1．習近平總書記強調(diào)：“推動中國制造向中國創(chuàng)造轉(zhuǎn)變、中國速度向中國質(zhì)量轉(zhuǎn)變、中國產(chǎn)品向中國品牌轉(zhuǎn)變．”當前，越來越多的國貨品牌獲得了市場的認可．下列國貨品牌標志圖案中是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．
2．據(jù)科技日報報道，中國已實現(xiàn)離子注入裝備28納米工藝制程全覆蓋，有力保障了我國集成電路制造行業(yè)在成熟制程領域的產(chǎn)業(yè)安全．已知長度單位1納米＝10﹣9米，用科學記數(shù)法表示28 納米是（ ）
A．28×10﹣9B．2.8×10﹣8C．2.8×10﹣9D．2.8×10﹣10
3．下列計算正確的是（ ）
A．a(chǎn)2?a3＝a6B．a(chǎn)8÷a4＝a2C．（a3）4＝a7D．（2a）3＝8a3
4．下列各組數(shù)中，不能作為直角三角形三邊長度的是（ ）
A．3，4，5B．1，1，2C．6，8，10D．5，12，13
5．如圖，點E在線段AB上，△ABC≌△DEC，∠ACD＝28°，則∠B的度數(shù)是（ ）
A．70°B．72°C．74°D．76°
6．根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分式可變形為（ ）
A．B．C．D．
7．如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝30°，CD⊥AC交AB于點D，CD＝1，則AB的長是（ ）
A．3B．C．4D．
8．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，以點A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AC，AB于點M，N，再分別以M，N為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點O，作射線AO，交BC于點E．已知AC＝3，AB＝5，則CE的長為（ ）
A．1B．C．D．
9．已知a，b，c滿足a2+b2+c2﹣4a﹣2b+2c+6＝0，則a+b﹣c的值是（ ）
A．5B．4C．3D．2
10．如圖，已知等邊△ABC的邊長為4，點D，E分別在邊AB，AC上，AE＝2BD．以DE為邊向右作等邊△DEF，則AF+BF的最小值為（ ）
A．4B．4C．4D．4
二、填空題（本大題共8小題，第11～12題每小題3分，第13～18題每小題3分，共30分.不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上）
11．使分式有意義的x的取值范圍是 ．
12．分解因式：2m2﹣8＝ ．
13．如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB，BC于點D，E，連接AE，若AD＝3，△ABC的周長為15，則△ACE的周長是 ．
14．如圖，AD是△ABC的高，分別以線段AB，BD，DC，CA為邊向外作正方形，其中3個正方形的面積如圖所示，則第四個正方形的面積為 ．
15．已知y＞3，則＝ ．
16．若關于x的方程+＝5的解為正數(shù)，則m的取值范圍是 ．
17．如圖，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點D，DE平分∠ADB，交AB與點E，EF⊥AC于點F，且交AD于點G，若AG＝2，BC＝8，則FG的長為 ．
18．已知實數(shù)x，y滿足x2﹣xy+y2＝4，則x2+xy+y2的最大值與最小值的差等于 ．
三、解答題（本大題共8小題，共90分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．計算：
（1）；
（2）4（x+1）2﹣（2x+3）（2x﹣3）．
20．先化簡，再求值：，其中．
21．如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，AD為△ABC的角平分線．以點A為圓心，AD長為半徑畫弧，與AB，AC分別交于點E，F(xiàn)，連接DE，DF．
（1）求證：△ADE≌△ADF；
（2）若∠BAC＝70°，求∠BDE的度數(shù)．
22．如圖，在平面直角坐標系中，已知A（1，2），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．
（1）在圖中作出△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1；
（2）直接寫出A1，B1，C1的坐標：A1 ，B1 ，C1 ；
（3）在x軸上求作一點P，使PA+PB的值最?。ūＡ糇鲌D痕跡，不寫作法）．
23．南通軌道交通2號線于2023年12月27日開通運營，南通地鐵迎來“雙線時代”．從2號線上甲站到乙站，小李由原來地面自駕車輛改為乘坐地鐵，相關信息如下表：
若小李乘坐地鐵比自駕車輛能節(jié)約15分鐘，求小李乘坐地鐵從甲站到乙站所用的時間是多少小時？
24．如圖，△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，BD＝1，AD＝2，CD＝8．
（1）求證：∠BAC＝90°；
（2）點P為邊BC上一點，連接AP，若△ABP為等腰三角形，求BP的長．
25．閱讀：如果兩個分式A與B的和為常數(shù)k，且k為正整數(shù)，則稱A與B互為“關聯(lián)分式”，常數(shù)k稱為“關聯(lián)值”．如分式A＝，B＝，A+B＝＝1，則A與B互為“關聯(lián)分式”，“關聯(lián)值”k＝1．
（1）若分式A＝，B＝，判斷A與B是否互為“關聯(lián)分式”，若不是，請說明理由；若是，請求出“關聯(lián)值”k；
（2）已知分式C＝，D＝，C與D互為“關聯(lián)分式”，且“關聯(lián)值”k＝2．
①M＝ （用含x的式子表示）；
②若x為正整數(shù)，且分式D的值為正整數(shù)，則x的值等于 ；
（3）若分式E＝，F(xiàn)＝（a，b為整數(shù)且c＝a+b），E是F的“關聯(lián)分式”，且“關聯(lián)值”k＝5，求c的值．
26．如圖1，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，且AD＜AB，作射線BD，CE，交于點P．
（1）當點D在線段BP上．
①求證：△ABD≌△ACE；
②判斷BD與CE的位置關系，并說明理由；
（2）△ABC和△ADE如圖2放置時，請你直接判斷（1）中①和②的結(jié)論是否仍然成立，并結(jié)合圖1、圖2計算：若BP＝8，點A到PB的距離為2，求AB的長度；
（3）如圖3，點D在邊BC上，連接BE分別交AD，AC于點F，G，取BC中點O，連接AO交BE于點M，過點A作AH⊥EF于點H，交BC于點N，連接MN，NG．若BC＝10，S△MNG＝2，則ON2+NC2＝ ．
參考答案
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項的字母代號填涂在答題卡相應位置上）
1．習近平總書記強調(diào)：“推動中國制造向中國創(chuàng)造轉(zhuǎn)變、中國速度向中國質(zhì)量轉(zhuǎn)變、中國產(chǎn)品向中國品牌轉(zhuǎn)變．”當前，越來越多的國貨品牌獲得了市場的認可．下列國貨品牌標志圖案中是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念，對各選項分析判斷即可得解；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形．
解：B，C選項中的圖形都不能找到一條直線，使圖形沿這條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；
A選項中的圖形能找到一條直線，圖形沿這條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；
故選：A．
【點評】本題考查了軸對稱圖形，正確掌握相關定義是解題關鍵．
2．據(jù)科技日報報道，中國已實現(xiàn)離子注入裝備28納米工藝制程全覆蓋，有力保障了我國集成電路制造行業(yè)在成熟制程領域的產(chǎn)業(yè)安全．已知長度單位1納米＝10﹣9米，用科學記數(shù)法表示28 納米是（ ）
A．28×10﹣9B．2.8×10﹣8C．2.8×10﹣9D．2.8×10﹣10
【分析】首先根據(jù)1納米＝10﹣9米，把28 納米化成以米為單位的量，然后根據(jù)用科學記數(shù)法表示較小的數(shù)的方法，用科學記數(shù)法表示28 納米即可．
解：∵1納米＝10﹣9米，
∴28納米＝28×10﹣9米＝2.8×10﹣8米．
故選：B．
【點評】此題主要考查了用科學記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．
3．下列計算正確的是（ ）
A．a(chǎn)2?a3＝a6B．a(chǎn)8÷a4＝a2C．（a3）4＝a7D．（2a）3＝8a3
【分析】分別根據(jù)合并同類項法則、積的乘方與冪的乘方、同底數(shù)冪的乘法和除法法則逐一計算可得．
解：A、a2?a3＝2a5，原計算錯誤，不符合題意；
B、a8÷a4＝a4，原計算錯誤，不符合題意；
C、（a3）4＝a12，原計算錯誤，不符合題意；
D、（2a）3＝8a3，正確，符合題意．
故選：D．
【點評】本題主要考查冪的乘方與積的乘方，解題的關鍵是掌握合并同類項法則、同底數(shù)冪的乘法、積的乘方與冪的乘方和同底數(shù)冪的除法法則．
4．下列各組數(shù)中，不能作為直角三角形三邊長度的是（ ）
A．3，4，5B．1，1，2C．6，8，10D．5，12，13
【分析】先分別求出兩小邊的平方和和最長邊的平方，再看看是否相等，即可判斷選項A、選項C和選項D，根據(jù)三角形三關系定理即可判斷選項B．
解：A．∵32+42＝9+16＝25，52＝25，
∴32+42＝52，
∴以3，4，5為邊能組成直角三角形，故本選項不符合題意；
B．1+1＝2，不符合三角形的三邊關系定理，不能推出是直角三角形，故本選項符合題意；
C．∵62+82＝36+64＝100，102＝100，
∴62+82＝102，
∴以6，8，10為邊能組成直角三角形，故本選項不符合題意；
D．∵52+122＝25+144＝169，132＝169，
∴52+122＝132，
∴以5，12，13為邊能組成直角三角形，故本選項不符合題意．
故選：B．
【點評】本題考查了勾股定理的逆定理和三角形三邊關系定理，能熟記勾股定理的逆定理的內(nèi)容（如果一個三角形的兩邊a、b的平方和等于第三邊c的平方，那么這個三角形是直角三角形）是解此題的關鍵．
5．如圖，點E在線段AB上，△ABC≌△DEC，∠ACD＝28°，則∠B的度數(shù)是（ ）
A．70°B．72°C．74°D．76°
【分析】先利用全等三角形的性質(zhì)得到CB＝CE，∠ACB＝∠DCE，則∠BCE＝∠ACD＝28°，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和計算出∠B的度數(shù)．
解：∵△ABC≌△DEC，
∴CB＝CE，∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE，
即∠BCE＝∠ACD＝28°，
∵CB＝CE，
∴∠B＝∠CEB＝（180°﹣∠BCE）＝×（180°﹣28°）＝76°．
故選：D．
【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應邊相等；全等三角形的對應角相等．
6．根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分式可變形為（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)分式的性質(zhì)：分式的分子、分母異號得負，可得答案．
解：∵＝﹣，
故選：C．
【點評】本題考查了分式的性質(zhì)，分式的分子分母同號得正，異號得負．
7．如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝30°，CD⊥AC交AB于點D，CD＝1，則AB的長是（ ）
A．3B．C．4D．
【分析】由等腰三角形的性質(zhì)推出∠A＝∠B＝30°，求出∠ACB＝120°，由垂直的定義得到∠ACD＝90°，由含30度角的直角三角形的性質(zhì)推出AD＝2CD＝2×1＝2，求出∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝30°，得到∠BCD＝∠B，因此BD＝CD＝1，于是得到AB＝AD+BD＝2+1＝3．
解：∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵CD⊥AC，
∴∠ACD＝90°，
∴AD＝2CD＝2×1＝2，
∵∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝120°﹣90°＝30°，
∴∠BCD＝∠B，
∴BD＝CD＝1，
∴AB＝AD+BD＝2+1＝3．
故選：A．
【點評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形，關鍵是由含30度角的直角三角形的性質(zhì)得到AD＝2CD；由等角對等邊判定CD＝BD．
8．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，以點A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AC，AB于點M，N，再分別以M，N為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點O，作射線AO，交BC于點E．已知AC＝3，AB＝5，則CE的長為（ ）
A．1B．C．D．
【分析】過點E作EH⊥AB于點H．根據(jù)S△ABC＝?AC?BC＝?AC?EC+?AB?EH，求解即可．
解：過點E作EH⊥AB于點H．
∵AE平分∠CAB，EC⊥AC，EH⊥AB，
∴EC＝EH，
∵∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，
∴BC＝＝＝4，
∵S△ABC＝?AC?BC＝?AC?EC+?AB?EH，
∴EC＝＝＝．
故選：C．
【點評】本題考查作圖﹣基本作圖，角平分線的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，利用面積法解決問題．
9．已知a，b，c滿足a2+b2+c2﹣4a﹣2b+2c+6＝0，則a+b﹣c的值是（ ）
A．5B．4C．3D．2
【分析】依據(jù)題意，將a2+b2+c2﹣4a﹣2b+2c+6＝0變形為a2﹣4a+4+b2﹣2b+1+c2+2c+1＝0，從而（a﹣2）2+（b﹣1）2+（c+1）2＝0，故可得a﹣2＝0，b﹣1＝0，c+1＝0，求出a，b，c，再代入計算可以得解．
解：由題意，∵a2+b2+c2﹣4a﹣2b+2c+6＝0，
∴a2﹣4a+4+b2﹣2b+1+c2+2c+1＝0．
∴（a﹣2）2+（b﹣1）2+（c+1）2＝0．
∴a﹣2＝0，b﹣1＝0，c+1＝0．
∴a＝2，b＝1，c＝﹣1．
∴a+b﹣c＝2+1+1＝4．
故選：B．
【點評】本題主要考查了配方法的應用，解題時要熟練掌握并能靈活運用是關鍵．
10．如圖，已知等邊△ABC的邊長為4，點D，E分別在邊AB，AC上，AE＝2BD．以DE為邊向右作等邊△DEF，則AF+BF的最小值為（ ）
A．4B．4C．4D．4
【分析】作EH⊥AB于點H，作射線CF，由等邊三角形的性質(zhì)得∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝∠DEF＝60°，AC＝AB＝BC，EF＝DE，可證明∠CEF＝∠HDE，再由AE＝2AH，AE＝2BD，證明AH＝BD，推導出CE＝HD，進而證明△CEF≌△HDE，得∠ECF＝∠DHE＝90°，可知點F在經(jīng)過點C且與AC垂直的直線上運動，作BL⊥AB交AC的延長線于點L，可證明點L與點A關于直線CF對稱，則LF＝AF，由LF+BF≥BL，得AF+BF≥BL，由AB＝AC＝BC＝LC＝4，得AL＝2AC＝8，所以BL＝＝4，則AF+BF≥4，所以AF+BF的最小值為4，于是得到問題的答案．
解：作EH⊥AB于點H，作射線CF，則∠DHE＝∠AHE＝90°，
∵△ABC和△DEF都是等邊三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝∠DEF＝60°，AC＝AB＝BC，EF＝DE，
∴∠CEF＝180°﹣∠DEF﹣∠AED＝120°﹣∠AED，∠HDE＝180°﹣∠BAC﹣∠AED＝120°﹣∠AED，
∴∠CEF＝∠HDE，
∴∠AEH＝90°﹣∠BAC＝30°，
∴AE＝2AH，
∵AE＝2BD，
∴2AH＝2BD，
∴AH＝BD，
∴CE＝AC﹣AE＝AC﹣2AH，HD＝AB﹣AH﹣BD＝AC﹣2AH，
∴CE＝HD，
在△CEF和△HDE中，
，
∴△CEF≌△HDE（SAS），
∴∠ECF＝∠DHE＝90°，
∴CF⊥AC，
∴點F在經(jīng)過點C且與AC垂直的直線上運動，
作BL⊥AB交AC的延長線于點L，則∠ABL＝90°，
∴∠ALB＝90°﹣∠BAC＝30°，
∴∠CBL＝∠ACB﹣∠ALB＝30°，
∴∠ALB＝∠CBL，
∴LC＝BC＝AC，
∴點L與點A關于直線CF對稱，
∴LF＝AF，
∵LF+BF≥BL，
∴AF+BF≥BL，
∵AB＝AC＝BC＝4，
∴AC＝LC＝BC＝4，
∴AL＝2AC＝8，
∴BL＝＝＝4，
∴AF+BF≥4，
∴AF+BF的最小值為4，
故選：C．
【點評】此題重點考查等邊三角形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半、全等三角形的判定與性質(zhì)、兩點之間線段最短等知識，正確地作出輔助線是解題的關鍵．
二、填空題（本大題共8小題，第11～12題每小題3分，第13～18題每小題3分，共30分.不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上）
11．使分式有意義的x的取值范圍是 x≠﹣1 ．
【分析】根據(jù)分式的分母不為0列出不等式，解不等式得到答案．
解：由題意得：x+1≠0，
解得：x≠﹣1，
故答案為：x≠﹣1．
【點評】本題考查的是分式有意義的條件，掌握分式的分母不為0是解題的關鍵．
12．分解因式：2m2﹣8＝ 2（m+2）（m﹣2） ．
【分析】先提取公因式2，再對余下的多項式利用平方差公式繼續(xù)分解因式．
解：2m2﹣8，
＝2（m2﹣4），
＝2（m+2）（m﹣2）．
故答案為：2（m+2）（m﹣2）．
【點評】本題考查了提公因式法與公式法分解因式，要求靈活使用各種方法對多項式進行因式分解，一般來說，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考慮運用公式法分解．
13．如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB，BC于點D，E，連接AE，若AD＝3，△ABC的周長為15，則△ACE的周長是 9 ．
【分析】由線段垂直平分線的性質(zhì)推出AD＝BD＝3，AE＝BE，得到AB＝2AD＝6，由△ABC的周長＝15，得到BC+AC＝9，于是得到△ACE的周長＝AE+EC+AC＝BC+AC＝9．
解：∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD＝3，AE＝BE，
∴AB＝2AD＝6，
∵△ABC的周長＝AB+BC+AC＝15，
∴BC+AC＝9，
∴△ACE的周長＝AE+EC+AC＝BE+EC+AC＝BC+AC＝9．
搞答案為：9．
【點評】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，關鍵是由線段垂直平分線的性質(zhì)得到AD＝BD＝3，AE＝BE．
14．如圖，AD是△ABC的高，分別以線段AB，BD，DC，CA為邊向外作正方形，其中3個正方形的面積如圖所示，則第四個正方形的面積為 2 ．
【分析】根據(jù)AD是△ABC的高得出∠ADB＝∠ADC＝90°，然后根據(jù)勾股定理分別求出AD、CD的長即可．
解：由圖形得，AB2＝16，BD2＝8，AC2＝10，
∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC，
即∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ADB中，由勾股定理得，AD2＝AB2﹣BD2＝16﹣8＝8，
在Rt△ADC中，由勾股定理得，CD2＝AC2﹣BD2＝10﹣8＝2，
∴第四個正方形的面積為2，
故答案為：2．
【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．
15．已知y＞3，則＝ 3﹣y ．
【分析】先把分子因式分解，再約分即可．
解：原式＝＝3﹣y．
故答案為：3﹣y．
【點評】本題考查了分式的約分，熟練掌握因式分解和分式的基本性質(zhì)是關鍵．
16．若關于x的方程+＝5的解為正數(shù)，則m的取值范圍是 m＜且m≠ ．
【分析】先解分式方程，再根據(jù)方程的解為正數(shù)，得不等式，求解不等式即可．
解：+＝5，
去分母，得x﹣m﹣2m＝5（x﹣1），
∴x﹣3m＝5x﹣5，
∴﹣4x＝﹣5+3m．
∴x＝．
∵方程的解為正數(shù)，且x≠1．
∴＞0，且≠1．
∴m＜且m≠．
故答案為：m＜且m≠．
【點評】本題考查了分式方程，掌握分式方程的解法及一元一次不等式的解法是解決本題的關鍵．
17．如圖，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點D，DE平分∠ADB，交AB與點E，EF⊥AC于點F，且交AD于點G，若AG＝2，BC＝8，則FG的長為 ．
【分析】連接CG，先利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得BD＝CD＝BC＝4，∠BAD＝∠CAD，再根據(jù)垂直定義可得∠AFG＝90°，從而可得∠CAD+∠AGF＝90°，再根據(jù)等角的余角相等可得∠B＝∠AGF，然后利用對頂角相等可得∠EGD＝∠AGF，從而可得∠B＝∠EGD，再利用角平分線的定義可得∠ADE＝∠BDE，從而利用AAS證明△BDE≌△GDE，進而利用全等三角形的性質(zhì)可得BD＝DF＝4，最后利用線段的和差關系可得AD＝6，從而在Rt△ACD中，利用勾股定理求出AC的長，再利用面積法進行計算，即可解答．
解：連接CG，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝BC＝4，∠BAD＝∠CAD，
∵EF⊥AC，
∴∠AFG＝90°，
∴∠CAD+∠AGF＝90°，
∵∠BAD+∠B＝90°，
∴∠B＝∠AGF，
∵∠EGD＝∠AGF，
∴∠B＝∠EGD，
∵DE平分∠ADB，
∴∠ADE＝∠BDE，
∵DE＝DE，
∴△BDE≌△GDE（AAS），
∴BD＝DF＝4，
∵AG＝2，
∴AD＝AG+DG＝2+4＝6，
∴AC＝＝＝2，
∵△ACG的面積＝AC?FG＝AG?CD，
∴AC?FG＝AG?CD，
∴2FG＝2×4，
∴FG＝，
故答案為：．
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．
18．已知實數(shù)x，y滿足x2﹣xy+y2＝4，則x2+xy+y2的最大值與最小值的差等于 ．
【分析】依據(jù)題意，設x2+xy+y2＝w①，又x2﹣xy+y2＝4②，則①+②得，2（x2+y2）＝w+4，即x2+y2＝；①﹣②得，2xy＝w﹣4，進而x2+y2+2xy＝（x+y）2＝+w﹣4＝≥0，x2+y2﹣2xy＝（x﹣y）2＝﹣w+4＝≥0，從而≤w≤12，故x2+xy+y2的最大值與最小值分別為12和，最后可以計算得解．
解：由題意，設x2+xy+y2＝w①，
又x2﹣xy+y2＝4②，
∴①+②得，2（x2+y2）＝w+4，
即x2+y2＝；
①﹣②得，2xy＝w﹣4．
∴x2+y2+2xy＝（x+y）2＝+w﹣4＝≥0，x2+y2﹣2xy＝（x﹣y）2＝﹣w+4＝≥0．
∴≤w≤12．
∴x2+xy+y2的最大值與最小值分別為12和．
∴x2+xy+y2的最大值與最小值的差等于．
故答案為：．
【點評】本題主要考查了配方法的應用，解題時要熟練掌握并能靈活運用是關鍵．
三、解答題（本大題共8小題，共90分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．計算：
（1）；
（2）4（x+1）2﹣（2x+3）（2x﹣3）．
【分析】（1）先根據(jù)有理數(shù)的乘法法則，零指數(shù)冪和負整數(shù)指數(shù)冪進行計算，再算加法即可；
（2）先根據(jù)完全平方公式和平方差公式進行計算，再去括號，最后合并同類項即可．
解：（1）
＝16+1+4
＝21；
（2）4（x+1）2﹣（2x+3）（2x﹣3）
＝4（x2+2x+1）﹣（4x2﹣9）
＝4x2+8x+4﹣4x2+9
＝8x+13．
【點評】本題考查了零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，有理數(shù)的混合運算和整式的混合運算等知識點，能正確根據(jù)有理數(shù)的運算法則和整式的運算法則進行計算是解此題的關鍵．
20．先化簡，再求值：，其中．
【分析】先變形，再根據(jù)分式的加法法則進行計算，再根據(jù)分式的除法法則把除法變成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
解：
＝（﹣+）÷
＝?
＝，
當時，原式＝．
【點評】本題考查了分式的化簡求值，能正確根據(jù)分式的運算法則進行計算是解此題的關鍵．
21．如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，AD為△ABC的角平分線．以點A為圓心，AD長為半徑畫弧，與AB，AC分別交于點E，F(xiàn)，連接DE，DF．
（1）求證：△ADE≌△ADF；
（2）若∠BAC＝70°，求∠BDE的度數(shù)．
【分析】（1）由角平分線定義得出∠BAD＝∠CAD．由作圖知：AE＝AF．由SAS可證明△ADE≌△ADF；
（2）由作圖知：AE＝AD．得出∠AED＝∠ADE，由等腰三角形的性質(zhì)求出∠ADE＝71°，則可得出答案．
【解答】（1）證明：∵AD是△ABC的角平分線，
∴∠BAD＝∠CAD．
由作圖知：AE＝AF．
在△ADE和△ADF中，
，
∴△ADE≌△ADF（SAS）；
（2）解：∵∠BAC＝70°，AD為△ABC的角平分線，
∴∠EAD＝∠BAC＝35°，
由作圖知：AE＝AD．
∴∠AED＝∠ADE，
∴∠ADE＝×（180°﹣35°）＝72.5°，
∵AB＝AC，AD為△ABC的角平分線，
∴AD⊥BC．
∴∠BDE＝90°﹣∠ADE＝17.5°．
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關鍵．
22．如圖，在平面直角坐標系中，已知A（1，2），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．
（1）在圖中作出△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1；
（2）直接寫出A1，B1，C1的坐標：A1 （﹣1，2） ，B1 （﹣3，1） ，C1 （2，﹣1） ；
（3）在x軸上求作一點P，使PA+PB的值最?。ūＡ糇鲌D痕跡，不寫作法）．
【分析】（1）根據(jù)關于y軸對稱的點，縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，找到A1、B1、C1，依次連接即可；
（2）根據(jù)關于y軸對稱的點，縱坐標不邊，橫坐標變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)即可得到A1、B1、C1坐標．
（3）找得A關于x軸的對稱點A2（1，﹣2），利用兩點之間線段最短即可求解．
解：（1）如圖所示，△A1B1C1就是所求的圖形．
（2）∵△A1B1C1與△ABC關于y軸對稱，A（1，2），B（3，1），C（﹣2，﹣1），
∴A（﹣1，2），B（﹣3，1），C（2，﹣1），
故答案為：（﹣1，2），（﹣3，1），（2，﹣1）；
（3）取點A關于x軸的對稱點A2（1，﹣2），連接A2B，與x軸交點即為點P，如圖，此時PA+PB的值最小．
【點評】本題考查了作圖﹣軸對稱變換，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解答本題的關鍵．
23．南通軌道交通2號線于2023年12月27日開通運營，南通地鐵迎來“雙線時代”．從2號線上甲站到乙站，小李由原來地面自駕車輛改為乘坐地鐵，相關信息如下表：
若小李乘坐地鐵比自駕車輛能節(jié)約15分鐘，求小李乘坐地鐵從甲站到乙站所用的時間是多少小時？
【分析】先根據(jù)題意列出關于a的方程，求出a的值，再求小李乘坐地鐵從甲站到乙站所用的時間．
解：由題意可得，，
解得：a＝42，
經(jīng)檢驗，a＝42是原方程的解，
12÷42＝（小時），
答：小李乘坐地鐵從甲站到乙站所用的時間是小時．
【點評】本題主要考查分式方程的應用，找出等量關系，求出a的值是解題的關鍵．
24．如圖，△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，BD＝1，AD＝2，CD＝8．
（1）求證：∠BAC＝90°；
（2）點P為邊BC上一點，連接AP，若△ABP為等腰三角形，求BP的長．
【分析】（1）在Rt△ABD中利用勾股定理可求AB2，同理在Rt△ACD中利用勾股定理可求AC2，而BC＝CD+BD＝9，易求AC2+AB2＝81＝BC2，從而可知△ABC是直角三角形．
（2）分三種情況：①當BP＝AB時；②當BP＝AP時；③當AP＝AB時；分別求出BP的長即可．
【解答】（1）證明：∵AD⊥BC，AD＝2，BD＝1，
∴AB2＝AD2+BD2＝9，
又∵AD⊥BC，CD＝8，AD＝2，
∴AC2＝CD2+AD2＝72，
∵BC＝CD+BD＝9，
∴BC2＝81，
∴AC2+AB2＝81＝BC2，
△ABC是直角三角形．
∴∠BAC＝90°．
（2）解：分三種情況：
①當BP＝AB時，
∵AD⊥BC，
∴AB＝＝3，
∴BP＝AB＝3；
②當BP＝AP時，P是BC的中點，
∴BP＝BC＝4.5；
③當AP＝AB時，BP＝2BD＝2；
綜上所述：BP的長為3或2或4.5．
【點評】本題考查勾股定理、勾股定理的逆定理的應用以及等腰三角形的性質(zhì)．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．
25．閱讀：如果兩個分式A與B的和為常數(shù)k，且k為正整數(shù)，則稱A與B互為“關聯(lián)分式”，常數(shù)k稱為“關聯(lián)值”．如分式A＝，B＝，A+B＝＝1，則A與B互為“關聯(lián)分式”，“關聯(lián)值”k＝1．
（1）若分式A＝，B＝，判斷A與B是否互為“關聯(lián)分式”，若不是，請說明理由；若是，請求出“關聯(lián)值”k；
（2）已知分式C＝，D＝，C與D互為“關聯(lián)分式”，且“關聯(lián)值”k＝2．
①M＝ ﹣5x﹣15 （用含x的式子表示）；
②若x為正整數(shù)，且分式D的值為正整數(shù)，則x的值等于 2 ；
（3）若分式E＝，F(xiàn)＝（a，b為整數(shù)且c＝a+b），E是F的“關聯(lián)分式”，且“關聯(lián)值”k＝5，求c的值．
【分析】（1）根據(jù)已知條件中的新定義，求出A+B并進行化簡即可；
（2）①根據(jù)已知條件中的新定義，列出，然后進行化簡，求出M即可；
②把①中求出的M代入D，然后化簡，根據(jù)已知條件，求出x的值即可；
（3）根據(jù)條件中的新定義，求出E+F并化簡，從而列出關于a，b的二元一次方程組，求出a，b，再代入c＝a+b進行計算即可．
解：（1）A與B是互為“關聯(lián)分式”，理由如下：
∵分式，，
∴，
∴A與B是互為“關聯(lián)分式”，“關聯(lián)值”k為2；
（2）①∵分式C＝，D＝，C與D互為“關聯(lián)分式”，且“關聯(lián)值”k＝2，
∴，
，
，
2x2+5x+M﹣3＝2x2﹣18，
∴M＝2x2﹣18﹣2x2﹣5x+3＝﹣5x﹣15，
故答案為：﹣5x﹣15；
②，
∵分式D的值為正整數(shù)，
∴x﹣3是﹣5的約數(shù)，即x﹣3＝﹣1或﹣5，
解得：x＝2或﹣2，
∵x為正整數(shù)，
∴x＝2，
故答案為：2；
（3）∵E是F的“關聯(lián)分式”，
∴，
，
，
（5+c﹣a﹣b）x+ab﹣5c＝5x﹣20，
∵c＝a+b，
∴5x+ab﹣5（a+b）＝5x﹣20，
∴ab﹣5（a+b）＝﹣20，
ab﹣5a＝5b﹣20，
a（b﹣5）＝5b﹣20，
，
∵a，b為整數(shù)，
∴b﹣5一定是5的約數(shù)，
∴b﹣5＝﹣1或﹣5或1或5，
解得：b＝4或0或6或10，
∴a＝0或4或10或6，
∴c＝a+b＝4+0＝4或10+6＝16，
∴c的值為4或16．
【點評】本題主要考查了分式的有關計算和分式中的新定義問題，解題關鍵是熟練掌握分式的化簡和新定義的含義．
26．如圖1，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，且AD＜AB，作射線BD，CE，交于點P．
（1）當點D在線段BP上．
①求證：△ABD≌△ACE；
②判斷BD與CE的位置關系，并說明理由；
（2）△ABC和△ADE如圖2放置時，請你直接判斷（1）中①和②的結(jié)論是否仍然成立，并結(jié)合圖1、圖2計算：若BP＝8，點A到PB的距離為2，求AB的長度；
（3）如圖3，點D在邊BC上，連接BE分別交AD，AC于點F，G，取BC中點O，連接AO交BE于點M，過點A作AH⊥EF于點H，交BC于點N，連接MN，NG．若BC＝10，S△MNG＝2，則ON2+NC2＝ 17 ．
【分析】（1）①由∠BAC＝∠DAE＝90°得∠BAD＝∠CAE，進而得出△ABD≌△ACE；
②由①得：∠ABD＝ACE，進而∠CPO＝∠BAC＝90°，從而BD與CE垂直；
（2）設AB與CE交于點O，CE與DF交于點F，可證得△BAD≌△CAE，進而∠ABD＝∠ACE，進一步得出結(jié)論；當CE與BD的延長線相交于點P時，連接AP，作AF⊥AC，交BP于F，可證得△BAF≌△CAP，從而AF＝AP，進而得出PG＝AG＝2，從而求得BG＝BP﹣PG＝8﹣2＝6，進一步得出結(jié)果；當線段BD與線段CE交于點P時，連接AP，作AF⊥AP，交BD于F，由上知：PG＝AG＝2，同樣方法得出結(jié)果；
（3）連接CM，可 證得△BOM≌△AON，從而OM＝ON，進而 推出MN∥AC，從而S△CMN＝S△MNG＝2，從而CN?OM＝2，進一步得出結(jié)果．
【解答】（1）①證明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
②解：如圖1，
設AC與BP交于點O，
由①得：∠ABD＝ACE，
∵∠AOB＝∠COP，
∴∠CPO＝∠BAC＝90°，
∴BD與CE垂直；
（2）解：如圖2，
BD與CE垂直仍然成立，理由如下：
設AB與CE交于點O，CE與DF交于點F，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，
∴∠BAC+∠BAE＝∠DAE+∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠AOC＝∠BOE，
∴∠BFO＝∠BAC＝90°，
∴BD與CE垂直，
如圖3，
當CE與BD的延長線相交于點P時，
連接AP，作AF⊥AC，交BP于F，
∴∠PAF＝∠BAC＝90°，
∴∠BAF＝∠CAP，
由上可知：∠ACE＝∠ABD，
∵AB＝AC，
∴△BAF≌△CAP（ASA），
∴AF＝AP，
∴FG＝PG，
∴PG＝AG＝2，
∴BG＝BP﹣PG＝8﹣2＝6，
∴AB＝＝＝2，
如圖4，
當線段BD與線段CE交于點P時，
連接AP，作AF⊥AP，交BD于F，
由上知：PG＝AG＝2，
∴BG＝BP+PG＝10，
∴AB＝＝2，
綜上所述：AB＝2或2；
（3）解：如圖5，
連接CM，
∵AB＝AC，O是BC的中點，∠BAC＝90°，
∴OA⊥BC，OA＝OB＝BC，∠ACB＝∠ABC＝45°，
∴∠BOM＝90°，
∵AH⊥BG，
∴∠AHM＝90°，
∵∠AMH＝∠BMO，
∴∠OBM＝∠OAN，
∴△BOM≌△AON（ASA），
∴OM＝ON，
∴∠ONM＝∠OMN＝45°，
∴∠ONM＝ACB，
∴MN∥AC，
∴S△CMN＝S△MNG＝2，
∴CN?OM＝2，
∴ON?CN＝4，
∴ON?（5﹣ON）＝4，
∴ON2﹣5ON＝﹣4，
∴ON2+NC2＝ON2+（5﹣ON）2＝2（ON2﹣5ON）+25＝2×（﹣4）+25＝17，
故答案為：17．
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解決問題的關鍵是作輔助線，轉(zhuǎn)化條件．
自駕車輛
乘坐地鐵
路程/（km）
15
12
平均速度/（km/h）
a
a
自駕車輛
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平均速度/（km/h）
a
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