專題二　數(shù)列(文理)第1講　等差數(shù)列、等比數(shù)列JIE TI CE LUE MING FANG XIANG解題策略·明方向　⊙︱考情分析︱1．考查等差數(shù)列、等比數(shù)列基本量的計算，考查等差數(shù)列、等比數(shù)列性質的應用，考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的判斷與證明等．2．近三年高考考查數(shù)列多出現(xiàn)17(或18)題，試題難度中等，2021年高考可能以客觀題考查，以基本運算為主，難度中等的題目較多，但有時也可能出現(xiàn)在第12題或16題位置上，難度偏大，復習時應引起關注．⊙︱真題分布︱(理科)年份卷別題號考查角度分值2020Ⅰ卷17(1)等比數(shù)列通項公式基本量的計算、等差中項的性質5Ⅱ卷4、6等差數(shù)列前n項和有關的計算、利用等比數(shù)列求和求參數(shù)的值10Ⅲ卷17(1)求等差數(shù)列的通項公式52019Ⅰ卷9、10等差數(shù)列的基本運算、等比數(shù)列的判定10Ⅱ卷19等差(比)數(shù)列的證明及通項公式的求法12Ⅲ卷5、14等比數(shù)列、等差數(shù)列的基本運算102018Ⅰ卷4等差數(shù)列基本計算5Ⅱ卷17等差數(shù)列基本量的計算，和的最值問題10Ⅲ卷17等比數(shù)列基本量的計算10(文科)年份卷別題號考查角度分值2020Ⅰ卷10等比數(shù)列基本量的計算5Ⅱ卷6等比數(shù)列的通項公式的基本量計算5Ⅲ卷17等比數(shù)列通項公式基本量的計算，以及等差數(shù)列求和公式的應用102019Ⅰ卷14、18等比數(shù)列的基本運算；等差數(shù)列的通項公式及求和17Ⅱ卷18等比數(shù)列的通項公式等差數(shù)列的求和12Ⅲ卷6、14等比數(shù)列的基本運算；等差數(shù)列的基本運算102018Ⅰ卷17數(shù)列的遞推公式、等比數(shù)列的判定和計算12Ⅱ卷17等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式及最值12Ⅲ卷17等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式12KAO DIAN FEN LEI XI ZHONG DIAN考點分類·析重點　考點一　等差、等比數(shù)列的基本運算1．等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本公式(n∈N*)等差數(shù)列的通項公式：an＝a1＋(n－1)d；等比數(shù)列的通項公式：an＝a1·qn－1．等差數(shù)列的求和公式：Sn＝＝na1＋d；等比數(shù)列的求和公式：Sn＝2．等差數(shù)列、等比數(shù)列問題的求解策略(1)抓住基本量，首項a1、公差d或公比q；(2)熟悉一些結構特征，如前n項和為Sn＝an2＋bn(a，b是常數(shù))的形式的數(shù)列為等差數(shù)列，通項公式為an＝p·qn－1(p，q≠0)的形式的數(shù)列為等比數(shù)列．典例1　(1)(2020·貴陽一中、云師大附中、南寧三中聯(lián)考)已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若＝，則＝(　B　)A．　　 B．　C．　　 D．2(2)(2020·名校聯(lián)盟質量監(jiān)測)記等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝，S3＝，則a4＝(　B　)A．－或　　 B．－或C．　　 D．(3)(2020·北京昌平區(qū)期末)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＋a3＝6，則＝__9__.(4)(2020·江蘇省天一中學調研)已知數(shù)列{an}與均為等差數(shù)列(n∈N*)，且a1＝2，則a10＝__20__.【解析】　(1)設{an}的公差為d，由＝，得a1＝d≠0，＝＝＝，故選B．(2)設等比數(shù)列{an}的公比為q，依題意，S3＝a1＋a2＋a3＝＋q＋q2＝，解得q＝－或q＝，則a4＝a1q3＝－或.故選B．(3)設等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0)因為a1＝1，a2＋a3＝6，所以，解得q＝－3(舍)，q＝2S6＝＝63，S3＝＝7，則＝＝9(4)設等差數(shù)列{an}的公差為d.又∵數(shù)列均為等差數(shù)列(n∈N*)，且a1＝2，∴2×＝＋，即d2－4d＋4＝0．解得d＝2．則a10＝2＋9×2＝20．等差(比)數(shù)列基本運算的解題途徑(1)設基本量a1和公差d(公比q)．(2)列、解方程組：把條件轉化為關于a1和d(q)的方程(組)，然后求解，注意整體計算，以減少運算量．1．(1)(2020·江蘇省鎮(zhèn)江中學調研)設等差數(shù)列{an}的前n項的和為Sn，若a3＝5，且S1，S5，S7成等差數(shù)列，則數(shù)列{an}的通項公式an＝__2n－1__.(2)(2020·天水市第一中學期末)若a、b是函數(shù)f(x)＝x2－px＋q(p>0，q>0)的兩個不同的零點，且a，b，－2這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列，也可適當排序后成等比數(shù)列，則 p＋q的值等于__9__.【解析】　(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d.∵S1，S5，S7成等差數(shù)列，∴2S5＝S1＋S7，由已知得，解得，∴an＝5＋(n－3)2＝2n－1．(2)由題意可得a＋b＝p，ab＝q，∵p>0，q>0，∴a>0，b>0，又a，b，－2這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列，也可適當排序后成等比數(shù)列，可得　①或　②解①得；解②得，∴p＝a＋b＝5，q＝1×4＝4，∴p＋q＝9．考點二　等差(比)數(shù)列的性質等差數(shù)列、等比數(shù)列常用性質 等差數(shù)列等比數(shù)列性質(1)若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq.(2)an＝am＋(n－m)d.(3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等差數(shù)列．(4)前2n－1項和S2n－1＝(2n－1)an.(1)若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq；(2)an＝amqn－m；(3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比數(shù)列(Sm≠0).典例2　(1)(2020·北京房山區(qū)期末)等差數(shù)列{an}中，若a1＋a4＋a7＝6，Sn為{an}的前n項和，則S7＝(　C　)A．28　　 B．21　C．14　　 D．7(2)(2020·北京市朝陽區(qū)抽樣檢測)已知等比數(shù)列{an}，滿足log2a3＋log2a10＝1，且a3a6a8a11＝16，則數(shù)列{an}的公比為(　B　)A．4　　 B．2　C．±2　　 D．±4(3)(2020·四川省成都七中模擬)已知等差數(shù)列{an}，且a4＝8，則數(shù)列{an}的前7項和S7＝__56__.(4)(2020·江蘇省蘇州市五校月考)設公比不為1的等比數(shù)列{an}滿足a1a2a3＝－1，且a2，a4，a3成等差數(shù)列，則數(shù)列{an}的前4項和為____.【解析】　(1)等差數(shù)列{an}中，若a1＋a4＋a7＝6，則3a4＝6，∴a4＝2則S7＝7a4＝14，故選C．(2)等比數(shù)列{an}中，log2a3＋log2a10＝1?log2(a3a10)＝1?a3a10＝2①，a3a6a8a11＝16?(a3a11)2＝16，由等比數(shù)列各項正負性的性質可知：a3，a11同號，故a3a11＝4②，②除以①，得：等比數(shù)列的公比q＝＝2，故選B．(3)由等差數(shù)列的性質可得：a1＋a7＝2a4＝16．∴數(shù)列{an}的前7項和S7＝＝7×8＝56．(4)由等比數(shù)列的性質可知a1a2a3＝a＝－1，∴a2＝－1，∵a2，a4，a3成等差數(shù)列，∴2a4＝a2＋a3,2a2q2＝a2＋a2q，∴2q2－q－1＝0，解得：q＝1(舍)或q＝－，∴a1＝＝2，S4＝＝＝. 1．利用等差(比)性質求解的關鍵是抓住項與項之間的關系及項的序號之間的關系，從這些特點入手選擇恰當?shù)男再|進行求解．2．活用函數(shù)性質：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，具有函數(shù)的一些性質，如單調性、周期性等，可利用函數(shù)的性質解題．2．(1)(2020·天一大聯(lián)考)記等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a6＝16，S5＝35，則{an}的公差為(　C　)A．－3　　 B．－2　C．3　　 D．2(2)等比數(shù)列{an}中，a4＝，a5＝，則數(shù)列{lgan}的前8項和S8為(　B　)A．4　　 B．2　C．3　　 D．5(3)若等差數(shù)列{an}滿足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，則當n＝__8__時，{an}的前n項和最大．【解析】　(1)由等差數(shù)列性質可知，S5＝5a3＝35，解得a3＝7，故d＝＝3．(2)設等比數(shù)列{an}的公比為q，則an＝a1qn－1，∴lgan＝lga1＋(n－1)lgq，則數(shù)列{lgan}是等差數(shù)列，∴S8＝(lga1＋lga8)×8＝4lg(a1a8)＝4lg(a4a5)＝4lg＝2．(3)因為數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a7＋a8＋a9＝3a8>0，所以a8>0．又a7＋a10＝a8＋a9<0，所以a9<0．所以當n＝8時，其前n項和最大．考點三　等差(比)數(shù)列的判定與證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列或等比數(shù)列的證明方法(1)證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列的兩種基本方法：①利用定義，證明an＋1－an(n∈N*)為一常數(shù)；②利用等差中項，即證明2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．(2)證明{an}是等比數(shù)列的兩種基本方法：①利用定義，證明(n∈N*)為一常數(shù)；②利用等比中項，即證明a＝an－1an＋1(n≥2)．典例3　(2020·廣州市調研測試)設Sn為數(shù)列{an}的前n項和，已知a3＝7，an＝2an－1＋a2－2(n≥2)．(1)證明：數(shù)列{an＋1}為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項公式，并判斷n，an，Sn是否成等差數(shù)列？【解析】　(1)證明：∵a3＝7，a3＝3a2－2，∴a2＝3，∴an＝2an－1＋1，∴a1＝1，由an＋1＝2(an－1＋1)∴＝2(n≥2)，∴數(shù)列{an＋1}是首項為a1＋1＝2，公比為2的等比數(shù)列．(2)由(1)知，an＋1＝2n，∴an＝2n－1，∴Sn＝－n＝2n＋1－n－2，∴n＋Sn－2an＝n＋(2n＋1－n－2)－2(2n－1)＝0，即n，an，Sn成等差數(shù)列．(1)判斷或者證明數(shù)列為等差數(shù)列、等比數(shù)列最基本的方法是用定義判斷或證明，其他方法最后都會回到定義，如證明等差數(shù)列可以證明通項公式是n的一次函數(shù)，但最后還得使用定義才能說明其為等差數(shù)列．(2)證明數(shù)列{an}為等比數(shù)列時，不能僅僅證明an＋1＝qan，還要說明a1≠0，才能遞推得出數(shù)列中的各項均不為零，最后斷定數(shù)列{an}為等比數(shù)列．(3)證明等差、等比數(shù)列，還可利用等差、等比數(shù)列的中項公式．3．(1)定義首項為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M－數(shù)列”．已知等比數(shù)列{an}(n∈N*)滿足：a2a4＝a5，a3－4a2＋4a1＝0，求證：數(shù)列{an}為“M－數(shù)列”．(2)已知數(shù)列{bn}(n∈N*)滿足：b1＝1，＝－，其中Sn為數(shù)列{bn}的前n項和，判斷數(shù)列{bn}是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，并求數(shù)列{bn}的通項公式．【解析】　(1)證明：設等比數(shù)列{an}的公比為q，則a1≠0，q≠0．由得解得因此數(shù)列{an}為“M－數(shù)列”．(2)因為＝－，所以bn≠0．由b1＝1，S1＝b1，得＝－，則b2＝2．由＝－，得Sn＝.當n≥2時，由bn＝Sn－Sn－1，得bn＝－，整理得bn＋1＋bn－1＝2bn.又b2－b1＝1，所以數(shù)列{bn}是首項和公差均為1的等差數(shù)列．因此，數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝n(n∈N*)．考點四　等差、等比數(shù)列與其他知識的綜合1．數(shù)列的幾個公式變形(1)等差數(shù)列的通項公式：an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)(看成關于n的一次函數(shù))．(2)等差數(shù)列的前n項和公式：Sn＝na1＋＝n2＋n(關于n的二次函數(shù))．(3)等比數(shù)列的前n項和公式：Sn＝＝－·qn(q≠1)．2．數(shù)列與其他知識的結合(1)數(shù)列與函數(shù)．(2)數(shù)列與方程．(3)數(shù)列與不等式．(4)數(shù)列與平面向量．典例4　(1)(2019·南京二模)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若＝a1＋a2 020，且A，B，C三點共線(該直線不過點O)，則S2 020等于(　B　)A．1 009　　 B．1 010　C．2 019　　 D．2 020(2)在由正數(shù)組成的等比數(shù)列{an}中，若a3a4a5＝3π，則sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)的值為(　B　)A．　　 B．　C．1　　 D．－(3)已知數(shù)列{an}滿足nan＋2－(n＋2)an＝λ(n2＋2n)，其中a1＝1，a2＝2，若an<an＋1對?n∈N*恒成立，則實數(shù)λ的取值范圍為__[0，＋∞)__.【解析】　(1)因為A，B，C三點共線，所以a1＋a2 020＝1，所以S2 020＝＝1 010．(2)因為a3a4a5＝3π＝a，所以a4＝3，即log3a1＋log3a2＋…＋log3a7＝log3(a1a2…a7)＝log3a＝7log33＝，所以sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)＝.(3)由nan＋2－(n＋2)an＝λ(n2＋2n)，得－＝λ，所以數(shù)列{}的奇數(shù)項和偶數(shù)項都是首項為1，且公差為λ的等差數(shù)列．因為a1＝1，a2＝2，所以當n為奇數(shù)時，＝1＋λ( －1)＝λ＋1，所以an＝λ＋n；當n為偶數(shù)時，＝1＋λ(－1)＝λ＋1，所以an＝λ＋n.當n為奇數(shù)時，由an<an＋1，得λ＋n<λ＋n＋1，即λ(n－1)>－2，若n＝1，則λ∈R.若n>1，則λ>－，所以λ≥0．當n為偶數(shù)時，由an<an＋1，得λ＋n<λ＋n＋1，即3nλ>－2，所以λ>－，即λ≥0．綜上，λ的取值范圍為[0，＋∞)．數(shù)列與其他知識的交匯問題的處理思路(1)以數(shù)列知識為紐帶，在與函數(shù)、方程、向量不等式的交匯處命題，利用函數(shù)觀點、方程思想、向量的性質、不等式的性質等，作為解題口解決問題．(2)數(shù)列的通項或前n項和可以看作關于n的函數(shù)，然后利用函數(shù)的性質求解數(shù)列問題．(3)數(shù)列中的恒成立問題可以通過分離參數(shù)，通過求數(shù)列的值域求解．4．(1)正項等比數(shù)列{an}中，a2＝8,16a＝a1a5，則數(shù)列{an}的前n項積Tn中的最大值為(　A　)A．T3　　 B．T4　C．T5　　 D．T6(2)若等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且a10a11＋a9a12＝2e5，則ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝__50__.(3)等比數(shù)列{an}的首項為2，公比為3，前n項和為Sn.若log3＝9，則＋取最小值時，Sn＝__8__.【解析】　(1)設正項等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0)，則16a＝a1a5＝a2a4＝8a4，a4＝，q2＝＝，又q>0，則q＝，an＝a2qn－2＝8×()n－2＝27－2n，則Tn＝a1a2…an＝25＋3＋…＋(7－2n)＝2n(6－n)，當n＝3時，n(6－n)取得最大值9，此時Tn最大，即(Tn)max＝T3．(2)因為a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10a11＝e5．所以lna1＋lna2＋…＋ln a20＝ln (a1a2…a20)＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]＝ln (a10a11)10＝10ln (a10a11)＝10ln  e5＝50ln  e＝50．(3)由題意可得an＝2×3n－1，Sn＝＝3n－1，所以log3[an(S4m＋1)]＝log33n＋4m－1＝n＋4m－1＝9，所以n＋4m＝10，所以＋＝(＋)(＋)＝＋＋≥＋2×＝＝，當且僅當m＝n＝2時取等號，所以n＝2，因為a2＝2×3＝6，所以S2＝2＋6＝8． YI CUO QING LING MIAN SHI WU易錯清零·免失誤　1．忽視數(shù)列首項的重要性致誤典例1　已知數(shù)列{an}的前n項之和為Sn＝n2＋n＋1，則數(shù)列{an}的通項公式為__an＝ __【錯解】　an＝2n【剖析】　若an＝2n，則a1＝2，事實上a1＝S1＝3．【正解】　當n＝1時，a1＝S1＝3；當n≥2時，an＝n2＋n＋1－(n－1)2－(n－1)－1＝2n，∴an＝ 【易錯防范】　本題的失分原因是沒有注意到an＝Sn－Sn－1是在n≥2的條件下才能成立．這是由于對數(shù)列概念理解不透徹所致．在解關于由Sn求an的題目時，按兩步進行討論，可避免出錯．①當n＝1時，a1＝S1；②當n≥2時，an＝Sn－Sn－1．檢驗a1是否適合由②求得的解析式，若符合，則統(tǒng)一，若不符合，則用分段函數(shù)．2．忽視對等比數(shù)列中公比的分類討論致誤典例2　設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＋S6＝S9，則數(shù)列的公比q是__1或－1__.【錯解】　－1【剖析】　當q＝1時，符合要求．很多考生在做本題時都想當然地認為q≠1．【正解】　①當q＝1時，S3＋S6＝9a1，S9＝9a1，∴S3＋S6＝S9成立．②當q≠1時，由S3＋S6＝S9，得＋＝.∴q9－q6－q3＋1＝0，即(q3－1)(q6－1)＝0．∵q≠1，∴q3－1≠0，∴q6＝1，∴q＝－1．3．忽視公比q的取值范圍典例3　(2020·江西九江10月模擬)已知正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且7S2＝4S4，則等比數(shù)列{an}的公比q的值為(　C　)A．1　　 B．1或C．　　 D．±【錯解】　因為7S2＝4S4，所以3(a1＋a2)＝4(S4－S2)＝4(a3＋a4)，所以3(a1＋a2)＝4(a1＋a2)q2．又因為a1＋a2≠0，所以q2＝，所以q＝±，故選D．【剖析】　上述的解法主要是忽略了正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn中含有q>0，而導致q2＝時，得到了q＝±，而出現(xiàn)了選錯．【正解】　因為7S2＝4S4，所以3(a1＋a2)＝4(S4－S2)＝4(a3＋a4)，所以3(a1＋a2)＝4(a1＋a2)q2．因為a1＋a2≠0，所以q2＝，因為{an}為正項等比數(shù)列，所以q>0，所以q＝.故選C．  

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