1．（5分）已知A（1，﹣2，3），則點A關(guān)于xOy平面的對稱點的坐標是（ ）
A．（﹣1，﹣2，3）B．（﹣1，﹣2，﹣3）C．（1，﹣2，﹣3）D．（﹣1，2，﹣3）
2．（5分）已知an+1n∈N*，若a1＝21，則a4＝（ ）
A．6B．11C．12D．22
3．（5分）已知△ABC的周長等于10，|BC|＝4，通過建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，頂點A的軌跡方程可以是（ ）
A．B．
C．D．
4．（5分）在四棱錐A﹣BCD中，M，N分別為AB，CD的中點，則（ ）
A．B．
C．D．
5．（5分）已知{an}是等比數(shù)列，則（ ）
A．數(shù)列是等差數(shù)列B．數(shù)列{an2}是等比數(shù)列
C．數(shù)列{lgan}是等差數(shù)列D．數(shù)列是等比數(shù)列
6．（5分）氣象臺A正南方向400km的一臺風中心，正向北偏東30°方向移動，移動速度為50km/h，距臺風中心250km以內(nèi)的地區(qū)都將受到影響，若臺風中心的這種移動趨勢不變，氣象臺所在地受到臺風影響持續(xù)時間大約是（ ）
A．3hB．4hC．5hD．6h
7．（5分）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，且滿足，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）已知A，B，C三個觀測點，A在B的正北方向，相距2040m，C在B的正東方向，相距1360m．在某次爆炸點定位測試中，A，B兩個觀測點同時聽到爆炸聲，C觀測點晚2s聽到，已知聲速為340m/s，則爆炸點與C觀測點的距離是（ ）
A．680mB．1020mC．1360mD．1700m
二、選擇題（共4小題，每小題5分，滿分20分）
（多選）9．（5分）已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a5＝1，則（ ）
A．a(chǎn)2+a8＝2B．a(chǎn)3a7＝1C．S9＝9D．S10＝10
（多選）10．（5分）已知直線l：（m+1）x+（m﹣1）y﹣2m＝0（m∈R）和圓O：x2+y2＝1，則（ ）
A．直線l經(jīng)過定點（1，1）
B．直線l與圓O相切時m＝﹣1
C．當m＝0時，直線l被圓O截得弦長等于1
D．當時，直線l被圓O截得弦長等于
（多選）11．（5分）橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，M為橢圓上一點，滿足MF2垂直于x軸，且MF1與以OF2為直徑的圓相切于點N（O為坐標原點），則（ ）
A．|MF1|＝3|MF2|B．|MN|＝|MF2|
C．|MF1|+|MF2|＝2|F1F2|D．|MF1|﹣|MF2||F1F2|
（多選）12．（5分）全班學生到工廠勞動實踐，各自用AB＝4cm，BC＝CC1＝2cm的長方體ABCD﹣A1B1C1D1切割出四棱錐P﹣FBED模型．產(chǎn)品標準要求：E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點，P可以是線段A1B1（不含端點）上的任意一點．有四位同學完成制作后，對自已所做的產(chǎn)品分別作了以下描述，你認為有可能符合標準的是（ ）
A．使直線PD與平面PEB所成角取到了最大值
B．使直線PE與平面PDF所成角取到了最大值
C．使平面PDE與平面PFB的夾角取到了最大值
D．使平面PDF與平面PEB的夾角取到了最大值
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13．（5分）已知正方形ABCD的邊長為2，對△ABD部分以BD為軸進行翻折，A翻折到A′，使二面角A′﹣BD﹣C的平面角為直二面角，則 ．
14．（5分）若圓O：x2+y2＝r2（r＞0）與圓A：x2+y2﹣4x﹣4y+6＝0相交，則r的取值范圍是 ．
15．（5分）達?芬奇認為：和音樂一樣，數(shù)學和幾何“包含了宇宙的一切”．從年輕時起，他就本能地把這些主題運用在作品中．布達佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達?芬奇方磚，在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案（如圖1），把三片這樣的達?芬奇方磚形成圖2的組合，這個組合表達了圖3所示的幾何體．若圖3中每個正方體的棱長為1，則點F到直線QC的距離是 ．
16．（5分）某人實施一項投資計劃，從2021年起，每年1月1日，把上一年工資的10%投資某個項目．已知2020年他的工資是10萬元，預計末來十年每年工資都會逐年增加1萬元；若投資年收益是10%，一年結(jié)算一次，當年的投資收益自動轉(zhuǎn)入下一年的投資本金，若2031年1月1日結(jié)束投資計劃，則他可以一次性取出的所有投資以及收益應有 萬元．（參考數(shù)據(jù)：1.110≈2.59，1.111≈2.85，1.112≈3.14）．
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（10分）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an+1＝3an（n∈N*），數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，b3＝5，前4項和S4＝16．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；
（Ⅱ）求和：．
18．（12分）已知：圓P是△ABC的外接圓，邊BC所在直線l1的方程為4x﹣3y﹣3＝0，中線AD所在直線l2的方程為8x﹣y﹣1＝0，直線l3：x+y﹣8＝0與圓P相切于點A．
（Ⅰ）求點A和點D的坐標；
（Ⅱ）求圓P的方程．
19．（12分）已知：a＞b＞0，橢圓，雙曲線．
（Ⅰ）若C1的離心率為，求C2的離心率；
（Ⅱ）當a＝2，b＝1時，過點A（0，1）的直線l與C1的另一個交點為P，與C2的另一個交點為Q，若P恰好是AQ的中點，求直線l的方程．
20．（12分）在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，PB⊥平面ABCD，∠PDC＝∠ADC，N是CD的中點．
（Ⅰ）若M為線段PB的中點，證明：MN∥平面PAD；
（Ⅱ）線段PB上是否存在點M，使得直線PA與平面CMN所成角的正弦值為．若存在，求BM的長，若不存在，請說明理由．
21．（12分）已知數(shù)列{an}滿足，數(shù)列{bn}的前n項和為n（n+1），n∈N*．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；
（Ⅱ）[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[1.1]＝1，[﹣1.1]＝﹣2．設{an+bn}的前n項和為Sn，令cn＝[lg4Sn]，求證：．
22．（12分）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）上一點A（x0，y0）到拋物線焦點的距離為，點A，B關(guān)于坐標原點對稱，過點A作x軸的垂線，D為垂足，直線BD與拋物線C交于M，N兩點．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）設直線AM，AN與y軸交點分別為P，Q，求的值；
（Ⅲ）若|MN|2＝4|AM|?|AN|，求x0．
2021-2022學年浙江省金華市十校高二（上）期末數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．（5分）已知A（1，﹣2，3），則點A關(guān)于xOy平面的對稱點的坐標是（ ）
A．（﹣1，﹣2，3）B．（﹣1，﹣2，﹣3）C．（1，﹣2，﹣3）D．（﹣1，2，﹣3）
【解答】解：點A（1，﹣2，3）關(guān)于xOy平面的對稱點，橫縱坐標不變，豎坐標變?yōu)橄喾磾?shù)，
故所求的坐標為（1，﹣2，﹣3）．
故選：C．
2．（5分）已知an+1n∈N*，若a1＝21，則a4＝（ ）
A．6B．11C．12D．22
【解答】解：當n＝1時，a2＝a1+1＝22，
當n＝2時，a311，
當n＝3時，a4＝a3+1＝12，
故選：C．
3．（5分）已知△ABC的周長等于10，|BC|＝4，通過建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，頂點A的軌跡方程可以是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：以BC所在直線為x軸，BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，
則點B（﹣2，0）和點C（2，0），又△ABC的周長等于10，
所以|AB|+|AC|＝6＞4＝|BC|，
所以點A的軌跡是以B，C為焦點的橢圓，
且2a＝6，2c＝4，所以a＝3，c＝2，b2＝5，
所以頂點A的軌跡E的方程為1（y≠0）．
故選：A．
4．（5分）在四棱錐A﹣BCD中，M，N分別為AB，CD的中點，則（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：在四棱錐A﹣BCD中，M，N分別為AB，CD的中點；
所以，，
故；
故選：A．
5．（5分）已知{an}是等比數(shù)列，則（ ）
A．數(shù)列是等差數(shù)列B．數(shù)列{an2}是等比數(shù)列
C．數(shù)列{lgan}是等差數(shù)列D．數(shù)列是等比數(shù)列
【解答】解：設等比數(shù)列{an}的公比為q（q≠0），
顯然選項A錯誤，如an＝4n，則2n不是等差數(shù)列；
由于等比數(shù)列{an}的公比為q（q≠0），則q2為常數(shù)，
所以{a}為等比數(shù)列，選項B正確；
若an＜0，則lgan無意義，選項C錯誤；
2，當q≠1時，an+1﹣an不是常數(shù)，
{2}不是等比數(shù)列，故選項D錯誤，
故選：B．
6．（5分）氣象臺A正南方向400km的一臺風中心，正向北偏東30°方向移動，移動速度為50km/h，距臺風中心250km以內(nèi)的地區(qū)都將受到影響，若臺風中心的這種移動趨勢不變，氣象臺所在地受到臺風影響持續(xù)時間大約是（ ）
A．3hB．4hC．5hD．6h
【解答】解：設臺風中心經(jīng)過t小時到達M點，臺風中心的最初位置為B，
在△MAB中，BA＝400，AM＝50t，∠MAB＝30°，
由余弦定理得：AM2＝MB2+AB2﹣2MB?AB?cs∠MBA＝4002+（50t）2﹣2?400?50t?cs30°，
若氣象臺A受到臺風影響，則應滿足條件|MA|≤250，即|MA|2≤2502，
化簡整理得t2﹣8t+39≤0，
解之得43≤t≤43，
所以從現(xiàn)在起，經(jīng)過43小時氣象臺A開始受到影響，43小時后影響結(jié)束，影響持續(xù)時間大約是6h．
故選：D．
7．（5分）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，且滿足，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，
∴等邊△ACD1的邊長為，
∵，
∴點E在平面ACD1上，
∴的最小值為點D到平面ACD1的距離，
由等體積法得，?|DE|S△ACD?DD1，
∴??|DE|1×1×1，∴|DE|．
故選：C．
8．（5分）已知A，B，C三個觀測點，A在B的正北方向，相距2040m，C在B的正東方向，相距1360m．在某次爆炸點定位測試中，A，B兩個觀測點同時聽到爆炸聲，C觀測點晚2s聽到，已知聲速為340m/s，則爆炸點與C觀測點的距離是（ ）
A．680mB．1020mC．1360mD．1700m
【解答】解：由A，B兩個觀測點同時聽到爆炸聲，∴爆炸點位于AB的垂直平分線上，又C點位于B點的東側(cè)，
且C觀測點晚2s聽到，可知O位于C的左側(cè)，AB＝2040m，BC＝1360m，聲速為340m/s，可知OC﹣OB＝2×340＝680，
設OB＝x，則cs∠OBC＝cs（∠OBA）＝﹣sin∠OBA，
解得x＝1020n，則爆炸點距C點的距離為1020+680＝1700，故D正確；
故選：D．
二、選擇題（共4小題，每小題5分，滿分20分）
（多選）9．（5分）已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a5＝1，則（ ）
A．a(chǎn)2+a8＝2B．a(chǎn)3a7＝1C．S9＝9D．S10＝10
【解答】解：設數(shù)列{an}的公差為d，
由a2+a8＝2a5＝2，知選項A正確；
a3a7＝（a5﹣2d）（a5+2d）4d2＝1﹣4d2，由于d不確定，所以B錯誤；
由S99a5＝9，知選項C正確；
S10＝S9+a10＝9+a5+5d＝10+5d，由于d不確定，所以D錯誤．
故選：AC．
（多選）10．（5分）已知直線l：（m+1）x+（m﹣1）y﹣2m＝0（m∈R）和圓O：x2+y2＝1，則（ ）
A．直線l經(jīng)過定點（1，1）
B．直線l與圓O相切時m＝﹣1
C．當m＝0時，直線l被圓O截得弦長等于1
D．當時，直線l被圓O截得弦長等于
【解答】解：對于A，將直線變形為：（x+y﹣2）m+x﹣y＝0，
則，解得x＝y(tǒng)＝1，即定點坐標為（1，1），故A正確；
對于B，當直線l與圓O相切時，圓心到直線的距離為，
解得m＝±1，故B錯誤；
對于C，當m＝0時，直線l：x﹣y＝0，
圓O被截得的弦長等于，故C錯誤；
對于D，當時，直線l：3x﹣y﹣2＝0，
圓O被截得的弦長等于，故D正確；
故選：AD．
（多選）11．（5分）橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，M為橢圓上一點，滿足MF2垂直于x軸，且MF1與以OF2為直徑的圓相切于點N（O為坐標原點），則（ ）
A．|MF1|＝3|MF2|B．|MN|＝|MF2|
C．|MF1|+|MF2|＝2|F1F2|D．|MF1|﹣|MF2||F1F2|
【解答】解：設以OF2為直徑的圓的圓心為T，則NT⊥MF1，
可得sin∠MF1F2，
又sin∠MF1F2，即|MF1|＝3|MF2|，故A正確；
由切線的性質(zhì)可得|MN|＝|MF2|，故B正確；
由|MF2|＝2ctan∠MF1F2＝2c?c，|MF1|c，
可得|MF1|+|MF2|＝2c|F1F2|，
|MF1|﹣|MF2|c|F1F2|，故C錯誤，D正確．
故選：ABD．
（多選）12．（5分）全班學生到工廠勞動實踐，各自用AB＝4cm，BC＝CC1＝2cm的長方體ABCD﹣A1B1C1D1切割出四棱錐P﹣FBED模型．產(chǎn)品標準要求：E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點，P可以是線段A1B1（不含端點）上的任意一點．有四位同學完成制作后，對自已所做的產(chǎn)品分別作了以下描述，你認為有可能符合標準的是（ ）
A．使直線PD與平面PEB所成角取到了最大值
B．使直線PE與平面PDF所成角取到了最大值
C．使平面PDE與平面PFB的夾角取到了最大值
D．使平面PDF與平面PEB的夾角取到了最大值
【解答】解：以D為坐標原點，建立空間直角坐標系D﹣xyz，如圖，
則D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，4，0），C（0，4，0），E（2，2，0），F(xiàn)（0，2，0），
設P（2，t，2），0＜t＜4，
則（2，t，2），（0，t﹣2，2），（0，2，0），（2，2，0），（2，t﹣2，2），（0，t﹣4，2），
取平面PEB的一個法向量為（2，0，0），
設平面PDF的法向量（x，y，z），
則，取x＝1，得（1，0，﹣1），
設平面PDE的法向量（x1，y1，z1），
則，取x1＝2，得（2，﹣2，t﹣2），
設平面PFB的法向量為（x2，y2，z2），
則，取x2＝2，得（2，﹣2，t﹣4），
對于A，設直線PD與平面PEB所成角為α，
則sinα＝|cs|，
∵0＜t＜4時，函數(shù)y單調(diào)遞減，沒有最大值，故A錯誤；
對于B，設直線PE與平面PDF所成角為β，
則sinβ＝|cs|，
0＜t＜2，函數(shù)y單調(diào)遞增，2＜t＜4時，函數(shù)y單調(diào)遞減，
∴當t＝2時，即P是A1B1中點時，sinβ取最大值，此時夾角β最大，故B正確；
對于C，設平面PDE與平面PFB折夾角為θ，
則csθ＝|cs|，
下面研究函數(shù)y在t∈（0，4）上的單調(diào)性，
令t﹣3＝s，（t﹣3）2＝s2＝r，
t2﹣6t+16＝（t﹣3）2+7＝s2+7，
8+（t﹣2）2＝8+[（t﹣3）+1]2＝9+（t﹣3）2+2（t﹣3）＝9+s2+2s，
8+（t﹣4）2＝8+[（t﹣3）﹣1]2＝9+（t﹣3）2﹣2（t﹣3）＝9+s2﹣2s，
則[8+（t﹣2）2]?[8+（t﹣4）2]＝（9+s2+2s）（9+s2﹣2s）＝（9+s2）2﹣4s2＝s4+14s2+81＝（s2+7）2+32，
∴y，
t∈（0，4），r＝（t﹣3）2在t∈（0，3）遞減，在t∈（3，4）遞增，且r∈[0，9），
又y在r∈[0，9）時遞增，
故由復合函數(shù)單調(diào)性判斷原理可知：
y在t∈（0，3）遞減，在t∈（3，4）遞增，
則csθ在t＝3時取最小值，此時θ最大，即平面 PDE與平面PFB的夾角取到了最大值，故C正確；
對于D，設平面PDF與平面PEB的夾角為φ，
則csφ＝|cs|，則φ＝45°為定值，故D錯誤．
故選：BC．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13．（5分）已知正方形ABCD的邊長為2，對△ABD部分以BD為軸進行翻折，A翻折到A′，使二面角A′﹣BD﹣C的平面角為直二面角，則 ﹣2 ．
【解答】解：由題知，，取 BD 的中點 O，連接 AO，A′O，如圖所示，
則 AO⊥BD，A′O⊥BD，又二面角 A′﹣BD﹣C 的平面角為直二面角，
則∠AOA′＝90°，又 ，
則 AA′＝2，△ABA′為等邊三角形，從而 ，
則 ，
故答案為：﹣2．
14．（5分）若圓O：x2+y2＝r2（r＞0）與圓A：x2+y2﹣4x﹣4y+6＝0相交，則r的取值范圍是 （，） ．
【解答】解：由圓A：x2+y2﹣4x﹣4y+6＝0，得（x﹣2）2+（y﹣2）2＝2，
則兩圓圓心距為2，
∵圓O：x2+y2＝r2（r＞0）與圓A：x2+y2﹣4x﹣4y+6＝0相交，
∴|r|＜2r，
解得r．
∴r的取值范圍是（，）．
故答案為：（，）．
15．（5分）達?芬奇認為：和音樂一樣，數(shù)學和幾何“包含了宇宙的一切”．從年輕時起，他就本能地把這些主題運用在作品中．布達佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達?芬奇方磚，在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案（如圖1），把三片這樣的達?芬奇方磚形成圖2的組合，這個組合表達了圖3所示的幾何體．若圖3中每個正方體的棱長為1，則點F到直線QC的距離是 ．
【解答】解：建立空間直角坐標系如圖，
則C（0，2，0），Q（1，0，2），F(xiàn)（2，1，1），
，，
cs，
∴sin，
∴點F到直線QC的距離是?sin．
故答案為：．
16．（5分）某人實施一項投資計劃，從2021年起，每年1月1日，把上一年工資的10%投資某個項目．已知2020年他的工資是10萬元，預計末來十年每年工資都會逐年增加1萬元；若投資年收益是10%，一年結(jié)算一次，當年的投資收益自動轉(zhuǎn)入下一年的投資本金，若2031年1月1日結(jié)束投資計劃，則他可以一次性取出的所有投資以及收益應有 24 萬元．（參考數(shù)據(jù)：1.110≈2.59，1.111≈2.85，1.112≈3.14）．
【解答】解：與題意可知，2021年的投入在結(jié)算時的收入為10×10%×（1+10%）10，
2022年的投入在結(jié)算時的收入為11×10%×（1+10%）9，
???，
2030年的投入在結(jié)算時的收入為19×10%×（1+10%）1，
則結(jié)算時的總投資及收益為：
S＝10×10%×1.110+11×10%×1.19+???+19×19%×1.11①，
則1.1S＝10×10%×1.111+11×10%×1.110+???+19×10%×1.12②，
①﹣②可得，﹣0.1S＝﹣10×10%×1.111﹣1×10%×1.110﹣10%×1.19﹣10%×1.12+19×10%×1.11，
故S＝10×1.111+1.110+1.19+???+1.12﹣19×1.1120×1.111﹣12.1﹣20.9≈20×28.5﹣33＝24．
故答案為：24．
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（10分）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an+1＝3an（n∈N*），數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，b3＝5，前4項和S4＝16．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；
（Ⅱ）求和：．
【解答】解：（Ⅰ）因為數(shù)列{an}滿足，
故可得數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且公比q＝3，
則；
數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，b3＝5，前4項和S4＝16，
設其公差為d，
故可得b1+2d＝5，4b1+6d＝16，
解得b1＝1，d＝2，
則bn＝2n﹣1；
綜上所述，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：，
故，
又，c1＝1，
則{cn}是首項1，公比為9的等比數(shù)列，
則．
18．（12分）已知：圓P是△ABC的外接圓，邊BC所在直線l1的方程為4x﹣3y﹣3＝0，中線AD所在直線l2的方程為8x﹣y﹣1＝0，直線l3：x+y﹣8＝0與圓P相切于點A．
（Ⅰ）求點A和點D的坐標；
（Ⅱ）求圓P的方程．
【解答】解：（Ⅰ）由題可得：l1與l2的的交點為點D，
故由，解得：，故D（0，﹣1），
l3與l2的的交點為點A，
，解得：，故A（1，7）．
（Ⅱ）設圓P的圓心P為（x，y），
由l3與圓P相切于點A，且l3的斜率為k3＝﹣1，則kAP?k3＝﹣1即，
即y＝x+6，①
又圓P為△ABC的外接圓，則BC為圓P的弦，
又邊BC所在直線l1的科率為，
故根據(jù)垂徑定理，有BC⊥PD進而k1?kDP＝﹣1，
即②，
聯(lián)立①②，解得：，即P（﹣4，2），
故，則圓P的方程為：（x+4）2+（y﹣2）2＝50．
19．（12分）已知：a＞b＞0，橢圓，雙曲線．
（Ⅰ）若C1的離心率為，求C2的離心率；
（Ⅱ）當a＝2，b＝1時，過點A（0，1）的直線l與C1的另一個交點為P，與C2的另一個交點為Q，若P恰好是AQ的中點，求直線l的方程．
【解答】解：（Ⅰ）橢圓，C1的離心率為，
可得，即a＝2b，
則C2的離心率為；
（Ⅱ）當a＝2，b＝1時，橢圓方程為y2＝1，雙曲線的方程為y21，
由題意可得直線l的斜率存在且不為0，
設過點A（0，1）的直線l的方程為y＝kx+1，
由解得P（，），
由解得Q（，），
由P恰好是AQ的中點，可得，
解得k＝±，
則直線l的方程為y＝±x+1．
20．（12分）在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，PB⊥平面ABCD，∠PDC＝∠ADC，N是CD的中點．
（Ⅰ）若M為線段PB的中點，證明：MN∥平面PAD；
（Ⅱ）線段PB上是否存在點M，使得直線PA與平面CMN所成角的正弦值為．若存在，求BM的長，若不存在，請說明理由．
【解答】解：（Ⅰ）證明：取AB的中點為E，連接NE，ME，
∵M、N分別為線段PB、CD的中點，
∴ME∥AD，NE∥PA，
∵ME，NE?平面MNE，且ME∩NE＝E，∴平面MNE∥平面MNE，
∴MN?平面MNE，∴MN∥平面PAD；
（Ⅱ）以B為坐標原點，BA、BP所在直線為y軸，z軸，
以垂直于平面PAB的直線為x軸，建立空間直角坐標系，如圖，
∵底面ABCD是邊長為2的菱形，設PB＝a，
在直角△PBC中，可得PC，
在直角△PBD中，可得PD，
在△PCD中，∵，∴PC2＝PD2+CD2﹣2PD?CD?cs∠PDC，
∴（）2＝（）2+22﹣2，解得a＝2，
設BM＝b，（b＞0），可得M（0，0，b），N（，2，0），C（，1，0），P（0，0，2），A（0，2，0），
∴（0，2，﹣2），（，﹣1，b），（0，1，0），
設平面CMN的法向量為（x，y，z），
則，令z，可得（b，0，），
設直線與平面CMN所成角為θ，
設直線PA與平面CMN所成角角為θ，
∴sinθ，
解得b2＝15，即b．
∴存在M，使得直線PA與平面CMN所成角的正弦值為，BM．
21．（12分）已知數(shù)列{an}滿足，數(shù)列{bn}的前n項和為n（n+1），n∈N*．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；
（Ⅱ）[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[1.1]＝1，[﹣1.1]＝﹣2．設{an+bn}的前n項和為Sn，令cn＝[lg4Sn]，求證：．
【解答】解：（Ⅰ）由題可知，當n≥2時，
an＝（an﹣an﹣1）+?+（a3﹣a2）+（a2﹣a1）+a1
＝3（4n﹣1+4n﹣2+?+4）﹣2（n﹣1）+2

＝4n﹣2n，
當n＝1時，a1＝4﹣2＝2也符合上式，
∴；
當n?2時，bn＝n（n+1）﹣（n﹣1）n＝2n，
當n＝1時，b1＝2也符合上式，
∴bn＝2n；
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴
∴，
∴n≤lg4Sn＜n+1，
所以cn＝[lg4Sn]＝n，
∴，
設Tn為數(shù)列的前n項和，
則．
22．（12分）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）上一點A（x0，y0）到拋物線焦點的距離為，點A，B關(guān)于坐標原點對稱，過點A作x軸的垂線，D為垂足，直線BD與拋物線C交于M，N兩點．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）設直線AM，AN與y軸交點分別為P，Q，求的值；
（Ⅲ）若|MN|2＝4|AM|?|AN|，求x0．
【解答】解：（Ⅰ）由拋物線的定義知，點A（x0，y0）到拋物線焦點的距離為x0，
所以p，
故拋物線C的方程為y2＝x．
（Ⅱ）由題意知，A（，y0），設y0＞0，則B（，﹣y0），D（，0），
所以直線BD的方程為y（x），
聯(lián)立，消去x得，y2﹣y0，解得y＝（1±）y0，
設M（，y1），N（，y2），
不妨取y1＝（1）y0，y2＝（1）y0，
直線AM的斜率為，其方程為y﹣y0（x），
令x＝0，則yP＝y(tǒng)0（1）y0y0，
同理可得yQ＝y(tǒng)0（1）y0y0，
所以|PQ|＝|yP﹣yQ|＝|y0y0|y0，
而|AD|＝y(tǒng)0，
所以．
（Ⅲ）|MN|2＝（1）|y1﹣y2|＝（1+4）?8，其中k，
|AM|y0?，
|AN|y0?，
因為|MN|2＝4|AM|?|AN|，
所以（1+4）?84?y0??y0?，
化簡得8161＝0，
解得（舍負），即，
所以x0．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復制發(fā)布日期：2022/5/27 9:57:26；用戶：高中數(shù)學；郵箱：sdgs@xyh.cm；學號：28144983

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