e1＋λe2|的最小值為eq \f(\r(3),2)，則|e1＋e2|＝( )
A．1 B.eq \r(3)
C．1或eq \r(3) D．2
答案 C
解析 設(shè)向量e1，e2的夾角為θ，則|e1＋λe2|＝eq \r(1＋λ2＋2λcsθ)＝eq \r(（λ＋csθ）2＋1－cs2θ)，且當(dāng)λ＝－csθ時(shí)，|e1＋λe2|min＝eq \r(1－cs2θ)＝eq \f(\r(3),2)，得csθ＝±eq \f(1,2)，故|e1＋e2|＝eq \r(2＋2csθ)＝1或eq \r(3).故選C.
4．(2020·福建五校第二次聯(lián)考)已知a＝lg3eq \f(7,2)，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up6(\f(1,3))，c＝lgeq \s\d9(\f(1,3))eq \f(1,5)，則a，b，c的大小關(guān)系為( )
A．a(chǎn)>b>c B．b>a>c
C．b>c>a D．c>a>b
答案 D
解析 a＝lg3eq \f(7,2)，c＝lgeq \s\d9(\f(1,3))eq \f(1,5)＝lg35，由對(duì)數(shù)函數(shù)y＝lg3x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，可得lg35>lg3eq \f(7,2)>lg33，所以c>a>1.借助指數(shù)函數(shù)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(x)在R上單調(diào)遞減，可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up6(\f(1,3))a>b.選D.
5．若2x＋2y＝1，則x＋y的取值范圍是( )
A．[0，2] B．[－2，0]
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
答案 D
解析 利用基本不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于x＋y的不等式，求解不等式即可．
∵2x＋2y≥2eq \r(2x＋y)，2x＋2y＝1，∴2eq \r(2x＋y)≤1.
∴2x＋y≤eq \f(1,4)＝2－2，∴x＋y≤－2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝－1時(shí)取等號(hào)．
即x＋y∈(－∞，－2]．
6．(2020·福建省高三質(zhì)量檢測(cè))朱世杰是歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他所著的《四元玉鑒》卷中“如像招數(shù)”五問中有如下問題：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤．只云初日差六十四人，次日轉(zhuǎn)多七人．每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，問筑堤幾日”．其大意為“官府陸續(xù)派遣1 864人前往修筑堤壩．第一天派出64人，從第二天開始，每天派出的人數(shù)比前一天多7人．修筑堤壩的每人每天分發(fā)大米3升，共發(fā)出大米40 392升，問修筑堤壩多少天”．在這個(gè)問題中，第5天應(yīng)發(fā)大米( )
A．894升 B．1 170升
C．1 275升 D．1 467升
答案 B
解析 由題意知，每天派出的人數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為64，公差為7的等差數(shù)列，則第5天的總?cè)藬?shù)為5×64＋eq \f(5×4,2)×7＝390，所以第5天應(yīng)發(fā)大米390×3＝1 170(升)．故選B.
7．(2019·太原五中階段檢測(cè))正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上，若橢圓的焦點(diǎn)在正方形的內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5)－1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5)－1,2)，1))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)－1,2)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3)－1,2)))
答案 A
解析 本題考查橢圓的幾何性質(zhì)．由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1))?x2＝eq \f(a2b2,a2＋b2)>c2，a2b2－b2c2＝b4>a2c2?a2－c2>ac?e2＋e－10，b>0)交于A，B兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)F，若△ABF的面積為4a2，則雙曲線的離心率為( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3)
C．2 D.eq \r(5)
答案 D
分析 通過雙曲線和圓的對(duì)稱性，將△ABF的面積轉(zhuǎn)化為△FBF′的面積；利用焦點(diǎn)三角形面積公式可以建立a與b的關(guān)系，從而推導(dǎo)出離心率．
解析 由題意可得圖像如下圖所示，F(xiàn)′為雙曲線的左焦點(diǎn)，
∵AB為圓的直徑，∴∠AFB＝90°，
根據(jù)雙曲線、圓的對(duì)稱性可知：四邊形AFBF′為矩形．
∴S△ABF＝eq \f(1,2)SAFBF′＝S△FBF′.
又S△FBF′＝eq \f(b2,tan45°)＝b2＝4a2，可得c2＝5a2
∴e2＝5?e＝eq \r(5).故選D.
評(píng)說 本題考查雙曲線離心率的求解，離心率問題的求解關(guān)鍵在于構(gòu)造出關(guān)于a，c的齊次方程，從而配湊出離心率的形式．
4．(2020·武漢中學(xué)質(zhì)檢)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上．若eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AD,\s\up6(→))，則λ＋μ的最大值為( )
A．3 B．2eq \r(2)
C.eq \r(5) D．2
答案 A
解析 如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系．
設(shè)A(0，1)，B(0，0)，C(2，0)，D(2，1)，P(x，y)，
易得圓的半徑r＝eq \f(2,\r(5))，即圓C的方程是(x－2)2＋y2＝eq \f(4,5)，
eq \(AP,\s\up6(→))＝(x，y－1)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(0，－1)，eq \(AD,\s\up6(→))＝(2，0)，若滿足eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AD,\s\up6(→))，
則eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2μ，,y－1＝－λ，))μ＝eq \f(x,2)，λ＝1－y，所以λ＋μ＝eq \f(x,2)－y＋1，
設(shè)z＝eq \f(x,2)－y＋1，即eq \f(x,2)－y＋1－z＝0，點(diǎn)P(x，y)在圓(x－2)2＋y2＝eq \f(4,5)上，
所以圓心(2，0)到直線eq \f(x,2)－y＋1－z＝0的距離d≤r，即eq \f(|2－z|,\r(\f(1,4)＋1))≤eq \f(2,\r(5))，解得1≤z≤3，
所以z的最大值是3，即λ＋μ的最大值是3，故選A.
5．(2020·武漢中學(xué)質(zhì)檢)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上．若eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AD,\s\up6(→))，則λ＋μ的最大值為( )
A．3 B．2eq \r(2)
C.eq \r(5) D．2
答案 A
解析 如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系．
設(shè)A(0，1)，B(0，0)，C(2，0)，D(2，1)，P(x，y)，
易得圓的半徑r＝eq \f(2,\r(5))，即圓C的方程是(x－2)2＋y2＝eq \f(4,5)，
eq \(AP,\s\up6(→))＝(x，y－1)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(0，－1)，eq \(AD,\s\up6(→))＝(2，0)，若滿足eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AD,\s\up6(→))，
則eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2μ，,y－1＝－λ，))μ＝eq \f(x,2)，λ＝1－y，所以λ＋μ＝eq \f(x,2)－y＋1，
設(shè)z＝eq \f(x,2)－y＋1，即eq \f(x,2)－y＋1－z＝0，點(diǎn)P(x，y)在圓(x－2)2＋y2＝eq \f(4,5)上，
所以圓心(2，0)到直線eq \f(x,2)－y＋1－z＝0的距離d≤r，即eq \f(|2－z|,\r(\f(1,4)＋1))≤eq \f(2,\r(5))，解得1≤z≤3，
所以z的最大值是3，即λ＋μ的最大值是3，故選A.
6．已知函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，且f(x＋2)＝－f(x)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)＝2x－1，則f(2 019)的值為________．
答案 －1
解析 因?yàn)閒(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)的周期為4.所以f(2 019)＝f(4×504＋3)＝f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－(21－1)＝－1.
7．(2019·唐山摸底考試)已知直線l：kx－y－k＋2＝0與圓C：x2＋y2－2y－7＝0相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值為________．
答案 2eq \r(6)
解析 直線l的方程為y－2＝k(x－1)，經(jīng)過定點(diǎn)P(1，2)，由已知可得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－1)2＝8，可知圓心C(0，1)，半徑r＝2eq \r(2)，由圓的性質(zhì)可知當(dāng)直線l與CP垂直時(shí)弦長最小，因?yàn)閨CP|＝eq \r(（1－0）2＋（2－1）2)＝eq \r(2)，故|AB|min＝2eq \r(（2\r(2)）2－（\r(2)）2)＝2eq \r(6).
8．已知A是拋物線y2＝－4x上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A在y軸的射影是點(diǎn)C，B是圓D：(x－3)2＋(y－2)2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，則|AB|＋|AC|的最小值是________．
答案 2eq \r(5)－2
解析 圓D：(x－3)2＋(y－2)2＝1的圓心為D(3，2), 半徑r＝1.拋物線y2＝－4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(－1，0)，準(zhǔn)線方程為x＝1.如圖，設(shè)點(diǎn)A在拋物線準(zhǔn)線上的射影為點(diǎn)H，則|AB|＋|AC|＝|AB|＋|AH|－1.連接AF，由拋物線的定義可知|AH|＝|AF|，
∴|AB|＋|AC|＝|AB|＋|AF|－1.易知D，B，A，F(xiàn)四點(diǎn)共線時(shí)，|AB|＋|AF|取得最小值，連接DF，則(|AB|＋|AF|)min＝|DF|－r＝eq \r(（3＋1）2＋22)－1＝2eq \r(5)－1，∴(|AB|＋|AC|)min＝2eq \r(5)－2.
9．詩句“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”，可以形象地說明同一事物從不同角度看可能會(huì)有不同的認(rèn)識(shí)，在數(shù)學(xué)的解題中，若能恰當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)換分析問題的角度，往往會(huì)有“山窮水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”的豁然開朗之感．關(guān)于數(shù)學(xué)問題“對(duì)任意a∈[－1，1]，求使不等式x2＋ax－2≤0成立的實(shí)數(shù)x的取值范圍”，有一種參考答案如下：
令f(a)＝xa＋(x2－2)，
因?yàn)閷?duì)任意a∈[－1，1]，不等式x2＋ax－2≤0恒成立，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（－1）＝x2－x－2≤0，,f（1）＝x2＋x－2≤0，))解得－1≤x≤1.
受上述參考答案的啟發(fā)，可解得關(guān)于x的方程x3－ax2－x－(a2＋a)＝0(a

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