知識(shí)點(diǎn)一 旋轉(zhuǎn)的定義
例1 如圖所示，將等腰直角△ABC按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到△AB′C′，指出哪一點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)中心，并寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù).
解析 觀察圖形發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)A是旋轉(zhuǎn)過程中不動(dòng)的點(diǎn)，故點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后，AC與AC′重合，AB與AB′重合，故∠CAC′為旋轉(zhuǎn)角.又因?yàn)椤鰽BC是等腰直角三角形，所以∠CAC′＝45°，所以旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為45°.
解析 觀察圖形發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)A是旋轉(zhuǎn)過程中不動(dòng)的點(diǎn)，故點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后，AC與AC′重合，AB與AB′重合，故∠CAC′為旋轉(zhuǎn)角.又因?yàn)椤鰽BC是等腰直角三角形，所以∠CAC′＝45°，所以旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為45°.點(diǎn)撥 一個(gè)圖形由一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置，如果有固定不動(dòng)的點(diǎn)，那么這個(gè)點(diǎn)就是旋轉(zhuǎn)中心，此時(shí)對(duì)應(yīng)邊的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.
知識(shí)點(diǎn)二 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)
一個(gè)圖形和它經(jīng)過旋轉(zhuǎn)所得到的圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，任意一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都等于旋轉(zhuǎn)角；對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等.
例2 如圖所示，將△ABC繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△DBE，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E恰好落在AB的延長線上，連接AD，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）A.∠ABD＝∠E B.∠CBE＝∠C C.AD∥BC D.AD＝BC
解析 ∵△ABC繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△DBE，∴∠ABD＝∠CBE＝60°，AB＝BD，∴△ABD是等邊三角形，∴∠DAB＝60°，∴∠DAB＝∠CBE∴AD∥BC，故選C.
解析 ∵△ABC繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△DBE，∴∠ABD＝∠CBE＝60°，AB＝BD，∴△ABD是等邊三角形，∴∠DAB＝60°，∴∠DAB＝∠CBE∴AD∥BC，故選C.點(diǎn)撥 旋轉(zhuǎn)變化是全等變化，因此在旋轉(zhuǎn)問題中有相等的線段和相等的角，從而可以出現(xiàn)等腰三角形.
例3 如圖所示，將△ABC繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，已知D點(diǎn)是△ABC旋轉(zhuǎn)后A點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，請作出旋轉(zhuǎn)后的△DMN.
解析 （1）連接AO，DO（找到旋轉(zhuǎn)角）；（2）連接OB，OC，按順時(shí)針方向分別作∠BOE＝∠AOD∠COF＝∠AOD（找到關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的射線）；（3）分別在OE，OF上截取OM＝OB，ON＝OC（截取相等線段，利用對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等找到旋轉(zhuǎn)后關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)）；（4）連接DM，MN，ND（連接關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)）；（5）如圖所示，△DMN即為所求作的圖形.
題型一 旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的應(yīng)用
例1 如圖所示，點(diǎn)P是正方形ABCD的邊CD上一點(diǎn)，連接AP，∠BAP的平分線交BC于點(diǎn)Q，試說明AP＝DP＋BQ.
分析 如何把線段DP與BQ轉(zhuǎn)移到一條直線上作和是解決本題的關(guān)鍵.將△ABQ繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)只需說明AP＝PE即可.
證明 如圖所示，將△ABQ繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，則∠EAQ＝90°，DE＝BQ，∠1＝∠2，∠ADE＝∠B＝90°.又∵∠ADC＝90°，∴∠ADE＋∠ADC＝180°，∴點(diǎn)E，D，C共.線∵AQ平分∠PAB，∴∠3＝∠2.在Rt△ADE中，∵∠E＋∠1＝90°，∴∠E＝90°-∠1＝90°-∠2.又∵∠PAE＋∠3＝90°，∴∠PAE＝90°-∠3＝90°-∠2，∴∠E＝∠PAE，∴EP＝AP.∵EP＝DP＋DE＝DP＋BQ，∴AP＝DP＋BQ.
題型二 旋轉(zhuǎn)的概念與性質(zhì)的綜合應(yīng)用
例2 在Rt△ABC中，∠C＝90°，Rt△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到Rt△ADE的位置，點(diǎn)E在斜邊AB上，連接BD，過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F.（1）如圖①，若點(diǎn)F與點(diǎn)A重合，求證:AC＝BC；（2）如圖②，若點(diǎn)F在線段CA的延長線上∠DAF＝∠DBA，請判斷線段AF與BE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.
分析 （1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠BAC＝∠BAD，結(jié)合垂直的性質(zhì)易得∠ABC＝∠CAB＝45°，可得AC＝BC.（2）由“AAS”可證△AFD≌△BED，由此可得AF＝BE.

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初中數(shù)學(xué)魯教版 (五四制)八年級(jí)上冊電子課本

2 圖形的旋轉(zhuǎn)

版本： 魯教版 (五四制)

年級(jí)： 八年級(jí)上冊

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