?2022年深圳中考數(shù)學(xué)終極押題密卷
一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
1．（3分）（2021秋?徐州期末）一個正方體的表面展開圖如圖所示，將其圍成正方體后，“戰(zhàn)”字對面的字是（　?。?br />
A．早 B．勝 C．疫 D．情
2．（3分）（2022?廣西模擬）下列數(shù)中，﹣2的相反數(shù)是（　?。?br /> A．2 B．﹣2 C． D．
3．（3分）（2022春?興慶區(qū)校級月考）不等式組的解集表示在數(shù)軸上，正確的是（　?。?br /> A．
B．
C．
D．
4．（3分）（2022?拱墅區(qū)模擬）某學(xué)習(xí)小組有15人參加捐款，其中小明的捐款數(shù)比15人捐款的平均數(shù)多2元，據(jù)此可知，下列說法錯誤的是（　?。?br /> A．小明的捐款數(shù)不可能最少
B．小明的捐款數(shù)可能最多
C．將捐款數(shù)按從少到多排列，小明的捐款數(shù)一定比第8名多
D．將捐款數(shù)按從少到多排列，小明的捐款數(shù)可能排在第14位
5．（3分）（2021秋?西青區(qū)期末）下列計算結(jié)果正確的是（　?。?br /> A．（a3）4＝a12 B．a(chǎn)3?a3＝a9
C．（﹣2a）2＝﹣4a2 D．（ab）2＝ab2
6．（3分）（2021秋?慈利縣期末）在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，則∠C的度數(shù)是（　?。?br /> A．45° B．75° C．105° D．120°
7．（3分）（2021秋?岑溪市期末）甲、乙二人同時同地出發(fā)，都以不變的速度在300米環(huán)形跑道上奔跑，若反向而行，每隔20s相遇一次，若同向而行，則每隔300s相遇一次，已知甲比乙跑得快，設(shè)甲每秒跑x米，乙每秒跑y米，則可列方程為（　?。?br /> A．
B．
C．
D．
8．（3分）（2021秋?蘭考縣期末）在高為60m的小山上，測得山底一建筑物頂端與底部的俯角分別是30°和60°，則這個建筑物的高度是（　?。?br /> A．20m B．30m C．40m D．50m
9．（3分）（2021秋?蓬溪縣期末）拋物線y＝2（x﹣3）2+2的頂點坐標是（　　）
A．（﹣3，2） B．（3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2）
10．（3分）（2021秋?拱墅區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標系內(nèi)有一點P（3，4），連接OP，設(shè)OP與x軸正半軸所夾的銳角為α，則銳角α的正弦值為（　?。?br />
A． B． C． D．
二．填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）
11．（3分）（2022?張家界一模）分解因式：ax2﹣2axy+ay2＝　 ?。?br /> 12．（3分）（2021秋?大連期末）若x＝1是一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一個根，則m＝　 ?。?br /> 13．（3分）（2021秋?長沙期末）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，DE垂直平分AC，交BC于點E，CE＝2，則BC＝　 ?。?br />
14．（3分）（2022?金平區(qū)校級模擬）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC為等腰直角三角形，CB＝CA＝5，點C的坐標為（0，3），點B在x軸正半軸上，點A在第三象限，且在反比例函數(shù)（x＜0）的圖象上則k的值為 　 ?。?br />
15．（3分）（2022春?長汀縣期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D．E為線段BD上一點，連結(jié)CE，將邊BC沿CE折疊，使點B的對稱點B'落在CD的延長線上，若AB＝5，BC＝4，則△ACE的面積為 　 　．

三．解答題（共7小題，滿分55分）
16．（6分）（2021秋?思明區(qū)校級期末）先化簡，再求值：，其中x＝2+．
17．（6分）（2021秋?杭州期末）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB＝AC，P是上一點，且∠BAC＝30°．
（1）求∠APC的度數(shù)；
（2）若⊙O的半徑為6，求的長（結(jié)果保留π）．

18．（8分）（2021春?永年區(qū)月考）2020年初，為積極響應(yīng)教育部“停課不停學(xué)”的號召，某中學(xué)組織本校優(yōu)秀教師開展線上教學(xué)，經(jīng)過近三個月的線上授課后，在五月初復(fù)學(xué)．該校為了解學(xué)生不同階段學(xué)習(xí)效果，決定隨機抽取八年級部分學(xué)生進行兩次跟蹤測評，第一次是復(fù)學(xué)初對線上教學(xué)質(zhì)量測評，第二次是復(fù)學(xué)一個月后教學(xué)質(zhì)量測評．根據(jù)第一次測試的數(shù)學(xué)成績制成頻數(shù)分布直方圖（圖1）．
復(fù)學(xué)一個月后，根據(jù)第二次測試的數(shù)學(xué)成績得到如下統(tǒng)計表：
成績
30≤x＜40
40≤x＜50
50≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
人數(shù)
1
3
3
8
15
m
6
根據(jù)以上圖表信息，完成下列問題：
（1）m＝　 ??；
（2）請在圖2中作出兩次測試的數(shù)學(xué)成績折線圖，并對兩次成績作出對比分析（用一句話概述）；
（3）某同學(xué)第二次測試數(shù)學(xué)成績?yōu)?8分．這次測試中，分數(shù)高于78分的至少有多少人？至多有多少人？
（4）請估計復(fù)學(xué)一個月后該校800名八年級學(xué)生數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀（80分及以上）的人數(shù)．
19．（8分）（2021秋?河口區(qū)期末）已知：∠A＝90°，∠ADE＝120°，BD平分∠ADE，AD＝DE．
（1）△BAD與△BED全等嗎？請說明理由；
（2）若DE＝2，試求AC與EC的長．

20．（8分）（2021秋?炎陵縣期末）攀枝花得天獨厚，氣候宜人，農(nóng)產(chǎn)品資源極為豐富，其中晚熟芒果遠銷北上廣等大城市．某水果店購進一批優(yōu)質(zhì)晚熟芒果，進價為10元/千克，售價不低于15元/千克，且不超過40元/千克，根據(jù)銷售情況，發(fā)現(xiàn)該芒果在一天內(nèi)的銷售量y（千克）與該天的售價x（元/千克）之間的數(shù)量滿足如下表所示的一次函數(shù)關(guān)系．
售價x（元/千克）
…
27.5
25
24.5
22
…
銷售量y（千克）
…
32.5
35
35.5
38
…
（1）某天這種芒果售價為28元/千克．求當天該芒果銷售量
（2）設(shè)某天銷售這種芒果獲利m元，寫出m與售價x之間的函數(shù)關(guān)系式．如果水果店該天獲利400元，那么這天芒果的售價為多少元？
21．（9分）（2021秋?成華區(qū)期末）如圖1，直線y＝﹣x+4與x，y軸的交點分別為點A，B，與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象的兩交點分別為點C，D，點M是反比例函數(shù)上一動點．
（1）求△OCD的面積；
（2）是否存在點M，使得△ODM∽△OAD？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）過點M分別作x軸和y軸的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，是否存在點M，使得矩形OEMF與△OCD的重疊部分的面積S等于？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．


22．（10分）（2022?永城市校級一模）數(shù)學(xué)課上，王老師出示了這樣一個問題：如圖1，在矩形ABCD中，AD＝2AB，E是AB延長線上一點，且BE＝AB，連接DE，交BC于點M，以DE為一邊在DE的左下方作正方形DEFG，連接AM．試判斷線段AM與DE的位置關(guān)系．
探究展示：小明發(fā)現(xiàn)，AM垂直平分DE，并展示了如下的證明方法：
證明：∵BE＝AB，∴AE＝2AB．
∵AD＝2AB，∴AD＝AE．
∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC．
∴＝（依據(jù)1）
∵BE＝AB，∴＝1．∴EM＝DM．
即AM是△ADE的DE邊上的中線，
又∵AD＝AE，∴AM⊥DE．（依據(jù)2）
∴AM垂直平分DE．
反思交流：
（1）①上述證明過程中的“依據(jù)1”“依據(jù)2”分別是指什么？
②試判斷圖1中的點A是否在線段GF的垂直平分線上，請直接回答，不必證明；
（2）小穎受到小明的啟發(fā)，繼續(xù)進行探究，如圖2，連接CE，以CE為一邊在CE的左下方作正方形CEFG，發(fā)現(xiàn)點G在線段BC的垂直平分線上，請你給出證明；
拓展應(yīng)用：
（3）如圖3，連接CE，以CE為一邊在CE的右上方作正方形CEFG，分別以點B，C為圓心，m為半徑作弧，兩弧交于點M，連接MF．若MF＝AB＝1，請直接寫出m的值．


2022年深圳中考數(shù)學(xué)終極押題密卷
參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
1．（3分）（2021秋?徐州期末）一個正方體的表面展開圖如圖所示，將其圍成正方體后，“戰(zhàn)”字對面的字是（　?。?br />
A．早 B．勝 C．疫 D．情
【考點】專題：正方體相對兩個面上的文字．
【專題】探究型；空間觀念．
【分析】正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，根據(jù)這一特點作答．
【解答】解：正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，
“戰(zhàn)”字對面的字是“情”．
故選：D．
【點評】本題考查了正方體的展開圖，注意正方體的空間圖形，從相對面入手，分析及解答問題．
2．（3分）（2022?廣西模擬）下列數(shù)中，﹣2的相反數(shù)是（　?。?br /> A．2 B．﹣2 C． D．
【考點】相反數(shù)．
【專題】實數(shù)；運算能力．
【分析】根據(jù)只有符號不同的兩個數(shù)是互為相反數(shù)，找出﹣2的相反數(shù)，然后選擇答案即可．
【解答】解：﹣2的相反數(shù)的是2．
故選：A．
【點評】本題主要考查了相反數(shù)的定義，熟記定義是解題的關(guān)鍵．
3．（3分）（2022春?興慶區(qū)校級月考）不等式組的解集表示在數(shù)軸上，正確的是（　?。?br /> A．
B．
C．
D．
【考點】在數(shù)軸上表示不等式的解集．
【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；符號意識．
【分析】先把不等式組的解集在數(shù)軸上表示出來，找出符合條件的選項即可．
【解答】解：不等式組的解集為1≤x≤3，
在數(shù)軸上的表示為：

故選：A．
【點評】本題考查的是在數(shù)軸上表示不等式組的解集，把每個不等式的解集在數(shù)軸上表示出來（＞，≥向右畫；＜，≤向左畫），數(shù)軸上的點把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集．有幾個就要幾個．在表示解集時“≥”，“≤”要用實心圓點表示；“＜”，“＞”要用空心圓點表示．
4．（3分）（2022?拱墅區(qū)模擬）某學(xué)習(xí)小組有15人參加捐款，其中小明的捐款數(shù)比15人捐款的平均數(shù)多2元，據(jù)此可知，下列說法錯誤的是（　　）
A．小明的捐款數(shù)不可能最少
B．小明的捐款數(shù)可能最多
C．將捐款數(shù)按從少到多排列，小明的捐款數(shù)一定比第8名多
D．將捐款數(shù)按從少到多排列，小明的捐款數(shù)可能排在第14位
【考點】算術(shù)平均數(shù)．
【專題】統(tǒng)計與概率；數(shù)據(jù)分析觀念．
【分析】根據(jù)題意和算術(shù)平均數(shù)的含義，可以判斷各個選項中的說法是否正確．
【解答】解：∵小明的捐款數(shù)比15人捐款的平均數(shù)多2元，
∴小明的捐款數(shù)不可能最少，故選項A正確；
小明的捐款數(shù)可能最多，故選項B正確；
將捐款數(shù)按從少到多排列，小明的捐款數(shù)不一定比第8名多，故選項C錯誤；
將捐款數(shù)按從少到多排列，小明的捐款數(shù)可能排在第14位，故選項D正確；
故選：C．
【點評】本題考查算術(shù)平均數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，可以判斷各個選項中的說法是否正確．
5．（3分）（2021秋?西青區(qū)期末）下列計算結(jié)果正確的是（　?。?br /> A．（a3）4＝a12 B．a(chǎn)3?a3＝a9
C．（﹣2a）2＝﹣4a2 D．（ab）2＝ab2
【考點】冪的乘方與積的乘方；同底數(shù)冪的乘法．
【專題】整式；運算能力．
【分析】根據(jù)冪的乘方、積的乘方、同底數(shù)冪的乘法即可求出答案．
【解答】解：A、原式＝a12，故A符合題意．
B、原式＝a6，故B不符合題意．
C、原式＝4a2，故C不符合題意．
D、原式＝a2b2，故D不符合題意．
故選：A．
【點評】本題考查冪的乘方、積的乘方、同底數(shù)冪的乘法，本題屬于基礎(chǔ)題型．
6．（3分）（2021秋?慈利縣期末）在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，則∠C的度數(shù)是（　?。?br /> A．45° B．75° C．105° D．120°
【考點】特殊角的三角函數(shù)值；非負數(shù)的性質(zhì)：絕對值；非負數(shù)的性質(zhì)：偶次方．
【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列出關(guān)系式，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出∠A、∠B的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算即可．
【解答】解：由題意得，sinA﹣＝0，﹣cosB＝0，
即sinA＝，＝cosB，
解得，∠A＝30°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°，
故選：C．
【點評】本題考查的是非負數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用、特殊角的三角函數(shù)值的計算和三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
7．（3分）（2021秋?岑溪市期末）甲、乙二人同時同地出發(fā)，都以不變的速度在300米環(huán)形跑道上奔跑，若反向而行，每隔20s相遇一次，若同向而行，則每隔300s相遇一次，已知甲比乙跑得快，設(shè)甲每秒跑x米，乙每秒跑y米，則可列方程為（　?。?br /> A．
B．
C．
D．
【考點】由實際問題抽象出二元一次方程組．
【專題】一次方程（組）及應(yīng)用；應(yīng)用意識．
【分析】利用路程＝速度×?xí)r間，結(jié)合“若反向而行，每隔20s相遇一次，若同向而行，則每隔300s相遇一次”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，此題得解．
【解答】解：∵若反向而行，每隔20s相遇一次，且環(huán)形跑道的長度為300米，
∴20x+20y＝300；
∵若同向而行，則每隔300s相遇一次，且環(huán)形跑道的長度為300米，
∴300x﹣300y＝300．
∴依照題意，可列方程組．
故選：C．
【點評】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．
8．（3分）（2021秋?蘭考縣期末）在高為60m的小山上，測得山底一建筑物頂端與底部的俯角分別是30°和60°，則這個建筑物的高度是（　　）
A．20m B．30m C．40m D．50m
【考點】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題．
【專題】應(yīng)用題；解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力．
【分析】作CE⊥AB，根據(jù)∠DAB可以求得CE的長，根據(jù)CE即可求得AE的長，根據(jù)CD＝BE＝AB﹣AE即可解題．
【解答】解：如圖，作CE⊥AB，

根據(jù)題意可知：∠DAB＝90°﹣60°＝30°，AB＝60m，∠ACE＝30°，
∴BD＝AB×tan30°＝60×＝20（m），
∴CE＝BD＝20m，
∵∠ACE＝30°，
∴AE＝CEtan30°＝20×＝20（m），
∴CD＝BE＝AB﹣AE＝60﹣20＝40（m），
故選：C．
【點評】本題考查了查解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，特殊角的三角函數(shù)值，本題中求得BD的長是解題的關(guān)鍵．
9．（3分）（2021秋?蓬溪縣期末）拋物線y＝2（x﹣3）2+2的頂點坐標是（　?。?br /> A．（﹣3，2） B．（3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2）
【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．
【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；符號意識．
【分析】根據(jù)y＝a（x﹣h）2+k，頂點坐標是（h，k）可得答案．
【解答】解：拋物線y＝2（x﹣3）2+2的頂點坐標是（3，2），
故選：B．
【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟記：頂點式y(tǒng)＝a（x﹣h）2+k，頂點坐標是（h，k），對稱軸是直線x＝h．
10．（3分）（2021秋?拱墅區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標系內(nèi)有一點P（3，4），連接OP，設(shè)OP與x軸正半軸所夾的銳角為α，則銳角α的正弦值為（　?。?br />
A． B． C． D．
【考點】解直角三角形；坐標與圖形性質(zhì)．
【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力．
【分析】要求銳角α的正弦值，想到構(gòu)造直角三角形，所以過點P作PA⊥x軸，垂足為A，然后在Rt△OAP中即可解答．
【解答】解：過點P作PA⊥x軸，垂足為A，

∵P（3，4），
∴OA＝3，AP＝4，
∴OP＝＝＝5，
在Rt△OAP中，sinα＝＝，
故選：B．
【點評】本題考查了解直角三角形，坐標與圖形的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形構(gòu)造直角三角形，是解題的關(guān)鍵．
二．填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）
11．（3分）（2022?張家界一模）分解因式：ax2﹣2axy+ay2＝　a（x﹣y）2　．
【考點】提公因式法與公式法的綜合運用．
【分析】先提取公因式a，再根據(jù)完全平方公式進行二次分解．完全平方公式：a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2．
【解答】解：ax2﹣2axy+ay2，
＝a（x2﹣2xy+y2），
＝a（x﹣y）2．
故答案為：a（x﹣y）2．
【點評】本題考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式進行二次分解，注意分解要徹底．
12．（3分）（2021秋?大連期末）若x＝1是一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一個根，則m＝　2?。?br /> 【考點】一元二次方程的解．
【專題】一元二次方程及應(yīng)用；推理能力．
【分析】將x＝1代入方程得到關(guān)于m的方程，從而可求得m的值．
【解答】解：將x＝1代入得：1﹣3+m＝0，
解得：m＝2．
故答案為：2．
【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．
13．（3分）（2021秋?長沙期末）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，DE垂直平分AC，交BC于點E，CE＝2，則BC＝　3　．

【考點】含30度角的直角三角形；線段垂直平分線的性質(zhì)．
【專題】線段、角、相交線與平行線；等腰三角形與直角三角形；運算能力．
【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AE＝CE＝2，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠EAC＝∠C＝30°，求出∠BAE＝30°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出BE，再求出BC即可．
【解答】解：∵DE垂直平分AC，CE＝2，
∴AE＝CE＝2，
∴∠EAC＝∠C，
∵∠B＝90°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝90°﹣∠C＝60°，∠EAC＝30°，
∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝30°，
∴BE＝AE＝1，
∴BC＝BE+CE＝1+2＝3，
故答案為：3．
【點評】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識點，能熟記線段垂直平分線的性質(zhì)和含30°角的直角三角形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．
14．（3分）（2022?金平區(qū)校級模擬）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC為等腰直角三角形，CB＝CA＝5，點C的坐標為（0，3），點B在x軸正半軸上，點A在第三象限，且在反比例函數(shù)（x＜0）的圖象上則k的值為 　3?。?br />
【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征；等腰直角三角形．
【專題】反比例函數(shù)及其應(yīng)用；等腰三角形與直角三角形；運算能力；推理能力．
【分析】如圖，作AH⊥y軸于H．構(gòu)造全等三角形即可解決問題．
【解答】解：如圖，作AH⊥y軸于H．

∵CA＝CB，∠AHC＝∠BOC，∠ACH＝∠CBO，
∴△ACH≌△CBO，
∴AH＝OC，CH＝OB，
∵C（0，3），BC＝5，
∴OC＝3，OB＝＝4，
∴CH＝OB＝4，AH＝OC＝3，
∴OH＝1，
∴A（﹣3，﹣1），
∵點A在y＝上，
∴k＝3，
故答案為：3．
【點評】本題考查反比例函數(shù)的應(yīng)用、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．
15．（3分）（2022春?長汀縣期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D．E為線段BD上一點，連結(jié)CE，將邊BC沿CE折疊，使點B的對稱點B'落在CD的延長線上，若AB＝5，BC＝4，則△ACE的面積為 　?。?br />
【考點】翻折變換（折疊問題）；勾股定理．
【專題】等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；運算能力；推理能力．
【分析】由勾股定理得AC＝3，再由面積法求出CD＝，則BD＝＝，然后由折疊的性質(zhì)得B'C＝BC＝8，BE＝B'E，則B'D＝B'C﹣CD＝，設(shè)BE＝B'E＝x，則DE＝BD﹣BE＝﹣x，在Rt△B'DE中，由勾股定理得出方程（）2+（﹣x）2＝x2，解得x＝2，即可解決問題．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，
∴AC＝＝＝3，
∵CD⊥AB，
∴2S△ABC＝AB?CD＝AC?BC，
∴CD＝＝＝，
在Rt△BCD中，BD＝＝＝，
∵將邊BC沿CE折疊，使點B的對稱點B'落在CD的延長線上，
∴B'C＝BC＝8，BE＝B'E，
∴B'D＝B'C﹣CD＝4﹣＝，
設(shè)BE＝B'E＝x，則DE＝BD﹣BE＝﹣x，
在Rt△B'DE中，由勾股定理得：B'D2+DE2＝B'E2，
即（）2+（﹣x）2＝x2，
解得：x＝2，
∴BE＝2，
∴AE＝AB﹣BE＝5﹣2＝3，
∴△ACE的面積＝AE?CD＝×3×＝，
故答案為：．
【點評】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、勾股定理以及三角形面積等知識，熟練掌握翻折變換的性質(zhì)，由勾股定理求出BE的長是解題的關(guān)鍵．
三．解答題（共7小題，滿分55分）
16．（6分）（2021秋?思明區(qū)校級期末）先化簡，再求值：，其中x＝2+．
【考點】分式的化簡求值．
【專題】計算題；分式；運算能力．
【分析】先將小括號內(nèi)的式子進行通分計算，然后再算括號外面的乘法，最后代入求值．
【解答】解：原式＝[]
＝
＝
＝，
當x＝2+時，
原式＝＝＝2+1．
【點評】本題考查分式的化簡求值，分母有理化計算，理解二次根式的性質(zhì)，掌握分式混合運算的運算順序（先算乘方，然后算乘除，最后算加減，有小括號先算小括號里面的）和計算法則是解題關(guān)鍵．
17．（6分）（2021秋?杭州期末）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB＝AC，P是上一點，且∠BAC＝30°．
（1）求∠APC的度數(shù)；
（2）若⊙O的半徑為6，求的長（結(jié)果保留π）．

【考點】三角形的外接圓與外心；弧長的計算；圓周角定理．
【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；運算能力；推理能力．
【分析】（1）首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)計算出∠B＝75°，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補可得答案；
（2）連接OA，OC，根據(jù)圓周角定理得到∠AOC＝2∠B＝150°，根據(jù)弧長公式即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B，
∵∠BAC＝30°，
∴∠B＝＝75°，
∴∠APB＝180°﹣75°＝105°，
（2）連接OA，OC，
∵∠B＝75°，
∴∠AOC＝2∠B＝150°，
∴的長＝＝5π．

【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，弧長的計算，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．
18．（8分）（2021春?永年區(qū)月考）2020年初，為積極響應(yīng)教育部“停課不停學(xué)”的號召，某中學(xué)組織本校優(yōu)秀教師開展線上教學(xué)，經(jīng)過近三個月的線上授課后，在五月初復(fù)學(xué)．該校為了解學(xué)生不同階段學(xué)習(xí)效果，決定隨機抽取八年級部分學(xué)生進行兩次跟蹤測評，第一次是復(fù)學(xué)初對線上教學(xué)質(zhì)量測評，第二次是復(fù)學(xué)一個月后教學(xué)質(zhì)量測評．根據(jù)第一次測試的數(shù)學(xué)成績制成頻數(shù)分布直方圖（圖1）．
復(fù)學(xué)一個月后，根據(jù)第二次測試的數(shù)學(xué)成績得到如下統(tǒng)計表：
成績
30≤x＜40
40≤x＜50
50≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
人數(shù)
1
3
3
8
15
m
6
根據(jù)以上圖表信息，完成下列問題：
（1）m＝　14??；
（2）請在圖2中作出兩次測試的數(shù)學(xué)成績折線圖，并對兩次成績作出對比分析（用一句話概述）；
（3）某同學(xué)第二次測試數(shù)學(xué)成績?yōu)?8分．這次測試中，分數(shù)高于78分的至少有多少人？至多有多少人？
（4）請估計復(fù)學(xué)一個月后該校800名八年級學(xué)生數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀（80分及以上）的人數(shù)．
【考點】頻數(shù)（率）分布折線圖；用樣本估計總體；頻數(shù)（率）分布表；頻數(shù)（率）分布直方圖．
【專題】統(tǒng)計的應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念．
【分析】（1）根據(jù)頻數(shù)之和為樣本容量進行計算即可；
（2）根據(jù)頻數(shù)可繪制折線統(tǒng)計圖；并根據(jù)折線的變化趨勢得出判斷；
（3）根據(jù)頻數(shù)分布情況進行“極值”判斷即可；
（4）求出“優(yōu)秀”所占得百分比即可．
【解答】解：（1）由圖1可知，調(diào)查人數(shù)為2+8+10+15+10+4+1＝50（人），
m＝50﹣1﹣3﹣3﹣8﹣15﹣6＝14；
故答案為：14；
（2）折線圖如下圖所示，

復(fù)學(xué)后，學(xué)生的成績總體上有了明顯的提升；
（3）某同學(xué)第二次測試數(shù)學(xué)成績?yōu)?8分，
這次測試中，分數(shù)高于78分的至少有14+6＝20（人），
至多有14+6+（15﹣1）＝34（人），
答：這次測試中，分數(shù)高于78分的至少有20人，至多有34人；
（4）800×＝320（人），
答：復(fù)學(xué)一個月后該校800名八年級學(xué)生數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀（80分）及以上的有320人．
【點評】本題考查頻數(shù)分布直方圖，掌握頻數(shù)、頻率、總數(shù)之間的關(guān)系是解決問題的前提．
19．（8分）（2021秋?河口區(qū)期末）已知：∠A＝90°，∠ADE＝120°，BD平分∠ADE，AD＝DE．
（1）△BAD與△BED全等嗎？請說明理由；
（2）若DE＝2，試求AC與EC的長．

【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)．
【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；推理能力．
【分析】（1）由“SAS”可證△ADB≌△EDB；
（2）由全等三角形的性質(zhì)可得∠A＝∠DEB＝90°，AD＝DE＝2，由直角三角形的性質(zhì)可求解．
【解答】解：（1）△BAD與△BED全等，
理由如下：∵BD平分∠ADE，
∴∠ADB＝∠BDE＝60°，
在△ADB和△EDB中，
，
∴△ADB≌△EDB（SAS）；
（2）∵△ADB≌△EDB，
∴∠A＝∠DEB＝90°，AD＝DE＝2，
∵∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝180°﹣120°＝60°，
∴∠C＝30°，
∴CD＝2DE＝4，CE＝DE＝2，
∴AC＝AD+CD＝6．
【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
20．（8分）（2021秋?炎陵縣期末）攀枝花得天獨厚，氣候宜人，農(nóng)產(chǎn)品資源極為豐富，其中晚熟芒果遠銷北上廣等大城市．某水果店購進一批優(yōu)質(zhì)晚熟芒果，進價為10元/千克，售價不低于15元/千克，且不超過40元/千克，根據(jù)銷售情況，發(fā)現(xiàn)該芒果在一天內(nèi)的銷售量y（千克）與該天的售價x（元/千克）之間的數(shù)量滿足如下表所示的一次函數(shù)關(guān)系．
售價x（元/千克）
…
27.5
25
24.5
22
…
銷售量y（千克）
…
32.5
35
35.5
38
…
（1）某天這種芒果售價為28元/千克．求當天該芒果銷售量
（2）設(shè)某天銷售這種芒果獲利m元，寫出m與售價x之間的函數(shù)關(guān)系式．如果水果店該天獲利400元，那么這天芒果的售價為多少元？
【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用；一元二次方程的應(yīng)用．
【專題】一元二次方程及應(yīng)用；一次函數(shù)及其應(yīng)用；運算能力；應(yīng)用意識．
【分析】（1）根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)，可以計算出該芒果在一天內(nèi)的銷售量y（千克）與該天的售價x（元/千克）之間的函數(shù)關(guān)系式，然后將x＝28代入求出相應(yīng)的y的值即可；
（2）根據(jù)題意和（1）中的函數(shù)解析式，可以寫出獲利m與售價x之間的函數(shù)關(guān)系式，然后將m＝400代入求出相應(yīng)的x的值即可，注意x的取值范圍．
【解答】解：（1）設(shè)一次函數(shù)的解析式為y＝kx+b，
，
解得，
即一次函數(shù)的解析式為y＝﹣x+60（15≤x≤40），
當x＝28時，y＝﹣28+60＝32，
答：芒果售價為28元/千克時，當天該芒果的銷售量為32千克；
（2）由題意可得：m＝y(tǒng)（x﹣10）＝（﹣x+60）（x﹣10）＝﹣x2+70x﹣600，
當m＝400時，﹣x2+70x﹣600＝400，
解得x1＝20，x2＝50，
∵15≤x≤40，
∴x＝20，
答：獲利m與售價x之間的函數(shù)關(guān)系式是m＝﹣x2+70x﹣600，如果水果店該天獲利400元，那么這天芒果的售價為20元．
【點評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，寫出相應(yīng)的函數(shù)解析式，列出相應(yīng)的方程．
21．（9分）（2021秋?成華區(qū)期末）如圖1，直線y＝﹣x+4與x，y軸的交點分別為點A，B，與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象的兩交點分別為點C，D，點M是反比例函數(shù)上一動點．
（1）求△OCD的面積；
（2）是否存在點M，使得△ODM∽△OAD？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）過點M分別作x軸和y軸的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，是否存在點M，使得矩形OEMF與△OCD的重疊部分的面積S等于？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．


【考點】反比例函數(shù)綜合題．
【專題】反比例函數(shù)及其應(yīng)用；推理能力．
【分析】（1）先求點B的坐標為（0，4），點C坐標為（，3），點D坐標為（3，），過點D作DH⊥OB于點H，得S△DCO＝S△OBD﹣S△OBC＝××﹣×4×＝8；
（2）存在點M，使得△ODM∽△OAD，假設(shè)存在點M，使得△ODM∽△OAD，此時∠MDO＝45°，以O(shè)D為直角邊構(gòu)建等腰直角△NOD，過點N作NP⊥OB于點P，過點D作DQ⊥OA于點Q，先證明△NPO≌△DQO，得點N的坐標為（﹣，3），先求直線DN的函數(shù)關(guān)系式為：y＝﹣x+，再解方程組：，得點M坐標為（，），再通過計算得AD：OA＝DM：OD，且∠MDO＝∠DAO＝45°，即可證出△MOD∽DOA；
（3）如圖，重疊面積為四邊形MSOT，設(shè)點M坐標為（m，），先表示出點T的坐標為（m，m），點S的坐標為（，），根據(jù)矩形OEMF與△OCD的重疊部分的面積S等于，得方程6﹣××﹣×m×＝，即可求解．
【解答】解：（1）當y＝﹣x+4＝0時，x＝4，
∴點B的坐標為（0，4），
解方程組：，
得：或，
∴點C坐標為（，3），點D坐標為（3，），
過點C作CG⊥OB于點G，過點D作DH⊥OB于點H，
∴S△DCO＝S△OBD﹣S△OBC＝××﹣×4×＝8；
（2）存在點M，使得△ODM∽△OAD，
假設(shè)存在點M，使得△ODM∽△OAD，此時∠MDO＝45°，
以O(shè)D為直角邊構(gòu)建等腰直角△NOD，過點N作NP⊥OB于點P，過點D作DQ⊥OA于點Q，
∴∠NOP+∠POD＝∠DOQ+∠POD＝90°，
∴∠NOP＝∠DOQ，
∵∠NPO＝∠DQO＝90°，NO＝DO，
∴△NPO≌△DQO（AAS），
∴PN＝QD＝，PO＝QO＝3，
∴點N的坐標為（﹣，3），
設(shè)直線DN的關(guān)系式為：y＝kx+b，
把點D（3，），N（﹣，3）代入，
，
解得：，
直線DN的函數(shù)關(guān)系式為：y＝﹣x+，
解方程組：，
解得：或，
∴點M坐標為（，），
∴DM＝＝，
OD＝＝2，
OA＝4，
AD＝＝2，
∴AD：OA＝2：4＝：4；DM：OD＝：2＝：4，
∴AD：OA＝DM：OD，且∠MDO＝∠DAO＝45°，
∴△MOD∽DOA，此時M點坐標為（，）；
（3）如圖，重疊面積為四邊形MSOT，設(shè)點M坐標為（m，），
根據(jù)點D坐標為（3，），得OD的關(guān)系式為：y＝x，
當x＝m時，y＝m，
∴點T的坐標為（m，m），
∴OE＝m，TE＝m，
根據(jù)點C坐標為（，3），得OC的關(guān)系式為：y＝3x，
當y＝時，3x＝，
解得：x＝，
∴點S的坐標為（，），
∴SF＝，OF＝，
∵矩形OEMF與△OCD的重疊部分的面積S等于，
∴6﹣××﹣×m×＝，
化簡得，m4﹣13m2+36＝0，
解得：m＝±2或±3，
∵m＞0，
∴m＝2或3，
∴m點坐標為（2，3）或（3，2）．



【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象交點，三角形面積求法，一次函數(shù)解析式求法，三角形全等的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是構(gòu)建等腰直角三角形，運用方程思想解決問題．
22．（10分）（2022?永城市校級一模）數(shù)學(xué)課上，王老師出示了這樣一個問題：如圖1，在矩形ABCD中，AD＝2AB，E是AB延長線上一點，且BE＝AB，連接DE，交BC于點M，以DE為一邊在DE的左下方作正方形DEFG，連接AM．試判斷線段AM與DE的位置關(guān)系．
探究展示：小明發(fā)現(xiàn)，AM垂直平分DE，并展示了如下的證明方法：
證明：∵BE＝AB，∴AE＝2AB．
∵AD＝2AB，∴AD＝AE．
∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC．
∴＝（依據(jù)1）
∵BE＝AB，∴＝1．∴EM＝DM．
即AM是△ADE的DE邊上的中線，
又∵AD＝AE，∴AM⊥DE．（依據(jù)2）
∴AM垂直平分DE．
反思交流：
（1）①上述證明過程中的“依據(jù)1”“依據(jù)2”分別是指什么？
②試判斷圖1中的點A是否在線段GF的垂直平分線上，請直接回答，不必證明；
（2）小穎受到小明的啟發(fā)，繼續(xù)進行探究，如圖2，連接CE，以CE為一邊在CE的左下方作正方形CEFG，發(fā)現(xiàn)點G在線段BC的垂直平分線上，請你給出證明；
拓展應(yīng)用：
（3）如圖3，連接CE，以CE為一邊在CE的右上方作正方形CEFG，分別以點B，C為圓心，m為半徑作弧，兩弧交于點M，連接MF．若MF＝AB＝1，請直接寫出m的值．

【考點】相似形綜合題．
【專題】幾何綜合題；推理能力．
【分析】（1）①根據(jù)平行線分線段成比例定理和等腰三角形的性質(zhì)可得答案；
②根據(jù)正方形的性質(zhì)可證明結(jié)論；
（2）過點G作GH⊥BC于點H，利用AAS證明△GHC≌△CBE，得HC＝BE，從而證明BH＝CH；
（3）過點F作FH⊥BC于點H，過點E作EN⊥FH于點N，首先利用AAS證明△ENF≌△EBC，可證明FH垂直平分BC，則點M在直線FH上，當點M在F左側(cè)時，m＝BM＝＝，當點M在F右側(cè)時，m＝BM'＝＝，即可解決問題．
【解答】解：（1）①依據(jù)1是：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例；
依據(jù)2是：等腰三角形的三線合一；
②點A在線段GF的垂直平分線上，理由如下：
∵四邊形DEFG是正方形，
∴DE∥FG，
∴點A在線段GF的垂直平分線上，
（2）如圖，過點G作GH⊥BC于點H，

∵四邊形ABCD是矩形，點E在AB的延長線上，
∴∠CBE＝∠ABC＝∠GHC＝90°，
∴∠BCE+∠BEC＝90°，
∵四邊形CEFG為正方形，
∴CG＝CE，∠GCE＝90°，
∴∠BCE+∠BCG＝90°，
∴∠BEC＝∠BCG，
∴△GHC≌△CBE（AAS），
∴HC＝BE，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，
∵AD＝2AB，BE＝AB，
∴BC＝2BE＝2HC，
∴HC＝BH，
∴GH垂直平分BC，
∴點G在BC的垂直平分線上；
（3）過點F作FH⊥BC于點H，過點E作EN⊥FH于點N，

∴∠BHN＝∠ENH＝∠ENF＝90°，
∵四邊形ABCD是矩形，點E在AB的延長線上，
∴∠CBE＝∠ABC＝90°，
∴四邊形BENH為矩形，
∴BH＝EN，∠BEN＝90°，
∴∠BEC+∠CEN＝90°，
∵四邊形CEFG為正方形，
∴EF＝EC，∠CEF＝90°，
∴∠CEN+∠NEF＝90°，
∴∠BEC＝∠NEF，
∵∠CBE＝∠ENF＝90°，
∴△ENF≌△EBC（AAS），
∵四邊形ABCE是矩形，
∴AD＝BC，
∵AD＝2AB，AB＝BE，
∴BC＝2BH，
∴BH＝HC，
∴FH垂直平分BC，
∴點M在直線FH上，
當點M在F左側(cè)時，m＝BM＝＝，
當點M在F右側(cè)時，m＝BM'＝＝，
綜上：m＝或．
【點評】本題主要考查了矩形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例等知識，證明FH垂直平分BC是解決問題（3）的關(guān)鍵．

考點卡片
1．相反數(shù)
（1）相反數(shù)的概念：只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)．
（2）相反數(shù)的意義：掌握相反數(shù)是成對出現(xiàn)的，不能單獨存在，從數(shù)軸上看，除0外，互為相反數(shù)的兩個數(shù)，它們分別在原點兩旁且到原點距離相等．
（3）多重符號的化簡：與“+”個數(shù)無關(guān)，有奇數(shù)個“﹣”號結(jié)果為負，有偶數(shù)個“﹣”號，結(jié)果為正．
（4）規(guī)律方法總結(jié)：求一個數(shù)的相反數(shù)的方法就是在這個數(shù)的前邊添加“﹣”，如a的相反數(shù)是﹣a，m+n的相反數(shù)是﹣（m+n），這時m+n是一個整體，在整體前面添負號時，要用小括號．
2．非負數(shù)的性質(zhì)：絕對值
在實數(shù)范圍內(nèi)，任意一個數(shù)的絕對值都是非負數(shù)，當幾個數(shù)或式的絕對值相加和為0時，則其中的每一項都必須等于0．
根據(jù)上述的性質(zhì)可列出方程求出未知數(shù)的值．
3．非負數(shù)的性質(zhì)：偶次方
偶次方具有非負性．
任意一個數(shù)的偶次方都是非負數(shù)，當幾個數(shù)或式的偶次方相加和為0時，則其中的每一項都必須等于0．
4．同底數(shù)冪的乘法
（1）同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加．
am?an＝am+n（m，n是正整數(shù)）
（2）推廣：am?an?ap＝am+n+p（m，n，p都是正整數(shù)）
在應(yīng)用同底數(shù)冪的乘法法則時，應(yīng)注意：①底數(shù)必須相同，如23與25，（a2b2）3與（a2b2）4，（x﹣y）2與（x﹣y）3等；②a可以是單項式，也可以是多項式；③按照運算性質(zhì)，只有相乘時才是底數(shù)不變，指數(shù)相加．
（3）概括整合：同底數(shù)冪的乘法，是學(xué)習(xí)整式乘除運算的基礎(chǔ)，是學(xué)好整式運算的關(guān)鍵．在運用時要抓住“同底數(shù)”這一關(guān)鍵點，同時注意，有的底數(shù)可能并不相同，這時可以適當變形為同底數(shù)冪．
5．冪的乘方與積的乘方
（1）冪的乘方法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整數(shù)）
注意：①冪的乘方的底數(shù)指的是冪的底數(shù)；②性質(zhì)中“指數(shù)相乘”指的是冪的指數(shù)與乘方的指數(shù)相乘，這里注意與同底數(shù)冪的乘法中“指數(shù)相加”的區(qū)別．
（2）積的乘方法則：把每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整數(shù)）
注意：①因式是三個或三個以上積的乘方，法則仍適用；②運用時數(shù)字因數(shù)的乘方應(yīng)根據(jù)乘方的意義，計算出最后的結(jié)果．
6．提公因式法與公式法的綜合運用
提公因式法與公式法的綜合運用．
7．分式的化簡求值
先把分式化簡后，再把分式中未知數(shù)對應(yīng)的值代入求出分式的值．
在化簡的過程中要注意運算順序和分式的化簡．化簡的最后結(jié)果分子、分母要進行約分，注意運算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．
【規(guī)律方法】分式化簡求值時需注意的問題
1．化簡求值，一般是先化簡為最簡分式或整式，再代入求值．化簡時不能跨度太大，而缺少必要的步驟，代入求值的模式一般為“當…時，原式＝…”．
2．代入求值時，有直接代入法，整體代入法等常用方法．解題時可根據(jù)題目的具體條件選擇合適的方法．當未知數(shù)的值沒有明確給出時，所選取的未知數(shù)的值必須使原式中的各分式都有意義，且除數(shù)不能為0．
8．由實際問題抽象出二元一次方程組
（1）由實際問題列方程組是把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”的重要方法，它的關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來，找出題目中的相等關(guān)系．
（2）一般來說，有幾個未知量就必須列出幾個方程，所列方程必須滿足：①方程兩邊表示的是同類量；②同類量的單位要統(tǒng)一；③方程兩邊的數(shù)值要相符．
（3）找等量關(guān)系是列方程組的關(guān)鍵和難點，有如下規(guī)律和方法：
①確定應(yīng)用題的類型，按其一般規(guī)律方法找等量關(guān)系．②將問題中給出的條件按意思分割成兩個方面，有“；”時一般“；”前后各一層，分別找出兩個等量關(guān)系．③借助表格提供信息的，按橫向或縱向去分別找等量關(guān)系．④圖形問題，分析圖形的長、寬，從中找等量關(guān)系．
9．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意義：
能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有兩個解，但不一定有兩個實數(shù)解．這x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩實數(shù)根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
10．一元二次方程的應(yīng)用
1、列方程解決實際問題的一般步驟是：審清題意設(shè)未知數(shù)，列出方程，解所列方程求所列方程的解，檢驗和作答．
2、列一元二次方程解應(yīng)用題中常見問題：
（1）數(shù)字問題：個位數(shù)為a，十位數(shù)是b，則這個兩位數(shù)表示為10b+a．
（2）增長率問題：增長率＝增長數(shù)量/原數(shù)量×100%．如：若原數(shù)是a，每次增長的百分率為x，則第一次增長后為a（1+x）；第二次增長后為a（1+x）2，即 原數(shù)×（1+增長百分率）2＝后來數(shù)．
（3）形積問題：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關(guān)系列一元二次方程．③利用相似三角形的對應(yīng)比例關(guān)系，列比例式，通過兩內(nèi)項之積等于兩外項之積，得到一元二次方程．
（4）運動點問題：物體運動將會沿著一條路線或形成一條痕跡，運行的路線與其他條件會構(gòu)成直角三角形，可運用直角三角形的性質(zhì)列方程求解．
【規(guī)律方法】列一元二次方程解應(yīng)用題的“六字訣”
1．審：理解題意，明確未知量、已知量以及它們之間的數(shù)量關(guān)系．
2．設(shè)：根據(jù)題意，可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù)．
3．列：根據(jù)題中的等量關(guān)系，用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量，從而列出方程．
4．解：準確求出方程的解．
5．驗：檢驗所求出的根是否符合所列方程和實際問題．
6．答：寫出答案．
11．在數(shù)軸上表示不等式的解集
用數(shù)軸表示不等式的解集時，要注意“兩定”：
一是定界點，一般在數(shù)軸上只標出原點和界點即可．定邊界點時要注意，點是實心還是空心，若邊界點含于解集為實心點，不含于解集即為空心點；
二是定方向，定方向的原則是：“小于向左，大于向右”．
【規(guī)律方法】不等式解集的驗證方法
　　某不等式求得的解集為x＞a，其驗證方法可以先將a代入原不等式，則兩邊相等，其次在x＞a的范圍內(nèi)取一個數(shù)代入原不等式，則原不等式成立．
12．坐標與圖形性質(zhì)
1、點到坐標軸的距離與這個點的坐標是有區(qū)別的，表現(xiàn)在兩個方面：①到x軸的距離與縱坐標有關(guān)，到y(tǒng)軸的距離與橫坐標有關(guān)；②距離都是非負數(shù)，而坐標可以是負數(shù)，在由距離求坐標時，需要加上恰當?shù)姆枺?br /> 2、有圖形中一些點的坐標求面積時，過已知點向坐標軸作垂線，然后求出相關(guān)的線段長，是解決這類問題的基本方法和規(guī)律．
3、若坐標系內(nèi)的四邊形是非規(guī)則四邊形，通常用平行于坐標軸的輔助線用“割、補”法去解決問題．
13．反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征
反比例函數(shù)y＝k/x（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，
①圖象上的點（x，y）的橫縱坐標的積是定值k，即xy＝k；
②雙曲線是關(guān)于原點對稱的，兩個分支上的點也是關(guān)于原點對稱；
③在y＝k/x圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值|k|．
14．反比例函數(shù)綜合題
（1）應(yīng)用類綜合題
能夠從實際的問題中抽象出反比例函數(shù)這一數(shù)學(xué)模型，是解決實際問題的關(guān)鍵一步，培養(yǎng)了學(xué)生的建模能力和從實際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化的能力．在解決這些問題的時候我們還用到了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法和其他學(xué)科中的知識．
（2）數(shù)形結(jié)合類綜合題
利用圖象解決問題，從圖上獲取有用的信息，是解題的關(guān)鍵所在．已知點在圖象上，那么點一定滿足這個函數(shù)解析式，反過來如果這點滿足函數(shù)的解析式，那么這個點也一定在函數(shù)圖象上．還能利用圖象直接比較函數(shù)值或是自變量的大?。畬?shù)形結(jié)合在一起，是分析解決問題的一種好方法．
15．二次函數(shù)的性質(zhì)
二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標是（﹣，），對稱軸直線x＝﹣，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質(zhì)：
①當a＞0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜﹣時，y隨x的增大而減?。粁＞﹣時，y隨x的增大而增大；x＝﹣時，y取得最小值，即頂點是拋物線的最低點．
②當a＜0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜﹣時，y隨x的增大而增大；x＞﹣時，y隨x的增大而減?。粁＝﹣時，y取得最大值，即頂點是拋物線的最高點．
③拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象可由拋物線y＝ax2的圖象向右或向左平移|﹣|個單位，再向上或向下平移||個單位得到的．
16．二次函數(shù)的應(yīng)用
（1）利用二次函數(shù)解決利潤問題
在商品經(jīng)營活動中，經(jīng)常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題．解此類題的關(guān)鍵是通過題意，確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實際問題中自變量x的取值要使實際問題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時，一定要注意自變量x的取值范圍．
（2）幾何圖形中的最值問題
幾何圖形中的二次函數(shù)問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動態(tài)幾何中的最值的討論．
（3）構(gòu)建二次函數(shù)模型解決實際問題
利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實際問題時，要恰當?shù)匕堰@些實際問題中的數(shù)據(jù)落實到平面直角坐標系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題．
17．專題：正方體相對兩個面上的文字
（1）對于此類問題一般方法是用紙按圖的樣子折疊后可以解決，或是在對展開圖理解的基礎(chǔ)上直接想象．
（2）從實物出發(fā)，結(jié)合具體的問題，辨析幾何體的展開圖，通過結(jié)合立體圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)化，建立空間觀念，是解決此類問題的關(guān)鍵．
（3）正方體的展開圖有11種情況，分析平面展開圖的各種情況后再認真確定哪兩個面的對面．
18．全等三角形的判定與性質(zhì)
（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件．
（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構(gòu)造三角形．
19．線段垂直平分線的性質(zhì)
（1）定義：經(jīng)過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）垂直平分線，簡稱“中垂線”．
（2）性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在線段．　　　?、诖怪逼椒志€上任意一點，到線段兩端點的距離相等．　　　?、廴切稳龡l邊的垂直平分線相交于一點，該點叫外心，并且這一點到三個頂點的距離相等．
20．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性質(zhì)：
在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．
（2）此結(jié)論是由等邊三角形的性質(zhì)推出，體現(xiàn)了直角三角形的性質(zhì)，它在解直角三角形的相關(guān)問題中常用來求邊的長度和角的度數(shù)．
（3）注意：①該性質(zhì)是直角三角形中含有特殊度數(shù)的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能應(yīng)用；
②應(yīng)用時，要注意找準30°的角所對的直角邊，點明斜邊．
21．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．
如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的變形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．
22．等腰直角三角形
（1）兩條直角邊相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質(zhì)．即：兩個銳角都是45°，斜邊上中線、角平分線、斜邊上的高，三線合一，等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑R，而高又為內(nèi)切圓的直徑（因為等腰直角三角形的兩個小角均為45°，高又垂直于斜邊，所以兩個小三角形均為等腰直角三角形，則兩腰相等）；
（3）若設(shè)等腰直角三角形內(nèi)切圓的半徑r＝1，則外接圓的半徑R＝+1，所以r：R＝1：+1．
23．圓周角定理
（1）圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．
注意：圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．
（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．
推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．
（3）在解圓的有關(guān)問題時，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點和底角的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化．②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”﹣﹣﹣圓心角轉(zhuǎn)化．③定理成立的條件是“同一條弧所對的”兩種角，在運用定理時不要忽略了這個條件，把不同弧所對的圓周角與圓心角錯當成同一條弧所對的圓周角和圓心角．
24．三角形的外接圓與外心
（1）外接圓：經(jīng)過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓．
（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心．
（3）概念說明：
①“接”是說明三角形的頂點在圓上，或者經(jīng)過三角形的三個頂點．
②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點；鈍角三角形的外心在三角形的外部．
③找一個三角形的外心，就是找一個三角形的三條邊的垂直平分線的交點，三角形的外接圓只有一個，而一個圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個．
25．弧長的計算
（1）圓周長公式：C＝2πR
（2）弧長公式：l＝（弧長為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為R）
①在弧長的計算公式中，n是表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不要帶單位．
②若圓心角的單位不全是度，則需要先化為度后再計算弧長．
③題設(shè)未標明精確度的，可以將弧長用π表示．
④正確區(qū)分弧、弧的度數(shù)、弧長三個概念，度數(shù)相等的弧，弧長不一定相等，弧長相等的弧不一定是等弧，只有在同圓或等圓中，才有等弧的概念，才是三者的統(tǒng)一．
26．翻折變換（折疊問題）
1、翻折變換（折疊問題）實質(zhì)上就是軸對稱變換．
2、折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．
3、在解決實際問題時，對于折疊較為復(fù)雜的問題可以實際操作圖形的折疊，這樣便于找到圖形間的關(guān)系．
首先清楚折疊和軸對稱能夠提供給我們隱含的并且可利用的條件．解題時，我們常常設(shè)要求的線段長為x，然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當?shù)闹苯侨切?，運用勾股定理列出方程求出答案．我們運用方程解決時，應(yīng)認真審題，設(shè)出正確的未知數(shù)．
27．相似形綜合題
相似形綜合題．
28．特殊角的三角函數(shù)值
（1）特指30°、45°、60°角的各種三角函數(shù)值．
sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝；
sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；
sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝；
（2）應(yīng)用中要熟記特殊角的三角函數(shù)值，一是按值的變化規(guī)律去記，正弦逐漸增大，余弦逐漸減小，正切逐漸增大；二是按特殊直角三角形中各邊特殊值規(guī)律去記．
（3）特殊角的三角函數(shù)值應(yīng)用廣泛，一是它可以當作數(shù)進行運算，二是具有三角函數(shù)的特點，在解直角三角形中應(yīng)用較多．
29．解直角三角形
（1）解直角三角形的定義
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的關(guān)系
①銳角、直角之間的關(guān)系：∠A+∠B＝90°；
②三邊之間的關(guān)系：a2+b2＝c2；
③邊角之間的關(guān)系：
sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分別是∠A、∠B、∠C的對邊）
30．解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題
（1）概念：仰角是向上看的視線與水平線的夾角；俯角是向下看的視線與水平線的夾角．
（2）解決此類問題要了解角之間的關(guān)系，找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形，當圖形中沒有直角三角形時，要通過作高或垂線構(gòu)造直角三角形，另當問題以一個實際問題的形式給出時，要善于讀懂題意，把實際問題劃歸為直角三角形中邊角關(guān)系問題加以解決．
31．用樣本估計總體
用樣本估計總體是統(tǒng)計的基本思想．
1、用樣本的頻率分布估計總體分布：
從一個總體得到一個包含大量數(shù)據(jù)的樣本，我們很難從一個個數(shù)字中直接看出樣本所包含的信息．這時，我們用頻率分布直方圖來表示相應(yīng)樣本的頻率分布，從而去估計總體的分布情況．
2、用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征（主要數(shù)據(jù)有眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、標準差與方差 ）．
一般來說，用樣本去估計總體時，樣本越具有代表性、容量越大，這時對總體的估計也就越精確．
32．頻數(shù)（率）分布表
1、在統(tǒng)計數(shù)據(jù)時，經(jīng)常把數(shù)據(jù)按照不同的范圍分成幾個組，分成的組的個數(shù)稱為組數(shù)，每一組兩個端點的差稱為組距，稱這樣畫出的統(tǒng)計圖表為頻數(shù)分布表．
2、列頻率分布表的步驟：
　　（1）計算極差，即計算最大值與最小值的差．
　?。?）決定組距與組數(shù)（組數(shù)與樣本容量有關(guān)，一般來說樣本容量越大，分組就越多，樣本容量不超過100時，按數(shù)據(jù)的多少，常分成5～12組）．
　?。?）將數(shù)據(jù)分組．
　?。?）列頻率分布表．
33．頻數(shù)（率）分布直方圖
畫頻率分布直方圖的步驟：
（1）計算極差，即計算最大值與最小值的差．（2）決定組距與組數(shù)（組數(shù)與樣本容量有關(guān)，一般來說樣本容量越大，分組就越多，樣本容量不超過100時，按數(shù)據(jù)的多少，常分成5～12組）．（3）確定分點，將數(shù)據(jù)分組．（4）列頻率分布表．（5）繪制頻率分布直方圖．
　　注：①頻率分布表列出的是在各個不同區(qū)間內(nèi)取值的頻率，頻率分布直方圖是用小長方形面積的大小來表示在各個區(qū)間內(nèi)取值的頻率．直角坐標系中的縱軸表示頻率與組距的比值，即小長方形面積＝組距×＝頻率．②各組頻率的和等于1，即所有長方形面積的和等于1．③頻率分布表在數(shù)量表示上比較確切，但不夠直觀、形象，不利于分析數(shù)據(jù)分布的總體態(tài)勢．④從頻率分布直方圖可以清楚地看出數(shù)據(jù)分布的總體態(tài)勢，但是從直方圖本身得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容．
34．頻數(shù)（率）分布折線圖
一般利用直方圖畫頻數(shù)分布折線圖，在頻數(shù)分布直方圖中，把每個小長方形上面的一條邊的中點順次連接起來，得到頻數(shù)折線圖．
注意：折線圖要與橫軸相交，方法是在直方圖的左右兩邊各延伸一個假想組，并將頻數(shù)折線兩端連接到假想組中點，它主要顯示數(shù)據(jù)的變化趨勢．
35．算術(shù)平均數(shù)
（1）平均數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以數(shù)據(jù)的個數(shù)．它是反映數(shù)據(jù)集中趨勢的一項指標．
（2）算術(shù)平均數(shù)：對于n個數(shù)x1，x2，…，xn，則＝（x1+x2+…+xn）就叫做這n個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)．
（3）算術(shù)平均數(shù)是加權(quán)平均數(shù)的一種特殊情況，加權(quán)平均數(shù)包含算術(shù)平均數(shù)，當加權(quán)平均數(shù)中的權(quán)相等時，就是算術(shù)平均數(shù)．


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