2021-2022學年廣西北流市高級中學高二3月月考數(shù)學（文）試題一、單選題1．極坐標系中，點到極軸和極點的距離分別為（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)極坐標的定義求解.【詳解】點到極軸的距離，到極點的距離.故選：C2．已知r1表示變量X與Y之間的線性相關系數(shù)，r2表示變量U與V之間的線性相關系數(shù)，且r1＝0.837，r2＝﹣0.957，則（       ）A．變量X與Y之間呈正相關關系，且X與Y之間的相關性強于U與V之間的相關性B．變量X與Y之間呈負相關關系，且X與Y之間的相關性強于U與V之間的相關性C．變量U與V之間呈負相關關系，且X與Y之間的相關性弱于U與V之間的相關性D．變量U與V之間呈正相關關系，且X與Y之間的相關性弱于U與V之間的相關性【答案】C【分析】根據(jù)線性相關系數(shù)|r|越接近1，表示兩個變量之間的相關性越強，線性相關系數(shù)r的正負表示兩個變量之間呈正相關關系或負相關關系.【詳解】因為線性相關系數(shù)r1＝0.837，r2＝﹣0.957，所以變量X與Y之間呈正相關關系，變量U與V之間呈負相關關系，X與Y之間的相關性弱于U與V之間的相關性.故選：C3．已知i是虛數(shù)單位，復數(shù)z=，則復數(shù)z的虛部為（       ）A．i B．-i C．1 D．-1【答案】C【分析】先通過復數(shù)的除法運算求出z，進而求出虛部.【詳解】由題意，，則z的虛部為1.故選：C.4．在平面直角坐標系中，經(jīng)伸縮變換后曲線方程變換為橢圓方程，此伸縮變換公式是A． B． C． D．【答案】B【分析】通過對比曲線方程中橫縱坐標之間的關系即可得到伸縮變換公式.【詳解】在曲線即上任意取一點P(x,y)，在伸縮變換后，得到橢圓上對應的點，可得 ,即伸縮變換公式為，故選B．【點睛】本題考查曲線的伸縮變換公式，屬于基礎題，解題關鍵是區(qū)分清楚新舊兩個坐標的對應關系.5．設是虛數(shù)單位，若復數(shù)，則（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知條件求出復數(shù)，利用復數(shù)的模的公式可求得.【詳解】，，因此，.故選：C.6．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又存在極值的是（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別判斷選項的奇偶性和極值即可得到答案.【詳解】對選項A，為增函數(shù)，不存在極值，故A錯誤.對選項B，，定義域為，為非奇非偶函數(shù)，故B錯誤.對選項C，，，所以不是奇函數(shù)，故C錯誤.對選項D，，定義域為，，所以為奇函數(shù)，，.所以當在，為增函數(shù)，在，為減函數(shù)，故當為函數(shù)取得極值.故選：D【點睛】本題主要考查函數(shù)的極值，同時考查函數(shù)的奇偶性，屬于簡單題.7．利用反證法證明“若，則a，b，c中至少有一個數(shù)不小于1”正確的假設為A．a，b，c中至多有一個數(shù)大于1B．a，b，c中至多有一個數(shù)小于1C．a，b，c中至少有一個數(shù)大于1D．a，b，c中都小于1【答案】D【解析】否定原命題的結(jié)論可得結(jié)果.【詳解】“若，則a，b，c中至少有一個數(shù)不小于1”的否定為：a，b，c都小于1，故選：D8．為慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，某學校組織“紅心向黨”歌詠比賽，前三名被甲、乙、丙獲得．下面三個結(jié)論：“甲為第一名，乙不是第一名，丙不是第三名”中只有一個正確，由此可推得獲得第一、二、三名的依次是（       ）A．甲、乙、丙 B．乙、丙、甲C．丙、甲、乙 D．乙、甲、丙【答案】B【分析】分別假設甲為第一名為正確的、乙不是第一名為正確的、丙不是第三名為正確的三種情況，結(jié)合題意分析，即可得答案.【詳解】若甲為第一名為正確的，則乙不是第一名也正確，不符合題意；若乙不是第一名為正確的，則甲為第一名為錯誤的，所以丙為第一名，此時丙不是第三名也是正確的，不符合題意，若丙不是第三名為正確的，則甲為第一名為錯誤的，乙不是第一名為錯誤的，所以乙為第一名，丙為第二名，甲為第三名，符合題意，故選：B9．已知橢圓的離心率為橢圓上的一個動點，則與定點連線距離的最大值為A． B． C． D．【答案】D【分析】利用橢圓的離心率求出a，然后設出P點坐標，利用兩點間距離公式，轉(zhuǎn)為求解最值即可．【詳解】橢圓的離心率，可得：，解得a=，橢圓方程為設P，則P與定點連線距離為 ，當時，取得最大值3．故選D．【點睛】本題考查橢圓參數(shù)方程的應用，考查橢圓簡單的幾何性質(zhì)，考查含的二次函數(shù)求最值問題,屬于基礎題.10．若函數(shù)在上的最大值是4，則（       ）A．0 B． C．9 D．【答案】B【分析】求出函數(shù)的導函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而得到函數(shù)的最大值，即可求出參數(shù)的值；【詳解】解：因為，所以.當時，，即在上單調(diào)遞增；當時，，即在上單調(diào)遞減.所以在上的最大值是，解得.故選：B11．魏晉時期數(shù)學家劉徽首創(chuàng)割圓術，他在《九章算術》方田章圓田術中指出：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣.”這是注述中所用的割圓術是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程，比如在正數(shù)中的“”代表無限次重復，設，則可以利用方程求得，類似地可得到正數(shù)（       ）A．2 B．3 C． D．【答案】A【解析】設，則，解方程可得結(jié)果.【詳解】設，則且，所以，所以，所以，所以或（舍）.所以.故選：A【點睛】關鍵點點睛：設是解題關鍵.12．若函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，然后令，，由此構(gòu)造不等式組求解即可.【詳解】解：因為函數(shù)，所以，且，由得，解得.在區(qū)間，上單調(diào)遞減，，解得.故選：C.【點睛】本題考查利用函數(shù)單調(diào)區(qū)間求參數(shù)的范圍，是中檔題.二、填空題13．若．則P，Q的大小關系__________（用“”，“”，“”連接兩者的大小關系）【答案】【分析】通過平方的方法來判斷的大小關系.【詳解】依題意可知，所以，所以.故答案為：14．已知復數(shù)（i為虛數(shù)單位）是實系數(shù)一元二次方程的一個根，則_____.【答案】1【解析】的共軛復數(shù)是實系數(shù)一元二次方程的一個根，利用一元二次方程的根與系數(shù)的關系求、.【詳解】解:因為是實系數(shù)一元二次方程的一個根，所以是實系數(shù)一元二次方程的一個根，所以，，因此.故答案為：1.【點睛】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關系，屬于基礎題.15．已知點A是曲線上任意一點，則點A到直線的距離的最小值是_______．【答案】【分析】求得曲線、直線的直角坐標方程，利用點到直線距離公式，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)求得正確答案.【詳解】曲線，化為直角坐標方程為，，圓心為，半徑為，直線，，化為直角坐標方程為，圓心到直線的距離為，則圓上的點到直線的最小距離為，即點A到直線的最小距離為．故答案為：16．以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時，設，將其變換后得到線性回歸方程，則______．【答案】【分析】將回歸方程化為，再與模型比較系數(shù)，即可得到答案.【詳解】由，得，，所以.故答案為：.三、解答題17．從某居民區(qū)隨機抽取10個家庭，獲得第i個家庭的月收入xi(單位：千元)與月儲蓄yi(單位：千元)的數(shù)據(jù)資料，算得.（1）求家庭的月儲蓄y對月收入x的線性回歸方程；（2）判斷變量x與y之間是正相關還是負相關；（3）若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，預測該家庭的月儲蓄.附：線性回歸方程中，，，其中，為樣本平均值.【答案】（1）＝0.3x－0.4；（2）正相關；（3）1.7(千元).【分析】（1）由題意得到n＝10，求得，進而求得，寫出回歸方程；.（2）由判斷；（3）將x＝7代入回歸方程求解.【詳解】（1）由題意知n＝10，，則，所以所求回歸方程為＝0.3x－0.4.（2）因為，所以變量y的值隨x的值增加而增加，故x與y之間是正相關.（3）將x＝7代入回歸方程可以預測該家庭的月儲蓄為＝0.3×7－0.4＝1.7(千元).18．在直角坐標系中，圓C的直角坐標方程為，以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系.（1）寫出圓的極坐標方程；（2）直線的極坐標方程為()與圓交于兩點，求的面積.【答案】（1） （2）【分析】（1）利用極坐標與直角坐標的互化公式，即可求解圓的極坐標方程；（2）由圓的方程，求得圓心的極坐標為，聯(lián)立方程組，解得交點的極坐標，再利用三角形的面積公式，即可求解.【詳解】（1）由圓的方程，可得，又由，代入可得，所以，即圓的極坐標方程為.（2）由圓的方程，可得圓心坐標為，極坐標為，聯(lián)立方程組，解得交點的極坐標為，所以，所以的面積為.【點睛】本題主要考查了直角坐標方程與極坐標方程的互化，以及曲線的極坐標方程的應用，其中解答總熟記直角坐標與極坐標的互化公式，以及合理利用利用曲線的極坐標方程和三角形的面積公式求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.19．奶茶是年輕人非常喜歡的飲品．某機構(gòu)對于奶茶的消費情況在一商圈附近做了一些調(diào)查，發(fā)現(xiàn)女性喜歡奶茶的人數(shù)明顯高于男性，每月喝奶茶的次數(shù)也比男性高，但單次奶茶消費金額男性似乎明顯高于女性．針對每月奶茶消費是否超過百元進行調(diào)查，已知在調(diào)查的人中女性人數(shù)是男性人數(shù)的倍，統(tǒng)計如下： 超過百元未超過百元合計男  女  合計   （1）完成如上列聯(lián)表，并說明是否有的把握認為月消費奶茶超過百元與性別有關？（2）在月消費超百元的調(diào)查者中，同時進行對于品牌喜好的調(diào)查．發(fā)現(xiàn)喜歡品牌的男女均為人，現(xiàn)從喜歡品牌的這人中抽取人送紀念品，求這兩人恰好都是女性的概率．附： .【答案】（1）表格見解析，有；（2）.【分析】（1）設男性每月奶茶消費未超過百元的人數(shù)為，根據(jù)題中條件得出關于的方程，解出的值，進而可完善列聯(lián)表，計算出的觀測值，結(jié)合臨界值表可得出結(jié)論；（2）設喜歡品牌的女性為、、，男性為、、，利用列舉法列舉出所有的基本事件，并確定事件“這兩人恰好都是女性”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】（1）設男性每月奶茶消費未超過百元的人數(shù)為，則，， 超過百元未超過百元合計男女合計 的觀測值，因此，有的把握認為月消費奶茶超過百元與性別有關.（2）設喜歡品牌的女性為、、，男性為、、，從喜歡品牌的這人中抽取人送紀念品，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、，共種，設“這兩人恰好都是女性”為事件，則事件包含的基本事件有：、、，共種，，因此，抽取的這兩人恰好都是女性的概率為.【點睛】方法點睛：求解古典概型概率的方法如下：（1）列舉法；（2）列表法；（3）數(shù)狀圖法；（4）排列組合數(shù)的應用.20．已知函數(shù)，且曲線在點處的切線與直線平行.(1)求實數(shù)a的值；(2)求證：當時，.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義即可求解；（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)判斷其單調(diào)性，求出最值，即可證明.【詳解】(1)解：的定義域為，，由題意知，則.(2)證明：由（1）知，，令，則，由得，由得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴即，即.21．在直角坐標系xOy中，圓C的普通方程為在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線l的極坐標方程為．Ⅰ寫出圓C的參數(shù)方程和直線l的直角坐標方程；Ⅱ設直線l與x軸和y軸的交點分別為A、B，P為圓C上的任意一點，求的取值范圍．【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)【分析】Ⅰ由圓的普通方程，能求出圓的參數(shù)方程；由直線的極坐標方程轉(zhuǎn)化為 ，由此能求出直線的直角坐標方程．Ⅱ由直線的方程可得點點，設點，則，由此能求出的取值范圍．【詳解】Ⅰ圓C的普通方程為．圓C的參數(shù)方程為為參數(shù)．直線l的極坐標方程為， ，直線l的直角坐標方程為．Ⅱ直線l與x軸和y軸的交點分別為A、B，由直線l的方程可得點，點．設點，則 ．由Ⅰ知，則．，．的取值范圍是【點睛】本題考查圓的參數(shù)方程、直線的直角坐標方程的求法，考查向量的數(shù)量積的取值范圍的求法，考查極坐標、直角坐標、參數(shù)方程等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．22．已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當時，若函數(shù)在上的最小值是，求的值.【答案】（1）見解析；（2），.【分析】（1）求得，分類討論，即可求解函數(shù)的單調(diào)性；（2）當時，由（1）知在上單調(diào)遞增，分和兩種情況討論，求得函數(shù)的最小值，即可求解.【詳解】（1）定義域為,求得,當時，，故在單調(diào)遞增   ,       當時，令，得 ，所以當時，，單調(diào)遞減 當時，，單調(diào)遞增.（2）當時，由（1）知在上單調(diào)遞增，所以 （舍去）,當時，由（1）知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增所以，解得 （舍去）,當時，由（1）知在單調(diào)遞減，所以，解得   ,綜上所述，.【點睛】本題主要考查了導數(shù)在函數(shù)中的應用，其中解答中熟記函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)的關系，準確判定函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最值是解答的關鍵，著重考查了分類討論思想，以及推理與運算能力，屬于中檔試題. 

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