第2講　分類討論思想SI XIANG FANG FA JIE DU思想方法·解讀分類討論思想的本質(zhì)是“化整為零，積零為整”．用分類討論的思維策略解數(shù)學(xué)問(wèn)題的操作過(guò)程：明確討論的對(duì)象和動(dòng)機(jī)→確定分類的標(biāo)準(zhǔn)→逐類進(jìn)行討論→歸納綜合結(jié)論→檢驗(yàn)分類是否完備(即分類對(duì)象彼此交集為空集，并集為全集)．做到“確定對(duì)象的全體，明確分類的標(biāo)準(zhǔn)，分類不重復(fù)、不遺漏”的分析討論．SI XIANG FANG FA YING YONG思想方法·應(yīng)用應(yīng)用一　由概念、性質(zhì)、運(yùn)算引起的分類與整合典例1　(1)(2020·江西師范附屬模擬)已知函數(shù)f(x)＝ 若f(2－a)＝1，則f(a)等于(　A　)A．－2　　 B．－1　C．1　　 D．2(2)(2019·阜陽(yáng)模擬)等比數(shù)列{an}中，a1＋a4＋a7＝2，a3＋a6＋a9＝18，則{an}的前9項(xiàng)和S9＝__14或26__.【解析】　(1)①當(dāng)2－a≥2，即a≤0時(shí)，22－a－2－1＝1，解得a＝－1，則f(a)＝f(－1)＝－log2[3－(－1)]＝－2；②當(dāng)2－a<2即a>0時(shí)，－log2[3－(2－a)]＝1，解得a＝－，舍去．所以f(a)＝－2．故選A．(2)由題意得q2＝＝9，q＝±3，①當(dāng)q＝3時(shí)，a2＋a5＋a8＝3(a1＋a4＋a7)＝6，S9＝2＋6＋18＝26；②當(dāng)q＝－3時(shí)，a2＋a5＋a8＝－3(a1＋a4＋a7)＝－6，S9＝2－6＋18＝14，所以S9＝14或26．數(shù)學(xué)概念運(yùn)算公式中常見(jiàn)的分類(1)由二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義，直線的傾斜角、向量的夾角的范圍等引起分類討論．(2)由除法運(yùn)算中除數(shù)不為零，不等式兩邊同乘以(或除以)同一個(gè)數(shù)(或式)時(shí)的不等號(hào)等引起分類討論．(3)由數(shù)學(xué)公式、定理、性質(zhì)成立的條件等引起分類討論．應(yīng)用二　由圖形位置或形狀引起的分類與整合典例2　(1)(2020·啟東中學(xué)月考)已知正三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖是邊長(zhǎng)分別為6和4的矩形，則它的體積為(　D　)A．　　 B．4C．　　 D．4或(2)(2020·廣州質(zhì)檢)拋物線y2＝4px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，P為其上的一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△OPF為等腰三角形，則這樣的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為_(kāi)_4__.【解析】　(1)當(dāng)6是下底面周長(zhǎng)，4是三棱柱的高時(shí)，體積V＝2×××4＝4；當(dāng)4是下底面周長(zhǎng)，6是三棱柱的高時(shí)，體積V＝×××6＝.(2)當(dāng)|PO|＝|PF|時(shí)，點(diǎn)P在線段OF的中垂線上，此時(shí)，點(diǎn)P的位置有兩個(gè)；當(dāng)|OP|＝|OF|時(shí)，點(diǎn)P的位置也有兩個(gè)；對(duì)|FO|＝|FP|的情形，點(diǎn)P不存在．事實(shí)上，F(xiàn)(p,0)，若設(shè)P(x，y)，則|FO|＝p，|FP|＝，若＝p，則有x2－2px＋y2＝0，又∵y2＝4px，∴x2＋2px＝0，解得x＝0或x＝－2p，當(dāng)x＝0時(shí)，不構(gòu)成三角形．當(dāng)x＝－2p(p＞0)時(shí)，與點(diǎn)P在拋物線上矛盾．∴符合要求的點(diǎn)P有4個(gè)．圖形位置或形狀的變化中常見(jiàn)的分類(1)圓錐曲線形狀不確定時(shí)，常按橢圓、雙曲線分類討論．(2)求圓錐曲線的方程時(shí)，常按焦點(diǎn)的位置不同分類討論．(3)相關(guān)計(jì)算中，涉及圖形問(wèn)題時(shí)，常按圖形的位置不同，大小差異分類討論．應(yīng)用三　由變量或參數(shù)引起的分類與整合典例3　(2020·南昌模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝2ln x－mx2＋1．(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)f(x)有極值時(shí)，若存在x0，使得f(x0)＞m－1成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解析】　(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝－2mx＝，當(dāng)m≤0時(shí)，f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)m＞0時(shí)，令f′(x)＞0，則0＜x＜，令f′(x)＜0，則x＞，所以f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．(2)由(1)知，當(dāng)f(x)有極值時(shí)，m＞0，且f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．所以f(x)max＝f＝2ln－m·＋1＝－ln m，若存在x0，使得f(x0)＞m－1成立，則f(x)max＞m－1．即－ln m＞m－1，ln m＋m－1＜0成立，令g(x)＝x＋ln x－1(x＞0)，因?yàn)間′(x)＝1＋＞0，所以g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且g(1)＝0，所以0＜m＜1．所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(0,1)．幾種常見(jiàn)的由參數(shù)變化引起的分類與整合(1)含有參數(shù)的不等式的求解．(2)含有參數(shù)的方程的求解．(3)對(duì)于解析式系數(shù)含參數(shù)的函數(shù)，求最值或單調(diào)性問(wèn)題．(4)二元二次方程表示曲線類型的判定等．(5)直線與圓錐曲線位置關(guān)系的分類．  

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