第2講　數(shù)列求和及其綜合應(yīng)用(文理)JIE TI CE LUE MING FANG XIANG解題策略·明方向　⊙︱考情分析︱1．高考對數(shù)列求和的考查主要以解答題的形式出現(xiàn)，通過分組轉(zhuǎn)化、錯位相減、裂項相消等方法求數(shù)列的前n項和，難度中等偏下．2．在考查數(shù)列求和的同時，將數(shù)列與函數(shù)、不等式交匯滲透．⊙︱真題分布︱(理科)年份卷別題號考查角度分值2020Ⅰ卷17等比數(shù)列通項公式基本量的計算、等差中項的性質(zhì)，以及錯位相減法求和12Ⅱ卷6用等比數(shù)列求和求參數(shù)的值5Ⅲ卷17等差數(shù)列的通項公式以及利用錯位相減法求數(shù)列的和102019Ⅰ卷14等比數(shù)列前n項和公式5Ⅱ卷19等差等比數(shù)列定義及通項公式12Ⅲ卷14等比數(shù)列通項公式、等差數(shù)列的前n項和公式52018Ⅰ卷14an與Sn關(guān)系的應(yīng)用10Ⅱ卷17等差數(shù)列前n項和與通項公式及最值問題12Ⅲ卷17等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式10(文科)年份卷別題號考查角度分值2020Ⅰ卷16數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，以及數(shù)列的并項求和5Ⅱ卷14等差數(shù)列的前n項和5Ⅲ卷17等比數(shù)列通項公式基本量的計算，以及等差數(shù)列求和公式的應(yīng)用102019Ⅰ卷14,18等比數(shù)列求和；等差數(shù)列的通項公式以及求和17Ⅱ卷18等比數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列的求和12Ⅲ卷6,14等比數(shù)列的通項公式，等差數(shù)列的通項公式以及求和102018Ⅰ卷17數(shù)列的遞推公式以及等差數(shù)列通項公式求和12Ⅱ卷17等差數(shù)列前n項和與通項公式及最值問題12Ⅲ卷17數(shù)列的遞推公式及通項公式、裂項相消法求和10KAO DIAN FEN LEI XI ZHONG DIAN考點(diǎn)分類·析重點(diǎn)　考點(diǎn)一　數(shù)列的通項公式1．?dāng)?shù)列通項an與前n項和Sn的關(guān)系，an＝2．應(yīng)用an與Sn的關(guān)系式f(an，Sn)＝0時，應(yīng)特別注意n＝1時的情況，防止產(chǎn)生錯誤．典例1　(1)(2019·淄博三模)已知正項數(shù)列{an}滿足a1＝1，(n＋2)a－(n＋1)a＋anan＋1＝0，則它的通項an＝(　B　)A．　　 B．C．　　 D．n(2)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，則an＝____.【解析】　(1)由(n＋2)a－(n＋1)a＋anan＋1＝0，可得[(n＋2)an＋1－(n＋1)an]×(an＋1＋an)＝0又因?yàn)閍n>0，所以＝.又a1＝1，則an＝··…··a1＝··…··1＝.故選B．(2)因?yàn)閍1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，故當(dāng)n≥2時，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2n－1．兩式相減得(2n－1)an＝2n－1，所以an＝(n≥2)．由題設(shè)可得a1＝2，不滿足上式，所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝求數(shù)列的通項公式的基本類型(1)利用an＝直接求解，或者據(jù)此得出數(shù)列的遞推式求解，特別是已知Sn＝kan＋b(k≠0,1，b≠0)時可得數(shù)列{an}一定是等比數(shù)列．(2)三種簡單的遞推數(shù)列：an＋1－an＝f(n)，＝f(n)，an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)，第一個使用累加的方法、第二個使用累積的方法、第三個可以使用待定系數(shù)法化為等比數(shù)列(設(shè)an＋1＋λ＝p(an＋λ)，展開比較系數(shù)得出λ)．(3)周期數(shù)列，通過驗(yàn)證或者推理得出數(shù)列的周期性后得出其通項公式．1．(2019·洛陽三模)在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln (1＋)，則an＝(　A　)A．2＋ln n　　 B．2＋(n－1)ln nC．2＋nln n　　 D．1＋n＋ln n【解析】　因?yàn)閍n＋1－an＝ln＝ln(n＋1)－lnn，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝ln n－ln (n－1)＋ln (n－1)－ln (n－2)＋…＋ln 2－ln 1＋2＝2＋ln n．故選A．考點(diǎn)二　數(shù)列的求和問題1．?dāng)?shù)列求和的常見方法(1)分組求和法：形如an±bn，{an}，{bn}是等差或等比數(shù)列)的形式．(2)裂項相消法：形如或其它特殊分式的形式．2．常用的裂項公式(1)若{an}是等差數(shù)列，則＝，＝；(2)＝－，＝；(3)＝；(4)＝；(5)＝－，＝(－)．(6)＝－(m≠0)3．錯位相減法：形如{anbn}形式(其中{an}為等差，{bn}為等比)．4．倒序相加法：首、尾對稱的兩項和為定值的形式．5．并項相加法：正負(fù)交替出現(xiàn)的數(shù)列形式，對項數(shù)n進(jìn)行分類即分奇偶性．考向1　裂項相消法求和典例2　(2020·吉林省重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的首項為，且2(1－a3)＝2a1＋3a2．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若bn＝8n，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，數(shù)列{an}的前n項和為Sn，試比較＋＋…＋與Sn的大?。?/span>【解析】　(1)由題意，設(shè)an＝a1qn－1(q>0)，則，解得q＝或q＝－2(舍)，∴an＝×n－1＝n，即an＝.(2)由(1)知an＝，∴Sn＝＝1－n.∵bn＝8n，∴Tn＝4n2＋4n，∴＝＝，∴＋＋…＋＝＝<，又∵Sn＝＝＝，1－≥0，∴Sn≥，∴＋＋…＋<Sn.裂項相消法的基本思想就是把通項an分拆成an＝bn＋k－bn(k≥1，k∈N*)的形式，從而達(dá)到在求和時某些項相消的目的，在解題時要善于根據(jù)這個基本思想變換數(shù)列{an}的通項公式，使之符合裂項相消的條件．考向2　錯位相減法求和典例3　(2020·百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知遞增的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＋a4＝9，a2a3＝8．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)求數(shù)列{n·Sn}的前n項和Tn.【解析】　(1)由題意，解得a1＝1，a4＝8或a1＝8，a4＝1；而等比數(shù)列{an}遞增，所以a1＝1，a4＝8，故公比q＝＝2，所以an＝2n－1．(2)由(1)得到Sn＝1＋2＋…2n－1＝2n－1，所以n·Sn＝n(2n－1)＝n·2n－n，Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n－(1＋2＋…＋n)，設(shè)t＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，2t＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n·2n＋1，兩式相減可得，－t＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1故t＝(n－1)·2n＋1＋2，所以Tn＝(n－1)·2n＋1＋2－.應(yīng)用錯位相減法求和的關(guān)注點(diǎn)(1)錯位相減法適用于求數(shù)列{an·bn}的前n項和，其中{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列．(2)在寫“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時，應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”，以便下一步準(zhǔn)確地寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式．2．(1)(2020·青海省玉樹州高三聯(lián)考)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a9＝a12＋6，a2＝4，則數(shù)列的前10項和為____.(2)數(shù)列{n·2n＋n}的前n項和為__(n－1)·2n＋1＋__.(3)(2020·湖南師大附中第二次月考)在公差大于0的等差數(shù)列{an}中，2a7－a13＝1，且a1，a3－1，a6＋5成等比數(shù)列，則數(shù)列{(－1)n－1an}的前21項和為__21__.【解析】　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a9＝a12＋6，a2＝4，∴12＝a1＋5d，又a1＋d＝4，解得a1＝d＝2，∴Sn＝2n＋×2＝n(n＋1)．∴＝＝－.則數(shù)列的前10項和＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.(2)設(shè)bn＝n·2n＋n，所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n)＋(1＋2＋3＋…＋n)，令T＝2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，則2T＝22＋2×23＋3×24＋…＋n·2n＋1，兩式相減，得－T＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1，所以T＝2(1－2n)＋n·2n＋1＝2＋(n－1)·2n＋1，因?yàn)?＋2＋3＋…＋n＝，所以Tn＝(n－1)·2n＋1＋.(3)公差d大于0的等差數(shù)列{an}中，2a7－a13＝1，可得2a1＋12d－(a1＋12d)＝1，即a1＝1，由a1，a3－1，a6＋5成等比數(shù)列，可得(a3－1)2＝a1(a6＋5)，即為(1＋2d－1)2＝1＋5d＋5，解得d＝2(負(fù)值舍去)，則an＝1＋2(n－1)＝2n－1，n∈N*，所以數(shù)列{(－1)n－1an}的前21項和為a1－a2＋a3－a4＋…＋a19－a20＋a21＝1－3＋5－7＋…＋37－39＋41＝－2×10＋41＝21．考點(diǎn)三　與數(shù)列相關(guān)的綜合問題(1)以數(shù)列為背景的不等式恒成立問題，多與數(shù)列求和相聯(lián)系，最后利用數(shù)列或數(shù)列對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性求解．(2)以數(shù)列為背景的不等式證明問題，多與數(shù)列求和有關(guān)，常轉(zhuǎn)化為數(shù)列和的最值問題，同時要注意比較法、放縮法、基本不等式的應(yīng)用．(3)如果是解不等式，注意因式分解的應(yīng)用．(4)當(dāng)已知數(shù)列關(guān)系式時，需要知道其范圍時，可借助數(shù)列的單調(diào)性，即比較相鄰兩項的大小即可．典例4　(2019·湖北高三沖刺)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足：Sn＝1－an(n∈N*)．(1)求Sn；(2)若bn＝－log3(1－Sn＋1)(n∈N*)，Tn＝＋＋＋…＋，則是否存在正整數(shù)m，當(dāng)n≥m時Sn＞Tn恒成立？若存在，求m的最小值；若不存在，請說明理由．【解析】　(1)當(dāng)n＝1時，a1＝S1，由S1＝1－a1，得a1＝.當(dāng)n≥2時，Sn＝1－an，Sn－1＝1－an－1，所以an＝Sn－Sn－1＝－＝an－1－an，所以an＝an－1，所以{an}是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以Sn＝＝1－n.(2)存在．由(1)可知，bn＝－log3(1－Sn＋1)＝－log3＝－log3n＋1＝n＋1，所以＝＝－，所以Tn＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝－<.又Sn＝1－n，所以{Sn}為遞增數(shù)列，Sn≥S1＝.而＞，所以?n∈N*恒有Sn＞Tn，故存在正整數(shù)m，當(dāng)n≥m時Sn＞Tn恒成立，其m的最小值為1．1．求解數(shù)列與函數(shù)交匯問題注意兩點(diǎn)：(1)數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，其定義域是正整數(shù)集(或它的有限子集)，在求數(shù)列最值或不等關(guān)系時要特別重視．(2)解題時準(zhǔn)確構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)時注意限制條件．2．?dāng)?shù)列為背景的不等式恒成立、不等式證明，多與數(shù)列的求和相聯(lián)系，最后利用數(shù)列或數(shù)列對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性處理．3．設(shè)f(x)＝x2＋2x，f′(x)是y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)，若數(shù)列{an}滿足an＋1＝f′(an)，且首項a1＝1．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，等比數(shù)列{bn}中，b1＝a1，b2＝a2，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，請寫出適合條件Tn≤Sn的所有n的值．【解析】　(1)由f(x)＝x2＋2x，得f′(x)＝x＋2．∵an＋1＝f′(an)，且a1＝1．∴an＋1＝an＋2則an＋1－an＝2，因此數(shù)列{an}是公差為2，首項為1的等差數(shù)列．∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1．(2)數(shù)列{an}的前n項和Sn＝＝n2，等比數(shù)列{bn}中，b1＝a1＝1，b2＝a2＝3，∴q＝3，∴bn＝3n－1．∴數(shù)列{bn}的前n項和Tn＝＝.Tn≤Sn可化為≤n2．又n∈N*，∴n＝1，或n＝2，故適合條件Tn≤Sn的所有n的值為1和2．YI CUO QING LING MIAN SHI WU易錯清零·免失誤　1．忽視等比數(shù)列中的隱含條件致誤典例1　各項均為實(shí)數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S10＝10，S30＝70，則S40＝__150__.【錯解】　150或－200【剖析】　數(shù)列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30的公比q10>0．忽略了此隱含條件，就產(chǎn)生了增解－200．【正解】　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，記b1＝S10，b2＝S20－S10，b3＝S30－S20，b4＝S40－S30，b1，b2，b3，b4是以公比為r＝q10>0的等比數(shù)列∴b1＋b2＋b3＝10＋10r＋10r2＝S30＝70．∴r2＋r－6＝0，∴r＝2或r＝－3(舍去)．∴S40＝b1＋b2＋b3＋b4＝＝150．2．用裂項相消法求和時漏項或添項典例2　已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝2，點(diǎn)(an＋1，Sn)在直線y＝x－2上(n∈N*)．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)令bn＝，設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求證：≤Tn<.【解析】　(1)因?yàn)辄c(diǎn)(an＋1，Sn)在直線y＝x－2上，所以an＋1＝2＋Sn(n∈N*)．①當(dāng)n≥2時，an＝2＋Sn－1．②①－②，可得an＋1－an＝Sn－Sn－1＝an(n≥2)，即an＋1＝2an(n≥2)．當(dāng)n＝1時，a2＝2＋S1＝2＋a1，所以a2＝4，則a2＝2a1．綜上，an＋1＝2an(n∈N*)．所以數(shù)列{an}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以an＝2n(n∈N*)．(2)由(1)得an＝2n(n∈N*)，因?yàn)閎n＝，所以bn＝＝，所以Tn＝＝.因?yàn)?<≤＝，所以－≤－<0，所以≤1－<1，所以≤Tn<.【剖析】　裂項相消法是一種常見的數(shù)列求和方法，利用該方法求和時需注意以下幾點(diǎn)：一是注意變形的等價性，如本題，＝，不要忘記乘；二是在消項時，正、負(fù)項抵消后，應(yīng)注意是否只余下第一項和最后一項，有時是前面余下兩項(或幾項)，后面相應(yīng)也余下兩項(或幾項)，即剩的項前后位置是對稱的；三是掌握一些常見的裂項技巧，如數(shù)列{an}是公差為d(d≠0)的等差數(shù)列，則＝，又如＝，＝，＝－等．3．用錯位相減法求和時對項的位置處理不當(dāng)典例3　(2020·合肥一中10月月考)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1＋a3＝20，a2＋a4＝10．(1)令Tn＝a1a2a3…an，求Tn的最大值；(2)令bn＝log2an，求數(shù)列{anbn}的前n項和Sn.【解析】　(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)閍1＋a3＝20，a2＋a4＝10，所以解得所以an＝.方法一：當(dāng)an≥1時，解得n≤5，所以a1>a2>a3>a4>a5＝1,1>a6>a7>…，T4＝T5＝16×8×4×2＝1 024，所以Tn的最大值為1 024．方法二：若Tn最大，則Tn＋1≤Tn，Tn≥Tn－1，所以an≥1，且an＋1≤1，所以所以4≤n≤5．T4＝T5＝16×8×4×2＝1 024，所以Tn的最大值為1 024．(2)由(1)知an＝，則bn＝log2an＝log2＝5－n，an·bn＝(5－n)·n－5，Sn＝4·－4＋3·－3＋…＋(5－n)·n－5，①所以Sn＝4·－3＋3·－2＋…＋(6－n)·n－5＋(5－n)·n－4，②①－②，得Sn＝4·－4－－(5－n)·n－4＝64－－(5－n)·n－4＝64－16－(5－n)·n－4＝48＋(n－3)·n－4，所以Sn＝96＋(n－3)·25－n.【剖析】　運(yùn)用錯位相減法求和的一般步驟為：一是判斷模型，如本題中數(shù)列{an}，{bn}一個為等比數(shù)列，一個為等差數(shù)列；二是錯開位置，如本題的②式，向右錯開一個位置來書寫，這樣為兩式相減不會看錯項做準(zhǔn)備；三是相減，如本題中相減時要注意②式中的最后一項的符號，學(xué)生常在此處出錯，一定要小心．  

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