?浙江省金華市金東區(qū)2021-2022學年八年級下學期期末檢測
數(shù)學試題（附答案詳細解析）
一、選擇題（本大題共有10小題，每小題3分，共30分，請選出一個符合題意的正確選項填涂在答題卷內(nèi)，不選、多選、錯選均不給分）
1．（3分）要使二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的取值范圍是（　　）
A．x＞2 B．x≥2 C．x＞﹣2 D．x≥﹣2
2．（3分）下列方程有兩個相等的實數(shù)解的是（　?。?br /> A．x2+5x﹣6＝0 B．x2﹣5x+6＝0 C．x2﹣6x+9＝0 D．x2+6x﹣9＝0
3．（3分）“科學用眼，保護視力”是青少年珍愛生命的具體表現(xiàn)，某班50名同學的視力檢查數(shù)據(jù)如下表：
視力
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
人數(shù)
2
3
6
9
12
10
5
3
則視力的眾數(shù)是（　?。?br /> A．4.5 B．4.6 C．4.7 D．4.8
4．（3分）二次函數(shù)y＝2（x+1）2+3的頂點坐標是（　?。?br /> A．（﹣1，﹣3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（1，3）
5．（3分）添加下列一個條件，能使?ABCD成為菱形的是（　?。?br />

A．AB＝CD B．AC＝BD C．∠BAD＝90° D．AB＝BC
6．（3分）某種品牌運動服經(jīng)過兩次降價，每件零售價由560元降為315元，已知兩次降價的百分率相同，設(shè)每次降價的百分率為x，則下面所列的方程中正確的是（　　）
A．560（1﹣x）2＝315 B．560（1+x）2＝315
C．560（1﹣2x）2＝315 D．560（1﹣x2）＝315
7．（3分）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD交于點O，E、F分別為AO、AD的中點，若EF＝4，AB＝8，則∠ACB的度數(shù)為（　　）

A．30° B．35° C．45° D．60°
8．（3分）若點A（a﹣1，y1），B（a+1，y2）在反比例函數(shù)y＝﹣的圖象上，且y1＜y2，則a的取值范圍是（　　）
A．a(chǎn)＜﹣1 B．﹣1＜a＜1 C．a(chǎn)＞1 D．a(chǎn)＜﹣1或a＞1
9．（3分）若p，q是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的兩個根，則p2+2p﹣q的值是（　?。?br /> A．6 B．9 C．12 D．13
10．（3分）如圖，在矩形ABCO中，點D在BC邊上，連結(jié)AD，把△ABD沿AD折疊，使點B恰好落在OC邊上的點E處，已知B（10，8），反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象經(jīng)過點D，則k的值為（　?。?br />
A．20 B．30 C．40 D．48
二、填空題（本大題共有6小題，每小題4分，共24分）
11．（4分）計算﹣32的結(jié)果是　 ?。?br /> 12．（4分）數(shù)據(jù)1，2，2，2，3的方差是 　 ?。?br /> 13．（4分）一個多邊形的內(nèi)角和等于其外角和2倍，那么這個多邊形的邊數(shù)是　 　．
14．（4分）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一個根，則6m2﹣9m+1的值為 　 ?。?br /> 15．（4分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3，當y≥5時，自變量x的取值范圍是 　 ?。?br /> 16．（4分）如圖，矩形ABCD中，點E，F(xiàn)，G分別在CD，AD，BC邊上，CE＝2，DE＝1，∠BE平分∠FBC，∠BEF＝∠BEG＝45°，則線段DF的長為 　 　，線段BC的長為 　 ?。?br />
三、解答題（本大題共有8小題，共66分）
17．（6分）計算：
（1）×；
（2）．
18．（6分）解方程：
（1）x2﹣2x﹣3＝0；
（2）（2x+1）2＝（x﹣1）2．
19．（6分）尊老愛幼是中華民族的傳統(tǒng)美德，菜商店為老人推出一款特價商品，每件商品的進價為15元，促銷前銷售單價為25元，平均每天能售出80件；根據(jù)市場調(diào)查，銷售單價每降低0.5元，平均每天可多售出20件．不考慮其他因素的影響，若商店銷售這款商品的利潤要達到平均每天1280元，銷售單價應(yīng)降低多少元？
20．（8分）已知點E、F分別是?ABCD的邊BC、AD的中點．
（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；
（2）若BC＝12，∠BAC＝90°，求?AECF的周長．

21．（8分）甲、乙兩位同學參加數(shù)學綜合素質(zhì)測試，各項成績?nèi)缦拢▎挝唬悍郑?br />
數(shù)與代數(shù)
空間與圖形
統(tǒng)計與概率
綜合與實踐
學生甲
90
93
89
90
學生乙
94
92
94
86
（1）分別計算甲、乙成績的中位數(shù)；
（2）如果數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐的成績按3：3：2：2計算，那么甲、乙的數(shù)學綜合素質(zhì)成績分別為多少分？
22．（10分）如圖，正方形ABCD，邊長為2，點E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，連結(jié)CE，AF，過點D作DG⊥AF，垂足為G，延長DG交CE于點H．
（1）求DG的長．
（2）求GH的長．
（3）求EH的長．

23．（10分）如圖，直線y＝x﹣3交x軸于點B，交y軸于點A，拋物線y＝ax2+4x+c經(jīng)過點A，B，頂點為點C．
（1）求拋物線的解析式及點C的坐標．
（2）將拋物線y＝ax2+4x+c向下平移m個單位長度，點C的對應(yīng)點為D，連結(jié)AD，BD，若S△ABD＝2，求m的值．

24．（12分）如圖，在平面直角坐標系中，點B在第一象限，BA⊥x軸于A，BC⊥y軸于C，BA＝3，BC＝5，有一反比例函數(shù)圖象剛好過點B．
（1）分別求出過點B的反比例函數(shù)和過A，C兩點的一次函數(shù)的表達式．
（2）動點P在射線CA（不包括C點）上，過點P作直線l⊥x軸，交反比例函數(shù)圖象于點D．是否存在這樣的點Q，使得以點B，D，P，Q為頂點的四邊形為菱形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．


浙江省金華市金東區(qū)2021-2022學年八年級下學期期末檢測
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共有10小題，每小題3分，共30分，請選出一個符合題意的正確選項填涂在答題卷內(nèi)，不選、多選、錯選均不給分）
1．（3分）要使二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的取值范圍是（　?。?br /> A．x＞2 B．x≥2 C．x＞﹣2 D．x≥﹣2
【分析】直接利用二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式，進而得出答案．
【解答】解：∵二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，
∴x+2≥0，
解得：x≥﹣2，
則實數(shù)x的取值范圍是：x≥﹣2．
故選：D．
【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確把握二次根式的定義是解題關(guān)鍵．
2．（3分）下列方程有兩個相等的實數(shù)解的是（　?。?br /> A．x2+5x﹣6＝0 B．x2﹣5x+6＝0 C．x2﹣6x+9＝0 D．x2+6x﹣9＝0
【分析】先分別計算各方程的根的判別式的值，然后根據(jù)判別式的意義分別進行判斷．
【解答】解：A、Δ＝52﹣4×（﹣6）×1＝49＞0，則方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以A選項不符合題意；
B、Δ＝（﹣5）2﹣4×1×6＝1＞0，則方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以B選項不符合題意；
C、Δ＝（﹣6）2﹣4×9×1＝0，則方程有兩個相等的實數(shù)根，所以C選項符合題意；
D、Δ＝62﹣4×（﹣9）×1＞0，則方程兩個不相等的實數(shù)根，所以D選項不符合題意．
故選：C．
【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式Δ＝b2﹣4ac：當Δ＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ＝0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0，方程沒有實數(shù)根．
3．（3分）“科學用眼，保護視力”是青少年珍愛生命的具體表現(xiàn)，某班50名同學的視力檢查數(shù)據(jù)如下表：
視力
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
人數(shù)
2
3
6
9
12
10
5
3
則視力的眾數(shù)是（　?。?br /> A．4.5 B．4.6 C．4.7 D．4.8
【分析】根據(jù)眾數(shù)的定義求解即可．
【解答】解：由表知，視力為4.7的人數(shù)最多，有12人，
所以視力的眾數(shù)為4.7，
故選：C．
【點評】本題主要考查眾數(shù)，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)．
4．（3分）二次函數(shù)y＝2（x+1）2+3的頂點坐標是（　　）
A．（﹣1，﹣3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（1，3）
【分析】根據(jù)二次函數(shù)頂點式，直接可得頂點坐標．
【解答】解：∵二次函數(shù)為y＝2（x+1）2+3，
∴頂點坐標為：（﹣1，3），
故選：B．
【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)﹣頂點坐標，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的頂點式．
5．（3分）添加下列一個條件，能使?ABCD成為菱形的是（　　）


A．AB＝CD B．AC＝BD C．∠BAD＝90° D．AB＝BC
【分析】菱形的判定方法有三種：
①定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；
②四邊相等；
③對角線互相垂直平分的四邊形是菱形．
所以可添加AB＝BC．
【解答】解：AB＝BC或AC⊥BD等．
故選：D．
【點評】此題主要考查了菱形的判定，熟練地掌握菱形的判定定理是解決問題的關(guān)鍵．
6．（3分）某種品牌運動服經(jīng)過兩次降價，每件零售價由560元降為315元，已知兩次降價的百分率相同，設(shè)每次降價的百分率為x，則下面所列的方程中正確的是（　?。?br /> A．560（1﹣x）2＝315 B．560（1+x）2＝315
C．560（1﹣2x）2＝315 D．560（1﹣x2）＝315
【分析】設(shè)每次降價的百分率為x，根據(jù)降價后的價格＝降價前的價格（1﹣降價的百分率），則第一次降價后的價格是560（1﹣x）元，第二次后的價格是560（1﹣x）2元，據(jù)此即可列方程求解．
【解答】解：設(shè)每次降價的百分率為x，由題意得：
560（1﹣x）2＝315，
故選：A．
【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等式兩邊的平衡條件，這種價格問題主要解決價格變化前后的平衡關(guān)系，列出方程即可．
7．（3分）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD交于點O，E、F分別為AO、AD的中點，若EF＝4，AB＝8，則∠ACB的度數(shù)為（　?。?br />
A．30° B．35° C．45° D．60°
【分析】由矩形的性質(zhì)和三角形中位線定理可證OD＝OC＝8＝CD，可得△COD是等邊三角形，即可求解．
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC＝2AO＝2CO，BD＝2BO＝2DO，AC＝BD，∠BCD＝90°，
∴AO＝OB＝OC＝OD，
∵E、F分別為AO、AD的中點，
∴OD＝2EF＝8，
∴OD＝OC＝8＝CD，
∴△COD是等邊三角形，
∴∠ACD＝60°，
∴∠ACB＝30°，
故選：A．
【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理，等邊三角形的性質(zhì)，掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
8．（3分）若點A（a﹣1，y1），B（a+1，y2）在反比例函數(shù)y＝﹣的圖象上，且y1＜y2，則a的取值范圍是（　?。?br /> A．a(chǎn)＜﹣1 B．﹣1＜a＜1 C．a(chǎn)＞1 D．a(chǎn)＜﹣1或a＞1
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)分兩種情況進行討論，①當點（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在圖象的同一支上時，②當點（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在圖象的兩支上時．
【解答】解：∵k＝﹣1＜0，
∴圖象在二、四象限，在每一支上，y隨x的增大而增大，
①當點（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在圖象的同一支上，
∵y1＜y2，
∴或，
解得a＞1或a＜﹣1，
②當點（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在圖象的兩支上，
∵y1＜y2，
∴a﹣1＞0，a+1＜0，
解得：a＜﹣1或a＞1，
故選：D．
【點評】此題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握當k＜0時，在圖象的每一支上，y隨x的增大而增大．
9．（3分）若p，q是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的兩個根，則p2+2p﹣q的值是（　?。?br /> A．6 B．9 C．12 D．13
【分析】根據(jù)題意把x＝p代入方程求出p2+3p的值，并利用根與系數(shù)的關(guān)系求出p+q的值，原式變形后代入計算即可求出值．
【解答】解：∵p，q是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的兩個根，
∴p2+3p﹣9＝0，即p2+3p＝9，p+q＝﹣3，
則原式＝p2+3p﹣p﹣q
＝（p2+3p）﹣（p+q）
＝9﹣（﹣3）
＝9+3
＝12．
故選：C．
【點評】此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．
10．（3分）如圖，在矩形ABCO中，點D在BC邊上，連結(jié)AD，把△ABD沿AD折疊，使點B恰好落在OC邊上的點E處，已知B（10，8），反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象經(jīng)過點D，則k的值為（　?。?br />
A．20 B．30 C．40 D．48
【分析】根據(jù)翻折變換的性質(zhì)，可得AE＝AB＝5，DE＝BD；然后設(shè)點D的坐標是（10，b），在Rt△CDE中，根據(jù)勾股定理，求出CD的長度，進而求出k的值．
【解答】解：∵△ABD沿AD折疊，使點B恰好落在OC邊上點E處，點B（10，8），
∴AE＝AB＝10，DE＝BD，
∵AO＝8，AE＝10，
∴OE＝＝6，CE＝10﹣6＝4，
設(shè)點D的坐標是（10，b），
則CD＝b，DE＝8﹣b，
∵CD2+CE2＝DE2，
∴b2+42＝（8﹣b）2，
解得b＝3，
∴點D的坐標是（10，3），
∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點D，
∴k＝10×3＝30，
故選：B．

【點評】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，主要考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，軸對稱的性質(zhì)，求得點D的坐標是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共有6小題，每小題4分，共24分）
11．（4分）計算﹣32的結(jié)果是　﹣9　．
【分析】直接利用有理數(shù)的乘方運算法則求出答案．
【解答】解：﹣32＝﹣9．
故答案為：﹣9．
【點評】此題主要考查了有理數(shù)的乘方運算，正確掌握運算法則是解題關(guān)鍵．
12．（4分）數(shù)據(jù)1，2，2，2，3的方差是 　　．
【分析】先計算出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再根據(jù)方差的計算公式列式計算即可．
【解答】解：∵這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為＝2，
∴這組數(shù)據(jù)的方差為×[（2﹣1）2+3×（2﹣2）2+（2﹣3）2]＝．
故答案為：．
【點評】本題主要考查方差，解題的關(guān)鍵是掌握方差的定義，并熟記方差的計算公式．
13．（4分）一個多邊形的內(nèi)角和等于其外角和2倍，那么這個多邊形的邊數(shù)是　6?。?br /> 【分析】任何多邊形的外角和是360°，內(nèi)角和等于外角和的2倍則內(nèi)角和是720°．n邊形的內(nèi)角和是（n﹣2）?180°，如果已知多邊形的內(nèi)角和，就可以得到一個關(guān)于邊數(shù)的方程，解方程就可以求出多邊形的邊數(shù)．
【解答】解：根據(jù)題意，得
（n﹣2）?180°＝720°，
解得：n＝6．
【點評】已知多邊形的內(nèi)角和求邊數(shù)，可以轉(zhuǎn)化為方程的問題來解決．
14．（4分）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一個根，則6m2﹣9m+1的值為 　4　．
【分析】由題意可知：2m2﹣3m＝4，然后將2m2﹣3m＝4整體代入原式即可求出答案．
【解答】解：由題意可知：2m2﹣3m﹣1＝0，
∴2m2﹣3m＝1，
∴原式＝3（2m2﹣3m）+1＝4．
故答案為：4．
【點評】本題考查一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是正確理解一元二次方程的解的定義，本題屬于基礎(chǔ)題型．
15．（4分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3，當y≥5時，自變量x的取值范圍是 　x≥4或x≤﹣2?。?br /> 【分析】由y＝5求得對應(yīng)的函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的自變量x的值，然后根據(jù)二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3，
∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝﹣＝1，
∴當x＜1時，y隨x的增大而減?。划攛＞1時，y隨x的增大而增大，
當y＝5時，則x2﹣2x﹣3＝5，即x2﹣2x﹣8＝0，
解得：x＝4或x＝﹣2，
∴當y≥5時，自變量x的取值范圍是x≥4或x≤﹣2，
故答案為：x≥4或x≤﹣2．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，明確二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
16．（4分）如圖，矩形ABCD中，點E，F(xiàn)，G分別在CD，AD，BC邊上，CE＝2，DE＝1，∠BE平分∠FBC，∠BEF＝∠BEG＝45°，則線段DF的長為 　2　，線段BC的長為 　7?。?br />
【分析】根據(jù)∠BE平分∠FBC可得∠FBE＝∠GBE，由于∠BEF＝∠BEG＝45°，則可判定△BEF≌△BEG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得EF＝GE，進一步可判定△DEF≌△CGE，則DF＝CE＝2，CG＝1，然后利用勾股定理求出BC即可．
【解答】解：∵∠BE平分∠FBC，
∴∠FBE＝∠GBE，
∵∠BEF＝∠BEG＝45°，BE＝BE，
∴△BEF≌△BEG（ASA），
∴EF＝GE，BF＝BG，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D，AD＝BC，
∵∠BEF＝∠BEG＝45°，
∴∠FEG＝90°，
∴∠GEC+∠DEF＝90°，
∵∠DFE+∠DEF＝90°，
∴∠GEC＝∠DFE，
∴△DEF≌△CGE（AAS），
∴DF＝CE＝2，CG＝DE＝1，
設(shè)AD＝BC＝x，則AF＝x﹣2，BG＝x﹣1，
∵BF＝BG，
∴AB2+AF2＝BG2，
即32+（x﹣2）2＝（x﹣1）2，
解得x＝7，
∴BC＝7．
故答案為：2；7．

【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)以及勾股定理，熟記矩形的性質(zhì)并靈活運用是解題的關(guān)鍵．矩形的性質(zhì)：①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有； ②角：矩形的四個角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對角線：矩形的對角線相等．
三、解答題（本大題共有8小題，共66分）
17．（6分）計算：
（1）×；
（2）．
【分析】（1）利用二次根式的乘法法則，進行計算即可解答；
（2）利用分母有理化，進行計算即可解答．
【解答】解：（1）×
＝
＝3；
（2）
＝
＝
＝
＝．
【點評】本題考查了二次根式的混合運算，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．
18．（6分）解方程：
（1）x2﹣2x﹣3＝0；
（2）（2x+1）2＝（x﹣1）2．
【分析】（1）利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為x﹣3＝0或x+1＝0，然后解兩個一次方程即可；
（2）先移項得到（2x+1）2﹣（x﹣1）2＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
x﹣3＝0或x+1＝0，
所以x1＝3，x2＝﹣1；
（2）（2x+1）2﹣（x﹣1）2＝0，
（2x+1+x﹣1）（2x+1﹣x+1）＝0，
2x+1+x﹣1＝0或2x+1﹣x+1＝0，
所以x1＝0，x2＝﹣2．
【點評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
19．（6分）尊老愛幼是中華民族的傳統(tǒng)美德，菜商店為老人推出一款特價商品，每件商品的進價為15元，促銷前銷售單價為25元，平均每天能售出80件；根據(jù)市場調(diào)查，銷售單價每降低0.5元，平均每天可多售出20件．不考慮其他因素的影響，若商店銷售這款商品的利潤要達到平均每天1280元，銷售單價應(yīng)降低多少元？
【分析】設(shè)銷售單價應(yīng)降低x元，根據(jù)商店銷售這款商品的利潤要達到平均每天1280元列一元二次方程，求解即可．
【解答】解：設(shè)銷售單價應(yīng)降低x元，
根據(jù)題意，得（25﹣15﹣x）（80+）＝1280，
解得x1＝2或x2＝6，
答：銷售單價應(yīng)降低2元或6元．
【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意建立一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
20．（8分）已知點E、F分別是?ABCD的邊BC、AD的中點．
（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；
（2）若BC＝12，∠BAC＝90°，求?AECF的周長．

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AD∥BC，AD＝BC，再證AF＝CE，即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到AE＝CE＝BC＝6，再證平行四邊形AECF是菱形，于是得到結(jié)論．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵點E、F分別是?ABCD的邊BC、AD的中點，
∴AF＝AD，CE＝BC，
∴AF＝CE，
又∵AF∥CE，
∴四邊形AECF是平行四邊形；
（2）解：∵BC＝12，∠BAC＝90°，E是BC的中點．
∴AE＝CE＝BC＝CE＝6，
∴平行四邊形AECF是菱形，
∴?AECF的周長＝4×6＝24．
【點評】此題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)等知識，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
21．（8分）甲、乙兩位同學參加數(shù)學綜合素質(zhì)測試，各項成績?nèi)缦拢▎挝唬悍郑?br />
數(shù)與代數(shù)
空間與圖形
統(tǒng)計與概率
綜合與實踐
學生甲
90
93
89
90
學生乙
94
92
94
86
（1）分別計算甲、乙成績的中位數(shù)；
（2）如果數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐的成績按3：3：2：2計算，那么甲、乙的數(shù)學綜合素質(zhì)成績分別為多少分？
【分析】（1）將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)進行分析；
（2）數(shù)學綜合素質(zhì)成績＝數(shù)與代數(shù)成績×+空間與圖形成績×+統(tǒng)計與概率成績×+綜合與實踐成績×，依此分別進行計算即可求解．
【解答】解：（1）甲的成績從小到大的順序排列為：89，90，90，93，中位數(shù)為90；
乙的成績從小到大的順序排列為：86，92，94，94，中位數(shù)為（92+94）÷2＝93．
答：甲成績的中位數(shù)是90，乙成績的中位數(shù)是93；

（2）3+3+2+2＝10
甲90×+93×+89×+90×
＝27+27.9+17.8+18
＝90.7（分）
乙94×+92×+94×+86×
＝28.2+27.6+18.8+17.2
＝91.8（分）
答：甲的數(shù)學綜合素質(zhì)成績?yōu)?0.7分，乙的數(shù)學綜合素質(zhì)成績?yōu)?1.8分．
【點評】此題考查了中位數(shù)和加權(quán)平均數(shù)，用到的知識點是中位數(shù)和加權(quán)平均數(shù)，掌握它們的計算公式是本題的關(guān)鍵．
22．（10分）如圖，正方形ABCD，邊長為2，點E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，連結(jié)CE，AF，過點D作DG⊥AF，垂足為G，延長DG交CE于點H．
（1）求DG的長．
（2）求GH的長．
（3）求EH的長．

【分析】（1）由勾股定理可求AF的長，由面積法可求解；
（2）先證四邊形AECF是平行四邊形，可得AF＝CE＝，AF∥CE，可證GF是△DHC的中位線，即可求解；
（3）由三角形中位線定理可得CH的長，即可求解．
【解答】解：（1）∵正方形ABCD的邊長為2，點E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，
∴AB＝AD＝CD＝2，AE＝BE＝CF＝DF＝1，
∴AF＝＝＝，
∵S△ADF＝×AD×DF＝×AF×DG，
∴DG＝；
（2）∵AE＝CF＝1，AE∥CF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∴AF＝CE＝，AF∥CE，
∵點F是CD的中點，
∴GF是△DHC的中位線，
∴點G是DH的中點，
∴DG＝GH＝；
（3）在Rt△DGF中，GF＝＝＝，
∵GF是△DHC的中位線，
∴CH＝2GF＝，
∴EH＝．
【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線定理，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．
23．（10分）如圖，直線y＝x﹣3交x軸于點B，交y軸于點A，拋物線y＝ax2+4x+c經(jīng)過點A，B，頂點為點C．
（1）求拋物線的解析式及點C的坐標．
（2）將拋物線y＝ax2+4x+c向下平移m個單位長度，點C的對應(yīng)點為D，連結(jié)AD，BD，若S△ABD＝2，求m的值．

【分析】（1）先求出點B，點C的坐標，代入解析式可求解；
（2）求得平移后的解析式為y＝﹣（x﹣2）2+1﹣m，進一步求得對稱軸與直線AB的交點，然后根據(jù)三角形面積公式得到關(guān)于m的方程，解方程組即可．
【解答】解：（1）直線y＝x﹣3交x軸于點B，交y軸于點A，
∴點B（3，0），點A（0，﹣3），
∵拋物線y＝ax2+4x+c經(jīng)過點A，B，
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+4x﹣3，
∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴C（2，1）；
（2）將拋物線y＝ax2+4x+c向下平移m個單位長度得到y(tǒng)＝﹣（x﹣2）2+1﹣m，
把x＝2代入y＝x﹣3得y＝﹣1，
∴AB與對稱軸的交點為（2，﹣1），
∵平移后的拋物線的頂點為（2，1﹣m），
∴S△ABD＝2，
∴|1﹣m+1|×3＝2，
∴m＝或m＝．
∴m的值為或．
【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象與幾何變換，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形的面積等知識，求得拋物線的解析式是解題的關(guān)鍵．
24．（12分）如圖，在平面直角坐標系中，點B在第一象限，BA⊥x軸于A，BC⊥y軸于C，BA＝3，BC＝5，有一反比例函數(shù)圖象剛好過點B．
（1）分別求出過點B的反比例函數(shù)和過A，C兩點的一次函數(shù)的表達式．
（2）動點P在射線CA（不包括C點）上，過點P作直線l⊥x軸，交反比例函數(shù)圖象于點D．是否存在這樣的點Q，使得以點B，D，P，Q為頂點的四邊形為菱形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

【分析】（1）根據(jù)題意分別求出A點，B點和C點的坐標，然后用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；
（2）根據(jù)函數(shù)解析式設(shè)出P點和D點的坐標，若以點B，D，P，Q為頂點的四邊形為菱形則點Q在直線BA上，且PD＝DB＝BQ，據(jù)此等量關(guān)系列方程求解即可．
【解答】解：（1）解：（1）由題意知，A（5，0），B（5，3），C（0，3），
設(shè)過點B的反比例函數(shù)解析式為y＝，
代入B點坐標得，3＝，
解得k＝15，
∴過點B的反比例函數(shù)的解析式為y＝，
設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，
代入A點和C點坐標得，，
解得，
∴過A，C兩點的一次函數(shù)的表達式為y＝﹣x+3；
（2）存在，
設(shè)P（m，﹣m+3），則D（m，），
若以點B，D，P，Q為頂點的四邊形為菱形則點Q在直線BA上，且PD＝DB＝BQ，
∴﹣（﹣m+3）＝，
整理得，
解得m＝或，
當m＝時，
PD＝﹣（﹣m+3）＝＝BQ，
∴此時Q（5，3﹣），
即Q（5，﹣）；
當m＝時，
PD＝﹣（﹣m+3）＝＝BQ，
∴Q此時（5，3﹣），
即Q（5，﹣）；
綜上所述，若以點B，D，P，Q為頂點的四邊形為菱形則Q點的坐標為（5，﹣）或（5，﹣）．
【點評】本題主要考查反比例函數(shù)的綜合題，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式，一次函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)等知識是解題的關(guān)鍵．

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