第八講  幾何計算知識要點在自招試卷中，有不少的幾何計算問題，一般需要用到全等，相似，勾股定理等課本知識，同時也會考查到面積法，弧長等平時較少操練的章節(jié).本講我們講圍繞幾何計算展開學(xué)習(xí).例題精講如圖8-1，，點P、Q分別是邊OA、OB上的兩點，且.將沿PQ折疊，點O落在平面內(nèi)點C處.（1）①當(dāng)時，         ；②當(dāng)時，求OQ的長.（2）當(dāng)折疊后重疊部分為等腰三角形時，求OQ的長.我們知道，三角形的內(nèi)心是三條角平分線的交點，過三角形內(nèi)心的一條直線與兩邊相交，兩交點之間的線段把這個三角形分成兩個圖形.若有一個圖形與原三角形相似，則把這條線段叫做這個三角形的“內(nèi)似線”.（1）等邊三角形“內(nèi)似線”的條數(shù)為         ；（2）如圖8-6，中，，點D在AC上，且，求證：BD是的“內(nèi)似線”；（3）如圖8-7，在中，，，，點E、F分別在邊AC、BC上，且EF是的“內(nèi)似線”，求EF的長.將一個等腰三角形ABC劃分成兩個較小的等腰三角形，問這樣的有幾種形狀？并將所有形狀都列出來.如圖8-11，中，，BC邊上有100個不同的點，，，…，，記，求.已知的兩條角平分線BD、CE交于點I，，.則的度數(shù)為         .如圖8-15，在四邊形ABCD中，已知是等邊三角形，，，.求邊CD的長.如圖8-17，在四邊形ABCD中，，，，設(shè)直線AD與BC的交點為點E，則的大小為         .如圖8-19，三條直線l、m、n互相平行，且l、m間的距離為2，m、n間的距離為1，若正的三個頂點分別在l、m、n上，則正的邊長是         .如圖8-21，，則         .如圖8-22，在中，，，四邊形CDEF、四邊形KLMN是的兩個內(nèi)接正方形.已知，.求的三邊長.習(xí)題鞏固沿一個卡紙立方體的邊緣按照圖1中所示的虛線切開，然后展開，平放在桌面上的圖形是圖2中的（    ）.如圖，EFGH是正方形ABCD的內(nèi)接四邊形，、都是銳角，已知，，四邊形EFGH的面積為5，求正方形ABCD的面積.如圖，設(shè)P是ABCD內(nèi)一點，過P分別作AB、BC、CD、DA的垂線，垂足分別為點E、F、G、H.已知，，，，，，且，則四邊形的周長為多少？在中，，，延長BC到D使.求.已知是等邊三角形，它的高是4.若點P到邊AB、AC的距離分別是1、2.則點P到邊BC的距離是多少？在中，，，分別以AB、AC為邊向外部作正、，連結(jié)DE分別交AC、AB于點F、G.則的值為多少？在中，，，.則外接圓的半徑是多少？設(shè)的三邊分別為a、b、c，且.若，求的值.如圖，的網(wǎng)格中有25個格點，作出以這25個格點中的三個點為頂點的所有三角形，其中直角三角形多少個？已知A、B是半徑為2的上的兩定點，，P是上一動點.當(dāng)點P在上移動一周時，的垂心移動的路程為多少？（增加兩個特殊點，使的垂心H移動的軌跡是封閉圖形）.如圖，已知，且.點D、E分別是AC、AB上的動點，BD與CE相交于點P，使.求的最大值.自招鏈接如圖，在任意五邊形ABCDE中，點P、Q、R、S分別是AB、CD、BC、DE的中點，點M、N分別是PQ、RS的中點，且.求MN.已知中，，于點D，若，.求的面積.參考答案（1）①當(dāng)時，，由折疊的性質(zhì)得：，，所以，所以，所以四邊形OPCQ是平行四邊形，所以四邊形OPCQ是菱形，所以.故答案為：.②當(dāng)時，分兩種情況：（ⅰ）如圖8-2所示，設(shè)，因為，所以是等腰直角三角形，所以，所以.由折疊的性質(zhì)得：，，所以是等腰直角三角形，所以，所以，解得：，即；（ⅱ）如圖8-3所示.同（ⅰ）得：；綜上所述：當(dāng)時，QQ的長為，或.（2）當(dāng)折疊后重疊部分為等腰三角形時，符合條件的點Q共有5個；①點C在的內(nèi)部時，四邊形OPCQ是菱形，；②當(dāng)點C在的一邊上時，是等腰直角三角形，或；③當(dāng)點C在的外部時，分兩種情況：（ⅰ）如圖8-4所示，，則，由折疊的性質(zhì)得：.設(shè)，則，在中，由三角形內(nèi)角和定理得：，解得：，所以，作于點N，設(shè)，因為，則，，.因為，所以，解得：，所以.（ⅱ）如圖8-5所示，，作于點N，同①得：.綜上所述：當(dāng)折疊后重疊部分為等腰三角形時，OQ的長為或或，或或.（1）等邊三角形“內(nèi)似線”的條數(shù)為3條；理由如下：過等邊三角形的內(nèi)心分別作三邊的平行線，如8-8所示：則，，，所以MN、EF、GH是等邊三角形ABC的“內(nèi)似線”.故答案為：3.（2）因為，，所以，，所以.又因為，所以，所以BD平分，即BD過的內(nèi)心，所以BD是的“內(nèi)似線”.（3）設(shè)D是的內(nèi)心，連結(jié)CD，則CD平分，因為EF是的“內(nèi)似線”，所以與相似.分兩種情況：①當(dāng)時，，因為，，，所以.作于點N，如圖8-9所示.則，DN是的內(nèi)切圓半徑，所以.因為CD平分，所以.因為，所以，所以.因為，所以，所以，解得：.②當(dāng)時，同理得：.綜上所述，EF的長為.如圖8-10所示.設(shè)等腰三角形ABC分成與.不妨假設(shè)；于是，等腰三角形ABD中，只能有.這時，而有三種情況.（1）若時，則，為等腰直角三角形.（2）若時，設(shè)，則，，，由于，則.若，則，； 若，則，.（3）若時，設(shè)，，，顯然.由，得，.綜上所述，總共有4組解；所求三角形的三個內(nèi)角分別為（45°，45°，90°）、（36°，36°，108°）、，（36°，72°，72°）.仔細(xì)觀察，我們發(fā)現(xiàn)的結(jié)構(gòu)與斯德瓦爾特定理非常相似，只是缺BC.從而可知，，故，從而有.也可以仿效前面幾個例題作垂線，也可求出.如圖8-12，作于點D，則. 從而可知，.答案：40°或60°.如圖8-13，在BC上截取，，連結(jié)、.當(dāng)點與不重合時，易證，.則.故.又，則，.當(dāng)點與重合時，如圖8-14.同理，由，且，知.所以，.如圖8-16，以CD為邊向四邊形ABCD外作等邊，連結(jié)AE.由，，知，所以，所以.又，可知.所以，從而有，所以.如圖8-18，過點B作，過點D作，BF、DF交于點F，連結(jié)AF.因為，，，所以四邊形BCDF是菱形，所以.因為，所以.因為，所以.因為，所以.因為，所以.所以三角形ABF是等邊三角形.所以，，所以.因為四邊形BCDF是菱形，，所以，所以.因為，，所以.因為，所以，所以.如圖8-20，過點A作于點D，在AD右側(cè)作，并使，連結(jié)CE，交l于點F；過點C作于點G.因為，，所以.所以，即因為所以，所以.因為，所以，所以，所以.因為，，所以，所以.因為，所以.因為，，所以，.所以，所以在中，，，所以.在中，，，所以.所以.所以，即正三角形ABC的邊長是.設(shè)，，，.則，，；所以                                    .設(shè)正方形CDEF的邊長為x，正方形KLMN的邊長為y，則，.設(shè)，，，則.因為，所以.因為，得.因為，得.因為，所以.則      .所以.所以，.所以a、b是二次方程的兩根.因為，所以，.習(xí)題鞏固答案：D.如圖，在立方體的六個面中，只有ABCD和CDHG切開三條棱，保留一條棱連結(jié)，即只與一個面相連結(jié)，其他四個面切開兩條棱，保留兩條棱連結(jié)，即可與兩個面相連結(jié)，連結(jié)順序是.如圖，分別過點E、F、G、H作對邊的垂線，得矩形PQRT.設(shè)正方形ABCD的邊長為x，，.由勾股定理，得，.又，，，，且，所以，得，解得，所以，即.如圖，分別連結(jié)PA、PB、PC、PD.因為，，，，所以由勾股定理，得，，，，以上四式相加并整理，得，因為，，，，，，所以，，因為，所以，所以.答案：80°.如圖，在邊CD上取點E，使，連結(jié)AE.則.故.易知.所以，.如圖1，設(shè)點P在的內(nèi)部，AH是的高，P到三邊的垂線分別為PD、PE、PF，并記的邊長為a.由面積關(guān)系得，于是，，即.類似地，當(dāng)點P不在的內(nèi)部時，可知在圖2中的位置.因到AB、AC的距離之和小于4，所以，不是P.記到BC的距離分別為.則，，.解得，，.故點P到邊BC的距離可能是1、3、5、7.如圖，過E作于點M，延長EM交AB于點N，連結(jié)DN.則M是AC的中點，且.所以，N是AB的中點.于是，. 又，得，，所以，四邊形ADNE是平行四邊形.因此，.令，則，，.在中，，.由得，則，即.所以，，故.如圖，設(shè)O是外接圓的圓心，作直徑AD，連結(jié)DB、DC.則.由，，則，.過點C作AD的垂線，垂足為點F.設(shè)，.由勾股定理得.代入得.                               ①在中，由勾股定理得，即.                              ②由式①、②得，即.解得（負(fù)值舍去）.因為，，所以.即.兩邊平方并整理得或.又，且，則.答案：596.（1）當(dāng)直角三角形的兩直角邊均在網(wǎng)格線上時，每個頂點為直角頂點，該直角頂點處有個直角三角形.此時，共有個直角三角形.（2）當(dāng)直角三角形的兩直角邊不在網(wǎng)格線上時.如圖，其中，（A）表示與A的地位相同的點，（B）、（C）、（D）與之類似.以四角頂點為直角的直角三角形不存在；以點A為直角頂點的直角三角形有（個）；以點B為直角頂點的直角三角形有（個）；以點C為直角頂點的直角三角形為（個）；以點D為直角頂點的直角三角形有（個）；以點O為直角頂點的直角三角形有（個）.綜上，所求三角形的個數(shù)為（個）.答案：.當(dāng)點P在優(yōu)弧AB上，且為銳角三角形時，.當(dāng)為鈍角三角形時，.當(dāng)為直角三角形時，垂心為A或B.當(dāng)點P在劣弧AB上時，.所以，H的軌跡為關(guān)于AB的對稱圓（增加兩個特殊點為A、B兩點關(guān)于該圓的圓心的對稱點）.故的垂心H移動的路程為.設(shè)，，則.因為，所以，，在中，由梅涅勞斯定理，得，則.同理，      .所以   .因為，所以，所以.因為，所以，.令，則，從而.因為，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，，則，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時，.自招鏈接如圖，連結(jié)BE，并取其中點為O，再連結(jié)PO、SO、RO、SQ、RQ、OQ.在中，由三角中位線定理得.在四邊形BCDE中，因R、Q、S、O分別為各邊的中點，易知四邊形RQSO為平行四邊形，其對角線RS、QO互相平分.又N為RS的中點，則N也是OQ的中點.故.于是，.法一：如圖1，將沿直線AB翻折得，將沿直線AC翻折得，延長EB、FC交于點G.因為，所以，，因為，根據(jù)平行線間的距離相等，易得.又，.設(shè).則，，可列方程：.解得：（其中不合題意，舍去.）所以的面積為：.法二：將繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得，延長、DC交于點H，連結(jié).因為，所以，，根據(jù)平行線間的距離相等，得，且.所以.設(shè).則，，在中，由勾股定理得.解得（其中不合題意，舍去.）所以的面積為：.法三：正切和公式：.設(shè)，則，解方程得（其中不合題意，舍去.）所以的面積為：. 

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