第1講　選修4－4：坐標系與參數方程JIE TI CE LUE MING FANG XIANG解題策略·明方向　⊙︱考情分析︱坐標系與參數方程是高考選考內容之一，高考對本講的考查內容有：(1)直線與圓的極坐標方程以及極坐標方程與直角坐標方程的互化．(2)直線、圓與圓錐曲線的參數方程以及參數方程與普通方程的互化．⊙︱真題分布︱(理科)年份卷別題號考查角度分值2020Ⅰ卷22參數方程與普通方程互化，極坐標方程與直角坐標方程互化10Ⅱ卷22極坐標與參數方程的綜合應用問題、參數方程化普通方程、直角坐標方程化極坐標方程10Ⅲ卷22利用參數方程求點的坐標以及直角坐標方程化極坐標方程102019Ⅰ卷22極坐標方程、參普互化、直線與橢圓的位置關系、平行線、距離公式10Ⅱ卷22極坐標方程及其應用10Ⅲ卷22極坐標方程的應用102018Ⅰ卷22圓的極坐標方程與直角坐標方程的互化、直線與圓的位置關系10Ⅱ卷22直線、橢圓的參數方程與普通方程的互化、中點弦問題10Ⅲ卷22圓的參數方程與普通方程的互化、直線與圓的相交問題、弦中點的軌跡問題10(文科)年份卷別題號考查角度分值2020Ⅰ卷22參數方程與普通方程互化，極坐標方程與直角坐標方程互化10Ⅱ卷22極坐標與參數方程的綜合應用問題、參數方程化普通方程、直角坐標方程化極坐標方程10Ⅲ卷22利用參數方程求點的坐標以及直角坐標方程化極坐標方程102019Ⅰ卷22極坐標方程、參普互化、直線與橢圓的位置關系、平行線、距離公式10Ⅱ卷22極坐標方程及其應用10Ⅲ卷22極坐標方程的應用102018Ⅰ卷22圓的極坐標方程與直角坐標方程的互化、直線與圓的位置關系10Ⅱ卷22直線、橢圓的參數方程與普通方程的互化、中點弦問題10Ⅲ卷22圓的參數方程與普通方程的互化、直線與圓的相交問題、弦中點的軌跡問題10KAO DIAN FEN LEI XI ZHONG DIAN考點分類·析重點　考點一　極坐標方程及其應用1．圓的極坐標方程若圓心為M(ρ0，θ0)，半徑為r的圓的方程為ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0．幾個特殊位置的圓的極坐標方程(1)當圓心位于極點，半徑為r：ρ＝r；(2)當圓心位于M(a,0)，半徑為a：ρ＝2acos  θ；(3)當圓心位于M，半徑為a：ρ＝2asin θ.2．直線的極坐標方程若直線過點M(ρ0，θ0)，且極軸與此直線所成的角為α，則它的方程為ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．幾個特殊位置的直線的極坐標方程(1)直線過極點：θ＝θ0和θ＝π＋θ0；(2)直線過點M(a,0)且垂直于極軸：ρcos θ＝a；(3)直線過點M且平行于極軸：ρsin θ＝b.典例1　(2020·沙坪壩區(qū)校級模擬)在平面直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C1的極坐標方程為ρ＝2acosθ，曲線C2的極坐標方程為ρ＝.曲線C1與曲線C2交于M，N兩點．(1)若a＝2，求|MN|的值．(2)若a＝4－2，求∠MON的大?。?/span>【解析】　(1)由ρ＝2acosθ，得ρ2＝2aρcosθ，∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，∴曲線C1的直角坐標方程為x2＋y2－2ax＝0，即(x－a)2＋y2＝a2，由ρ＝，得ρ(sin θ＋cos θ)＝2，即C2的直角坐標方程為x＋y＝2．當a＝2時，直線C2經過C1的圓心，∴|MN|＝2a＝4．(2)由，得cos θ(cos θ＋sin θ)＝＝，∴(cos 2θ＋1)＋sin 2θ＝，得sin(2θ＋)＝.結合圖形可知2θ1＋＝，2θ2＋＝，θ1＝－，θ2＝－，得∠MON＝θ2－θ1＝.(1)求曲線的極坐標方程的一般思路求曲線的極坐標方程問題通?？衫没セ睫D化為直角坐標系中的問題求解，然后再次利用互化公式即可轉化為極坐標方程，熟練掌握互化公式是解決問題的關鍵．(2)解決極坐標問題的一般思路一是將極坐標方程化為直角坐標方程，求出交點的直角坐標，再將其化為極坐標；二是將曲線的極坐標方程聯(lián)立，根據限制條件求出極坐標．1．(2020·中原區(qū)校級模擬)在平面直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1：ρ＝4sin θ，曲線C2：ρ＝4cos θ.(1)求曲線C1與C2的直角坐標方程；(2)若直線C3的極坐標方程為θ＝(ρ∈R)，設C3與C1和C2的交點分別為M，N，求|MN|.【解析】　(1)根據，所以：ρ＝4sin θ，整理得ρ2＝4ρsin θ，∴曲線C1的直角坐標方程為x2＋y2－4y＝0．同理：根據由ρ＝4cos θ，整理得ρ2＝4ρcos θ，∴曲線C2的直角坐標方程為x2＋y2－4x＝0．(2)聯(lián)立，得ρM＝2，聯(lián)立，得ρN＝2，故|MN|＝|ρM－ρN|＝2－2．考點二　參數方程及其應用幾種常見的參數方程(1)圓以O′(a，b)為圓心，r為半徑的圓的參數方程是 其中α是參數．當圓心為(0,0)時，方程為其中α是參數．(2)橢圓橢圓＋＝1(a＞b＞0)的參數方程是 其中φ是參數．橢圓＋＝1(a＞b＞0)的參數方程是 其中φ是參數．(3)直線經過點P(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數方程為 (t為參數)．若A，B為直線l上兩點，其對應的參數分別為t1，t2，線段AB的中點為M，點M所對應的參數為t0，則以下結論在解題中經常用到：①t0＝；②|PM|＝|t0|＝；③|AB|＝|t2－t1|；④|PA|·|PB|＝|t1·t2|.典例2　(2020·河南模擬)在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為(α為參數)，直線l的參數方程為(t為參數)．(1)求曲線C和直線l的一般方程；(2)已知點P(1,0)，直線l和曲線C交于A，B兩點，若|PA|·|PB|＝，求直線l的一般方程．【解析】　(1)由曲線C的參數方程為(α為參數)，消去參數α，可得曲線C的一般方程為＋＝1．由直線l的參數方程為(t為參數)．當cos α≠0時，l的直角坐標方程為y＝tan α·(x－1)；當cos α＝0時，l的直角坐標方程為x＝1．(2)將l的參數方程代入C的直角坐標方程，整理得關于t的方程(4sin2α＋3cos2α)t2＋6cos α·t－9＝0，設A，B對應的參數為t1，t2，則t1·t2＝，∴|PA|·|PB|＝＝，解得tan2α＝3．∴tan α＝±.于是直線l的方程為x－y－＝0或x＋y－＝0．參數方程與普通方程的互化及參數方程的應用(1)將參數方程化為普通方程的過程就是消去參數的過程，常用的消參方法有代入消參、加減消參、三角恒等式消參等，往往需要對參數方程進行變形，為消去參數創(chuàng)造條件．(2)在與直線、圓、橢圓有關的題目中，參數方程的使用會使問題的解決事半功倍，尤其是求取值范圍和最值問題，可將參數方程代入相關曲線的普通方程中，根據參數的取值條件求解．2．(2020·南通模擬)在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為(t為參數)，橢圓C的參數方程為(φ為參數)．若直線l被橢圓C所截得的弦長為，求實數m的值．【解析】　橢圓C的參數方程為(φ為參數)，轉化為直角坐標方程為＋y2＝1．將直線的參數方程代入＋y2＝1中，得(m＋t)2＋4×(t)2－4＝0，∴t2＋mt＋m2－4＝0，由Δ＝2m2－4××(m2－4)＞0，解得－<m<.則t1＋t2＝－，t1t2＝，所以(t1－t2)2＝(t1＋t2)2－4t1t2＝.由于直線l截弦長為，即＝，解得m＝±2．考點三　極坐標方程與參數方程的綜合應用解決極坐標系與參數方程相關問題，一般先根據題目已知條件將曲線的方程轉化成同一坐標系下的方程，然后利用平面解析幾何的方法進行計算求解即可．化參數方程為普通方程的關鍵是消參，可以利用加減消元、平方消元、代入法等等；在極坐標方程與參數方程的條件下求解直線與圓的位置關系問題時，通常將極坐標方程化為直角坐標方程，參數方程化為普通方程來解決．典例3　(2020·南平三模)在平面直角坐標系xOy中，以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ＝，直線l1的參數方程為(t為參數)，＜α＜π，點A為直線l1與曲線C在第二象限的交點，過O點的直線l2與直線l1互相垂直，點B為直線l2與曲線C在第三象限的交點．(1)寫出曲線C的直角坐標方程及直線l1的普通方程；(2)若|OA|＝|OB|，求△OAB的面積．【解析】　(1)由ρ＝，得ρ－ρcos θ＝2，∴ρ2＝(ρcos θ＋2)2，∵x＝ρcos θ，ρ2＝x2＋y2，∴x2＋y2＝(x＋2)2，即y2＝4(x＋1)．由(t為參數)，＜α＜π，消去參數t，可得y＝x·tan α，＜α＜π.∴曲線C的直角坐標方程為y2＝4(x＋1)，直線l1的普通方程為y＝x·tan α，＜α＜π.(2)設OA的極坐標方程為θ＝α(＜α＜π)，則|OA|＝，射線OB的極坐標方程為θ＝α＋(＜α＜π)，則|OB|＝＝.由|OA|＝|OB|，得＝，解得α＝.∴S△OAB＝|OA|·|OB|＝·＝12－8.解決極坐標、參數方程的綜合問題應關注三點(1)在對于參數方程或極坐標方程應用不夠熟練的情況下，可以先化成普通方程或直角坐標方程，這樣思路可能更加清晰．(2)對于一些運算比較復雜的問題，用參數方程計算會比較簡捷．(3)利用極坐標方程解決問題時，要注意題目所給的限制條件及隱含條件．3．(2020·海東市模擬)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為(α為參數)，以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為2ρsin θ－ρcos θ＝3．(1)求直線l與曲線C的普通方程；(2)若直線l與曲線C交于A，B兩點，點P(－3,0)，求＋的值．【解析】　(1)因為2ρsin θ－ρcos θ＝3，根據，轉化為直角坐標方程為：2y－x＝3，所以直線l的普通方程為x－2y＋3＝0(或y＝x＋)．因為曲線C的參數方程(α為參數)，所以曲線C的普通方程為(x－2)2＋y2＝9．(2)由題意可得直線l的參數方程為(t為參數)，將直線l的參數方程代入曲線C的普通方程(x－2)2＋y2＝9．得t2－4t＋16＝0，則t1＋t2＝4，t1t2＝16，故＋＝＝＝＝.4．(2020·香坊區(qū)校級三模)在直角坐標系xOy中，直線C1的參數方程為(其中t為參數)．以坐標原點O為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρcos2θ＝sin θ.(1)求C1和C2的直角坐標方程；(2)設點P(0,1)，直線C1交曲線C2于A，B兩點，求|PA|2＋|PB|2的值．【解析】　(1)直線C1的參數方程為(其中t為參數)．由已知得C1的直角坐標方程為y＝－2x＋1．曲線C2的極坐標方程為ρcos2θ＝sin θ.根據，轉化為直角坐標方程為：x2＝y(tǒng).(2)將直線C1的參數方程代入C2直角方程得：t2－2t－5＝0，不妨設A，B對應的參數分別為t1，t2，則Δ＞0恒成立，所以t1＋t2＝2，t1t2＝－5，又因為P(0,1)，所以由參數t的幾何意義得：|PA|2＋|PB|2＝t＋t＝(t1＋t2)2－2t1t2＝30，∴|PA|2＋|PB|2＝30．  

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