湖南省高二年級期末考試試卷數(shù)  學(xué)一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1. 已知集合，則（    ）A.        B.        C.       D. 2. （    ）A.        B.       C.       D. 3. 某社區(qū)衛(wèi)生室為了了解該社區(qū)居民的身體健康狀況，對該社區(qū)1100名男性居民和900名女性居民按性別采用等比例分層隨機抽樣的方法進行抽樣調(diào)查，抽取了一個容量為100的樣本，則應(yīng)從男性居民中抽取的人數(shù)為（    ）A. 45       B. 50       C. 55       D. 604. 在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足關(guān)系式，其中星等為的星的亮度為.已知牛郎星的星等是0.75，織女星的星等是0，則牛郎星與織女星的亮度的比值為（    ）A.       B.       C.       D. 5. 已知向量滿足，且，則 （    ）A. 6      B. 8      C. 36       D. 646. 已知是坐標原點，是拋物線的焦點，是上一點，且，則的面積為（    ）A. 8      B. 6       C. 4      D. 27. 已知是直線上任意一點，過點作兩條直線與圓相切，切點分別為，則的最小值為（    ）A.       B.       C.        D. 8. 方形是中國古代城市建筑最基本的形態(tài)，它體現(xiàn)的是中國文化中以綱常倫理為代表的社會生活規(guī)則.中國古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各種方形建筑.如圖，用大小相同的竹棍構(gòu)造一個大正方體（由8個大小相同的小正方體構(gòu)成），若一只螞蟻從點出發(fā).沿著竹棍到達點，則螞蟻選擇的不同的最短路徑共有（    ）A. 48種       B. 60種       C. 72種       D. 90種二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9. 下列函數(shù)的最小值為8的是 （    ）A.        B.       C.       D. 10. 已知，函數(shù)的最小正周期為，則（    ）A. 在上單調(diào)遞增             B. 直線是圖象的一條對稱軸C. 點是圖象的一個對稱中心       D. 在上的最大值為011. 古希臘人十分重視數(shù)學(xué)與邏輯，閑暇之余喜歡在沙灘上玩數(shù)字游戲，如圖，古希臘學(xué)者用石頭擺出三角形圖案，第1行有1顆石頭，第二行有2顆，以此類推，第行有顆，第行第顆 石頭記為表示從第1行第1顆至第行第顆石頭的總數(shù)，設(shè)，則 （    ）A.             B.              C.             D. 12. 在正方體中，動點滿足，其中，，且，則（     ）A. 對于任意的，且，都有平面平面B. 當時，三棱錐的體積為定值C. 當時，不存在點，使得D.  當時，存在點，使得三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13. 已知函數(shù)是奇函數(shù)，則實數(shù)__________.14. 已知“”是“”的必要不充分條件，則的取值范圍是_____________.15. 已知圓錐的母線長為，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的底面半徑為__________，體積為__________.（本題第一空3分，第二空2分）16. 已知分別是橢圓和左、右焦點，是橢圓上一點，且.若以點為圓心，為半徑的圓與直線相切，則橢圓的離心率為________.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（10分）在條件①，②，其中為的面積中任選一個，補充在下面的橫線上，然后解答補充完整的題目.已知的內(nèi)角所對的邊分別是，且__________.（1）求角；（2）若外接圓的周長為，求周長的取值范圍.（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）18.（12分）正項數(shù)列的前項和為，已知.（1）若是等差數(shù)列，求的通項公式；（2）是否存在實數(shù)，使得是等比數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.19.（12分）函數(shù)的圖象在點處的切線恰好經(jīng)過點.（1）求；（2）已知函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求的取值范圍.20.（12分）如圖，在梯形中，已知，為的中點，將沿著翻折至，連接.（1）證明：；（2）若二面角的大小為60°，求與平面所成角的正弦值.21.（12分）某單位了為激發(fā)黨員學(xué)習(xí)黨史的積極性，現(xiàn)利用“學(xué)習(xí)強國”中特有的“四人賽”答題活動進行比賽，活動規(guī)則 如下：一天內(nèi)參與“四人賽”活動，僅前兩局比賽可獲得積分，第一局獲勝3分，第二局獲勝得2分，失敗均得1分.小張周一到周五每天都參加了兩局“四人賽”活動，已知小張第一局和第二局比賽獲勝的概率分別為，，且各局比賽互不影響.（1）若，記小張一天中參加“四人賽”活動的得分為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）設(shè)小張在這5天的“四人賽”活動中，恰有3天每天得分不低于4分的概率為，試問當為何值時，取得最大值？22.（12分）已知雙曲線的右焦點為，點到的一條漸近線的距離為，過點的直線與相交于兩點.當軸時，.（1）求的方程；（2）若，是直線上一點，當三點共線時，判斷直線的斜率是否為定值.若是定值，求出該定值；若不是定值，說明理由.              參考答案1. A 因為，所以.2. C .3. C 應(yīng)從男性居民中抽取的人數(shù)為.4. B 因為，所以.5. B 因為，所以.因為，所以.6. C 由題可知，解得，所以的面積為.7. A 圓是以為圓心，2為半徑的圓，由題可知，當最小時，的值最小. ，當取得最小值時，最大，最小.點到直線的距離，故當時，最大，且最大值為，此時，則.8．D 由題意可知，從到最少需要6步完成，其中有2步是橫向的，2步是縱向的，2步是豎向的，則螞蟻選擇的不同的最短路徑共有種.9. CD   對于A，當時，顯然不滿足題意；對于B，因為，，當且僅當時，等號成立，因為等號取不到，所以其最小值不為8，B不符合題意；對于C，，當且僅當，即時，等號成立，所以其最小值為8，C符合題意；對于D，，當時，取得最小值，D符合題意.10. ACD  ，由的最小正周期為，得，所以.令，，得，，A正確.令，，則，，B不正確.令，，得，，可知是圖象的一個對稱中心，C正確.當時，，的最大值為0，D正確.11. ABD  由題意可知，，B正確；，所以，A正確；，D正確；，C不正確.12. ABC  因為，，，所以平面.易證平面，因為平面，所以平面平面，即平面平面，A正確.當時，點在線段上運動，因為平面，所以點到平面的距離不變，，故三棱錐的體積為定值，B正確.如圖（1）所示，當時，分別在線段上取點，且.過點作的平行線且交于點，則點在線段上運動，易證.又，，所以直線與直線之間的距離為，則以為直徑的圓與線段沒有交點，所以不存在點，使得，C正確.如圖（2）所示，分別取線段，，的中點，當時，點在直線上運動.易證四點共面，因為，所以為球心，為半徑的球經(jīng)過點.又，所以，即點在球面上或球面外，此時，D不正確.13. -1  因為是奇函數(shù)，所以，所以14.   不等式等價于，即，解得.因為“”是“”的必要不充分條件，所以，即的取值范用為.15. ；  設(shè)圓錐的底面半徑為，則，解得，該圓錐的高，體積為16.   如圖，過點作直線，垂足為，連接，由知，，所以，則，所以.在中，由余弦定理知，.因為，所以，則.所以.17. 解：（1）選擇①因為，由正弦定理得因為，所以因為.所以選擇②因為，且所以.則因為，所以.（2）因為外接圓的周長為，所以外接圓的直徑為.由正弦定理得，則由余弦定理得.因為，所以，即，當且僅當時，等號成立，又因為，所以，則.故周長的取值范圍為18.解：（1）當時，，又，所以當時，，即因為是等差數(shù)列，設(shè)的公差為，所以，解得，則，故的通項公式為.（2）假設(shè)存在實數(shù)，使得是等比數(shù)列.由（1）可知，，因為是等比數(shù)列，所以，即，解得，此時，不符合題意，則假設(shè)錯誤.故不存在實數(shù)，使得是等比數(shù)列.19. 解：（1）由題可知，則，又，所以函數(shù)的圖象在點處的切線方程為.即.因為點在切線上，所以，解得.（2）由已知可得在上恒成立，所以，即，所以的取值范圍為.20.（1）證明：連接，交于點，連接，因為，為的中點，所以，又四邊形為梯形，則四邊形為菱形，所以.又，是的中點，所以，因為平面，平面，，所以平面.又平面，所以.（2）解：以點為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，因為二面角的大小為60°，所以，易得，則.平面的一個法向量，設(shè)與平面所成的角為，則.21. 解：（1）由題可知，   的可能取值為2，3，4，5，因為，所以，，.故的分布列為2345.（2）設(shè)一天得分不低于4分為事件，則，則，，則當時，；當時，.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當時，取得最大值.22. 解：（1）根據(jù)對稱性，不妨設(shè)到直線的距離為，則.當軸時，，則.故的方程為（2）設(shè)，當直線的斜率不為0時，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，化簡得，由，得，則，設(shè)，因為三點共線，所以，整理得因為，所以，即直線的斜率為定值0，當直線的斜率為0時，都在軸上，則直線的斜率為定值0，綜上所述，直線 的斜率為定值0.             

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