2020-2021學(xué)年山東省煙臺市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（5分）已知集合，，則　　A． B． C． D．2．（5分）設(shè)，則“”是“”的　　A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．（5分）已知，則　　A．2 B．1 C．0 D．不確定4．（5分）函數(shù)的圖象可能為　　A． B． C． D．5．（5分）若函數(shù)在，上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　A．， B． C． D．6．（5分）某種放射性物質(zhì)在其衰變過程中，每經(jīng)過一年，剩余質(zhì)量約是原來的．若該物質(zhì)的剩余質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼?/span>，則經(jīng)過的時(shí)間大約為　　，A．2.74年 B．3.42年 C．3.76年 D．4.56年7．（5分）已知函數(shù)，若且，則的最小值為　　A．2 B．3 C． D．8．（5分）已知奇函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，，，且在上單調(diào)遞增，則不等式的解集為　　A．，， B．，， C．，， D．，，二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．（5分）下列說法正確的有　　A．“，”的否定為“，” B．“，”的否定為“，，” C．“，”的否定為“，” D．“，”的否定為“，”10．（5分）已知函數(shù)，，則　　A．函數(shù)為偶函數(shù) B．函數(shù)為奇函數(shù) C．函數(shù)在區(qū)間，上的最大值與最小值之和為0 D．設(shè)，則的解集為11．（5分）已知函數(shù)，，則　　A．在單調(diào)遞減 B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱 C．若方程僅有1個(gè)實(shí)數(shù)根，則 D．當(dāng)或時(shí)，方程有3個(gè)實(shí)數(shù)根12．（5分）若函數(shù)在區(qū)間上有定義，且對，，，（a），（b），（c）均可作為一個(gè)三角形的三邊長，則稱在區(qū)間上為“函數(shù)”．已知函數(shù)在區(qū)間為“函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的值可能為　　A． B． C． D．三、填空題，本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）函數(shù)的定義域是 　　．14．（5分）已知是上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 　　．15．（5分）若函數(shù)在處的切線與的圖象相切，則實(shí)數(shù)的值為 　　．16．（5分）已知函數(shù)在其圖象上任意一點(diǎn)，處的切線，與軸、軸的正半軸分別交于，兩點(diǎn)，設(shè)處坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為，當(dāng)時(shí)，取得最小值，則的值為 　　．四、解答題，本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的解析式；（2）解關(guān)于的不等式．18．（12分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的極值；（2）討論方程實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)．19．（12分）已知函數(shù)，．（1）若的定義域?yàn)?/span>，求的取值范圍；（2）若不等式有解，求的取值范圍．20．（12分）如圖，將一張長為，寬為的矩形鐵皮的四角分別截去一個(gè)大小相同的小正方形，然后折起，可以做成一個(gè)無蓋長方體容器．設(shè)截去的小正方形的邊長為，所得容器的體積為．（1）將表示為的函數(shù)；（2）為何值時(shí)，容積最大？求出最大容積．21．（12分）已知函數(shù)．（1）若的圖象恒在軸上方，求的取值范圍；（2）若存在正數(shù)，，滿足，證明：．22．（12分）已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）令，對任意，，求的取值范圍．
2020-2021學(xué)年山東省煙臺市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（5分）已知集合，，則　　A． B． C． D．【解答】解：因?yàn)榧?/span>，，所以，則．故選：．2．（5分）設(shè)，則“”是“”的　　A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解答】解：對應(yīng)的集合為，，，所以是的必要非充分條件，故選：．3．（5分）已知，則　　A．2 B．1 C．0 D．不確定【解答】解：，（1）．故選：．4．（5分）函數(shù)的圖象可能為　　A． B． C． D．【解答】解：因?yàn)?/span>，所以為奇函數(shù)，排除選項(xiàng)和，又（1），排除選項(xiàng)，故選：．5．（5分）若函數(shù)在，上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　A．， B． C． D．【解答】解：在，上單調(diào)遞減，當(dāng)，時(shí)，恒成立，即對，恒成立，當(dāng)，時(shí)，，，，故選：．6．（5分）某種放射性物質(zhì)在其衰變過程中，每經(jīng)過一年，剩余質(zhì)量約是原來的．若該物質(zhì)的剩余質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼?/span>，則經(jīng)過的時(shí)間大約為　　，A．2.74年 B．3.42年 C．3.76年 D．4.56年【解答】解：該物質(zhì)的剩余質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼?/span>，設(shè)經(jīng)過的時(shí)間大約為年，設(shè)該種放射性物質(zhì)原來質(zhì)量為，則，（年．故選：．7．（5分）已知函數(shù)，若且，則的最小值為　　A．2 B．3 C． D．【解答】解：作出函數(shù)的圖象如圖，由且，可得，，，，而，，則，，令，，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取得最小值為（1）．故選：．8．（5分）已知奇函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，，，且在上單調(diào)遞增，則不等式的解集為　　A．，， B．，， C．，， D．，，【解答】解：由題意知，（1），且在上單調(diào)遞增，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，，，或，解得或，不等式的解集為，，．故選：．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．（5分）下列說法正確的有　　A．“，”的否定為“，” B．“，”的否定為“，，” C．“，”的否定為“，” D．“，”的否定為“，”【解答】解：根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題知，“，”的否定為“，”，所以選項(xiàng)正確，錯(cuò)誤；根據(jù)存在量詞命題的否定是全稱量詞命題知，“，”的否定為“，”，所以選項(xiàng)正確，錯(cuò)誤．故選：．10．（5分）已知函數(shù)，，則　　A．函數(shù)為偶函數(shù) B．函數(shù)為奇函數(shù) C．函數(shù)在區(qū)間，上的最大值與最小值之和為0 D．設(shè)，則的解集為【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對于，，其定義域?yàn)?/span>，有，則為奇函數(shù)，錯(cuò)誤；對于，，其定義域?yàn)?/span>，有，則為奇函數(shù)，正確；對于，函數(shù)，、都是奇函數(shù)，則也是奇函數(shù)，在區(qū)間，上的最大值與最小值互為相反數(shù)，必有在區(qū)間，上的最大值與最小值之和為0，正確；對于，，則在上為減函數(shù)，，則在上也為減函數(shù)，若，即，必有，解可得，即的解集為，正確；故選：．11．（5分）已知函數(shù)，，則　　A．在單調(diào)遞減 B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱 C．若方程僅有1個(gè)實(shí)數(shù)根，則 D．當(dāng)或時(shí)，方程有3個(gè)實(shí)數(shù)根【解答】解：對于，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故正確；對于，因?yàn)?/span>，（2），所以（2），所以錯(cuò)誤；對于，，作出函數(shù)和的函數(shù)圖象，其中函數(shù)的圖象是由平移得到的，當(dāng)或時(shí)，此時(shí)兩函數(shù)圖象恰有2個(gè)公共點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)時(shí)，兩函數(shù)圖象3個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)時(shí)兩函數(shù)圖象2個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，兩函數(shù)圖象1個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，兩函數(shù)圖象2個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，兩函數(shù)圖象3個(gè)公共點(diǎn)．所以都正確．故選：．12．（5分）若函數(shù)在區(qū)間上有定義，且對，，，（a），（b），（c）均可作為一個(gè)三角形的三邊長，則稱在區(qū)間上為“函數(shù)”．已知函數(shù)在區(qū)間為“函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的值可能為　　A． B． C． D．【解答】解：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，（1），又，（e），，為函數(shù)，，即，，，，，，、不符合題意，、符合題意，故選：．三、填空題，本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）函數(shù)的定義域是 　，　．【解答】解：，，故．故答案為：，14．（5分）已知是上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 　，　．【解答】解：根據(jù)題意，是上的減函數(shù)，則有，解可得：，即的取值范圍為：，．故答案為：，．15．（5分）若函數(shù)在處的切線與的圖象相切，則實(shí)數(shù)的值為 　1　．【解答】解：由得，切點(diǎn)為，，故切線方程為，即①，設(shè)的切點(diǎn)為，而，，故切線方程為，即②，由已知，①②是同一方程，故，解得．故答案為：1．16．（5分）已知函數(shù)在其圖象上任意一點(diǎn)，處的切線，與軸、軸的正半軸分別交于，兩點(diǎn)，設(shè)處坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為，當(dāng)時(shí)，取得最小值，則的值為 　　．【解答】解：由，得，，又，在點(diǎn)，處的切線方程為，取，可得，取，可得，的面積為．，由，解得，即當(dāng)時(shí)，取得最小值，．故答案為：．四、解答題，本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的解析式；（2）解關(guān)于的不等式．【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，則，所以，又為偶函數(shù)，所以；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在，單調(diào)遞增，又為偶函數(shù)，所以等價(jià)于，則，兩邊平方，整理得，解得或，所以不等式的解集為．18．（12分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的極值；（2）討論方程實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)．【解答】解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)，所以，令，解得或，列表如下：200單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增故當(dāng)時(shí)，有極大值，且極大值為，當(dāng)時(shí)，有極小值，且極小值為；（2）方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)，即為函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，結(jié)合（1）中的結(jié)論，可知的大致圖象如圖所示，結(jié)合圖象可得，當(dāng)或時(shí)，方程的解為1個(gè)；當(dāng)或時(shí)，方程的解為2個(gè)；當(dāng)時(shí)，方程的解為3個(gè)．19．（12分）已知函數(shù)，．（1）若的定義域?yàn)?/span>，求的取值范圍；（2）若不等式有解，求的取值范圍．【解答】解：（1）要使的定義域?yàn)?/span>，只需在上恒成立，令，只需在上恒成立，①當(dāng)，即時(shí)，在單增，恒有，因此，對任意均成立；②當(dāng)，即時(shí)，在單減，單增，只需，即，解得，所以．綜上，的取值范圍為；（2）若不等式有解，即有解，可得有解，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以對任意實(shí)數(shù)，總存在，使得，即有解，由有解，則有解，令，，，顯然當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取最大值，所以，即．綜上所述，的取值范圍為．20．（12分）如圖，將一張長為，寬為的矩形鐵皮的四角分別截去一個(gè)大小相同的小正方形，然后折起，可以做成一個(gè)無蓋長方體容器．設(shè)截去的小正方形的邊長為，所得容器的體積為．（1）將表示為的函數(shù)；（2）為何值時(shí)，容積最大？求出最大容積．【解答】解：（1）由題意可知，長方體容器的長為，寬為，高為，所以容器的體積，令，，，可得，故函數(shù)，；（2）由（1）可得，，令，解得，（舍去），將，，的情況列表如下：0單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減因此，是函數(shù)的極大值點(diǎn)，相應(yīng)的極大值為，同時(shí)也是在區(qū)間上的最大值，答：截去的小正方形邊長為時(shí)，容器的容積最大，最大容積．21．（12分）已知函數(shù)．（1）若的圖象恒在軸上方，求的取值范圍；（2）若存在正數(shù)，，滿足，證明：．【解答】（1）解：的定義域?yàn)?/span>，，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，因此，當(dāng)時(shí)，（1），因?yàn)?/span>的圖象恒在軸上方，所以恒成立則，即，解得，所以的取值范圍為；（2）證明：由（1）及的單調(diào)性可知，，構(gòu)造函數(shù)，，則，當(dāng)時(shí)，，，即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，因?yàn)?/span>，所以（1），即，由題意，所以，因?yàn)?/span>在，且單調(diào)遞增，，，所以，即．22．（12分）已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）令，對任意，，求的取值范圍．【解答】解：（1），令，得；令，得．所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．（2）由題意知．于是，由（1）知，在，上，單調(diào)遞減，且，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在，上單調(diào)遞減，取，顯然，但（e），因此，不合題意．當(dāng)時(shí)，結(jié)合（1）中的單調(diào)性知，存在，得，此時(shí)在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，所以，解得，即；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，（1），解得，即；綜上所述，的取值范圍．聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2022/6/14 16:47:08；用戶：13159259195；郵箱：13159259195；學(xué)號：39016604

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