一、萬有引力定律的理解和計(jì)算【典例1】如圖所示為一質(zhì)量為M的球形物體,密度均勻,半徑為R,在距球心為2R處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn),若將球體挖去一個(gè)半徑為 的小球(兩球心和質(zhì)點(diǎn)在同一直線上,且挖去的球的球心在原來球心和質(zhì)點(diǎn)連線之間,兩球表面相切),則:(1)球體挖去部分的質(zhì)量是多大?(2)剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)的萬有引力的大小是多少?
【解析】(1)根據(jù)m=ρV=ρ πr3知,挖去部分的半徑是球半徑的一半,則質(zhì)量是球體質(zhì)量的 ,所以挖去部分的質(zhì)量M′= M。(2)沒挖之前,球體對(duì)m的萬有引力F1=G ,挖去部分對(duì)m的萬有引力F2= 則剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力大小F=F1-F2= 答案:(1) M　(2)
【方法技巧】 1.萬有引力定律應(yīng)用技巧:(1)萬有引力定律公式只適用于計(jì)算質(zhì)點(diǎn)間的相互作用,故求一般物體間的萬有引力時(shí),應(yīng)把物體進(jìn)行分割,使之能視為質(zhì)點(diǎn)后再用F=G 求質(zhì)點(diǎn)間的各個(gè)作用力,最后求其合力。(2)對(duì)于兩個(gè)質(zhì)量分布均勻的球體間的相互作用,可用萬有引力定律的公式來計(jì)算,式中的r是兩個(gè)球體球心間的距離;一個(gè)均勻球體與球外一個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的萬有引力也可用公式F=G 計(jì)算,式中r是球體球心到質(zhì)點(diǎn)的距離。
(3)對(duì)于一般情況物體間的萬有引力中學(xué)階段無法求解,但某些特殊情況下我們應(yīng)用“補(bǔ)償法”可以求出其萬有引力的大小。
2.萬有引力和重力的比較:一般認(rèn)為萬有引力等于重力,即mg= ,重力加速度g= 。在地球表面一般近似認(rèn)為mg= ,若考慮地球自轉(zhuǎn),則萬有引力的一個(gè)分力是重力,另外一個(gè)分力是提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力。在赤道地區(qū),由于兩個(gè)分力方向一致,所以有 =mg+mR ,其中周期T為地球自轉(zhuǎn)周期。
不考慮地球自轉(zhuǎn),在地球表面附近的重力加速度g:mg= ,得g= 。在地球上空距離地心r=R+h處的重力加速度為g′,mg′= ,得g′= ,所以 = 。
【素養(yǎng)訓(xùn)練】1.(多選)在討論地球潮汐成因時(shí),地球繞太陽(yáng)運(yùn)行的軌道與月球繞地球運(yùn)行的軌道均可視為圓軌道。已知太陽(yáng)質(zhì)量約為月球質(zhì)量的2.7×107倍,地球繞太陽(yáng)運(yùn)行的軌道半徑約為月球繞地球運(yùn)行的軌道半徑的400倍。關(guān)于太陽(yáng)和月球?qū)Φ厍蛏舷嗤|(zhì)量海水的引力,下列說法正確的是 (　　)A.太陽(yáng)引力遠(yuǎn)大于月球引力B.太陽(yáng)引力與月球引力相差不大C.月球?qū)Σ煌瑓^(qū)域海水的引力大小相等D.月球?qū)Σ煌瑓^(qū)域海水的引力大小有差異
【解析】選A、D。根據(jù)F=G ,可得 代入數(shù)據(jù)可知,太陽(yáng)對(duì)地球上相同質(zhì)量海水的引力遠(yuǎn)大于月球?qū)Φ厍蛏舷嗤|(zhì)量海水的引力,則A正確,B錯(cuò)誤;由于月心到不同區(qū)域海水的距離不同,所以引力大小有差異,C錯(cuò)誤,D正確。
2.假設(shè)地球是一半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體。一礦井深度為d。已知質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零。礦井底部和地面處的重力加速度大小之比為(　　)
【解析】選A。如圖所示,根據(jù)題意,地面與礦井底部之間的環(huán)形部分對(duì)處于礦井底部的物體引力為零。設(shè)地面處的重力加速度為g,地球質(zhì)量為M,地球表面的物體m受到的重力近似等于萬有引力,故mg=G ;設(shè)礦井底部處的重力加速度為g′,等效“地球”的質(zhì)量為M′,其半徑r=R-d,則礦井底部處的物體m受到的重力mg′=G ,又M=ρV=ρ· πR3,M′=ρV′=ρ· π(R-d)3,聯(lián)立解得 A對(duì)。
3.如圖所示,一個(gè)質(zhì)量為M的勻質(zhì)實(shí)心球,半徑為2R,如果從球的正中心挖去一個(gè)半徑為R的球,放在距離為d的地方,求兩球之間的萬有引力是多大(引力常量為G)。
【解析】根據(jù)割補(bǔ)法可得左側(cè)球充滿時(shí)兩球間萬有引力F=G 半徑為R的球體對(duì)m有F1= 被挖去的球體質(zhì)量m= 。則被挖去后兩球之間的引力F2=F-F1= 。答案:
二、天體質(zhì)量和密度的計(jì)算【典例2】據(jù)報(bào)道,美國(guó)發(fā)射的“鳳凰號(hào)”火星探測(cè)器已經(jīng)在火星上著陸,正在進(jìn)行著激動(dòng)人心的科學(xué)探究(如發(fā)現(xiàn)了冰),為我們將來登上火星、開發(fā)和利用火星奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。如果火星探測(cè)器環(huán)繞火星做“近地”勻速圓周運(yùn)動(dòng),并測(cè)得它運(yùn)動(dòng)的周期為T,則火星的平均密度ρ的表達(dá)式為(k為某個(gè)常量)(　　)A.ρ=kT　　　　　　 B.ρ= C.ρ=kT2D.ρ=
【解析】選D。根據(jù)萬有引力定律得G =mR ,可得火星的質(zhì)量M= 又火星的體積V= πR3,故火星的平均密度 選項(xiàng)D正確。
【方法技巧】估算中心天體的質(zhì)量和密度的兩條思路1.測(cè)出中心天體表面的重力加速度g:由G =mg求出M,進(jìn)而求得
2.利用環(huán)繞天體的軌道半徑r、周期T:由 可得出M= 若環(huán)繞天體繞中心天體表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),軌道半徑r=R,則
【素養(yǎng)訓(xùn)練】1.“嫦娥一號(hào)”是我國(guó)首次發(fā)射的探月衛(wèi)星,它在距月球表面高度為200 km的圓形軌道上運(yùn)行,運(yùn)行周期為127分鐘。已知引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2,月球半徑約為1.74×103 km。利用以上數(shù)據(jù)估算月球的質(zhì)量約為(　　)A.8.1×1010 kg　　　　　　　 B.7.4×1013 kgC.5.4×1019 kg 　D.7.4×1022 kg
【解析】選D。對(duì)“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星,由于萬有引力提供其做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力,則 整理得:M= (R+h)3,代入數(shù)據(jù)可得M≈7.4×1022 kg,則D正確。
2.(多選)通過觀測(cè)冥王星的衛(wèi)星,可以推算出冥王星的質(zhì)量。假設(shè)衛(wèi)星繞冥王星做勻速圓周運(yùn)動(dòng),除了引力常量外,至少還需要兩個(gè)物理量才能計(jì)算出冥王星的質(zhì)量。這兩個(gè)物理量可以是(　　)A.衛(wèi)星的速度和角速度B.衛(wèi)星的質(zhì)量和軌道半徑C.衛(wèi)星的質(zhì)量和角速度D.衛(wèi)星的運(yùn)行周期和軌道半徑
【解析】選A、D。根據(jù)線速度和角速度可以求出半徑r= ,根據(jù)萬有引力提供向心力,則有 整理可得M= 故選項(xiàng)A正確;由于衛(wèi)星的質(zhì)量m可約掉,故選項(xiàng)B、C錯(cuò)誤;若知道衛(wèi)星的運(yùn)行周期和軌道半徑,則G =m( )2r,整理得M= ,故選項(xiàng)D正確。
3.宇航員在地球上的水平地面將一小球水平拋出,使小球產(chǎn)生一定的水平位移,當(dāng)他登陸一半徑為地球半徑2倍的星球后,站在該星球水平地面上以和在地球完全相同的方式水平拋出小球,測(cè)得小球的水平位移大約是在地球上平拋時(shí)的4倍,由此宇航員估算該星球的質(zhì)量M星約為(式中M為地球的質(zhì)量)(　　)A.M星= M　　　　　　 B.M星=2MC.M星= MD.M星=4M
【解析】選C。根據(jù)平拋規(guī)律可計(jì)算星球表面加速度,豎直方向h= gt2,水平方向x=vt,可得g星 = g地,根據(jù)星球表面萬有引力公式 =mg星,R星=2R地,可得M星= ,C正確。
三、天體運(yùn)動(dòng)與人造衛(wèi)星【典例3】(2019·全國(guó)卷Ⅲ)金星、地球和火星繞太陽(yáng)的公轉(zhuǎn)均可視為勻速圓周運(yùn)動(dòng),它們的向心加速度大小分別為a金、a地、a火,它們沿軌道運(yùn)行的速率分別為v金、v地、v火。已知它們的軌道半徑R金a火B(yǎng).a火>a地>a金C.v地>v火>v金D.v火>v地>v金
【解析】選A。由萬有引力提供向心力G =ma可知軌道半徑越小,向心加速度越大,故知A項(xiàng)正確,B錯(cuò)誤;由G =m 得v= ,可知軌道半徑越小,運(yùn)行速率越大,故C、D都錯(cuò)誤。
【方法技巧】 1.衛(wèi)星的各物理量隨軌道半徑變化的規(guī)律:
2.衛(wèi)星變軌問題分析:
3.宇宙多星模型的規(guī)律:(1)“雙星”模型。①兩顆行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力是由它們之間的萬有引力提供的,故兩行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力大小相等。②兩顆行星均繞它們連線上的一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),因此它們的運(yùn)行周期和角速度是相等的。③兩顆行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r1和r2與兩行星間距L的大小關(guān)系:r1+r2=L。
(2)“三星”模型。①如圖所示,三顆質(zhì)量相等的行星,一顆行星位于中心位置不動(dòng),另外兩顆行星圍繞它做圓周運(yùn)動(dòng)。這三顆行星始終位于同一直線上,中心行星受力平衡。運(yùn)轉(zhuǎn)的行星由其余兩顆行星的引力提供向心力:兩行星轉(zhuǎn)動(dòng)的方向相同,周期、角速度、線速度的大小相等。
②如圖所示,三顆質(zhì)量相等的行星位于一正三角形的頂點(diǎn)處,都繞三角形的中心做圓周運(yùn)動(dòng)。每顆行星運(yùn)行所需向心力都由其余兩顆行星對(duì)其萬有引力的合力來提供。 ×2×cs30°=ma其中L=2rcs30°。三顆行星轉(zhuǎn)動(dòng)的方向相同,周期、角速度、線速度的大小相等。
【素養(yǎng)訓(xùn)練】1.(多選)宇宙間存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的三星系統(tǒng),其中有一種三星系統(tǒng)如圖所示,三顆質(zhì)量均為m的星位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn),三角形邊長(zhǎng)為R,忽略其他星體對(duì)它們的引力作用,三星在同一平面內(nèi)繞三角形中心O做勻速圓周運(yùn)動(dòng),萬有引力常量為G,則(　　)
A.每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度為 B.每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為 C.每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為 D.每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的加速度與三星的質(zhì)量無關(guān)
【解析】選A、B、C。由題圖可知,每顆星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑 由牛頓第二定律得: ·2cs30°=m =mω2r==ma,可解得 故A、B、C均正確,D錯(cuò)誤。
2.(2019·全國(guó)卷Ⅱ)2019年1月,我國(guó)“嫦娥四號(hào)”探測(cè)器成功在月球背面軟著陸,在探測(cè)器“奔向”月球的過程中,用h表示探測(cè)器與地球表面的距離,F表示它所受的地球引力,能夠描繪F隨h變化關(guān)系的圖像是(　　)
【解析】選D。根據(jù)萬有引力定律,“嫦娥四號(hào)”受到地球的引力為F=G ,h越大,F越小,且F-h圖像為曲線,故D正確,A、B、C錯(cuò)誤。
【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.已知一質(zhì)量為m的物體靜止在北極與赤道對(duì)地面的壓力差為ΔN,假設(shè)地球是質(zhì)量分布均勻的球體,半徑為R。則地球的自轉(zhuǎn)周期為(　　)
【解析】選A。在北極,物體所受的萬有引力F與支持力N大小相等,在赤道處有F-N=ΔN =mR( )2,解得T=2π ,A正確。
2.為研究太陽(yáng)系內(nèi)行星的運(yùn)動(dòng),需要知道太陽(yáng)的質(zhì)量,已知地球半徑為R,地球質(zhì)量為m,太陽(yáng)與地球中心間距為r,地球表面的重力加速度為g,地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的周期為T,則太陽(yáng)的質(zhì)量為(　　)

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