2021-2022學(xué)年廣西南寧市賓陽縣賓陽中學(xué)高二3月月考數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．一個物體的運(yùn)動方程為，其中的單位是米，的單位是秒，那么物體在3秒末的瞬時速度是（       ）A．7米/秒 B．6米/秒 C．5米/秒 D．8米/秒【答案】C【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的物理意義可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的物理意義可知物體在3秒末的瞬時速度是在時的導(dǎo)數(shù)值，因為，所以物體在3秒末的瞬時速度是米/秒.故選：C2．函數(shù)y=x2㏑x的單調(diào)遞減區(qū)間為（       ）A．（1,1] B．（0,1] C．[1，+∞） D．（0，+∞）【答案】B【詳解】對函數(shù)求導(dǎo)，得（x>0）,令解得，因此函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，故選B考點(diǎn)定位：本小題考查導(dǎo)數(shù)問題，意在考查考生利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，注意函數(shù)本身隱含的定義域3．函數(shù)在區(qū)間上的最小值是（       ）A． B．C． D．【答案】A【詳解】試題分析：由已知，令得（舍去），當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此在上函數(shù)只有一個極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，所以．故選A．【解析】導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值．【名師點(diǎn)睛】(1)函數(shù)的最大值與最小值:在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)的函數(shù)f(x),在[a,b]上 必 有最大值與最小值;但在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)的函數(shù)f(x) 不一定 有最大值與最小值. (2)求最大值與最小值的步驟:設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),求f(x)在[a,b]上的最大值與最小值的步驟如下:①求f(x)在(a,b)內(nèi)的 極 值; ②將f(x)的各 極 值與 f(a),f(b) 比較,其中最大的一個是最大值,最小的一個是最小值.4．已知函數(shù)，則等于（        ）A．0 B．1 C． D．2【答案】C【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)后可求導(dǎo)數(shù)值.【詳解】∵，∴，∴.故選：C.5．若a＞0，b＞0，且函數(shù)f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1處有極值，則ab的最大值等于（       ）A．2 B．3 C．6 D．9【答案】D【詳解】試題分析：求出導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0得到a，b滿足的條件；利用基本不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．解：∵f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b又因為在x=1處有極值∴a+b=6∵a＞0，b＞0∴當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時取等號所以ab的最大值等于9故選D點(diǎn)評：本題考查函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0、考查利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．6．某工廠要建造一個長方體的無蓋箱子，其容積為48 m3，高為3 m，如果箱底每平方米的造價為15元，箱側(cè)面每平方米的造價為12元，則箱子的最低總造價為(　　)A．900元 B．840元C．818元 D．816元【答案】D【分析】設(shè)箱底一邊的長度為，箱子的總造價為元，得到關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可得到答案．【詳解】設(shè)箱底一邊的長度為x m，箱子的總造價為l元，根據(jù)題意，得＝15×＋12×2＝240＋72 (x>0)，72.令0，解得x＝4或x＝－4(舍去)．當(dāng)0<x<4時， <0；當(dāng)x>4時， >0.故當(dāng)x＝4時， 有最小值816.因此，當(dāng)箱底是邊長為4 m的正方形時，箱子的總造價最低，最低總造價為816元．故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用問題，其中解答中認(rèn)真審題，得到造價關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和最值是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．7．曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為（       ）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為曲線，所以切線過點(diǎn)（4，e2）∴f′（x）|x=4= e2，∴切線方程為：y-e2= e2（x-4），令y=0，得x=2，與x軸的交點(diǎn)為：（2，0），令x=0，y=-e2，與y軸的交點(diǎn)為：（0，-e2），∴曲線在點(diǎn)（4，e2）處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積s=×2×|-e2|=e2.故選D．8．函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是（       ）A． B．C． D．【答案】D【詳解】原函數(shù)先減再增，再減再增，且位于增區(qū)間內(nèi)，因此選D．【名師點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)圖象與原函數(shù)圖象的關(guān)系：若導(dǎo)函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)為，且圖象在兩側(cè)附近連續(xù)分布于軸上下方，則為原函數(shù)單調(diào)性的拐點(diǎn)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識來討論函數(shù)單調(diào)性時，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．9．設(shè)直線與函數(shù)的圖像分別交于點(diǎn)，則當(dāng)達(dá)到最小時的值為（       ）A．1 B． C． D．【答案】D【詳解】由題，不妨令，則，令解得，因時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，達(dá)到最?。?/span>．10．已知點(diǎn)P在曲線y=上，a為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角，則a的取值范圍是（　?。?/span>A．[0,) B． C． D．【答案】D【詳解】試題分析：因為，所以，選A.【解析】導(dǎo)數(shù)的幾何意義、正切函數(shù)的值域.11．若f(x)=上是減函數(shù)，則b的取值范圍是（       ）A．[-1，+∞] B．（-1，+∞） C．（-∞，-1] D．（-∞，-1）【答案】C【詳解】由題意可知，在上恒成立，即在上恒成立，由于，所以，故Ｃ為正確答案．12．設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)（）的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時，，則使得成立的的取值范圍是（       ）A． B．C． D．【答案】A【詳解】構(gòu)造新函數(shù),，當(dāng)時.所以在上單減，又，即.所以可得,此時，又為奇函數(shù)，所以在上的解集為：.故選A.點(diǎn)睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，需要構(gòu)造函數(shù)，例如，想到構(gòu)造.一般：（1）條件含有，就構(gòu)造,（2）若，就構(gòu)造，（3），就構(gòu)造，（4）就構(gòu)造，等便于給出導(dǎo)數(shù)時聯(lián)想構(gòu)造函數(shù). 二、填空題13．函數(shù)f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有極大值又有極小值，則a的范圍是______．【答案】【分析】將原問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)有兩個不相等的實數(shù)根的問題，然后求解的取值范圍即可.【詳解】由題意可得：，若函數(shù)有極大值又有極小值，則一元二次方程有兩個不同的實數(shù)根，即：，整理可得：整理可得：，據(jù)此可知的取值范圍是或.【點(diǎn)睛】(1)可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，且在x0左側(cè)與右側(cè)f′(x)的符號不同．(2)若f(x)在(a，b)內(nèi)有極值，那么f(x)在(a，b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)增或減的函數(shù)沒有極值．14．已知函數(shù)f(x)=exlnx，f ′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則f ′(1)的值為__________．【答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求出導(dǎo)函數(shù)，然后可得【詳解】由函數(shù)的解析式可得：，則．故答案為：．15．關(guān)于的方程有三個不同的實數(shù)解，則的取值范圍是__________．【答案】(—4，0).【詳解】試題分析：，因為關(guān)于x的方程有三個不同的實數(shù)解，所以有三個不同的實數(shù)解，，，令，則；令，則；，所以.【解析】三次函數(shù)的零點(diǎn)問題.16．若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則_______．【答案】【詳解】試題分析：對函數(shù)求導(dǎo)得，對求導(dǎo)得，設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，與曲線相切于點(diǎn)，則，由點(diǎn)在切線上得，由點(diǎn)在切線上得，這兩條直線表示同一條直線，所以，解得.【解析】導(dǎo)數(shù)的幾何意義【名師點(diǎn)睛】函數(shù)f （x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f ′（x0）的幾何意義是曲線y＝f （x）在點(diǎn)P（x0，y0）處的切線的斜率．相應(yīng)地，切線方程為y?y0＝f ′（x0）（x?x0）．注意：求曲線切線時，要分清在點(diǎn)P處的切線與過點(diǎn)P的切線的不同． 三、解答題17．已知曲線(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程．(2)求曲線過點(diǎn)的切線方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解；（2）設(shè)切線坐標(biāo)為，得出切線的方程為，根據(jù)點(diǎn)在切線上，列出方程求得的值，代入即可求解.【詳解】(1)由題意，函數(shù)，可得，所以，即曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，所以所求切線方程為，即.(2)解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線的斜率為，所以切線的方程為，因為點(diǎn)在切線上，可得，解得，所以所求切線的方程為，即.18．已知函數(shù)為常數(shù)，e=2.71828…，曲線在點(diǎn)處的切線與x軸平行.（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間；【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是【詳解】試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與x軸平行，說明f′（1）=0，則k值可求；（2）求出函數(shù)的定義域，然后讓導(dǎo)函數(shù)等于0求出極值點(diǎn)，借助于導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間內(nèi)的符號求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間試題解析：（I） ，由已知，，（II）由（I）知，.設(shè)，則，即在上是減函數(shù)，由知，當(dāng)時，，當(dāng)時，從而.綜上可知，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.【解析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)的幾何意義19．某車間生產(chǎn)某種電子元件，如果生產(chǎn)出一件正品，可獲利200元，如果生產(chǎn)出一件次品，則損失100元．已知該車間制造電子元件的過程中，次品率與日產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系是：．（1）寫出該車間的日盈利額（元）與日產(chǎn)量（件）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）為使日盈利額最大，該車間的日產(chǎn)量應(yīng)定為多少件？【答案】（1）；（2）當(dāng)時，最大，即該廠的日產(chǎn)量定為16件，能獲得最大盈利．【詳解】試題分析：（1）)由題意可知次品率P＝日產(chǎn)次品數(shù)÷日產(chǎn)量，每天生產(chǎn)x件，次品數(shù)為xP，正品數(shù)為x(1－P)，即可寫出函數(shù)；（2）利用導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)為0，即可求出函數(shù)的最值.試題解析：(1)由題意可知次品率P＝日產(chǎn)次品數(shù)÷日產(chǎn)量，每天生產(chǎn)x件，次品數(shù)為xP，正品數(shù)為x(1－P)．因為次品率P＝，當(dāng)每天生產(chǎn)x件時，有x·件次品，有x件正品，所以T＝200x－100x·＝25·.(2)T′＝－25·，由T′＝0，得x＝16或x＝－32(舍去)當(dāng)0<x<16時，T′>0；當(dāng)x>16時，T′<0；所以當(dāng)x＝16時，T最大，即該廠的日產(chǎn)量定為16件，能獲得最大盈利．20．已知函數(shù)在點(diǎn)處取得極值.(1)求的值；(2)若有極大值，求在上的最小值．【答案】(1) ;(2) .【分析】（1）f′（x）=3ax2+b，由函數(shù)f（x）=ax3+bx+c在點(diǎn)x=2處取得極值c﹣16．可得f′（2）=12a+b=0，f（2）=8a+2b+c=c﹣16．聯(lián)立解出．（2）由（1）可得：f（x）=x3﹣12x+c，f′（x）=3x2﹣12=3（x+2）（x﹣2），可得x=﹣2時，f（x）有極大值28，解得c．列出表格，即可得出．【詳解】解：因.故由于在點(diǎn)x=2處取得極值c-16.故有即化簡得解得a=1，b=-12.（2）由（1）知；.令，得，.當(dāng)時，，故在上為增函數(shù)；當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)；當(dāng)時，，故在上為增函數(shù).由此可知在處取得極大值；，在處取得極小值.由題設(shè)條件知16+c=28，得c=12.此時，，，因此在上的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、分類討論方法、方程與不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．21．已知.(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)有最大值，且最大值大于時，求的取值范圍.【答案】(1) 時 ,在是單調(diào)遞增；時,在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）.【詳解】試題分析：（Ⅰ）由,可分,兩種情況來討論；（II）由（I）知當(dāng)時在無最大值,當(dāng)時最大值為因此.令,則在是增函數(shù),當(dāng)時,,當(dāng)時,因此a的取值范圍是.試題解析：（Ⅰ）的定義域為,,若,則,在是單調(diào)遞增；若,則當(dāng)時,當(dāng)時,所以在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.（Ⅱ）由（Ⅰ）知當(dāng)時在無最大值,當(dāng)時在取得最大值,最大值為因此.令,則在是增函數(shù),,于是,當(dāng)時,,當(dāng)時,因此a的取值范圍是.【解析】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)方面的應(yīng)用及分類討論思想.22．已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．(2)若在時恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由題意可得在上恒成立，從而可求出的取值范圍，（2）將問題轉(zhuǎn)化為在時恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值即可【詳解】(1)由，得，因為在區(qū)間上是增函數(shù)，所在上恒成立，所以在上恒成立，因為在上為增函數(shù)，所以滿足題意只需，得，所以的取值范圍為(2)因為所以 即在時恒成立，令 ，，則，所以在上遞減，所以，所以，所以的取值范圍為

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