第三部分　思想篇·素養(yǎng)升華第1講　函數(shù)與方程思想SI XIANG FANG FA JIE DU思想方法·解讀函數(shù)思想的實質(zhì)是拋開所研究對象的非數(shù)學(xué)特征，用聯(lián)系和變化的觀點提出數(shù)學(xué)對象，抽象其數(shù)學(xué)特征，建立各變量之間固有的函數(shù)關(guān)系，通過函數(shù)形式，利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，使問題得到解決．方程思想的實質(zhì)就是將所求的量設(shè)成未知數(shù)，根據(jù)題中的等量關(guān)系，列方程(組)，通過解方程(組)或?qū)Ψ匠?組)進行研究，以求得問題的解決．函數(shù)與方程思想在一定的條件下是可以相互轉(zhuǎn)化的，是相輔相成的．函數(shù)思想重在對問題進行動態(tài)的研究，方程思想則是動中求解，研究運動中的等量關(guān)系．SI XIANG FANG FA YING YONG思想方法·應(yīng)用應(yīng)用一　函數(shù)與方程思想在不等式中的應(yīng)用典例1　(1)(2020·河南模擬)若對任意正數(shù)x，不等式≤恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為(　B　)A．[0，＋∞)　　 B．C．　　 D．(2)(2020·運城三模)若對任意x∈(0，＋∞)，xex－2ln x＞2x＋a恒成立，則a的取值范圍是(　C　)A．(－∞，－2ln 2)　　 B．(－∞，ln 2)C．(－∞，2－2ln 2)　　 D．(－∞，2＋2ln 2)【解析】　(1)依題意得，當(dāng)x＞0時，2a＋1≥＝ 恒成立，又因為x＋≥4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2時取等號，所以的最大值為，所以2a＋1≥，解得a的取值范圍為.故選B．(2)xex－2ln x＞2x＋a恒成立，∴a＜xex－2ln x－2x，設(shè)f(x)＝xex－2ln x－2x，對任意x∈(0，＋∞)，設(shè)t＝ln x＋x，則t∈R，設(shè)g(t)＝et－2t，則g′(t)＝et－2，令g′(t)＝0，解得t＝ln 2，當(dāng)t＜ln 2時，g′(t)＜0，當(dāng)t＞ln 2，g′(t)＞0，∴g(t)在(－∞，ln 2)上是減函數(shù)，在(ln 2，＋∞)上是增函數(shù)，∴g(t)≥g(ln 2)＝2－2ln 2，∴g(t)的最小值為2－2ln 2，即f(x)的最小值為2－2ln 2，∴a＜2－2ln 2，故選C．函數(shù)與方程思想在不等式中的應(yīng)用函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化，把不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)，借助函數(shù)的圖象和性質(zhì)可解決相關(guān)的問題、常涉及不等式恒成立問題、比較大小問題．一般利用函數(shù)思想構(gòu)造新函數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系求解．應(yīng)用二　函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用典例2　(1)(2020·泰安模擬)已知函數(shù)f(x)＝x3＋lg(＋x)，若等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且f(a1－1)＝－10，f(a2 020－1)＝10，則S2 020＝(　C　)A．－4 040　　 B．0C．2 020　　 D．4 040(2)(2020·綏化模擬)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，公比為q，若S10＝33S5，S6＝63，則滿足anSn＞10(an＋Sn)的最小的n值為(　C　)A．3　　 B．4　C．5　　 D．6【解析】　(1)函數(shù)f(x)＝x3＋lg(＋x)是奇函數(shù)，f(a1－1)＝－10，f(a2 020－1)＝10，可得：a1－1＝－a2 020＋1，即a1＋a2 020＝2，等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則S2 020＝×2 020＝2 020．故選C．(2)根據(jù)題意，等比數(shù)列{an}中，若S10＝33S5，則q≠1，則有＝33×，即(1－q10)＝33(1－q5)，變形可得：1＋q5＝33，解可得q＝2；又由S6＝63，則＝＝63，解可得a1＝1，則an＝2n－1，則有Sn＝＝2n－1，若anSn＞10(an＋Sn)，即22n－31×2n＋20＞0，又由n∈N*，則有n≥5；故n的最小值為5；故選C．數(shù)列的通項與前n項和都是以正整數(shù)為自變量的函數(shù)，可用函數(shù)與方程思想處理數(shù)列問題．涉及特殊數(shù)列(等差、等比數(shù)列)，已知Sn與an關(guān)系問題，應(yīng)用方程思想列方程(組)求解；涉及最值問題或參數(shù)范圍問題，應(yīng)用函數(shù)思想來解決．應(yīng)用三　函數(shù)與方程思想在解析幾何中的應(yīng)用典例3　(1)(2019·昆明評估)以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A，B兩點，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點．已知|AB|＝4，|DE|＝2，則C的焦點到準(zhǔn)線的距離為(　B　)A．2　　 B．4　C．6　　 D．8(2)如圖，已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的右頂點為A，O為坐標(biāo)原點，以A為圓心的圓與雙曲線C的一條漸近線交于P，Q兩點，若∠PAQ＝60°，且＝3，則雙曲線C的離心率為(　B　)A．　　 B．　C．　　 D．【解析】　(1)不妨設(shè)拋物線C：y2＝2px(p＞0)，圓的方程設(shè)為x2＋y2＝r2(r＞0)，如圖，又可設(shè)A(x0,2)，D，點A(x0,2)在拋物線y2＝2px上，∴8＝2px0，①點A(x0,2)在圓x2＋y2＝r2上，∴x＋8＝r2，②點D在圓x2＋y2＝r2上，∴5＋2＝r2，③聯(lián)立①②③，解得p＝4(負值舍去)，即C的焦點到準(zhǔn)線的距離為p＝4．故選B．(2)因為∠PAQ＝60°，|AP|＝|AQ|，所以|AP|＝|AQ|＝|PQ|，設(shè)|AQ|＝2R，又＝3，則|OP|＝|PQ|＝R.雙曲線C的漸近線方程是y＝x，A(a,0)，所以點A到直線y＝x的距離d＝＝，所以2＝(2R)2－R2＝3R2，即a2b2＝3R2(a2＋b2)，在△OQA中，由余弦定理得，|OA|2＝|OQ|2＋|QA|2－2|OQ||QA|·cos 60°＝(3R)2＋(2R)2－2×3R×2R×＝7R2＝a2．由得 所以雙曲線C的離心率為e＝＝＝＝＝＝.解析幾何中求斜率、截距、半徑、點的坐標(biāo)、離心率等幾何量經(jīng)常要用到方程(組)的思想；直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，可以通過轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用判別式進行解決；求變量的取值范圍和最值問題常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域、最值，用函數(shù)的思想分析解答．   

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