?2020-2021學(xué)年山東省濟(jì)南市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．（5分）的展開(kāi)式中的系數(shù)是　　
A．21 B．42 C．84 D．168
2．（5分）下列求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是　　
A． B．
C． D．
3．（5分）根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)：

3
5
7
9

6.5
5
4
2.5
得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則　　
A．， B．， C．， D．，
4．（5分）甲、乙、丙、丁、戊五個(gè)人站成一排，甲乙不相鄰的排列方法有　　
A．12種 B．48種 C．72種 D．120種
5．（5分）目前國(guó)家為進(jìn)一步優(yōu)化生育政策，實(shí)施一對(duì)夫妻可以生育三個(gè)子女政策．假定生男孩和生女孩是等可能的，現(xiàn)隨機(jī)選擇一個(gè)有三個(gè)小孩的家庭，如果已經(jīng)知道這個(gè)家庭有女孩，那么在此條件下該家庭也有男孩的概率是　　
A． B． C． D．
6．（5分）濟(jì)南市為實(shí)現(xiàn)“節(jié)能減排，綠色出行”，自2018年起大力推廣新能源出租車、網(wǎng)約車．截至目前，全市出租車已有換裝為新能源汽車，網(wǎng)約車中更是有的車輛為新能源汽車．某人從泉城廣場(chǎng)通過(guò)手機(jī)軟件打車功能，同時(shí)呼叫出租車與網(wǎng)約車，該軟件平臺(tái)向附近42輛出租車和21輛網(wǎng)約車推送接單信息（假設(shè)平臺(tái)呼叫范圍內(nèi)新能源車比例與全市區(qū)域相同，每位司機(jī)接單機(jī)會(huì)相同），該乘客被新能源汽車接單的概率約為　　
A． B． C． D．
7．（5分）孿生素?cái)?shù)猜想是希爾伯特在1900年提出的23個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題之一，2013年華人數(shù)學(xué)家張益唐證明了孿生素?cái)?shù)猜想的一個(gè)弱化形式，可以直觀的描述為：存在無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)，使得是素?cái)?shù)．素?cái)?shù)對(duì)稱為孿生素?cái)?shù)對(duì)．從8個(gè)數(shù)對(duì)，，，，，，，中任取3個(gè)，設(shè)取出的孿生素?cái)?shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為，則　　
A． B． C． D．3
8．（5分）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?），則的解集為　　
A． B． C． D．
二、選擇題：本題共4小題．每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9．（5分）在的展開(kāi)式中，下列說(shuō)法正確的是　　
A．常數(shù)項(xiàng)是20 B．第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大
C．第3項(xiàng)是 D．所有項(xiàng)的系數(shù)的和為0
10．（5分）目前有望戰(zhàn)勝新冠病毒的有效策略之一就是疫苗的接種預(yù)防．裝疫苗的玻璃瓶用的不是普通玻璃，而是中性硼硅玻璃，這種玻璃有較好的平均線膨脹系數(shù)（簡(jiǎn)稱：膨脹系數(shù)）．某玻璃廠有兩條硼硅玻璃的生產(chǎn)線，其中甲生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)服從正態(tài)分布，乙生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)服從正態(tài)分布，則下列選項(xiàng)正確的是　　
附：若隨機(jī)變量，則．
A．甲生產(chǎn)線硼硅玻璃膨脹系數(shù)范圍在的概率約為0.6827
B．甲生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)比乙生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)數(shù)值更集中
C．若用于疫苗藥瓶的硼硅玻璃膨脹系數(shù)不能超過(guò)5．則乙生產(chǎn)線生產(chǎn)的硼硅玻璃符合標(biāo)準(zhǔn)的概率更大
D．乙生產(chǎn)線所產(chǎn)的砌硅玻璃膨脹系數(shù)小于4.5的概率與大于4.8的概率相等
11．（5分）已知由樣本數(shù)據(jù)，，，2，3，4，5，6求得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，且．現(xiàn)發(fā)現(xiàn)一個(gè)樣本數(shù)據(jù)誤差較大，去除該數(shù)據(jù)后重新求得的經(jīng)驗(yàn)回歸直線的縱截距依然是1，則下列說(shuō)法正確的是　　
A．去除前變量每增加1個(gè)單位，變量一定增加2個(gè)單位
B．去除后剩余樣本數(shù)據(jù)中的平均數(shù)為2
C．去除后的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為
D．去除后相關(guān)系數(shù)變大
12．（5分）已知函數(shù)，為常數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，則下列說(shuō)法正確的是　　
A． B．
C． D．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．（5分）已知隨機(jī)變量的分布如表，則　　．

0
1



14．（5分）為調(diào)查某企業(yè)年利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）和它的年研究費(fèi)用（單位：萬(wàn)元）的相關(guān)性，收集了5組成對(duì)數(shù)據(jù)，如表所示：

1
2
3
4
5

50
60
70
80
100
由上表中數(shù)據(jù)求得關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，據(jù)此計(jì)算出樣本點(diǎn)處的殘差（殘差觀測(cè)值預(yù)測(cè)值）為 　?。?br /> 15．（5分）為慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年，某學(xué)校舉行文藝匯演．該校音樂(lè)組9名教師中3人只會(huì)器樂(lè)表演，5人只會(huì)聲樂(lè)表演，1人既會(huì)器樂(lè)表演又會(huì)聲樂(lè)表演，現(xiàn)從這9人中選出3人參加器樂(lè)表演，4人參加聲樂(lè)表演，每人只能參加一種表演，共有 　　種不同的選法．（用數(shù)字作答）
16．（5分）已知函數(shù)，，若圖象向下平移個(gè)單位后與的圖象有交點(diǎn)，則的最小值為 　?。?br /> 四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
17．（10分）已知函數(shù)在處有極值，其圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）求函數(shù)在處的切線方程．
18．（12分）為了研究某種疾病的治愈率，某醫(yī)院對(duì)100名患者中的一部分患者采用了外科療法，另一部分患者采用了化學(xué)療法，并根據(jù)兩種治療方法的治愈情況繪制了等高堆積條形圖，如下：
（1）根據(jù)圖表完善以下關(guān)于治療方法和治愈情況的列聯(lián)表：
療法
療效
合計(jì)
未治愈
治愈
外科療法



化學(xué)療法

18

合計(jì)


100
（2）依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析此種疾病治愈率是否與治療方法有關(guān)．
附：（如需計(jì)算，結(jié)果精確到
獨(dú)立性檢驗(yàn)中常用小概率值和相應(yīng)的臨界值

0.1
0.05
0.01
0.005
0.001

2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

19．（12分）某商場(chǎng)舉辦店慶活動(dòng)，消費(fèi)者憑借購(gòu)物發(fā)票進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)抽獎(jiǎng)．抽獎(jiǎng)盒中裝有3個(gè)紅球和2個(gè)黃球，這些球除顏色外完全相同．抽獎(jiǎng)規(guī)則為：抽獎(jiǎng)?wù)咭淮螐闹忻?個(gè)小球，若摸到2個(gè)紅球就中獎(jiǎng)，否則均為不中獎(jiǎng)．小球用后放回盒子，下一位抽獎(jiǎng)?wù)呃^續(xù)抽獎(jiǎng)．
（1）求每一位抽獎(jiǎng)?wù)咧歇?jiǎng)的概率；
（2）現(xiàn)有甲，乙、丙三人依次抽獎(jiǎng)，用表示中獎(jiǎng)的人數(shù)，求的分布列及均值．
20．（12分）已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；
（2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性．
21．（12分）2021年新高考數(shù)學(xué)試卷中多選題規(guī)定：在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．小明在做多選題的第11題、第12題時(shí)通常有兩種策略：
策略：為避免有選錯(cuò)的得0分，在四個(gè)選項(xiàng)中只選出一個(gè)自己最有把握的選項(xiàng)，將多選題當(dāng)作“單選題”來(lái)做．這種策略每個(gè)題耗時(shí)約3分鐘．
策略：爭(zhēng)取將該問(wèn)題得5分，選出自己認(rèn)為正確的全部選項(xiàng)．這種策略每個(gè)題耗時(shí)約6分鐘．某次數(shù)學(xué)考試臨近，小明通過(guò)前期大量模擬訓(xùn)練得出了其各種策略下11題和12題的作答情況如下：
第11題：如果采用策略，選對(duì)一個(gè)選項(xiàng)的概率為0.8，采用策略，部分選對(duì)的概率為0.5，全部選對(duì)的概率為0.4；第12題：如果采用策略，選對(duì)一個(gè)選項(xiàng)的概率為0.7，采用策略，部分選對(duì)的概率為0.6，全部選對(duì)的概率為0.3．
如果這兩題總用時(shí)超過(guò)10分鐘，其他題目會(huì)因?yàn)闀r(shí)間緊張少得2分．假設(shè)小明作答兩題的結(jié)果互不影響．
（1）若小明同學(xué)此次考試中決定11題采用策略、12題采用策略，設(shè)此次考試他11題和12題總得分為，求的分布列；
（2）小明考前設(shè)計(jì)了以下兩種方案：
方案題采用策略，12題采用策略；
方案題和12題均采用策略．
如果你是小明的指導(dǎo)老師，從整張?jiān)嚲肀M可能得分更高的角度出發(fā)，根據(jù)小明的實(shí)際情況，你贊成他的第幾種方案，并說(shuō)明理由．
22．（12分）已知函數(shù)．
（1）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）求證：當(dāng)時(shí)，成立．

2020-2021學(xué)年山東省濟(jì)南市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．（5分）的展開(kāi)式中的系數(shù)是　　
A．21 B．42 C．84 D．168
【解答】解：二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，
令，解得，
所以的系數(shù)是．
故選：．
2．（5分）下列求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：，，，故、、錯(cuò)誤．
故選：．
3．（5分）根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)：

3
5
7
9

6.5
5
4
2.5
得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：由表格可知，隨著的值增加而減小，
故，
又當(dāng)時(shí)，應(yīng)該大于6.5，
故．
故選：．
4．（5分）甲、乙、丙、丁、戊五個(gè)人站成一排，甲乙不相鄰的排列方法有　　
A．12種 B．48種 C．72種 D．120種
【解答】解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：
①先將丙、丁、戊三人排好，有種排法，
②排好后，有4個(gè)空位，將甲乙安排在空位中，有種排法，
則甲乙不相鄰的排列方法種；
故選：．
5．（5分）目前國(guó)家為進(jìn)一步優(yōu)化生育政策，實(shí)施一對(duì)夫妻可以生育三個(gè)子女政策．假定生男孩和生女孩是等可能的，現(xiàn)隨機(jī)選擇一個(gè)有三個(gè)小孩的家庭，如果已經(jīng)知道這個(gè)家庭有女孩，那么在此條件下該家庭也有男孩的概率是　　
A． B． C． D．
【解答】解：隨機(jī)選擇一個(gè)有三個(gè)小孩的家庭，知道這個(gè)家庭有女孩，
基本事件有：
（女女女），（女女男），（女男女），（男女女），（女男男），（男女男），（男男女），共7個(gè)，
其中該家庭也有男孩包含的基本事件有：
（女女男），（女男女），（男女女），（女男男），（男女男），（男男女），共6個(gè)，
已經(jīng)知道這個(gè)家庭有女孩的條件下該家庭也有男孩的概率是．
故選：．
6．（5分）濟(jì)南市為實(shí)現(xiàn)“節(jié)能減排，綠色出行”，自2018年起大力推廣新能源出租車、網(wǎng)約車．截至目前，全市出租車已有換裝為新能源汽車，網(wǎng)約車中更是有的車輛為新能源汽車．某人從泉城廣場(chǎng)通過(guò)手機(jī)軟件打車功能，同時(shí)呼叫出租車與網(wǎng)約車，該軟件平臺(tái)向附近42輛出租車和21輛網(wǎng)約車推送接單信息（假設(shè)平臺(tái)呼叫范圍內(nèi)新能源車比例與全市區(qū)域相同，每位司機(jī)接單機(jī)會(huì)相同），該乘客被新能源汽車接單的概率約為　　
A． B． C． D．
【解答】解：新能源汽車接單的概率約為．
故選：．
7．（5分）孿生素?cái)?shù)猜想是希爾伯特在1900年提出的23個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題之一，2013年華人數(shù)學(xué)家張益唐證明了孿生素?cái)?shù)猜想的一個(gè)弱化形式，可以直觀的描述為：存在無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)，使得是素?cái)?shù)．素?cái)?shù)對(duì)稱為孿生素?cái)?shù)對(duì)．從8個(gè)數(shù)對(duì)，，，，，，，中任取3個(gè)，設(shè)取出的孿生素?cái)?shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為，則　　
A． B． C． D．3
【解答】解：由題意可知，這8個(gè)數(shù)對(duì)中只有，，，是孿生素?cái)?shù)對(duì)，
則的可能取值為0，1，2，3，
故，
，
，
，
所以．
故選：．
8．（5分）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，?），則的解集為　　
A． B． C． D．
【解答】解：不等式等價(jià)于，構(gòu)造函數(shù)，
又（1）（1），不等式等價(jià)于（1）．
因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，所以不等式的解為．
故選：．
二、選擇題：本題共4小題．每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9．（5分）在的展開(kāi)式中，下列說(shuō)法正確的是　　
A．常數(shù)項(xiàng)是20 B．第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大
C．第3項(xiàng)是 D．所有項(xiàng)的系數(shù)的和為0
【解答】解：的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，
對(duì)于，當(dāng)，即時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于，第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為是最大的，故選項(xiàng)正確；
對(duì)于，第3項(xiàng)是，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于，令，則，故所有項(xiàng)的系數(shù)的和為0，故選項(xiàng)正確．
故選：．
10．（5分）目前有望戰(zhàn)勝新冠病毒的有效策略之一就是疫苗的接種預(yù)防．裝疫苗的玻璃瓶用的不是普通玻璃，而是中性硼硅玻璃，這種玻璃有較好的平均線膨脹系數(shù)（簡(jiǎn)稱：膨脹系數(shù)）．某玻璃廠有兩條硼硅玻璃的生產(chǎn)線，其中甲生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)服從正態(tài)分布，乙生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)服從正態(tài)分布，則下列選項(xiàng)正確的是　　
附：若隨機(jī)變量，則．
A．甲生產(chǎn)線硼硅玻璃膨脹系數(shù)范圍在的概率約為0.6827
B．甲生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)比乙生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)數(shù)值更集中
C．若用于疫苗藥瓶的硼硅玻璃膨脹系數(shù)不能超過(guò)5．則乙生產(chǎn)線生產(chǎn)的硼硅玻璃符合標(biāo)準(zhǔn)的概率更大
D．乙生產(chǎn)線所產(chǎn)的砌硅玻璃膨脹系數(shù)小于4.5的概率與大于4.8的概率相等
【解答】解：對(duì)于，由題意可知，，，，，
所以，
故選項(xiàng)正確；
對(duì)于，由于，則甲生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)比乙生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)數(shù)值更不集中，
故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于，，
，
所以乙生產(chǎn)線生產(chǎn)的硼硅玻璃符合標(biāo)準(zhǔn)的概率更大，
故選項(xiàng)正確；
對(duì)于，，
，
則，
故選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：．
11．（5分）已知由樣本數(shù)據(jù)，，，2，3，4，5，6求得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，且．現(xiàn)發(fā)現(xiàn)一個(gè)樣本數(shù)據(jù)誤差較大，去除該數(shù)據(jù)后重新求得的經(jīng)驗(yàn)回歸直線的縱截距依然是1，則下列說(shuō)法正確的是　　
A．去除前變量每增加1個(gè)單位，變量一定增加2個(gè)單位
B．去除后剩余樣本數(shù)據(jù)中的平均數(shù)為2
C．去除后的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為
D．去除后相關(guān)系數(shù)變大
【解答】解：當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)椋?br /> 所以去掉樣本數(shù)據(jù)的新數(shù)據(jù)中，
，
設(shè)去除該數(shù)據(jù)后重新求得的回歸直線為，
又，解得，故，
對(duì)于，去除前變量每增加1個(gè)單位，變量大于增加2個(gè)單位，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于，去除后剩余樣本數(shù)據(jù)中的平均數(shù)為2，故選項(xiàng)正確；
對(duì)于，去除后的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，故選項(xiàng)正確；
對(duì)于，去除了誤差較大的樣本數(shù)據(jù)，相關(guān)系數(shù)變大，故選項(xiàng)正確．
故選：．
12．（5分）已知函數(shù)，為常數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，則下列說(shuō)法正確的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，，不妨設(shè)，
所以在上有兩個(gè)根，
即在上有兩個(gè)根，
令，，
則與有兩個(gè)交點(diǎn)，
，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以（e），
所以，，，
對(duì)于：根據(jù)題意可得，，
所以，，
所以，
即，故正確；
對(duì)于
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以錯(cuò)誤，
對(duì)于，
，，令，則，
所以，
所以，
則，下面證明，
即證，即證，即證，
令，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，（1），
所以，所以，故正確．
對(duì)于：不妨設(shè)，
則，，
所以，
要證，
只需證，
只需證，
只需證：，
只需證：，
只需證：，
令，即證，
設(shè)，
則，
所以在上單調(diào)遞減，
則（1），
即，故正確；
故選：．

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．（5分）已知隨機(jī)變量的分布如表，則　?。?br />
0
1



【解答】解：由隨機(jī)變量的分布列得：
，解得，
．
．
故答案為：．
14．（5分）為調(diào)查某企業(yè)年利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）和它的年研究費(fèi)用（單位：萬(wàn)元）的相關(guān)性，收集了5組成對(duì)數(shù)據(jù)，如表所示：

1
2
3
4
5

50
60
70
80
100
由上表中數(shù)據(jù)求得關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，據(jù)此計(jì)算出樣本點(diǎn)處的殘差（殘差觀測(cè)值預(yù)測(cè)值）為 　　．
【解答】解：由表格中的數(shù)據(jù)可知，，
，
所以，解得，
所以，
當(dāng)時(shí)，，
所以殘差觀測(cè)值預(yù)測(cè)值．
故答案為：．
15．（5分）為慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年，某學(xué)校舉行文藝匯演．該校音樂(lè)組9名教師中3人只會(huì)器樂(lè)表演，5人只會(huì)聲樂(lè)表演，1人既會(huì)器樂(lè)表演又會(huì)聲樂(lè)表演，現(xiàn)從這9人中選出3人參加器樂(lè)表演，4人參加聲樂(lè)表演，每人只能參加一種表演，共有 　30　種不同的選法．（用數(shù)字作答）
【解答】解：根據(jù)題意，分2種情況討論：
①只會(huì)器樂(lè)表演的3人全部被選中，參加器樂(lè)表演，需要從剩下6人中選出4人參加聲樂(lè)表演，有種選法，
②從只會(huì)器樂(lè)表演的3人選出2人，和既會(huì)器樂(lè)表演又會(huì)聲樂(lè)表演的1人共同參加器樂(lè)表演，有種選法，
則有種選法，
故答案為：30．
16．（5分）已知函數(shù)，，若圖象向下平移個(gè)單位后與的圖象有交點(diǎn)，則的最小值為 　2?。?br /> 【解答】解：若圖象向下平移個(gè)單位后與的圖象有交點(diǎn)，
則，在上有解，
所以，在上有解，
令，，
，
令，
，
所以在上單調(diào)遞增，
且時(shí)，；時(shí)，，
所以存在，使得，①
即，
令，則，
即，
令，則單調(diào)遞增，
又時(shí)，（1），
所以，即②
所以由①得，在上，，，單調(diào)遞減，
在，上，，，單調(diào)遞增，
所以
，
把②代入得，，
所以，
所以的最小值為2．
故答案為：2．
四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
17．（10分）已知函數(shù)在處有極值，其圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）求函數(shù)在處的切線方程．
【解答】解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)，
則，
由題意可得，，即，
解得，，，
經(jīng)檢驗(yàn)，在處有極值，
故；
（2）由（1）可得，，
則，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，
又，
所以，
故切線的斜率為4，
所以切線方程為，即．
18．（12分）為了研究某種疾病的治愈率，某醫(yī)院對(duì)100名患者中的一部分患者采用了外科療法，另一部分患者采用了化學(xué)療法，并根據(jù)兩種治療方法的治愈情況繪制了等高堆積條形圖，如下：
（1）根據(jù)圖表完善以下關(guān)于治療方法和治愈情況的列聯(lián)表：
療法
療效
合計(jì)
未治愈
治愈
外科療法



化學(xué)療法

18

合計(jì)


100
（2）依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析此種疾病治愈率是否與治療方法有關(guān)．
附：（如需計(jì)算，結(jié)果精確到
獨(dú)立性檢驗(yàn)中常用小概率值和相應(yīng)的臨界值

0.1
0.05
0.01
0.005
0.001

2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

【解答】解：（1）由題意可得，列聯(lián)表如下：
療法
療效
合計(jì)
未治愈
治愈
外科療法
20
20
40
化學(xué)療法
42
18
60
合計(jì)
62
38
100
（2）零假設(shè)為：是否治愈與治療方法無(wú)關(guān)聯(lián)．
由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得，，
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們能推斷不成立，即認(rèn)為是否治愈與治療方法有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05．
19．（12分）某商場(chǎng)舉辦店慶活動(dòng)，消費(fèi)者憑借購(gòu)物發(fā)票進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)抽獎(jiǎng)．抽獎(jiǎng)盒中裝有3個(gè)紅球和2個(gè)黃球，這些球除顏色外完全相同．抽獎(jiǎng)規(guī)則為：抽獎(jiǎng)?wù)咭淮螐闹忻?個(gè)小球，若摸到2個(gè)紅球就中獎(jiǎng)，否則均為不中獎(jiǎng)．小球用后放回盒子，下一位抽獎(jiǎng)?wù)呃^續(xù)抽獎(jiǎng)．
（1）求每一位抽獎(jiǎng)?wù)咧歇?jiǎng)的概率；
（2）現(xiàn)有甲，乙、丙三人依次抽獎(jiǎng)，用表示中獎(jiǎng)的人數(shù)，求的分布列及均值．
【解答】解：（1）設(shè)事件為“抽獎(jiǎng)?wù)攉@獎(jiǎng)”，
則（A）；
（2）由題意可知，的可能取值為0，1，2，3，
則，
，
，
，
故的分布列為：

0
1
2
3

0.343
0.441
0.189
0.027
所以．
20．（12分）已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；
（2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性．
【解答】解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)，
當(dāng)時(shí)，，則，
令，解得，，
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值（1）；
（2），
①當(dāng)時(shí)，由，可得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
②當(dāng)時(shí)，由，則，
令，則，，
當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在和上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；
③當(dāng)時(shí)，由，則，
令，則，，
當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在和，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在和，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
21．（12分）2021年新高考數(shù)學(xué)試卷中多選題規(guī)定：在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．小明在做多選題的第11題、第12題時(shí)通常有兩種策略：
策略：為避免有選錯(cuò)的得0分，在四個(gè)選項(xiàng)中只選出一個(gè)自己最有把握的選項(xiàng)，將多選題當(dāng)作“單選題”來(lái)做．這種策略每個(gè)題耗時(shí)約3分鐘．
策略：爭(zhēng)取將該問(wèn)題得5分，選出自己認(rèn)為正確的全部選項(xiàng)．這種策略每個(gè)題耗時(shí)約6分鐘．某次數(shù)學(xué)考試臨近，小明通過(guò)前期大量模擬訓(xùn)練得出了其各種策略下11題和12題的作答情況如下：
第11題：如果采用策略，選對(duì)一個(gè)選項(xiàng)的概率為0.8，采用策略，部分選對(duì)的概率為0.5，全部選對(duì)的概率為0.4；第12題：如果采用策略，選對(duì)一個(gè)選項(xiàng)的概率為0.7，采用策略，部分選對(duì)的概率為0.6，全部選對(duì)的概率為0.3．
如果這兩題總用時(shí)超過(guò)10分鐘，其他題目會(huì)因?yàn)闀r(shí)間緊張少得2分．假設(shè)小明作答兩題的結(jié)果互不影響．
（1）若小明同學(xué)此次考試中決定11題采用策略、12題采用策略，設(shè)此次考試他11題和12題總得分為，求的分布列；
（2）小明考前設(shè)計(jì)了以下兩種方案：
方案題采用策略，12題采用策略；
方案題和12題均采用策略．
如果你是小明的指導(dǎo)老師，從整張?jiān)嚲肀M可能得分更高的角度出發(fā)，根據(jù)小明的實(shí)際情況，你贊成他的第幾種方案，并說(shuō)明理由．
【解答】解：（1）設(shè)事件為“第11題得0分”，事件為“第11題得2分”，事件為“第11題得5分”，
事件為“第12題得2分”，事件為“第12題得0分”，
所以，，，，，
由題意可知，的可能取值為0，2，4，5，7，
則，
，
，
，
，
所以小明第11題和第12題總得分的分布列為：

0
2
4
5
7

0.03
0.22
0.35
0.12
0.28
（2）由（1）可知，小明采用方案1時(shí)，第11題和第12題總得分的均值為：
，
設(shè)隨機(jī)變量為小明采用方案2時(shí)，第11題和第12題總得分，
則的可能取值為0，2，4，5，7，10，
故，
，
，
，
，
，
故的分布列為：

0
2
4
5
7
10

0.01
0.11
0.3
0.07
0.39
0.12
所以，
但因?yàn)闀r(shí)間超過(guò)10分鐘，后面的題得分少2分，相當(dāng)于得分均值為3.7分，
因?yàn)椋?br /> 所以我贊成小明的方案1．
22．（12分）已知函數(shù)．
（1）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）求證：當(dāng)時(shí)，成立．
【解答】（1）解：函數(shù)，定義域?yàn)椋?br /> 因?yàn)樵谏虾愠闪ⅲ丛谏虾愠闪ⅲ?br /> 等價(jià)于在上恒成立，
令，
因?yàn)椋?br /> 令，解得，
所以當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值（1），
由題意可知，，
所以，
故的取值范圍為，；
（2）證明：由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，
令，則，
累加可得，，
所以，
又因?yàn)椋?br /> 所以，即，
綜上可得，當(dāng)時(shí)，成立．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2022/6/14 16:46:32；用戶：13159259195；郵箱：13159259195；學(xué)號(hào)：39016604

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