?2021-2022學(xué)年浙江省寧波市九校高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．（5分）已知向量．若，則（　　）
A．x+y＝1 B．x﹣y＝1 C．x+y＝0 D．x﹣y＝﹣1
2．（5分）已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn取得最大值時n的值為（　?。?br /> A．2 B．3 C．4 D．5
3．（5分）若函數(shù)y＝f（x）的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)函數(shù)y＝f′（x）的圖象可能是（　　）

A． B．
C． D．
4．（5分）已知直線l：y＝x+1，橢圓．若直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)為（　?。?br /> A． B． C． D．
5．（5分）若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，則下列不等式一定成立的是（　?。?br /> A．b1+b4≤b2+b3 B．b4﹣b1≤b3﹣b2
C．a(chǎn)1a4≥a2a3 D．a(chǎn)1a4≤a2a3
6．（5分）已知f′（x）是偶函數(shù)f（x）（x∈R）的導(dǎo)函數(shù)，f（1）＝1．若x＞0時，3f（x）+xf′（x）＞0，則使得不等式（x﹣2022）3f（x﹣2022）＞1成立的x的取值范圍是（　　）
A．（2021，+∞） B．（﹣∞，2021） C．（2023，+∞） D．（﹣∞，2023）
7．（5分）若將雙曲線C：mx2﹣ny2＝λ繞其對稱中心順時針旋轉(zhuǎn)120°后可得到某一函數(shù)的圖象，且該函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上存在最小值，則雙曲線C的離心率為（　?。?br />
A． B． C．2 D．
8．（5分）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC且AB⊥AC，點(diǎn)E為AA1中點(diǎn)．若平面α過點(diǎn)E，且平面α與直線AB所成角和平面α與平面BCC1B1所成銳二面角的大小均為30°，則這樣的平面α有（　?。?br />
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
二、選擇題：本題共4小題，每小遉5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
（多選）9．（5分）若是三個不共面的單位向量，且兩兩夾角均為θ，則（　?。?br /> A．θ∈（0，π）
B．能構(gòu)成空間的一個基底
C．“”是“P，A，B，C四點(diǎn)共面”的充分不必要條件
D．
（多選）10．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)F（1，0），動點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離與到直線x＝﹣1的距離相等，記M的軌跡為曲線C．若過點(diǎn)F的直線與曲線C交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，則（　?。?br /> A．y1y2＝﹣1
B．△OAB的面積的最小值是2
C．當(dāng)|AF|＝2|BF|時，
D．以線段OF為直徑的圓與圓N：（x﹣3）2+y2＝1相離
（多選）11．（5分）若函數(shù)f（x）＝（x﹣a）ex（a∈R），則（　?。?br /> A．函數(shù)y＝f（x）的值域?yàn)镽
B．函數(shù)g（x）＝xf（x）有三個單調(diào)區(qū)間
C．方程f（x）+x＝0有且僅有一個根
D．函數(shù)y＝f（f（x））有且僅有一個零點(diǎn)
（多選）12．（5分）若數(shù)列{an}滿足，則（　?。?br /> A．當(dāng)時，
B．當(dāng)時，
C．當(dāng)a1＝3，m＝﹣1時，
D．當(dāng)a1＝3，m＝﹣1時，
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13．（5分）如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法．商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上面一層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球??．設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列{an}，其中a1＝1，a2＝3，a3＝6，則a5＝　 ?。?br />
14．（5分）已知點(diǎn)F1為雙曲線的左焦點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線l與雙曲線C相交于P，Q兩點(diǎn)．若|PF1|＝3，則|QF1|＝　 　．

15．（5分）如圖，正四棱錐P﹣ABCD的棱長均為2，點(diǎn)E為側(cè)棱PD的中點(diǎn)．若點(diǎn)M，N分別為直線AB，CE上的動點(diǎn)，則MN的最小值為 　 ?。?br />
16．（5分）若函數(shù)恰有兩個極值點(diǎn)，則k的取值范圍是 　 ?。?br /> 四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（10分）已知過點(diǎn)A（3，2）的圓的圓心M在直線y＝3x上，且y軸被該圓截得的弦長為4．
（Ⅰ）求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)N（﹣2，3），若點(diǎn)P為x軸上一動點(diǎn)，求|PM|+|PN|的最小值，并寫出取得最小值時點(diǎn)P的坐標(biāo)．
18．（12分）已知函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)a＝1時，求曲線y＝f（x）在點(diǎn)P（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）若對任意的恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
19．（12分）已知正項(xiàng)等差數(shù)列{an}滿足：，且2a1，a2，a3+1成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè){bn}的前n項(xiàng)和為Sn，且2nSn＝an+2，求{b2n}的前n項(xiàng)和．
20．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，AB⊥AC，CD＝2AD＝2．
（Ⅰ）證明：PB⊥AC；
（Ⅱ）當(dāng)PB的長為何值時，直線AB與平面PCD所成角的正弦值為？

21．（12分）已知橢圓的離心率為，以橢圓兩個焦點(diǎn)與短軸的一個端點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)P（0，2）作直線l與橢圓C相切于點(diǎn)Q，且直線l斜率大于0，過線段PQ的中點(diǎn)R作直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A，B不在y軸上），連結(jié)PA，PB，分別與橢圓交于點(diǎn)M，N，試判斷直線MN的斜率是否為定值；若是，請求出該定值．

22．（12分）已知函數(shù)f（x）＝ln（x+1）+a（a∈R）．
（Ⅰ）討論函數(shù)y＝f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若函數(shù)y＝f（x）存兩個零點(diǎn)x1，x2，證明：x1?x2+x1+x2＞e4﹣1．

2021-2022學(xué)年浙江省寧波市九校高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．（5分）已知向量．若，則（　?。?br /> A．x+y＝1 B．x﹣y＝1 C．x+y＝0 D．x﹣y＝﹣1
【解答】解：根據(jù)題意，向量．
若，設(shè)t，即（x，﹣1，y）＝t（﹣1，2，﹣1）＝（﹣t，2t，﹣t）
解可得：t，
則有x＝y(tǒng)，
由此分析選項(xiàng)：x+y＝1，
故選：A．
2．（5分）已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn取得最大值時n的值為（　?。?br /> A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：因?yàn)椋?br /> 所以a1＝7＞0，且數(shù)列{an}是一個首項(xiàng)為正，先增后減的數(shù)列，
令an＝﹣2n2+9n＜0，則n或n＜0，
因?yàn)閚∈N*，所以從n＝5開始，an＜0，
所以前4項(xiàng)的和最大．
故選：C．
3．（5分）若函數(shù)y＝f（x）的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)函數(shù)y＝f′（x）的圖象可能是（　?。?br />
A． B．
C． D．
【解答】解：由函數(shù)的圖象可知函數(shù)在x＝a時，取得極大值，x＝b時，取得極小值，
所以x＜a時，f′（x）＞0，a＜x＜b，f′（x）＜0，x＞b時，f′（x）＞0，
考察選項(xiàng)只有C滿足題意，
故選：C．

4．（5分）已知直線l：y＝x+1，橢圓．若直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)為（　?。?br /> A． B． C． D．
【解答】解：由題意，消去y可得：2x2+3x＝0，
所以A，B兩點(diǎn)中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：（x1+x2），
中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：1．
線段AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)為：．
故選：B．
5．（5分）若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，則下列不等式一定成立的是（　?。?br /> A．b1+b4≤b2+b3 B．b4﹣b1≤b3﹣b2
C．a(chǎn)1a4≥a2a3 D．a(chǎn)1a4≤a2a3
【解答】解：若bn＝2n，A，B顯然不滿足，
a1a4﹣a2a3＝a1（a1+3d）﹣（a1+d）（a1+2d）＝﹣2d2≤0，
所以a1a4≤a2a3，D正確．
故選：D．
6．（5分）已知f′（x）是偶函數(shù)f（x）（x∈R）的導(dǎo)函數(shù)，f（1）＝1．若x＞0時，3f（x）+xf′（x）＞0，則使得不等式（x﹣2022）3f（x﹣2022）＞1成立的x的取值范圍是（　?。?br /> A．（2021，+∞） B．（﹣∞，2021） C．（2023，+∞） D．（﹣∞，2023）
【解答】解：設(shè)F（x）＝x3f（x），
F′（x）＝3x2f（x）+x3f′（x）＝x2[3f（x）+xf′（x）]，
因?yàn)閤＞0時，3f（x）+xf′（x）＞0，
所以x＞0時，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞增，
因?yàn)閒（x）為偶函數(shù)，
所以f（x）＝f（﹣x），
所以F（﹣x）＝（﹣x）3f（﹣x）＝﹣x3f（x）＝﹣F（x），
所以F（x）為奇函數(shù)，
所以F（x）在（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞增，
因?yàn)閒（1）＝1，
所以F（1）＝13f（1）＝f（1）＝1，
因?yàn)椋▁﹣2022）3f（x﹣2022）＞1，
所以F（x﹣2022）＞F（1），
所以x﹣2022＞1，
所以x＞2023，
故選：C．
7．（5分）若將雙曲線C：mx2﹣ny2＝λ繞其對稱中心順時針旋轉(zhuǎn)120°后可得到某一函數(shù)的圖象，且該函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上存在最小值，則雙曲線C的離心率為（　?。?br />
A． B． C．2 D．
【解答】解：雙曲線C：mx2﹣ny2＝λ，令λ＝0，則y2x2，顯然mn＞0，
則漸近線方程為y＝±x，如圖所示k，l為雙曲線的漸近線，
繞其對稱中心順時針旋轉(zhuǎn)120°后可得到某一函數(shù)的圖象，
則漸近線l應(yīng)旋到與坐標(biāo)軸y軸重合，
由題意可得直線yx，故漸近線的傾斜角應(yīng)等于30°，
該函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上存在最小值即，
∴n＝3m，
∴mx2﹣3my2＝λ，
即1，
∴e，
故選：A．

8．（5分）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC且AB⊥AC，點(diǎn)E為AA1中點(diǎn)．若平面α過點(diǎn)E，且平面α與直線AB所成角和平面α與平面BCC1B1所成銳二面角的大小均為30°，則這樣的平面α有（　　）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【解答】解：取BB1中點(diǎn)F，連接EF，
則在所有過E點(diǎn)與EF成30°角的平面α，
均與以EF為軸的圓錐相切，
當(dāng)α在面ADD1A1時，α與面BCC1B1所成角為75°，
當(dāng)α在面AEE1A1時，α與面BCC1B1所成角為15°，
α過E點(diǎn)繞EF且與EF顧30°角從面AA1D1D開始旋轉(zhuǎn)，
α與面BB1C1C所成角從75°→90°→15°→90°→75°變化，
此過程中，有兩次角為30°，
綜上，這樣的平面α有2個．
故選：B．

二、選擇題：本題共4小題，每小遉5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
（多選）9．（5分）若是三個不共面的單位向量，且兩兩夾角均為θ，則（　?。?br /> A．θ∈（0，π）
B．能構(gòu)成空間的一個基底
C．“”是“P，A，B，C四點(diǎn)共面”的充分不必要條件
D．
【解答】解：是三個不共面的單位向量，且兩兩夾角均為θ，
對于A，由向量所成角的定義得θ∈（0，π），故A正確；
對于B，∵不共面，∴能構(gòu)成空間的一個基底，故B正確；
對于C，∵“”，2﹣1+1＝2，∴“P，A，B，C四點(diǎn)不共面”，
∵“P，A，B，C四點(diǎn)共面”，∴“”不成立，
∴“”是“P，A，B，C四點(diǎn)共面”的不充分不必要條件，故C錯誤；
對于D，∵是三個不共面的單位向量，且兩兩夾角均為θ，
∴（）?（）?（）
0，故D正確．
故選：ABD．
（多選）10．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)F（1，0），動點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離與到直線x＝﹣1的距離相等，記M的軌跡為曲線C．若過點(diǎn)F的直線與曲線C交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，則（　　）
A．y1y2＝﹣1
B．△OAB的面積的最小值是2
C．當(dāng)|AF|＝2|BF|時，
D．以線段OF為直徑的圓與圓N：（x﹣3）2+y2＝1相離
【解答】解：依據(jù)題意動點(diǎn)P到點(diǎn)F（1，0）的距離與它到直線x＝﹣1的距離相等．
由拋物線定義知點(diǎn)P的軌跡是以F為焦點(diǎn)，直線x＝﹣1為準(zhǔn)線的拋物線，
所以點(diǎn)P的軌跡C的方程為：y2＝4x，
對于A，取AB⊥x軸，則y1y2＝﹣4，故A錯誤；
對于B，顯然直線AB的斜率不為0，設(shè)直線AB的方程為x＝my+1，聯(lián)立，整理可得：y2﹣4my﹣4＝0，則y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，
所以S△OAB|OF|?|y1﹣y2|?1??2，當(dāng)m＝0時取等號，所以△OAB的面積的最小值是2，所以B正確；
C中，|AF|＝2|BF|時，則2，所以（1﹣x1，﹣y1）＝2（x2﹣1，y2），可得﹣y1＝2y2，即y1＝﹣2y2③，而y1+y2＝4m，①，y1y2＝﹣4②，
①②③聯(lián)立可得m2，x1+x2＝m（y1+y2）+2＝4m2+2，
由拋物線的性質(zhì)可得|AB|＝x1+x2+p2，所以C正確；
D中，以O(shè)F為直徑的圓的方程為（x）2+y2，圓心C（，0），半徑r1，
圓N：（x﹣3）2+y2＝1的圓心N（3，0），半徑r2＝1，
所以圓心距|CN|＝|3|r1+r2＝1，
可得兩個圓相離，所以D正確；
故選：BCD．
（多選）11．（5分）若函數(shù)f（x）＝（x﹣a）ex（a∈R），則（　　）
A．函數(shù)y＝f（x）的值域?yàn)镽
B．函數(shù)g（x）＝xf（x）有三個單調(diào)區(qū)間
C．方程f（x）+x＝0有且僅有一個根
D．函數(shù)y＝f（f（x））有且僅有一個零點(diǎn)
【解答】解：對于A：f′（x）＝ex+（x﹣a）ex＝（x﹣a+1）ex，
令f′（x）＝0，得x＝a﹣1，
所以在（a﹣1，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
在（﹣∞，a﹣1）上，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
所以f（x）在x＝a﹣1處取得最小值f（x）min＝f（a﹣1）＝（a﹣1﹣a）ea﹣1＝﹣ea﹣1＜0，
所以f（x）的值域?yàn)椋ī乪a﹣1，+∞），故A錯誤；
對于B：g（x）＝xf（x）＝x（x﹣a）ex＝（x2﹣ax）ex，
g′（x）＝（2x﹣a）ex+（x2﹣ax）ex＝[x2+（2﹣a）x﹣a]ex，
令h（x）＝x2+（2﹣a）x﹣a，
Δ＝（2﹣a）2﹣4×1×（﹣a）＝a2+4＞0，
所以h（x）有兩個零點(diǎn)x1，x2，
所以在（﹣∞，x1）上，h（x）＞0，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，
在（x1，x2）上，h（x）＜0，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，
在（x2，+∞）上，h（x）＞0，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，
所以g（x）＝xf（x）有三個單調(diào)區(qū)間，故B正確；
對于C：方程f（x）+x＝0的根為a＝x的根，
令p（x）＝x，
p′（x）＝11，
令q（x）＝ex+（1﹣x），
q′（x）＝ex﹣1，
所以在（﹣∞，0）時，q′（x）＜0，q（x）單調(diào)遞減，
在（0，+∞）時，q′（x）＞0，q（x）單調(diào)遞增，
所以q（x）min＝0，
所以q（x）＞0，p′（x）＞0，p（x）單調(diào)遞增，
所以y＝a與p（x）＝x有一個交點(diǎn)，
所以方程a＝x只有一個根，
所以方程f（x）+x＝0有且只有一個根，故C正確；
對于D：y＝f（f（x））零點(diǎn)為f（f（x））＝0的根，
令t＝f（x），則f（t）＝0，
所以（t﹣a）et＝0，即t＝a，
所以問題轉(zhuǎn)化為方程f（x）＝a的根，
所以（x﹣a）ex＝a，
所以a，
令s（x），
s′（x），
令u（x）＝ex+1+x，
u′（x）＝ex+1＞0，
所以u（x）在（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞增，
所以x→﹣∞時，u（x）→﹣∞；x→+∞時，u（x）→+∞，
所以存在x0∈（﹣∞，+∞），u（x0）＝0，
所以在（﹣∞，x0）上，u（x）＜0，s′（x）＜0，s（x）單調(diào)遞減，
在（x0，+∞）上，u（x）＞0，s′（x）＞0，s（x）單調(diào)遞增，
所以s（x）min＝s（x0），
當(dāng)a時，方程f（f（x））＝0無根，函數(shù)y＝f（f（x））沒有零點(diǎn)，
當(dāng)a時，方程f（f（x））＝0有一個根，函數(shù)y＝f（f（x））有一個零點(diǎn)，
當(dāng)a時，方程f（f（x））＝0有兩個根，函數(shù)y＝f（f（x））有兩個零點(diǎn)，
故D錯誤．
故選：BC．
（多選）12．（5分）若數(shù)列{an}滿足，則（　?。?br /> A．當(dāng)時，
B．當(dāng)時，
C．當(dāng)a1＝3，m＝﹣1時，
D．當(dāng)a1＝3，m＝﹣1時，
【解答】解：對于A，當(dāng)時，，
∴1≥3，
當(dāng)，即an＝2時取等號，
∵（an+1）2（）2，
∴等號取不到，故A正確；
對于B，由A知3，即，∴，
∴3?[1﹣（）n]＜3，故B錯誤；
對于C，當(dāng)n＝1時，，不滿足題設(shè)條件，故C錯誤；
對于D，當(dāng)a1＝3，m＝﹣1時，，
∴，
∴，∴，
∴???1，故D正確．
故選：AD．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13．（5分）如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法．商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上面一層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球??．設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列{an}，其中a1＝1，a2＝3，a3＝6，則a5＝　15?。?br />
【解答】解：由題意可知，a1＝1，a2＝a1+2＝1+2，a3＝a2+3＝1+2+3，…，an＝an﹣1+n＝1+2+3+…+n，
故an＝1+2+3+…+n，
所以a515，
故答案為：15．
14．（5分）已知點(diǎn)F1為雙曲線的左焦點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線l與雙曲線C相交于P，Q兩點(diǎn)．若|PF1|＝3，則|QF1|＝　7?。?br />
【解答】解：由雙曲線的方程可得a2＝4，b2＝1，可得c2＝a2+b2＝5，可得a＝2，c，
若|PF1|＝3，當(dāng)P在雙曲線的右支上時，|PF1|≥a+c＝2，顯然不符合，
設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)F2，
所以可得P在左支上，由雙曲線的定義可得|PF2|＝2a+|PF1|＝4+3＝7，
由雙曲線的對稱性及直線l的對稱性，可得|QF1|＝|PF2|＝7，
故答案為：7．

15．（5分）如圖，正四棱錐P﹣ABCD的棱長均為2，點(diǎn)E為側(cè)棱PD的中點(diǎn)．若點(diǎn)M，N分別為直線AB，CE上的動點(diǎn)，則MN的最小值為 　　．

【解答】解：MN的長的最小值即為異面直線AB與CE之間的距離，
又AB∥CD，所以AB∥平面PCD，所以直線到平面PCD的距離即為異面直線AB與CE之間的距離，
所以只需求A到平面PCD的距離即可，
過P作PO⊥平面ABCD于O，則O為正方形ABCD的中心，連接AC，則O為AC的中點(diǎn)，
所以易求PO，所以VP﹣ACD2×2，
設(shè)A到平面PCD的距離為h，則VA﹣PCD2×2×sin60°×hh，
所以h，所以h，
所以MN的最小值為．
故答案為：．

16．（5分）若函數(shù)恰有兩個極值點(diǎn)，則k的取值范圍是 ?。?，1）　．
【解答】解：，
函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），
而f′（x），
令f′（x）＝0，解得：x＝1或k，
若函數(shù)f（x）恰有2個極值點(diǎn)，
則y＝k和h（x）的圖像在（0，+∞）上恰有1個橫坐標(biāo)不為1的交點(diǎn)，
而h′（x），
令h′（x）＞0，解得：1＜x＜3，令h′（x）＜0，解得：x＜1或x＞3，
故h（x）在（0，1）遞減，在（1，3）遞增，在（3，+∞）遞減，
而h（0）＝1，h（1）＝0，h（3），x→+∞時，h（x）→0，
故k∈（，1）時，符合題意，
故答案為：（，1）．
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（10分）已知過點(diǎn)A（3，2）的圓的圓心M在直線y＝3x上，且y軸被該圓截得的弦長為4．
（Ⅰ）求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)N（﹣2，3），若點(diǎn)P為x軸上一動點(diǎn)，求|PM|+|PN|的最小值，并寫出取得最小值時點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【解答】解：（Ⅰ）因?yàn)閳A心M在直線y＝3x上，設(shè)圓心M（a，3a），則半徑r，
因?yàn)閥軸被該圓截得的弦長為4，因?yàn)閳A心M到y(tǒng)軸的距離為d＝|a|，
所以4＝22，解得a＝1
所以圓心M（1，3），半徑r，
圓的方程為（x﹣1）2+（y﹣3）2＝5；
（Ⅱ）作N關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)N'（﹣2，﹣3），連接N'M于x軸的交點(diǎn)P，
則這時|PN|+|PM|＝|PN'|+|PM|≥|N'P|，當(dāng)且N'，P，M三點(diǎn)共線時|PN|+|PM|的值最小且為3，
直線N'M的方程為：y﹣3（x﹣1）＝2（x﹣1），令y＝0，可得：x，
所以P（，0）時，|PM|+|PN|的值最小，且為3．

18．（12分）已知函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)a＝1時，求曲線y＝f（x）在點(diǎn)P（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）若對任意的恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)a＝1時，函數(shù)f（x）＝x3﹣x2x+1，則f′（x）＝3x2﹣2x，f（2）＝23﹣221＝4，切線斜率k＝f′（2）＝3×22﹣2×2，
∴曲線y＝f（x）在點(diǎn)P（2，f（2））處的切線方程為y﹣4（x﹣2）即15x﹣2y﹣22＝0；
（Ⅱ）對任意的恒成立即x3﹣x2x+1≥0恒成立?x2﹣x恒成立，
令g（x）＝x2﹣x，∴g′（x）＝2x﹣1，當(dāng)x∈[，2]時，由g′（x）＝2x﹣10得2x3﹣x2﹣1＞0，即（x﹣1）（2x2+x+1）＞0，
可知2x2+x+1＞0，∴不等式解得1＜x≤2，∴函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（1，2]，單調(diào)遞減區(qū)間是[，1），
∴函數(shù)g（x）在[，2]上的最小值為g（1）＝12﹣11，∴1，∴a≤2．
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，2]．
19．（12分）已知正項(xiàng)等差數(shù)列{an}滿足：，且2a1，a2，a3+1成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè){bn}的前n項(xiàng)和為Sn，且2nSn＝an+2，求{b2n}的前n項(xiàng)和．
【解答】解：（Ⅰ）由題意知，，即，
解得a1＝1或﹣2，
因?yàn)檎?xiàng)等差數(shù)列{an}，所以a1＝1，所以d＝3，
故{an}的通項(xiàng)公式為an＝a1+（n﹣1）d＝3n﹣2．
（Ⅱ）因?yàn)?nSn＝an+2＝3n﹣2+2＝3n，
所以Sn，b1＝S1，
所以bn＝Sn﹣Sn﹣1（n≥2），
當(dāng)n＝1時，b1，符合上式，
故{bn}的通項(xiàng)公式為bn，
所以b2n，
設(shè)數(shù)列{b2n}的前n項(xiàng)和為Tn，
則Tn＝6（），①
Tn＝6（），②
①﹣②得，Tn＝6（0）＝﹣6?6?，
所以Tn＝（），
故{b2n}的前n項(xiàng)和為．
20．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，AB⊥AC，CD＝2AD＝2．
（Ⅰ）證明：PB⊥AC；
（Ⅱ）當(dāng)PB的長為何值時，直線AB與平面PCD所成角的正弦值為？

【解答】（Ⅰ）證明：由于PA⊥底面ABCD，AC?底面ABCD，故PA⊥AC，
又AB⊥AC，PA∩AB＝A，故AC⊥平面PAB，
PB?平面PAB，則PB⊥AC．
（Ⅱ）解：如圖所示，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AC，AP方向?yàn)閤，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，

由幾何關(guān)系可得，
設(shè)P（0，0，h），平面PCD的法向量，
則，
據(jù)此可得．
又，
故直線AB與平面PCD所成角的正弦值為，
解得h＝2，
即PB的長為時，直線AB與平面PCD所成角的正弦值為．

21．（12分）已知橢圓的離心率為，以橢圓兩個焦點(diǎn)與短軸的一個端點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)P（0，2）作直線l與橢圓C相切于點(diǎn)Q，且直線l斜率大于0，過線段PQ的中點(diǎn)R作直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A，B不在y軸上），連結(jié)PA，PB，分別與橢圓交于點(diǎn)M，N，試判斷直線MN的斜率是否為定值；若是，請求出該定值．

【解答】解：（Ⅰ）由題意得，解得a2＝8，b2＝2，
則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
（II）設(shè)切線PQ的方程為y＝kx+2（k＞0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），N（x4，y4），
由，消去y得（1+4k2）x2+16kx+8＝0，①
則Δ＝（16k）2﹣32（1+4k2）＝32（4k2﹣1）＝0，
解得或（舎去），
將代入①得，
x2+4x+4＝0，
解得xQ＝﹣2，則，
所以Q（﹣2，1），
又R為PQ中點(diǎn)，則，
因?yàn)镻A，PB斜率都存在，不妨設(shè)，，
由①可得，
所以，
，
同理，，
則，
又R，A，B三點(diǎn)共線，
則，
化簡得，
所以．
22．（12分）已知函數(shù)f（x）＝ln（x+1）+a（a∈R）．
（Ⅰ）討論函數(shù)y＝f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若函數(shù)y＝f（x）存兩個零點(diǎn)x1，x2，證明：x1?x2+x1+x2＞e4﹣1．
【解答】解：（I）函數(shù)f（x）＝ln（x+1）+a（a∈R），x∈（﹣1，+∞）．
f′（x），
a≥0時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在x∈（﹣1，+∞）上單調(diào)遞增．
a＜0時，f′（x），函數(shù)f（x）在x∈（﹣1，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
（Ⅱ）證明：由（I）可知：a＜0時，f（1）＝ln2＞0時，即a＜0時函數(shù)y＝f（x）存兩個零點(diǎn)x1，x2，不妨設(shè)﹣1＜x1＜x2，
ln（x1+1）+a0，ln（x2+1）+a0，
∴l(xiāng)n（x1?x2+x1+x2+1）＝﹣a（），
lna（（），
∴l(xiāng)n（x1?x2+x1+x2+1）?ln，
令t＞1，
則ln（x1?x2+x1+x2+1）?lnt2，
要證明：x1?x2+x1+x2＞e4﹣1，即證明ln（x1?x2+x1+x2+1）?lnt2＞4．
即證明lnt0，
令g（t）＝lnt，t∈（1，+∞），
g′（t）0，
∴函數(shù)g（t）在t∈（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g（t）＞g（1）＝0，∴l(xiāng)nt0成立，
因此x1?x2+x1+x2＞e4﹣1成立．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2022/5/26 11:02:08；用戶：高中數(shù)學(xué)；郵箱：sdgs@xyh.com；學(xué)號：28144983

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