第十一講  組合知識(shí)要點(diǎn)組合問題非?？简?yàn)同學(xué)們的思維能力，其中組合計(jì)數(shù)、概率等問題是自招考試的高頻考點(diǎn)，抽屜原理、染色問題、極端原理等偶爾也會(huì)出現(xiàn)．一、乘法原理一般地，如果完成一件事需要n個(gè)步驟（缺一不可），第1步有m1種不同的方法，第2步有m2種不同的方法，第3步有m3種不同的方法……第n步有mn種不同的方法，則完成這件事一共有種不同的方法．乘法原理運(yùn)用的范圍：這件事要分幾個(gè)彼此互不影響的獨(dú)立步驟來完成，這幾步是完成這件任務(wù)缺一不可，這樣的問題可以使用乘法原理解決．我們可以簡(jiǎn)記為：“乘法分步，步步相關(guān)”．二、加法原理一般地，如果完成一件事有n類步驟（每一類中的任何一種方法都能獨(dú)立完成這件事情），第1類有m1，種不同的方法，第2類有m2種不同的方法，第3類有m3種不同的方法……第n類有mn種不同的方法，則完成這件事一共有種不同的方法．加法原理運(yùn)用的范圍：完成一件事的方法分成幾類，每一類中的任何一種方法都能完成任務(wù)，這樣的問題可以使用加法原理解決．我們可以簡(jiǎn)記為：“加法分類，類類獨(dú)立”．三、排列在實(shí)際生活中經(jīng)常會(huì)遇到這樣的問題，就是要把一些事物排在一起，構(gòu)成一列，計(jì)算有多少種排法，就是排列問題．在排的過程中，不僅與參與排列的事物有關(guān)，而且與各事物所在的先后順序有關(guān)．根據(jù)排列的定義，兩個(gè)排列相同，指的是兩個(gè)排列的元素完全相同，并且元素的排列順序也相同．如果兩個(gè)排列中，元素不完全相同，它們是不同的排列；如果兩個(gè)排列中，雖然元素完全相同，但元素的排列順序不同，它們也是不同的排列．排列的基本問題是計(jì)算排列的總個(gè)數(shù)．從n個(gè)不同的元素中取出m（m≤n）個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同的元素的排列中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，我們把它記做或..四、組合一般地，從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)（m≤n）元素組成一組不計(jì)較組內(nèi)各元素的次序，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合．從排列和組合的定義可以知道，排列與元素的順序有關(guān)，而組合與順序無關(guān)．如果兩個(gè)組合中的元素完全相同，那么不管元素的順序如何，都是相同的組合，只有當(dāng)兩個(gè)組合中的元素不完全相同時(shí)．才是不同的組合．從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素（m≤n）的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)不同元素的組合數(shù)．記作或.例題精講回答下列問題：（1）在1～5的自然數(shù)可以組成的五位數(shù)共有幾個(gè)？（2）有3種染料給三行144列的方格網(wǎng)染色，一共有多少種染色方法（只列式，不計(jì)算）？至少取多少列方格，才能保證有兩列方格染色完全相同？（3）從十位同學(xué)中任意選取2名同學(xué)，一共有多少種選法？（4）爸爸、媽媽、客人和我四人圍著圓桌喝茶．若只考慮每人左鄰的情況，問共有多少種不同的入座方法？（5）圖11-l中有六個(gè)點(diǎn)，任意三個(gè)點(diǎn)都不在一條直線上．請(qǐng)問：以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，一共可以連出多少個(gè)三角形？（6）某鐵路線上，在起點(diǎn)和終點(diǎn)之間原有7個(gè)車站，現(xiàn)在新增加了3個(gè)車站，這樣需要增加幾種不同的車票？6人同時(shí)被邀請(qǐng)參加一項(xiàng)活動(dòng)．必須有人去，去幾個(gè)人自行決定，共有多少種不同的去法？小明的媽媽給了小明9塊一樣的糖，讓他在接下來的4天正好吃完，每天至少吃一塊，則小明有多少種不同的吃糖方案？4個(gè)人進(jìn)行籃球訓(xùn)練，互相傳球接球，要求每個(gè)人接球后馬上傳給別人，開始由甲發(fā)球，并作為第一次傳球，第五次傳球后，球又回到甲手中，問有多少種傳球方法？游樂園的門票1元1張，每人限購1張．現(xiàn)在有10個(gè)小朋友排隊(duì)購票，其中5個(gè)小朋友只有1元的鈔票，另外5個(gè)小朋友只有2元的鈔票，售票員沒有準(zhǔn)備零錢．問有多少種排隊(duì)方法，使售票員總能找得開零錢？給定一個(gè)15×15的方格表，將其中有公共邊的方格稱為相鄰的．將某些相鄰方格的中心用線段相連，得到一條不白交的閉折線．現(xiàn)知該折線關(guān)于方格表的一條對(duì)角線對(duì)稱．證明：折線的長度不大于200．物體A和B放在坐標(biāo)平面上同時(shí)移動(dòng)，且每次移動(dòng)一個(gè)單位長度，A從（0，0）開始移動(dòng)每次以相同的可能性向右或向上移動(dòng)，物體B從（5，7）開始移動(dòng)，每次以相同的可能性向左或向下移動(dòng)，問兩物體相遇的可能性是多少？攝影師給8名同學(xué)照相，有兩人合影，也有三人合影，若任意兩名同學(xué)都恰好合影一次，問最少要拍多少張照片？某同學(xué)在暑假里做數(shù)學(xué)競(jìng)賽題，每天至少做一題，每星期至多做12題，一共做了7個(gè)星期，求證：該同學(xué)在連續(xù)的若干天里恰好做了12道題．平面上有20個(gè)點(diǎn)，在他們之間已連了n線段，若任意三點(diǎn)之間都至少有一條線段．求n的最小值．20個(gè)紅球、17個(gè)白球，重量都是正整數(shù)．紅球與白球重量之和相等，且都小于340．證明：一定可以取出一些紅球和一些白球，使得這些紅球重量之和等于這些白球重量之和（不能全取）．習(xí)題鞏固某件工作需要鉗工2人和電工2人共同完成．現(xiàn)有鉗工3人、電工3人，另有1人鉗工、電工都會(huì)．從7人中挑選4人完成這項(xiàng)工作，共有多少種方法？平面上10個(gè)兩兩相交的圓最多能將平面分割成多少個(gè)區(qū)域？在圖中（單位：厘米）：（1）一共有幾個(gè)長方形？（2）所有這些長方形面積的和是多少？有11名外語翻譯人員，其中5名是英語翻譯員，4名是日語翻譯員，另外兩名英語、日語都精通．從中找出8人，使他們組成兩個(gè)翻譯小組，其中4人翻譯英文，另4人翻譯日文，這兩個(gè)小組能同時(shí)工作．問這樣的分配名單共可以開出多少張？假如電子計(jì)時(shí)器所顯示的十個(gè)數(shù)字是“0126093028”這樣一串?dāng)?shù)，它表示的是1月26日9時(shí)30分28秒．在這串?dāng)?shù)里，“0”出現(xiàn)了3次，“2”出現(xiàn)了2次，“1”、“3”、“6”、“8”、“9”各出現(xiàn)1次，而“4”、“5”、“7”沒有出現(xiàn)．如果在電子計(jì)時(shí)器所顯示的這串?dāng)?shù)里．“0”、“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”、“7”、“8”、“9”這十個(gè)數(shù)字都只出現(xiàn)一次，稱它所表示的時(shí)刻為“十全時(shí)”．那么2016年一共有幾個(gè)這樣的“十全時(shí)”？從1，2，…，2011中選取n個(gè)數(shù)，使得其中任意兩數(shù)的差都不等于4或7．求n的最大值．7名學(xué)生參加演出，學(xué)校為他們安排了m次演出，每次由其中3名同學(xué)同時(shí)登臺(tái)演出，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種方案，使得7名學(xué)生中，任意兩名同臺(tái)演出的次數(shù)一樣多，且使m最?。?/span>求證：任意9個(gè)整數(shù)中，必有5個(gè)整數(shù)，它們的和被5整除．有紅、黃、藍(lán)卡片各6張，分別寫有數(shù)字1、2、3、4、5、6．從中選取6張，要求三色俱全，且數(shù)字1、2、3、4、5、6各一張，則不同的選法有多少種？自招鏈接在右圖中，不包含☆的長方形有        個(gè)．第二季“中國好聲音”楊坤組某一學(xué)員和那英組某一學(xué)員進(jìn)行一對(duì)一PK，9位專業(yè)評(píng)委依次給兩位學(xué)員投票，最終楊坤組學(xué)員拿到5票，那英組學(xué)員拿到4票．請(qǐng)問在依次投票的過程中，楊坤組學(xué)員得票數(shù)一直嚴(yán)格大于那英組學(xué)員得票數(shù)的概率是多少？參考答案（1）根據(jù)乘法原理，5×5×5×5×5=3125．共有3125個(gè)．（2）根據(jù)乘法原理，．抽屜原理，從最壞的情況考慮取到的第一個(gè)是列．（3）．（4）4個(gè)相異元素的環(huán)形排列問題，共有種不同的入座方法．（5）因?yàn)槿我馊齻€(gè)點(diǎn)都不在一條直線上；所以以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，一共可以連出個(gè)三角形．（6）原來有車站7+2=9，現(xiàn)在有車站9+3=12．考慮每兩個(gè)站點(diǎn)之間的往返車票起始站和終點(diǎn)站互異，所以新增的車票種類為種．（法一）可以分為一人去、兩人去、三人去、四人去、五人去、六人去六種情況，每種情況都是組合問題．第一種情況有6種去法；第二種情況有種去法；第三種情況有種去法；第四種情況有種去法；第五種情況有種去法；第六種情況有種去法．根據(jù)加法原理，共有6+15+20+15+6+1=63種不同的去法．（法二）每個(gè)人都有去或不去兩種可能，因此共有26種可能，但必須有人去，即所有人都不去的情況必須排除，因此有種．插板法：9塊一樣的糖有8個(gè)間隔，要分成4份，需要3個(gè)問隔，所以有種方案．設(shè)第n次傳球后，球又回到甲手中的傳球方法有an種．可以想象前次傳球，如果每一次傳球都任選其他三人中的一人進(jìn)行傳球，即每次傳球都有3種可能，由乘法原理，共有（種）傳球方法．這些傳球方法并不是都符合要求的，它們可以分為兩類，一類是第次恰好傳到甲手中，這有種傳法，它們不符合要求，因?yàn)檫@樣第n次無法再把球傳給甲；另一類是第次傳球，球不在甲手中，第n次持球人再將球傳給甲，有an種傳法．根據(jù)加法原理，有．由于甲是發(fā)球者，一次傳球后球又回到甲手中的傳球方法是不存在的，所以．利用遞推關(guān)系可以得到：，，，．這說明經(jīng)過5次傳球后，球仍回到甲手中的傳球方法有60種．本題也可以列表求解．由于第n次傳球后，球不在甲手中的傳球方法，第n+1次傳球后球就可能回到甲手中，所以只需求出第四次傳球后，球不在甲手中的傳法共有多少種．第n次傳球傳球的方法球在甲手中的傳球方法球不在甲手中的傳球方法130329363276214812160524360183從表中可以看出經(jīng)過五次傳球后，球仍回到甲手中的傳球方法共有60種．與類似題目找對(duì)應(yīng)關(guān)系．要保證售票員總能找得開零錢，必須保證每一位拿2元錢的小朋友前面的若干小朋友中，拿1元的要比拿2元的人數(shù)多，先將拿1元錢的小朋友看成是相同的，將拿2元錢的小朋友看成是相同的，可以利用斜直角三角模型．在圖11-2中，每條小橫線段代表1元錢的小朋友，每條小豎線段代表2元錢的小朋友，因?yàn)閺?/span>A點(diǎn)沿格線走到B點(diǎn)，每次只能向右或向上走，無論到途中哪一點(diǎn)，只要不超過斜線，那么經(jīng)過的小橫線段都不少于小豎線段，所以本題相當(dāng)于求右圖中從A到B有多少種不同走法．使用標(biāo)數(shù)法，可求出從A到B有42種走法．但是由于10個(gè)小朋友互不相同，必須將他們排隊(duì)，可以分成兩步，第一步排拿2元的小朋友，5個(gè)人共有5！=120種排法；第二步排拿到1元的小朋友，也有120種排法，所以共有5！×5！=14400種排隊(duì)方法．這樣，使售票員能找得開零錢的排隊(duì)方法共有42×14400=604800種．因?yàn)殚]折線不自交，可知它恰好經(jīng)過對(duì)角線方格上的兩個(gè)中心點(diǎn)．（因?yàn)殚]所以有2個(gè)，因?yàn)椴蛔越凰灾荒転?/span>2個(gè)．）那么可以得到這條閉折現(xiàn)一定不經(jīng)過其他的13個(gè)對(duì)角線方格的中心點(diǎn)．將15×15的方格表黑白二染色，對(duì)角線染黑色，則黑色小方格一定比白色小方格多一個(gè)．又因?yàn)檎劬€上的中心點(diǎn)所在的小方格是黑白交替出現(xiàn)的，所以閉折曲線上的黑點(diǎn)和白點(diǎn)個(gè)數(shù)是相等的．如果閉折線不經(jīng)過13個(gè)黑點(diǎn)，那么他必然不經(jīng)過12個(gè)白點(diǎn)．所以閉折線經(jīng)過的中心點(diǎn)的個(gè)數(shù)最多不超過；也就是說，折線的長度不大于200．因?yàn)閺?/span>A到B的距離為12，所以要移動(dòng)6次，物體A和B才能相遇．在6次移動(dòng)中，不同的移動(dòng)方式有種．其中A和B能相遇的移動(dòng)方式有．故A和B相遇的可能性為．設(shè)3人合影的有x張，兩人合影的有y張，則．因?yàn)槊績扇硕记『煤嫌耙粡?，所以每人至多可?/span>3張合影．故等則x≤8，所以．將8人編號(hào)為1，2，3，4，5，6，7，8；8張三人合影為：（1，2，4），（2，3，5），（3，4，6），（4，5，7），（5，6，8），（6，7，9），（7，8，2），（8，1，3）；4張二人合影為：（1，5），（2，6），（3，7），（4，8）；顯然這12張照片滿足條件，所以最少要拍12張．設(shè)前n天做了an；那么，．上面這98個(gè)數(shù)不同的取值最多96種．所以其中必有兩數(shù)相等．不妨設(shè)，則．這表明從第（i+1）天開始，到第j天這連續(xù)若干天里恰好做了12道題．設(shè)A點(diǎn)連出的線段數(shù)最少，且為k條（0≤k≤19）；將20個(gè)點(diǎn)分為兩組，一組為A點(diǎn)和所有與A相連的k個(gè)點(diǎn)，共（k+1）個(gè)點(diǎn)；另外一組為余下的點(diǎn)，為是個(gè)點(diǎn)；對(duì)于第一組的（k+1）個(gè)點(diǎn)，因?yàn)?/span>A點(diǎn)連出的最少為k，所以他們連出的最少為；對(duì)于第二組的是個(gè)點(diǎn)，他們都不和A點(diǎn)相連，那么如果選取A點(diǎn)和他們其中的兩個(gè)點(diǎn)，那么這三點(diǎn)之間至少有一條直線，于是第二組的是個(gè)點(diǎn)必須兩兩相連，共有條線．兩者相加最少為．所以．整理得：當(dāng)且僅當(dāng)k=9時(shí)取“=”．下面構(gòu)造一種方法證明90是可以的：20個(gè)點(diǎn)分為2組，每組10個(gè)點(diǎn)．同組的兩兩相連，不同組的不連．共連滿足題意；綜上：n的最小值為90．對(duì)20個(gè)紅球、17個(gè)白球的重量做排序，，記，由已知條件知．考慮共340個(gè)元素，由抽屜原理，它們模339必有兩個(gè)是同余的，不妨設(shè)，那么．又因?yàn)?/span>，，所以，也就是得到了，命題得證．習(xí)題鞏固分兩類情況討論：（1）都會(huì)的這1人被挑選中，則有：①如果這人做鉗工的話，則再按乘法原理，先選一名鉗工有3種方法，再選2名電工也有3種方法，所以有3?3=9種方法．②同樣，這人做電工，也有9種方法．（2）都會(huì)的這一人沒有被挑選，則從3名鉗工中選2人，有3種方法，從3名電工中選2人，也有3種方法，一共有3?3=9種方法．所以，根據(jù)加法原理，一共有9+9+9=27種方法．先考慮最簡(jiǎn)單的情形，為了敘述方便，設(shè)平面上k個(gè)圓最多能將平面分割成ak個(gè)部分．從圖1中可以看出，，，，，…可以發(fā)現(xiàn)ak滿足下列關(guān)系式：．實(shí)際上，當(dāng)平面上的個(gè)圓把平面分成個(gè)區(qū)域時(shí)，如果再在平面上出現(xiàn)第k個(gè)圓，為了保證劃分平面的區(qū)域盡可能多，新添的第k個(gè)圓不能通過平面上前個(gè)圓之間的交點(diǎn)．這樣，第k個(gè)圓與前面個(gè)圓共產(chǎn)生個(gè)交點(diǎn)，如圖2：這個(gè)交點(diǎn)把第k個(gè)圓分成了段圓弧，而這段圓弧中的每一段都將所在的區(qū)域一分為二，所以也就是整個(gè)平面的區(qū)域數(shù)增加了個(gè)部分．所以，．那么，故10個(gè)圓最多能將平面分成92部分．（1）一共有（個(gè)）長方形；（2）所求的和是（平方厘米）．針對(duì)兩名英語、日語都精通人員（以下稱多面手）的參與情況分成三類：（1）多面手不參加，則需從5名英語翻譯員中選出4人，有種選擇，需從4名日語翻譯員中選出4人，有1種選擇．由乘法原理，有種選擇．（2）多面手中有一人參加，有2種選擇，而選出的這個(gè)人又有參加英文或日文翻譯兩種可能：①如果參加英文翻譯，則需從5名英語翻譯員中再選出3人，有選擇，需從4名日語翻譯員中選出4人，有1種選擇，由乘法原理，有種選擇；②如果參加日文翻譯，則需從5名英語翻譯員中選出4人，有種選擇，需從4名日語翻譯員中再選出3名，有種選擇，由乘法原理，有種選擇．根據(jù)加法原理，多面手中有一人參加，有種選擇．（3）多面手中兩人均參加，有一種選擇，但此時(shí)又分三種情況：①兩人都譯英文，②兩人都譯日文，③兩人各譯一個(gè)語種．情況①中，還需從5名英語翻譯員中選出2人，有種選擇，需從4名日語翻譯員中選4人，有1種選擇．由乘法原理，有種選擇．情況②中，需從5名英語翻譯員中選出4人，有種選擇，還需從4名日語翻譯員中選出2人，有種選擇．根據(jù)乘法原理，共有種選擇．情況③中，兩人各譯一個(gè)語種，有兩種安排即兩種選擇，剩下的需從5名英語翻譯員中選出3人，有種選擇，需從4名日語翻譯員中選出3名，有種選擇，由乘法原理，有種選擇．根據(jù)加法原理，多面手中兩人均參加，一共有種選擇．綜上所述，由加法原理，這樣的分配名單共可以開出張．（1）容易驗(yàn)證在1、2、10、11、12月內(nèi)沒有“十全時(shí)”（2）3月里只有形式032   1   □   □   符合條件，其中2個(gè)方格中可以填4或5，4條橫線上可以填6或7或8或9，所以3月里有個(gè)“十全時(shí)”．同理，4、5月里各有48個(gè)“十全時(shí)”．（3）6月里有2種形式：①061   23□   □   ，②062   1   □   □   ．①061   23□   □   中，2個(gè)方格中可以填4或5，3條橫線上可以填7或8或9，②062   1   □   □   中，2個(gè)方格中可以填3或4或5，4條橫線上可以填7或8或9或3、4、5中余下的某一個(gè)．所以6月里有個(gè)“十全時(shí)”．同理，7、8、9月里各有156個(gè)“十全時(shí)”．綜上所述，2016年一共有個(gè)這樣的“十全時(shí)”．將1，2，3，…，11；排成一圈，發(fā)現(xiàn)從中至多只能選取5個(gè)數(shù)保證菘中任意兩數(shù)的差都不等于4或7；，所以我們盡可能選取1到9之間的數(shù)，以便使多一個(gè)完整的周期．經(jīng)嘗試選取數(shù)為：1，3，4，6，9；檢驗(yàn)，，，，發(fā)現(xiàn)相鄰周期間也不存在不滿足題意的兩數(shù)．所以當(dāng)時(shí)，，，，，這915個(gè)數(shù)滿足條件且為最多．設(shè)任意兩名同臺(tái)演出n次，；當(dāng)時(shí)，m最小為7，將7人編號(hào)為1，2，…，7，7場(chǎng)演出如下：（1，2，4），（2，3，5），（3，4，6），（4，5，7），（5，6，1），（6，7，2），（7，1，3）．提示：通過余數(shù)進(jìn)行討論．數(shù)字1、2、3、4、5、6各一張的選法有36種，其中三色不全的選法有．故滿足條件的選法有種．自招鏈接根據(jù)乘法原理，所有長方形總數(shù)為（個(gè)），包含☆的長方形有（個(gè)），所以不包含☆的長方形有（個(gè)）．我們把所有的比分，畫到直角坐標(biāo)系里面．形成下圖：每個(gè)點(diǎn)可以向右或者向上走，即標(biāo)數(shù)法．所以一共14種可能性，而，所以，所求概率為． 

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