一元二次不等式的簡單應(yīng)用[A級　新教材落實與鞏固]一、選擇題　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．下列四個不等式：①－x2＋x＋1≥0；②x2－2x＋>0；③x2＋6x＋10>0；④2x2－3x＋4<1.其中解集為R的是(　C　)A．①    B．②C．③    D．④2．如果A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝?，那么實數(shù)a的取值范圍為(　D　)A．{a|0<a<4}B．{a|0≤a<4}C．{a|0<a≤4}D．{a|0≤a≤4}【解析】 當(dāng)a＝0時，有1<0，故A＝?；當(dāng)a≠0時，若A＝?，則有解得0<a≤4.綜上，a的取值范圍為{a|0≤a≤4}，故選D.3．關(guān)于x的不等式ax－b>0的解集是{x|x>1}，則關(guān)于x的不等式>0的解集是(　D　)A．{x|x<0或x>1}B．{x|－1<x<2}C．{x|1<x<2}D．{x|x<－1或x>2} 【解析】 因為ax－b>0的解集是{x|x>1}，所以a＝b>0，由>0，得>0，解得x<－1或x>2.故選D.4．若0<a<1，則不等式x2－3(a＋a2)x＋9a3≤0的解集為(　A　)A．{x|3a2≤x≤3a}B．{x|3a≤x≤3a2}C．{x|x≤3a2或x≥3a}D．{x|x≤3a或x≥3a2}【解析】 因為0<a<1，所以0<3a2<3a，而方程x2－3(a＋a2)·x＋9a3＝0的兩個根分別為3a和3a2，所以不等式的解集為{x|3a2≤x≤3a}．5．不等式1<<2的解集是(　B　)A．{x|x<0}B．{x|x<－2}C．{x|－2<x<0}D．{x|0<x<2}【解析】 由1<<2得0<－<1，即－1<<0.由<0得x<0，由－1<得>0，即x(x＋2)>0，解得x>0或x<－2.綜上知x<－2.故選B.6． 下列不等式在R上恒成立的是(　BCD　)A．x2＋a2>0B．x2－ax＋a2≥0 C．－x2＋2x－2<0D．－x2－x－≤0 【解析】 當(dāng)a＝0時，x2＋a2>0在R上不恒成立；因為x2－ax＋a2＝＋a2，所以x2－ax＋a2≥0在R上恒成立；由－x2＋2x－2<0得x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，所以－x2＋2x－2<0在R上恒成立；由－x2－x－≤0得－≤0，所以－x2－x－≤0在R上恒成立．故選BCD.二、填空題7．不等式>3的解集為____．【解析】 由>3得<0，等價于x(2x－1)<0，解得0<x<.8．若a<0，則不等式>0的解集是__{x|x<3a或x>－2a}__．【解析】 原不等式可化為(x＋2a)(x－3a)>0，因為a<0，所以3a<－2a，因此原不等式的解集為{x|x<3a或x>－2a}．9．若不等式<0對一切x∈R恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為__－4<m≤0__．【解析】 因為x2－4x＋6＝(x－2)2＋2>0，所以要使原不等式恒成立，只需mx2－mx－1<0恒成立．故m＝0或解得－4<m≤0.10．已知不等式x2＋ax＋1>0，當(dāng)a＝－2時，不等式的解集是__{x|x≠1}__；若對一切x∈{x|0<x≤2}，不等式恒成立，則a的取值范圍是__a>－2__．【解析】 當(dāng)a＝－2時，不等式為x2－2x＋1＝(x－1)2>0，解集為{x|x≠1}；不等式x2＋ax＋1>0對一切x∈{x|0<x≤2}恒成立等價于ax>－x2－1，即a>對一切x∈{x|0<x≤2}恒成立．因為x＋≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時等號成立，所以a>－2，所以－≤－2.三、解答題11．若不等式ax2＋bx－1>0的解集是{x|1<x<2}．(1)試求a，b的值；(2)求不等式>0的解集．解：(1)因為不等式ax2＋bx－1>0的解集是{x|1<x<2}．所以a<0，且1和2是方程ax2＋bx－1＝0的兩根．由根與系數(shù)的關(guān)系得解得a＝－，b＝.(2)由(1)得原不等式為>0，即<0，等價于(x－2)(3x－2)＜0，解得<x<2.即原不等式的解集是.12．解下列關(guān)于x的不等式：(1)－3≤－2x－2x2<0；　(2)0<x2－x－2<4.解：(1)－3≤－2x－2x2<0?0<2x2＋2x≤3??－≤x<－1或0<x≤，所以不等式的解集為.(2)0<x2－x－2<4?(x2－x－2)(x2－x－6)<0?(x＋2)(x＋1)(x－2)(x－3)<0?－2<x<－1或2<x<3，所以不等式的解集為.13．我們用f(x)表示y是x的函數(shù)，如一次函數(shù)y＝2x＋3可表示為f(x)＝2x＋3.已知二次函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)－f(x)＝2x(x∈R)，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)當(dāng)x∈{x|－1≤x≤1}時，不等式f(x)>2x＋m有解，求實數(shù)m的取值范圍．解： (1)令f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，代入已知條件，得解得a＝1，b＝－1，c＝1，所以f(x)＝x2－x＋1.(2)當(dāng)x∈{x|－1≤x≤1}時，f(x)>2x＋m有解，即x2－3x＋1>m有解．令g(x)＝x2－3x＋1＝－，－1≤x≤1.對稱軸x＝?{x|－1≤x≤1}，g(x)max＝g(－1)＝5，所以m<5. [B級　素養(yǎng)養(yǎng)成與評價]14．不等式<的解集為(　C　)A．{x|1<x<3}    B．{x|－1<x<3}C．    D．【解析】 由<得－＋3<0，即<0，所以1<<3，得<x<1，所以不等式的解集為.15．若關(guān)于x的不等式ax2＋2x＋2>0在R上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是__a>__．【解析】 當(dāng)a＝0時，原不等式可化為2x＋2>0，其解集不為R，故a＝0不滿足題意，舍去；當(dāng)a≠0時，要使原不等式的解集為R，只需解得a>.綜上，所求實數(shù)a的取值范圍是a>.16．某單位決定投資3 200元建一倉庫(長方體狀)，高度恒定，它的后墻利用舊墻不花錢，正面用鐵柵，每米長造價40元，兩側(cè)墻砌磚，每米長造價45元，頂部每平方米造價20元，求：(1)倉庫面積S的最大允許值是多少？(2)為使S達(dá)到最大，而實際投資又不超過預(yù)算，那么正面鐵柵應(yīng)設(shè)計為多長？解：(1)設(shè)鐵柵長為x米，一側(cè)磚墻長為y米，而頂部面積為S＝xy，依題意得，40x＋2×45y＋20xy＝3 200，由基本不等式得3 200≥2＋20xy＝120＋20xy＝120＋20S.所以S＋6－160≤0，即(－10)(＋16)≤0，故≤10，從而S≤100，所以S的最大允許值是100平方米．(2)取得最大值的條件是40x＝90y且xy＝100，求得x＝15，即鐵柵的長是15米．

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2.3 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式

版本： 人教A版 (2019)

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