課時(shí)規(guī)范練26　平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用基礎(chǔ)鞏固組1.(2021北京人大附中高三月考)在等邊三角形ABC中,AB=1,D為AB邊的中點(diǎn),則的值為(　　)A. B. C.- D.-答案:C解析:設(shè)的夾角為θ,∵θ=120°,又D為AB邊的中點(diǎn),AB=1,∴||=.∴=||||cos120°=1××-=-.2.(2021河北張家口二模)設(shè)平面向量a=(1,0),θ為a,b間夾角,若a·b=2,cos θ=,則|b|=(　　)A.2 B.3 C.9 D.6答案:D解析:cosθ=?|b|=6.3.(2021山西太原一模)已知a,b為單位向量,且滿足|a-b|=,則|2a+b|=(　　)A B C D.2答案:C解析:a,b為單位向量,且滿足|a-b|=,所以a2-2a·b+b2=2,解得a·b=0,所以|2a+b|=4.(2021西藏拉薩二模)已知向量a=(-1,2),b=(3,2),設(shè)θ為a+b,a-b間夾角,則cos θ為(　　)A. B.- C. D.-答案:B解析:因?yàn)?/span>a=(-1,2),b=(3,2),所以a+b=(2,4),a-b=(-4,0).所以cosθ==-.5.(2021江西萍鄉(xiāng)二模)已知a與b滿足|a|=1,|b|=2,|a-2b|=,則a與b的夾角為(　　)A.120° B.90° C.60° D.30°答案:C解析:由|a-2b|=,等式左右平方得,(a-2b)2=a2-4a·b+4b2=1-4a·b+4×4=13,設(shè)θ為a,b間夾角,所以a·b=1,即1×2×cosθ=1,cosθ=,θ=60°.6.(2021吉林長春模擬)長江流域內(nèi)某地南北兩岸平行,如圖所示已知游船在靜水中的航行速度v1的大小|v1|=10 km/h,水流的速度v2的大小|v2|=4 km/h,設(shè)v1和v2所成角為θ(0<θ<π),若游船要從A航行到正北方向上位于北岸的碼頭B處,則cos θ等于(　　)河流兩岸示意圖A.- B.- C.- D.-答案:B解析:由題意知(v1+v2)·v2=0,有|v1||v2|cosθ+=0,即10×4cosθ+42=0,所以cosθ=-7.(2021貴州貴陽二模)若向量a,b滿足|a|=2,(a+2b)·a=6,則b在a方向上的射影為(　　)A.1 B.-1 C.- D.答案:D解析:設(shè)θ為a,b間夾角,由已知條件可得(a+2b)·a=a2+2a·b=4+2a·b=6,∴a·b=|a|·|b|cosθ=1,因此,b在a方向上的射影為|b|cosθ=.8.(2021山東濟(jì)南一模)已知單位向量a,b,c,滿足a+b+c=0,則a與b的夾角為(　　)A. B. C. D.答案:C解析:設(shè)θ為a,b間夾角,由a+b+c=0,得a+b=-c,所以|a+b|=|-c|,即|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=1,所以a·b=-,由a·b=|a||b|·cosθ=-,得θ=.9.(2021山西晉中三模)若向量m=(0,-2),n=(,1),寫出一個(gè)與2m+n垂直的非零向量　　　　　. 答案:(,1)(答案不唯一)解析:因?yàn)?/span>m=(0,-2),n=(,1),所以2m+n=2(0,-2)+(,1)=(,-3),設(shè)a=(x,y),x·y≠0,因?yàn)?/span>a與2m+n垂直,所以a·(2m+n)=0,即x-3y=0,令x=,則y=1,所以a=(,1).10.如圖,在Rt△ABC中,AB=AC,BC=4,O為BC的中點(diǎn),以O為圓心,1為半徑的半圓與線段OC交于點(diǎn)D,P為半圓上任意一點(diǎn),則的最小值為　　　　. 答案:2-解析:建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系, 則B(-2,0),A(0,2),D(1,0),設(shè)P(x,y),故=(x+2,y),=(1,-2),所以=x-2y+2.令x-2y+2=t,根據(jù)直線的幾何意義可知,當(dāng)直線x-2y+2=t與半圓相切時(shí),t取得最小值,由點(diǎn)到直線的距離公式可得=1,t=2-,即的最小值是2-.11.(2021北京海淀模擬)已知向量a,b滿足:|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2,則a與b的夾角為　　　　;|2a-b|=　　　　. 答案:　2解析:設(shè)θ為a,b間夾角,由題意,向量a,b滿足|a|=1,|b|=6,因?yàn)?/span>a·(b-a)=a·b-a2=a·b-1=2,可得a·b=3,則cosθ=,因?yàn)?/span>θ∈[0,π],所以θ=,即a與b的夾角為,又由|2a-b|2=4a2-4a·b+b2=4×12-4×3+62=28,所以|2a-b|=2.綜合提升組12.(2021湖南師大附中高三月考)已知a,b是非零向量且滿足(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,則a與b的夾角是(　　)A B C D答案:B解析:∵(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,∴(a-2b)·a=a2-2a·b=0,(b-2a)·b=b2-2a·b=0,∴a2=b2=2a·b,設(shè)a與b的夾角為θ,cosθ=,∵θ∈[0,π],∴θ=13.(2021四川成都二診)在△ABC中,已知AB=AC,D為BC邊中點(diǎn),點(diǎn)O在直線AD上,且=3,則BC邊的長度為(　　)A B.2 C.2 D.6答案:A解析:在△ABC中,AB=AC,D為BC邊中點(diǎn),∴AD⊥BC,在Rt△BDO中有BD=BO·cos∠OBD,且BD=,的夾角為∠OBD,即=||·||·cos∠OBD=3,=3,可得||=,所以BC邊的長度為14.(2021山東臨沂二模)點(diǎn)A,B,C在圓O上,若|AB|=2,∠ACB=30°,則的最大值為(　　)A.3 B.2 C.4 D.6答案:C解析:點(diǎn)A,B,C在圓O上,|AB|=2,∠ACB=30°,設(shè)三角形的外接圓的半徑為R,可得2R==4,所以R=2,如圖,因?yàn)?/span>|AB|=2,|OC|=R=2,所以當(dāng)共線同向時(shí),向量的數(shù)量積取得最大值4.故選C.15.若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓=1的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn),則的最大值為　　　　. 答案:6解析:由題意,得F(-1,0),設(shè)P(x0,y0),則有=1,解得=31-,因?yàn)?/span>=(x0+1,y0),=(x0,y0),所以=x0(x0+1)++x0+31-=+x0+3=(x0+2)2+2,因?yàn)?/span>-2≤x0≤2,故當(dāng)x0=2時(shí),取得最大值6.16.(2021天津部分學(xué)校高三調(diào)研)如圖,在平面四邊形ABCD中,AB⊥AD,AB=BC=2,∠ABC=,且=12,則||=　　　　　,若M是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則的取值范圍是　　　　　　. 答案:4　,18解析:因?yàn)?/span>AB=BC=2,∠ABC=,所以△ABC為正三角形,所以AC=2,∠BAC=因?yàn)?/span>AB⊥AD,所以∠CAD=因?yàn)?/span>=12,所以||||·cos=12,所以||==4.因?yàn)?/span>M是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),所以可設(shè)=t(0≤t≤1),所以=()·()=(t)·(t)=t2-t-t=(2)2t2-t·22-0+12=12t2-6t+12=12t-2+,因?yàn)?≤t≤1,所以t=時(shí),12t-2+取得最小值,當(dāng)t=1時(shí),12t-2+取得最大值18,所以的取值范圍是,18.創(chuàng)新應(yīng)用組17.已知圓O上有三點(diǎn)A,B,C,AB=2且∠ACB=90°,D為BC中點(diǎn),AD延長線與圓O交于點(diǎn)E,如圖,,則的值為(　　)A.-1 B.-C.-或-1 D.-或1答案:C解析:由∠ACB=90°,可得BA為直徑,連接BE,則∠ACB=∠AEB=90°,故()=,∴||=,∵∠BDE=∠ADC,∠AEB=∠ACB=90°,則△DBE∽△DAC.設(shè)||=2x,||=y,||=2z,∵D為BC中點(diǎn),則||=||=x,由△DBE∽△DAC可得,解得∵D為BC的中點(diǎn),則)=),當(dāng)x=z=,y=時(shí),)·()=)=-1;當(dāng)x=,y=,z=時(shí),)·()=)=-4=-綜上所述,=-1或-

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