2021-2022學年江蘇省南通市崇川區(qū)八年級（下）期末數(shù)學試卷 題號一二三總分得分      一、選擇題（本大題共10小題，共30分）函數(shù)中，自變量的取值范圍是(    )A.  B.  C.  D. 下列函數(shù)中，是的正比例函數(shù)的是(    )A.  B.  C.  D. 在學校舉行“陽光少年，勵志青春”的演講比賽中，五位評委給選手小明的評分分別為：，，，，，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是(    )A.  B.  C.  D. 如圖，將?的一邊延長至點，若，則(    )
 A.  B.  C.  D. 某校準備選派甲、乙、丙、丁中的一名隊員代表學校參加市直跳繩比賽，表中是這四名隊員選拔賽成績的平均數(shù)和方差，你覺得最適合的隊員是(    ) 甲乙丙丁平均數(shù)個分方差A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁若，是拋物線上的兩個點，則它的對稱軸是(    )A.  B.  C.  D. 某企業(yè)年產(chǎn)值從年的億元增長到年的億元，求這兩年的年平均增長率．設該企業(yè)這兩年的年平均增長率均為，由題意可列得方程是(    )A.  B.  C.  D. 如圖，直線交坐標軸于，兩點，則不等式的解集是(    )
 A.  B.  C.  D. 已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，有下列個結論：；；；其中正確的結論有(    )
 A. 個 B. 個 C. 個 D. 個如圖，正方形邊長為，點，分別是邊，上的兩個動點，且，連接，，則的最小值為(    )A.
B.
C.
D.  二、填空題（本大題共8小題，共30分）若一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則______．菱形的對角線長分別為和，則該菱形的面積等于______．某校規(guī)定學生的學期體育成績滿分為分，其中平時成績：期中成績：期末成績：：小彤的體育平時成績、期中成績、期末成績百分制依次是分、分、分，則小彤的學期體育成績是______分．把拋物線向上平移個單位得到新拋物線，這條新拋物線的解析式是______．關于的方程是一元二次方程，則______．直角三角形兩直角邊長分別為和，則斜邊上的中線長為______ ．若，是一元二次方程的兩個根，則______．二次函數(shù)的圖象過點，，若當時．隨著的增大而減小，則實數(shù)的取值范圍是______． 三、解答題（本大題共8小題，共90分）解下列方程：

 已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點．
求這個一次函數(shù)的解析式；
設圖象與軸和軸交點分別是，，求的面積．新冠肺炎疫情初期，我市教育局積極響應國家“停課不停學”的號召，推出了“線上課堂”為了解直屬中學八年級學生每天參加“線上課堂”的時間，隨機調(diào)查了市直屬中學的八年級學生．根據(jù)調(diào)查結果，繪制出如圖統(tǒng)計圖、表不完整，請根據(jù)相關信息，解答下列問題．
 時間人數(shù)本次調(diào)查的八年級學生共為______，表格中______；
本次統(tǒng)計的這組數(shù)據(jù)中，市直屬中學八年級學生每天參加“線上課堂”時間的眾數(shù)是______；
若市直屬中學八年級學生約有名，請估計學生每天參加“線上課堂”的時間為及其以上的人數(shù)．
如圖，矩形中，，，分別是邊，上的點，．
求證：四邊形是平行四邊形；
若四邊形是菱形，求菱形的邊長．
已知關于的一元二次方程．
求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；
若該方程有一根為，求的值和該方程的另一個根．月日，崇川區(qū)進行了一次全民核酸檢測，某小區(qū)上午點開始檢測，居民陸續(xù)到采集點排隊，點排隊完畢，秀秀就排隊采樣的時間和人數(shù)進行了統(tǒng)計，得到下表：時間分鐘人數(shù)人秀秀把數(shù)據(jù)在平面直角坐標系里描點連線，得到如圖所示函數(shù)圖象：
當，是的二次函數(shù)；當，是的一次函數(shù)．
如果是二次函數(shù)圖象的頂點，求二次函數(shù)解析式；
若排隊人數(shù)在人及以上，即為滿負荷狀態(tài)，問滿負荷狀態(tài)持續(xù)的時間多長？
四邊形為正方形，點為對角線上一點，連接過點作，交射線于點．

如圖，若點在邊上，求證；
以，為鄰邊作矩形，連接．
如圖，若，，求的長度；
當線段與正方形一邊的夾角是時，直接寫出的度數(shù)．平面直角坐標系中，有兩點，，我們把叫做，兩點間的“轉角距離”，記作
若為，為坐標原點，則______；
已知為坐標原點，動點滿足，請寫出與之間滿足的關系式，并在所給的直角坐標系中畫出所有符合條件的點所組成的圖形；
若，點為拋物線上一動點，求的最小“轉角距離”．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：由題意得，，
解得．
故選：．
根據(jù)被開方數(shù)大于等于列式計算即可得解．
本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍，解決本題的關鍵是二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)．
 2.【答案】 【解析】解：、，是的正比例函數(shù)，故A符合題意；
B、，是的反比例函數(shù)，故B不符合題意；
C、，是的一次函數(shù)，故C不符合題意；
D、，是的二次函數(shù)，故D不符合題意；
故選：．
根據(jù)正比例函數(shù)的定義，即可判斷．
本題考查了正比例函數(shù)的定義，熟練掌握正比例函數(shù)的定義是解題的關鍵．
 3.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了眾數(shù)的定義，眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，注意眾數(shù)可以不止一個．
眾數(shù)指一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，根據(jù)眾數(shù)的定義就可以求解．
【解答】
解：數(shù)據(jù)出現(xiàn)了兩次，次數(shù)最多，所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是．
故選B．  4.【答案】 【解析】解：在?中，，
，
故選：．
根據(jù)平行四邊形對角相等即可得出答案．
本題考查平行四邊形的性質，熟練掌握平行四邊形對角相等的性質是解題關鍵．
 5.【答案】 【解析】解：甲、丙成績的平均數(shù)大于乙、丁成績的平均數(shù)，
從甲和丙中選擇一人參加比賽，
，
最適合的隊員是甲；
故選：．
首先比較平均數(shù)，平均數(shù)相同時選擇方差較小的運動員參加即可．
此題考查了平均數(shù)和方差，正確理解方差與平均數(shù)的意義是解題關鍵．
 6.【答案】 【解析】解：因為點、在拋物線上，
根據(jù)拋物線上縱坐標相等的兩點，其橫坐標的平均數(shù)就是對稱軸，
所以，對稱軸；
故選：．
由已知，點、是該拋物線上關于對稱軸對稱的兩點，所以只需求兩對稱點橫坐標的平均數(shù)．
本題考查了二次函數(shù)的對稱性．二次函數(shù)關于對稱軸成軸對稱圖形．
 7.【答案】 【解析】解：設該企業(yè)這兩年的年平均增長率均為，
由題意得，年的產(chǎn)值為，
年的產(chǎn)值為：．
故選：．
設該企業(yè)這兩年的年平均增長率均為，則年的產(chǎn)值是，年在年的基礎上，產(chǎn)值是根據(jù)年產(chǎn)值是億元，即可列方程求解．
本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，正確找出等量關系，列出一元二次方程是解題的關鍵．
 8.【答案】 【解析】【分析】此題主要考查一次函數(shù)與一元一次不等式解集的關系；理解函數(shù)值大于的解集是軸上方的函數(shù)圖象所對應的自變量的取值是解決本題的關鍵．看在軸上方的函數(shù)圖象所對應的自變量的取值即可．
【解答】
解：直線交軸于，
不等式的解集是：，
故選：．
   9.【答案】 【解析】解：拋物線開口向下，
，
，
，
拋物線與軸的交點在軸的正半軸，
，
，錯誤；
觀察函數(shù)圖象，可知：
當時，，
，錯誤．
拋物線的對稱軸為，拋物線與軸的交點在軸的正半軸，
當時，，
，正確；
拋物線與軸有個交點，
，正確．
故選：．
根據(jù)拋物線開口方向，對稱軸的位置，與軸的交點即可判斷；當時，，即可判斷；當時，，即可判斷；根據(jù)拋物線與軸有個交點，即可判斷．
此題主要考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：二次項系數(shù)決定拋物線的開口方向和大?。寒?/span>時，拋物線向上開口；當時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)和二次項系數(shù)共同決定對稱軸的位置：當與同號時即，對稱軸在軸左；當與異號時即，對稱軸在軸右．簡稱：左同右異常數(shù)項決定拋物線與軸交點．拋物線與軸交于．
 10.【答案】 【解析】解：連接，如圖，
四邊形是正方形，
，．
又，
≌．
．
所以最小值等于最小值．
作點關于的對稱點點，如圖，
連接，則、、三點共線，
連接，與的交點即為所求的點．
根據(jù)對稱性可知，
所以．
在中，，，
，
最小值為．
故選：．
連接，利用≌轉化線段得到，則通過作點關于對稱點，連接交于點，利用勾股定理求出長即可．
本題主要考查了正方形的性質、全等三角形的判定和性質、最短距離問題，一般求兩條線段最短距離問題，都轉化為一條線段．
 11.【答案】 【解析】解：把點代入，
得：．
故答案為：．
把點代入即可求解．
本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征．解題的關鍵是明確在這條直線上的各點的坐標一定適合這條直線的解析式．
 12.【答案】 【解析】解：菱形的對角線長分別為和，
該菱形的面積
故答案為：．
直接利用菱形的面積公式計算．
本題考查了菱形的性質：菱形面積、是兩條對角線的長度．
 13.【答案】 【解析】解：小彤的成績?yōu)椋?/span>


分．
答：小彤的學期體育成績是分．
故答案為：．
根據(jù)加權平均數(shù)的公式列式計算可得．
本題考查的是加權平均數(shù)的求法，熟練掌握加權平均數(shù)的計算公式是解題的關鍵．
 14.【答案】 【解析】解：將拋物線向上平移個單位得到的新拋物線的解析式為：．
故答案是：．
根據(jù)“上加下減”的法則求得新的拋物線解析式．
本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知“上加下減，左加右減”的法則是解答此題的關鍵．
 15.【答案】 【解析】解：關于的方程是一元二次方程，
，
解得，
故答案是：．
利用一元二次方程的定義只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是的整式方程叫一元二次方程解答即可．
此題考查了一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的定義是解本題的關鍵．
 16.【答案】 【解析】解：直角三角形兩直角邊長分別為和，
斜邊長為：，
斜邊上的中線長為，
故答案為：．
根據(jù)勾股定理可以求得斜邊的長，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半，可以求得斜邊上的中線長．
本題考查勾股定理、直角三角形斜邊上的中線，解答本題的關鍵是明確題意，利用勾股定理和直角三角形的知識解答．
 17.【答案】 【解析】解：，是一元二次方程的兩個根，
，，
，
．
故答案為：．
由題意可得，，則．
本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系是解答本題的關鍵．
 18.【答案】且 【解析】解：將代入得，
將代入得，
由得，
，，
拋物線的對稱軸為直線，
當時．隨著的增大而減小，
時，，
解得，
時，，
解得，
綜上所述，且．
將已知點代入解析式，用含的代數(shù)式表示，再表示出對稱軸，根據(jù)二次函數(shù)的性質解答即可．
本題考查了二次函數(shù)的性質，解題關鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，通過分類討論求解．
 19.【答案】解：，
或，
所以，；
，
或，
所以， 【解析】利用因式分解法把原方程化為或，然后解兩個一次方程即可；
利用因式分解法把原方程化為或，然后解兩個一次方程即可．
本題考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
 20.【答案】解：一次函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點，
，
解得，，
這個一次函數(shù)的解析式為；
當時，，
當時，，解得，
函數(shù)圖象與兩坐標軸交點坐標分別為、，
，，
． 【解析】把經(jīng)過的點的坐標代入，求解得到、的值即可得解；
根據(jù)一次函數(shù)的解析式即可求出點、的坐標，然后利用三角形面積公式即可求得的面積．
本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象上點的坐標特點，待定系數(shù)法是求函數(shù)解析式常用的方法之一，需要熟練掌握．
 21.【答案】     【解析】解：本次共調(diào)查的學生人數(shù)為：，
．
故答案為：，；
由統(tǒng)計表可知，本次統(tǒng)計的這組數(shù)據(jù)中，市直屬中學八年級學生每天參加“線上課堂”時間的眾數(shù)是．
故答案為：；
人．
估計學生每天參加“線上課堂”的時間為及其以上的人數(shù)為人．
根據(jù)的人數(shù)和所占的百分比，可以計算出本次共調(diào)查的學生人數(shù)，然后即可計算出的值；
根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以寫出相應的眾數(shù)；
根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以計算出該校八年級學生每天聽“空中課堂”的時間為的人數(shù)．
本題考查眾數(shù)、中位數(shù)、用樣本估計總體，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合的思想解答．
 22.【答案】證明：四邊形是矩形，
，，
，
，
即，
四邊形是平行四邊形；
解：四邊形是菱形，
，
設，則，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即，
所以菱形的邊長是． 【解析】根據(jù)矩形的性質得出，，求出，根據(jù)平行四邊形的判定得出即可；
根據(jù)菱形的性質得出，設，根據(jù)勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
本題考查了矩形的性質，勾股定理，菱形的性質，平行四邊形的判定等知識點，能綜合運用知識點進行推理是解此題的關鍵．
 23.【答案】證明：對一元二次方程，



，
，
，即，
一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根；
解：設一元二次方程另一個根為，
則，，
，
解得，
，
答：的值是，該方程的另一個根為． 【解析】證明即可；
設一元二次方程另一個根為，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系列出方程，即可解得答案．
本題考查一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關系，解題的關鍵是掌握的符號與一元二次方程根的個數(shù)的關系及根與系數(shù)的關系．
 24.【答案】解：設二次函數(shù)解析式為：，
將代入得，
二次函數(shù)解析式為：；
設的解析式為：，
將，代入，
得：，
解得：，
的解析式為：，
將代入中，
得：，
解得：或舍去，
將代入中，
得：，
解得：，
，
滿負荷狀態(tài)的時間為分． 【解析】將，點的坐標代入二次函數(shù)解析式中即可；
利用待定系數(shù)法將一次函數(shù)解析式求出來，然后將分別代入兩個函數(shù)求出，相減即可得出答案．
本題考查了二次函數(shù)圖象與性質，一次函數(shù)圖象與性質的實際應用，解題的關鍵是正確提取圖象信息，正確求解解析式，理解問題中給出的限制條件，屬于中考必考題．
 25.【答案】證明：連接，如下圖，
直線是正方形是正方形，
，
四邊形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
；

解：四邊形為矩形，，
四邊形為正方形，
，
四邊形為正方形，
，，
，
≌，
，
，
，
，
；
當時，如下圖，

，
，
，
當時，如下圖，

，，
，
綜上，或． 【解析】連接，由正方形的對稱性得，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理可證明，進而證得，得，便可得；
證明≌得，求出的長度便可；
分兩種情況：或，分別根據(jù)四邊形的內(nèi)角和，三角形的內(nèi)角和求得結果便可．
本題主要考查正方形的性質，全等三角形的性質與判定，勾股定理，關鍵是作輔助線和證明全等三角形．
 26.【答案】 【解析】解：；
故答案為：；

為坐標原點，動點滿足，
，
所有符合條件的點組成的圖形如圖所示；

點為拋物線上一動點，
設，
，
則，
當時，，
時，的最小“轉角距離”為；
當時，，
時，的最小“轉角距離”為；
當時，，
時，的最小“轉角距離”為；
當時，，
時，的最小“轉角距離”為；
綜上可知，的最小“轉角距離”為．
由與原點的坐標，利用題中的新定義計算即可得到結果；
利用題中的新定義列出與的關系式，畫出相應的圖象即可；
由條件可得到，分情況去掉絕對值號，根據(jù)二次函數(shù)的性質進行討論即可．
此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了兩點間的“轉角距離”，函數(shù)圖象，絕對值的意義，二次函數(shù)的性質，理解題目中所給新定義是解題的關鍵，注意分類討論思想的應用．
 

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