1．（3分）下列實數中，屬于無理數的是（ ）
A．0
B．
C．2.0101010…（相鄰兩個0之間有1個1）
D．
2．（3分）龍口市位于山東省東北部，膠東半島西北部，渤海灣南畔，常住人口約為72.99萬人，其中“72.99萬”用科學記數法表示為（ ）
A．72.99×104B．7.299×104C．7.299×105D．0.7299×106
3．（3分）如圖圖形從三個方向看形狀一樣的是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）如圖，將直角三角形ABC（∠BAC＝90°）繞點A逆時針旋轉一定角度得到直角三角形ADE，若∠CAE＝65°，若∠AFB＝90°，則∠D的度數為（ ）
A．60°B．35°C．25°D．15°
5．（3分）為了解我校初二年級800名學生的體重情況，從中抽取了80名學生的體重，就這個問題來說，下面說法正確的是（ ）
A．800名學生的體重是總體
B．800名學生是總體
C．每個學生是個體
D．80名學生是所抽取的一個樣本
6．（3分）如圖，AB∥CD，E，F為直線CD上兩點，且BF平分∠ABE；若∠1＝108°，則∠2的度數為（ ）
A．30°B．36°C．42°D．45°
7．（3分）如圖，將二次函數y＝31x2﹣999x+892的圖形畫在坐標平面上，判斷方程31x2﹣999x+892＝0的兩根，下列敘述何者正確（ ）
A．兩根相異，且均為正根
B．兩根相異，且只有一個正根
C．兩根相同，且為正根
D．兩根相同，且為負根
8．（3分）如圖，將△ABC放在每個小正方形的邊長為1的網格中，點A，B，C在格點上，則∠A正切值是（ ）
A．B．C．2D．
9．（3分）如圖，若AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，則∠BCD＝（ ）
A．116°B．32°C．58°D．64°
10．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCD的邊AB在x軸正半軸上，點A與原點重合，點D的坐標是 （3，4），反比例函數y＝（k≠0）經過點C，則k的值為（ ）
A．12B．15C．20D．32
二．填空題（共8小題，滿分24分，每小題3分）
11．（3分）生物研究發(fā)現，某種細菌在培養(yǎng)過程中，每30分鐘由一個細菌分裂為兩個細菌，若該種細菌由1個分裂為16個細菌，這個過程需要經過 小時．
12．（3分）函數中的自變量的取值范圍是 ．
13．（3分）圓錐的底面半徑為5，母線長為7，則圓錐的側面積為 ．
14．（3分）抽樣調查某班10名同學身高（單位：厘米）如下：160，152，165，152，160，160，170，160，165，159．則這組數據的眾數是 ．
15．（3分）如果不論k為何值，一次函數y＝的圖象都經過一定點，則該定點的坐標是 ．
16．（3分）如圖，半徑為4的⊙O中，CD為直徑，弦AB⊥CD且過半徑OD的中點，點E為⊙O上一動點，CF⊥AE于點F．當點E從點B出發(fā)逆時針運動到點C時，點F所經過的路徑長為 ．
17．（3分）二次函數y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0）的部分圖象如圖所示，圖象頂點的坐標為（2，1），與x軸的一個交點在點（3，0）和點（4，0）之間，給出的四個結論中正確的有 ．
A．b2＜4ac；
B．a﹣b+c＜0；
C．c﹣4a＝1；
D．m≤1時，方程ax2+bx+c＝m有解．
18．（3分）如圖，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，E是AB的中點，F是線段EC上一動點，P為DF的中點，連接PB，則線段PB的最小值為 ．
三．解答題（共10小題，滿分76分）
19．（5分）計算：+2cs60°﹣（π+1）0+|﹣2|．
20．（5分）解不等式組：．
21．（6分）化簡求值，其中x選取﹣2，0，1，4中的一個合適的數．
÷（﹣1）+1．
22．（6分）如圖，△ABC中，∠C＝90°，邊AB的垂直平分線交AB、AC分別于點D，點E，連接BE．
（1）若∠A＝40°，求∠CBE的度數．
（2）若AB＝10，BC＝6，求△BCE的面積．
23．（8分）某校利用寒假進行科技實踐活動，開學之初八（1）班對各組上交的“科技作品”的數量進行了統(tǒng)計，并繪制了如圖的折線統(tǒng)計圖．
（1）八（1）班共收到的“科技作品”多少件？
（2）求八（1）班各組收到的“科技作品”的平均數、眾數和中位數．
（3）在上交的作品中有4件作品制作精良，水平相當（分別記為A，B，C，D），班委會將選出其中的兩件作品送到學校參加評優(yōu)，求抽到的作品恰好是A和B的概率．
24．（8分）襄陽東站的建成運營標志著我市正式進入高鐵時代，鄭萬高速鐵路襄陽至萬州段的建設也正在推進中．如圖，工程隊擬沿AC方向開山修路，為加快施工進度，需在小山的另一邊點E處同時施工．要使A、C、E三點在一條直線上，工程隊從AC上的一點B取∠ABD＝140°，BD＝560米，∠D＝50°．那么點E與點D間的距離是多少米？
（參考數據：sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，tan50°≈1.19）
25．（8分）某櫻桃種植戶有20噸櫻桃待售，現有兩種銷售方式：一是批發(fā)，二是零售．經過市場調查，這兩種銷售方式對這個種植戶而言，每天的銷量及每噸所獲的利潤如下表：
假設該種植戶售完20噸櫻桃，共批發(fā)了x噸，所獲總利潤為y元．
（1）求出y與x之間的函數關系式；
（2）若受客觀因素影響，這個種植戶每天只能采用一種銷售方式銷售，且正好10天銷售完所有櫻桃，請計算該種植戶所獲總利潤是多少元？
26．（8分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點A、B、C在☉O上，AD與⊙O相切，射線AO交BC于點E，交⊙O于點F．點P在射線AO上，且∠PCB＝2∠BAF．
（1）求證：直線PC是⊙O的切線；
（2）若AB＝，AD＝2，求線段PC的長．
27．（10分）定義：如果一個直角三角形的兩條直角邊的比為1：2，那么這個三角形叫做“半正切三角形”．
（1）如圖①，正方形網格中，已知格點A，B，在格點C，D，E，F中，與A，B能構成“半正切三角形”的是點 ；
（2）如圖②，△ABC（BC＜AC）為“半正切三角形”，點M在斜邊AB上，點D在邊AC上，將射線MD繞點M逆時針旋轉90°，所得射線交邊BC于點E，連接DE．
①小彤發(fā)現：若M為斜邊AB的中點，則△DEM一定為“半正切三角形”．請判斷“小彤發(fā)現”是否正確？并說明理由；
②連接CM，當∠BMC＝45°時，求tan∠DEM的值．
28．（12分）如圖1，經過原點O的拋物線y＝ax2+bx（a、b為常數，a≠0）與x軸相交于另一點A（4，0）．直線l：y＝x在第一象限內和此拋物線相交于點B（5，t），與拋物線的對稱軸相交于點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在x軸上找一點P，使以點P、O、C為頂點的三角形與以點A、O、B為頂點的三角形相似，直接寫出滿足條件的點P的坐標 ；
（3）直線l沿著x軸向右平移得到直線l'，l'與線段OA相交于點M，與x軸下方的拋物線相交于點N，過點N作NE⊥x軸于點E．把△MEN沿直線l'折疊，當點E'恰好落在拋物線上時（圖2），求直線l'的解析式；
（4）如圖3，連接AC，把△COA繞點A順時針旋轉90°得到△AO'C'，在拋物線對稱軸上是否存在點F，使△AFO'是為以AO'為腰的等腰三角形，若存在，請直接寫出F點坐標，若不存在，請說明理由．
參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
1．【解答】解：A、0是有理數，不合題意；
B、是有理數，不合題意；
C、2.0101010…（相鄰兩個0之間有1個1），是有理數，不合題意；
D、是無理數，符合題意．
故選：D．
2．【解答】解：72.99萬＝729900＝7.2×105，
故選：C．
3．【解答】解：A．從上面看是圓，從從正面和從左邊看是一個矩形，故本選項不合題意；
B．從上面看是一個有圓心的圓，從從正面和從左邊看是一個等腰三角形，故本選項不合題意；
C．從三個方向看形狀一樣，都是圓形，故本選項符合題意；
D．從上面看是一個正方形，從從正面和從左邊看是一個矩形，故本選項不合題意；
故選：C．
4．【解答】解：∵△ABC繞點A逆時針旋轉一定角度，得到△ADE，
∴∠BAD＝∠CAE＝65°，∠B＝∠D，
∵∠AFB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠BAD＝25°，
∴∠B＝∠D＝25°．
故選：C．
5．【解答】解：A、800名學生的體重是總體，故本選項符合題意；
B、800名學生的體重是總體，故本選項不符合題意；
C、每個學生的體重是個體，故本選項不符合題意；
D、80名學生的體重是所抽取的一個樣本，故本選項不符合題意．
故選：A．
6．【解答】解：∵a∥b，
∴∠ABE+∠1＝180°，又∠1＝108°，
∴∠ABE＝180°﹣108°＝72°，
∵BF平分∠ABE，
∴∠ABF＝36°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠BFE＝∠ABF＝36°．
故選：B．
7．【解答】解：∵二次函數y＝31x2﹣999x+892的圖象與x軸有兩個交點，且與x軸的正半軸相交，
∴方程31x2﹣999x+892＝0有兩個正實根．
故選：A．
8．【解答】解：取格點D，E，連接BD，如圖，
∵∠ADE＝∠BDE＝45°，
∴∠ADB＝90°，
由勾股定理得：AD＝＝2，BD＝＝，
∴tanA＝＝＝，
故選：D．
9．【解答】解：連接OD．
∵AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，
∴∠AOD＝2∠ABD＝116°（同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半）；
又∵∠BOD＝180°﹣∠AOD，∠BOD＝2∠BCD（同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半）；
∴∠BCD＝32°；
故選：B．
10．【解答】解：如圖，分別過點D，C作x軸的垂線，垂足為M，N，
∵點D的坐標是 （3，4），
∴OM＝3，DM＝4，
在Rt△OMD中，
OD＝＝5，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴OD＝CB＝OB＝5，DM＝CN＝4，
∴Rt△ODM≌Rt△BCN（HL），
∴BN＝OM＝3，
∴ON＝OB+BN＝5+3＝8，
又∵CN＝4，
∴C（8，4），
將C（8，4）代入y＝，
得，k＝8×4＝32，
故選：D．
二．填空題（共8小題，滿分24分，每小題3分）
11．【解答】解：根據題意可知24＝16，
∴共經過4個半小時可以分裂為16個細菌，
即共需2小時．
故答案為：2．
12．【解答】解：由題意得：2﹣x≥0，x+1≠0，
解得：x≤2且x≠﹣1，
故答案為：x≤2且x≠﹣1．
13．【解答】解：根據題意得，圓錐的側面積＝×2π×5×7＝35π．
故答案為35π．
14．【解答】解：數據160出現了4次，最多，
所以眾數為160厘米，
故答案為：160厘米．
15．【解答】解：一次函數y＝﹣變形為（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）＝0，
整理得（2x﹣y）k﹣（x+3y）＝k﹣11，
∴2x﹣y＝1，x+3y＝11，
解得：x＝2，y＝3，
∴不論k為何值，一次函數y＝﹣的圖象都經過一定點，該定點的坐標是（2，3）．
故答案為：（2，3）．
16．【解答】解：連接AC，AO，
∵AB⊥CD，
∴G為AB的中點，即AG＝BG＝AB，
∵⊙O的半徑為4，弦AB⊥CD且過半徑OD的中點，
∴OG＝2，
∴在Rt△AOG中，根據勾股定理得：AG＝＝2，
又∵CG＝CO+GO＝4+2＝6，
在Rt△AGC中，根據勾股定理得：AC＝＝4，
∵CF⊥AE，
∴△ACF始終是直角三角形，點F的運動軌跡為以AC為直徑的半圓，
當E位于點B時，CG⊥AE，此時F與G重合；
當E位于D時，CA⊥AE，此時F與A重合，
∴當點E從點B出發(fā)順時針運動到點D時，點F所經過的路徑長，
在Rt△ACG中，tan∠ACG＝＝，
∴∠ACG＝30°，
∴所對圓心角的度數為60°，
∵直徑AC＝4，
∴的長為＝π，
則當點E從點B出發(fā)順時針運動到點D時，點F所經過的路徑長為π．
故答案為：π．
17．【解答】解：由圖象可知，拋物線開口向下，對稱軸在y軸的右側，與y軸的交點在y軸的負半軸，
∵拋物線與x軸有兩個交點，
∴Δ＞0，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故A錯誤；
由圖象可知，x＝﹣1時，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，故B正確；
∵拋物線的頂點坐標為（2，1），
∴﹣＝2，b＝﹣4a，
∵4a+2b+c＝1，
∴4a﹣8a+c＝1，即c﹣4a＝1，故C正確；
∵拋物線的開口向下，頂點坐標為（2，1），
∴am2+bm+c≤1（m為任意實數），即m≤1時，方程ax2+bx+c＝m有解．故D正確．
故答案為：BCD．
18．【解答】解：如圖，取CD中點G，連接AG交DE于O，連接BG，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝6，CD∥AB，
∵點E是AB中點，點G是CD中點，
∴CG＝AE＝DG＝BE＝4，
∴四邊形AEGD是矩形，
∴點O是ED的中點，
OG即為點P的運動軌跡，
∴當BP⊥OG時，BP有最小值，
∵2S△ABG＝AG?BH＝AB?EG，
∴BH＝＝．
∴BP的最小值為，
故答案為：．
三．解答題（共10小題，滿分76分）
19．【解答】解：原式＝4+2×﹣1+2
＝4+1﹣1+2
＝6．
20．【解答】解：由x+2＞0得：x＞﹣2，
由得：
∴不等式組的解集是．
21．【解答】解：原式＝（）+1
＝+1
＝+1
＝
＝，
∵x（x+2）（x﹣4）≠0，
∴x≠0且x≠﹣2且x≠4，
∴x可以取1，
當x＝1時，原式＝＝4．
22．【解答】解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝40°，
∴∠CBA＝50°，
∵DE是AB的垂直平分線
∴BE＝AE，
∴∠EBA＝∠A＝40°，
∴∠CBE＝∠CBA﹣∠EBA＝10°；
（2）∵AB＝10，BC＝6，
∴AC＝＝8，
設CE＝x，則AE＝BE＝8﹣x
∴62+x2＝（8﹣x）2，
解得：，
∴△BCE的面積為．
23．【解答】解：（1）10+8+9+15+8＝50，
所以八（1）班共收到的“科技作品”50件；
（2）平均數＝×50＝10（件），
眾數為四等級，中位數為三等級；
（3）畫樹狀圖為：
共有12種等可能的結果數，其中抽到的作品恰好是A和B的結果數為2，
所以抽到的作品恰好是A和B的概率＝＝．
24．【解答】解：∵A、C、E三點在一條直線上，∠ABD＝140°，∠D＝50°，
∴∠E＝140°﹣50°＝90°，
在Rt△BDE中，
DE＝BD?cs∠D，
＝560×cs50°，
≈560×0.64，
＝358.4（米）．
答：點E與點D間的距離是358.4米．
25．【解答】解：（1）由題意可得，
y＝4000x+6000（20﹣x）＝﹣2000x+120000，
即y與x之間的函數關系式是y＝﹣2000x+120000；
（2）設批發(fā)a天，則零售（10﹣a）天，
3a+（10﹣a）＝20，
解得，a＝5，
則x＝3a＝15，
故y＝﹣2000x+120000＝﹣2000×15+120000＝90000，
即該種植戶所獲總利潤是90000元．
26．【解答】解：（1）證明：連接OC，
∵AD與⊙O相切于點A，
∴FA⊥AD，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴FA⊥BC，
∵FA經過圓心O，
∴F是弧BC的中點，BE＝CE，∠OEC＝90°，
∴∠COF＝2∠BAF．
∵∠PCB＝2∠BAF，
∴∠PCB＝∠COF，
∵∠OCE+∠COF＝180°﹣∠OEC＝90°，
∴∠OCE+∠PCB＝90°．
∴OC⊥PC，
∵點C在⊙O上，
∴直線PC是⊙O的切線；
（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BC＝AD＝2，
∴BE＝CE＝1，
在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，AB＝，
∴AE＝，
設⊙O的半徑為r，則OC＝OA＝r，OE＝3﹣r，
在Rt△OCE中，∠OEC＝90°，
∴OC2＝OE2+CE2，
∴r2＝（3﹣r）2+1，
解得r＝，
∵∠COE＝∠PCE，∠OEC＝∠CEP＝90°．
∴△OCE∽△CPE，
∴．
∴＝，
∴CP＝．
27．【解答】解：（1）Rt△ABC中，BC＝2，AC＝4，
∴BC＝AC，
∴Rt△ABC為“半正切三角形”；
∵AF＝＝，AB＝＝2，BF＝＝5，
∴AF2+AB2＝BF2，AF＝AB，
∴△ABF是直角三角形，
∴Rt△ABF為“半正切三角形”．
同理得：D、E不是“半正切三角形”．
故答案為：C，F．
（2）①“小彤發(fā)現”正確，理由如下：
連接CM，如圖②，
∵M為斜邊AB的中點，
∴CM＝AB＝AM，
∴∠MCA＝∠A，
由旋轉的性質得：∠DME＝∠C＝90°，
∴E、M、D、C四點共圓，
∴∠MCA＝∠DEM＝∠A，
∴tan∠DEM＝＝tanA＝＝，
∴△DEM為“半正切三角形”．
（3）作MG⊥AC于G，MH⊥BC于H，如圖③：
則∠MGD＝∠MHE＝90°，四邊形MGCH是矩形，MH∥AC，MG∥BC，
∴∠GMH＝90°，MH＝GC，CH＝MG，
由旋轉可知∠DME＝90°，
∴∠DME＝∠GMH，
∴∠DMG＝∠EMH，
∴△DMG∽△EMH，
∴＝
∴，
∵MH∥AC，
∴△BHM∽△BCA，＝＝2，
∴HM＝2BH，
∴．
過點C作CR⊥AB交AB于點R，
則∠BCR+∠B＝∠A+∠B＝90°，
∴∠BCR＝∠A，
∴tan∠BCR＝tanA＝＝，
∴△BRC也為“半正切三角形”，
∵∠BMC＝45°，
∴△MCR是等腰直角三角形，
∴MR＝CR，
∵∠CRB＝∠MHB＝90°，∠B＝∠B，
∴△CRB∽△MHB，
∴△BMH也是“半正切三角形”．
設BR＝x，則MR＝CR＝2x，，BM＝3x，
在Rt△BHM中，．
則．
∴tan∠DEM＝＝＝．
28．【解答】解：（1）把B（5，t）代入y＝x得，t＝5，
∴B（5，5）；
把A（4，0）、B（5，5）代入y＝ax2+bx，
得，解得，
∴拋物線的解析式為y＝x2﹣4x．
（2）如圖1，PC∥AB，則△OPC∽△OAB，
設拋物線的對稱軸交x軸于點H，作BG⊥x軸于點G，則G（5，0），
∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
∴拋物線的對稱軸為直線x＝2，
∴H（2，0），
∵CH∥AB，
∴，
∴，
∴OP＝OA＝×4＝，
∴P（，0）；
如圖2，∠OCP＝∠OAB，
∵∠COP＝∠AOB，
∴△COP∽△AOB，
∴，
對于直線y＝x，當x＝2時，y＝2，
∴C（2，2）；
∵OA＝4，OC＝＝2，OB＝＝5，
∴OP＝＝＝5，
∴P（5，0），
綜上所述，點P的坐標為（，0）或（5，0），
故答案為：（，0）或（5，0）．
（3）如圖3，BG⊥x軸于點G，E′N交直線x＝2于點K，
設直線l′的解析式為y＝x+p，點E′的橫坐標為m，則E（m，m2﹣4m），
∵∠OGB＝90°，OG＝BG＝5，
∴∠GOB＝∠GBO＝45°，
∵MN∥OB，
∴∠EMN＝∠GOB＝45°，
∵NE⊥x軸，
∴∠MEN＝90°，
∴∠ENM＝∠EMN＝45°，
∴EM＝EN；
由折疊得，∠E′MN＝∠EMN＝45°，∠E′NM＝∠ENM＝45°，
∴∠E′ME＝∠E′NE＝∠MEN＝90°，
∴四邊形E′MEN是正方形，
∴E′N∥x軸，
∴點E′與點N關于拋物線的對稱軸對稱，
∴E′M＝E′N＝2E′K，
∴﹣（m2﹣4m）＝2（m﹣2），
整理得，m2﹣2m﹣4＝0，
解得m1＝1+，m2＝1（不符合題意，舍去），
∴點E′的橫坐標為1+，
∵E′M⊥x軸，
∴M（1+，0），
把M（1+，0）代入y＝x+p得，1++p＝0，
解得，p＝，
∴直線l'的解析式為y＝x．
（4）如圖4，直線x＝2交x軸于點H，作O′Q⊥CH于點Q，則∠HQO′＝90°，
由旋轉得，O′（4，4），
∴HQ＝AO′＝4，O′Q＝AH＝4﹣2＝2，
當AF1＝AO′＝4，且點F1在x軸的下方，則HF1＝＝，
∴F1（2，）；
當AF2＝AO′＝4，且點F2在x軸的上方，
∵AF2＝AF1，AH⊥F1F2，
∴HF2＝HF1＝，
∴F2（2，）；
當O′F3＝O′A＝4，且點F3在點Q下方，則QF3＝＝，
∴HF3＝4，
∴F3（2，4）；
當O′F4＝O′A＝4，且點F4在點Q上方，
∵O′F4＝O′F3，O′Q⊥F3F4，
∴QF4＝QF3＝，
∴HF4＝4+，
∴F4（2，4+），
綜上所述，點F的坐標為（2，）或（2，）或（2，4）或（2，4+）．
銷售方式
每天銷量（噸）
每噸所獲利潤（元）
批發(fā)
3
4000
零售
1
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