高二期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題本試卷共8頁，22題。全卷滿分150分。考試用時(shí)120分鐘。注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3.非選擇題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合，，則真子集的個(gè)數(shù)為（    ）A.7 B.8 C.15 D.162.1748年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系，并寫出以下公式（，為虛數(shù)單位），這個(gè)公式在復(fù)變論中占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)此公式，化簡(jiǎn)的結(jié)果為（    ）A.2 B. C. D.3.已知，且，則（    ）A. B. C. D.4.已知向量、滿足，，則（    ）A. B.2 C. D.5.“五一”假期期間，某旅游景區(qū)為加強(qiáng)游客的安全工作，決定增派甲、乙、丙、丁四位工作人員到、、三景點(diǎn)進(jìn)行安全防護(hù)宣傳，增派的每位工作人員必須到一個(gè)景點(diǎn)，且只能到一個(gè)景點(diǎn)做安全防護(hù)宣傳，每個(gè)景點(diǎn)至少增派一位工作人員.因工作需要，乙不能去景點(diǎn)，甲和乙不能同去一個(gè)景點(diǎn)，則不同的安排方法數(shù)為（    ）A.20 B.30 C.42 D.606.已知圓：，點(diǎn)在直線：上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，當(dāng)最大時(shí)，記劣弧及，所圍成的平面圖形的面積為，則（    ）A. B. C. D.7.南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算術(shù)》中提出了高階等差數(shù)列的問題，即一個(gè)數(shù)列本身不是等差數(shù)列，但從數(shù)列中的第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列（則稱數(shù)列為一階等差數(shù)列），或者仍舊不是等差數(shù)列，但從數(shù)列中的第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列（則稱數(shù)列為二階等差數(shù)列），依次類推，可以得到高階等差數(shù)列.類比高階等差數(shù)列的定義，我們亦可定義高階等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列：1，1，3，27，729…是一階等比數(shù)列，則的值為（參考公式：）（    ）A.60 B.120 C.240 D.4808.若，，，則（    ）A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（    ）A.B.數(shù)列是遞增數(shù)列C.數(shù)列中的最小項(xiàng)為D.、、成等差數(shù)列10.已知函數(shù)，滿足，則（    ）A.B.的最小正周期為C.在區(qū)間單調(diào)遞增D.11.已知雙曲線：的左，右焦點(diǎn)分別是，，漸近線方程為，點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)為雙曲線右支上任一點(diǎn)，則（    ）A.雙曲線的離心率為B.右焦點(diǎn)到漸近線的距離為6C.過雙曲線右焦點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線有3條D.若直線與雙曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為，為的中點(diǎn)，為原點(diǎn)，則直線與直線的斜率之積為911.乒乓球，被稱為中國的“國球”，是一種世界流行的球類體育項(xiàng)目，包括進(jìn)攻、對(duì)抗和防守.某乒乓球協(xié)會(huì)組織職工比賽，比賽規(guī)則采用五局三勝制，當(dāng)參賽選手甲和乙兩位中有一位贏得三局比賽時(shí)，就由該選手晉級(jí)且比賽結(jié)束.每局比賽皆須分出勝負(fù)，且每局比賽的勝負(fù)相互獨(dú)立.假設(shè)甲在任一局贏球的概率為，有選手晉級(jí)所需要比賽局?jǐn)?shù)的期望值記為，則（    ）A.打滿五局的概率為B.的常數(shù)項(xiàng)為3C.函數(shù)在上單調(diào)遞增D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.2023年3月，某市為創(chuàng)建文明城市，隨機(jī)從某小區(qū)抽取10位居民調(diào)查他們對(duì)自己目前生活狀態(tài)的滿意程度，該指標(biāo)數(shù)越接近10表示滿意程度越高.他們的滿意度指標(biāo)數(shù)分別是8，5，6，6，9，8，9，7，10，10，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是______.14.為加強(qiáng)學(xué)生對(duì)平面圖形翻折到空間圖形的認(rèn)識(shí)，某數(shù)學(xué)老師充分利用習(xí)題素材開展活動(dòng)，現(xiàn)有一個(gè)求外接球表面積的問題，活動(dòng)分為三個(gè)步驟，第一步認(rèn)識(shí)平面圖形：如圖（一）所示的四邊形中，，，，.第二步：以為折痕將折起，得到三棱雉，如圖（二）.第三步：折成的二面角的大小為，則活動(dòng)結(jié)束后計(jì)算得到三棱雉外接球的表面積為______.圖（一）           圖（二）15.已知函數(shù)，，若，，使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.16.已知函數(shù)，若有5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.（本小題滿分10分）在銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，，的面積為.（1）求；（2）以為圓心，為半徑的圓與邊有兩個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍.18.（本小題滿分12分）在①；②兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上并作答.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）當(dāng)，時(shí)，求區(qū)間上所有整數(shù)的和的表達(dá)式.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.19.（本小題滿分12分）如圖，在四棱雉中，底面為菱形，，，為正三角形.點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng).（1）求證：；（2）若二面角的大小為，當(dāng)時(shí)，求證：直線與平面所成的角小于.20.（本小題滿分12分）某商場(chǎng)在“五一”期間開展有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，規(guī)則如下：對(duì)一次性購買物品超過2000元的參與者，該商場(chǎng)現(xiàn)有以下兩種方案可供選擇：方案一：在一個(gè)放有大小相同的3個(gè)紅球和3個(gè)白球的不透明的箱子中，參與者隨機(jī)摸出一個(gè)球，若是紅球，則放回箱子中；若是白球，則不放回，再向箱子中補(bǔ)充一個(gè)紅球，這樣反復(fù)進(jìn)行3次，若最后箱子中紅球的個(gè)數(shù)為，則該參與者獲得獎(jiǎng)金百元；方案二：在一個(gè)放有大小相同的3個(gè)紅球和3個(gè)白球的不透明的箱子中，參與者一次性摸出3個(gè)球，把白球換成紅球再全部放回袋中，設(shè)袋中紅球個(gè)數(shù)為，則該參與者獲得獎(jiǎng)金百元.（1）若用方案一，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）若你是參與者，從期望的角度出發(fā)，你會(huì)選擇哪種參考方案？請(qǐng)說明理由.21.（本小題滿分12分）已知拋物線：上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2.（1）求拋物線的方程；（2）過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，連接交拋物線于另一點(diǎn)，連接交拋物線于另一點(diǎn)，且與的面積之比為，求直線的方程.22.（本小題滿分12分）已知函數(shù).（1）若方程有3個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求證：，且.  高二期末聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題1.A【解析】由題意可得，，，所以，所以真子集的個(gè)數(shù)為7.故選A.2.C【解析】因?yàn)?/span>，又，所以.故選C.3.B【解析】因?yàn)?/span>，所以，又，所以，從而.故選B.4.D【解析】由，可得，即，化簡(jiǎn)得，所以，即.故選D.5.A【解析】由于乙不能去景點(diǎn)，則乙可以去或景點(diǎn)，共2種，剩余的3人可以分成1，2兩組或1，1，1三組兩種情況，①分成1，2兩組，和乙去不同的兩個(gè)景點(diǎn)，有種，②分成1，1，1三組，去三個(gè)景點(diǎn)且甲和乙不能同去一個(gè)景點(diǎn)，有種，所以不同的安排方法數(shù)為種.故選A.6.D【解析】圓：的圓心的坐標(biāo)為，半徑為1，當(dāng)最大時(shí)，垂直直線，此時(shí)，，從而四邊形的面積為，設(shè)，則，，從而劣弧及，所圍成的平面圖形的面積為，又因?yàn)?/span>，，所以，從而.故選D.7.B【解析】由題意，數(shù)列1，1，3，27，729，…為，且為一階等比數(shù)列，設(shè)，所以為等比數(shù)列，其中，，公比為，所以，則，，所以，，因?yàn)?/span>，，也適合上式，所以，所以.故選B.8.B【解析】構(gòu)造函數(shù)，，所以，，令，，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，均單調(diào)遞減，所以單調(diào)遞減，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以單調(diào)遞增，又，從而在單調(diào)遞增，所以，所以，從而得到.又因?yàn)?/span>，構(gòu)造函數(shù)，，所以，，令，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，均單調(diào)遞增，所以單調(diào)遞增，所以，所以在單調(diào)遞減，所以，所以，單調(diào)遞增，從而，所以，即.綜上，有.故選B.二、選擇題9.AB【解析】因?yàn)?/span>，所以數(shù)列為等差數(shù)列，公差為1，因?yàn)?/span>，所以，所以，故A正確；因?yàn)?/span>，所以是遞增數(shù)列，故B正確；因?yàn)?/span>，，，所以數(shù)列中的最小項(xiàng)為或，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，，，顯然不是等差數(shù)列，故D錯(cuò)誤.故選AB.10.ABD【解析】因?yàn)?/span>，所以的函數(shù)圖象關(guān)于直線成軸對(duì)稱，則，，得，，又因?yàn)?/span>，所以，故A正確；所以，所以，故B正確；令，，所以，，當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)遞增區(qū)間，但在區(qū)間有增有減，故C錯(cuò)誤；，故D正確.故選ABD.11.BD【解析】因?yàn)闈u近線方程為，所以可設(shè)雙曲線：為：，又因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，從而雙曲線：，所以離心率為，故A錯(cuò)誤；由題可知右焦點(diǎn)為，所以點(diǎn)到漸近線的距離為，故B正確；若軸，則，所以與右支不可能有兩個(gè)交點(diǎn)，若與軸不垂直，與的左，右支交于，兩點(diǎn)，因?yàn)?/span>，所以存在兩條直線分別交左右兩支各一點(diǎn).綜上可得：滿足條件的直線有2條，故C錯(cuò)誤；設(shè)，，，則，，因?yàn)?/span>，在雙曲線上，所以①，②，①②并整理得，因?yàn)?/span>，，所以，，故D正確.故選BD.12.ABD【解析】設(shè)實(shí)際比賽局?jǐn)?shù)為，則的可能取值為3，4，5，所以，，，因此打滿五局的概率為，故A正確；故，常數(shù)項(xiàng)為3，故B正確；由，∵，所以，∴令，則；令，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；又，故D正確.故選ABD.三、填空題13.6.5【解析】依題意這10個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列為5、6、6、7、8、8、9、9、10、10，又，所以這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是第3與第4個(gè)數(shù)的平均數(shù)6.5.故答案為6.5.14.【解析】從第一步活動(dòng)中可知是邊長為2的正三角形，第二步活動(dòng)中可知三棱錐外接球的球心是過底面外心的平面的垂線，與過外心的平面的垂線的交點(diǎn)，的外心為的中心，的外心為的中點(diǎn)，三棱錐外接球的球心為，則，，，所以，即，所以，設(shè)外接球的半徑為，所以，所以外接球的表面積為.故答案為.15.【解析】由函數(shù)，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，又當(dāng)時(shí)，，，所以當(dāng)，，即函數(shù)的值域?yàn)?/span>，又由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，可得，即函數(shù)的值域?yàn)?/span>，又由，，使成立，即，則滿足，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為.16.【解析】由，解得或；由，解得.因?yàn)?/span>，所以或或，即或或，因?yàn)?/span>有5個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)的圖象與三條直線，，共有5個(gè)交點(diǎn).因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與三條直線，，共有3個(gè)交點(diǎn)，所以的圖象與三條直線共有2個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減，所以時(shí)，取得極大值也即是最大值，，，結(jié)合的圖象，可知或，解得.故答案為.四、解答題17.解：（1）因?yàn)?/span>，由余弦定理得，所以，又因?yàn)?/span>，所以.又的面積為，所以，即，所以，又因?yàn)?/span>，所以.（2）由（1）及余弦定理可知，即，所以，又若為圓心，為半徑的圓與邊相切，設(shè)切點(diǎn)為，則，得所以要使以為圓心，為半徑的圓與邊有兩個(gè)交點(diǎn)，必須滿足，所以的取值范圍為.18.解：（1）選①：∵，時(shí)，，∴兩式相減得，即，又當(dāng)時(shí)，，滿足上式，∴.選（2）：∵，時(shí)，，（2分）∴兩式相除得，當(dāng)時(shí)，，滿足上式，∴.（2）由（1）可知，，，上所有整數(shù)依次為，，，…，，它們構(gòu)成首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，且項(xiàng)數(shù)為，所以19.證明：（1）因?yàn)?/span>為菱形且，所以為等邊三角形，又因?yàn)辄c(diǎn)為中點(diǎn)，故.在正三角形中，，，，平面，所以平面，因?yàn)?/span>平面，所以.（2）由，，可得就是二面角的平面角，所以，在中，，所以為邊長為的等邊三角形，取中點(diǎn)，則，又由（1）可知，平面底面，平面底面，所以底面.過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，則，所以，，兩兩相互垂直，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在的方向分別為，，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，在中，，，可得，，，，，因?yàn)?/span>，所以，所以，，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則有，令，則，，得，設(shè)直線與平面所成角為，則有，所以，故直線與平面所成的角小于得證.20.解：（1）若選擇方案一，由條件可知可能的取值為3，4，5，6，，，，，∴的分布列為：3456百元.（寫成分?jǐn)?shù)形式亦可給分）（2）對(duì)于方案二，由條件可得可能的取值為3，4，5，6，，，，，∴的期望值百元.∵，所以參與者選擇方案二獲得獎(jiǎng)金數(shù)額的數(shù)學(xué)期望值會(huì)更高.所以作為參與者，應(yīng)該選擇方案二.21.解：（1）由題可知焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以由拋物線的定義可知，即，所以拋物線的方程為.（2）易知直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線的方程為，，，由，得，則，即或，.易知直線的方程為，由，得，設(shè)，則，得，設(shè)，同理可得，則，得，，故直線的方程為或.22.解：（1）令，即得，即方程有三個(gè)零點(diǎn)，即直線與曲線有三個(gè)不同的交點(diǎn).，所以當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)，有極小值為，當(dāng)時(shí)，有極大值為，當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，，所以作出函數(shù)的圖象如圖所示，所以數(shù)形結(jié)合可知.（2）因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，所以，此時(shí)，令，得，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，（7分）若有兩個(gè)零點(diǎn)，則，得，所以，當(dāng)時(shí)，，，，故存在，使得.又當(dāng)趨向于時(shí)，趨向于，故存在，使得，故.所以由題可得，得，即；要證，只需證，兩邊同乘以，得.因?yàn)?/span>，，所以.令，即證，即證.令，.令，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，因此，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，因此原不等式成立.

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