?2020-2021學(xué)年浙江省寧波市九校高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．（4分）已知實(shí)數(shù)a＝log32，b＝log2π，，則有（　　）
A．a(chǎn)＜b＜c B．a(chǎn)＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a
2．（4分）不論實(shí)數(shù)a為何值時(shí)，函數(shù)圖象恒過定點(diǎn)，則這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)為（　?。?br /> A． B． C． D．
3．（4分）下列四個(gè)命題中是真命題的是（　　）
A．?x1∈（0，+∞），
B．?x2∈（1，+∞），
C．，
D．?x∈（0，1），
4．（4分）在（x﹣2y）7的展開式中，系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)是（　?。?br /> A．672x2y5 B．﹣672x2y5 C．560x3y4 D．﹣560x3y4
5．（4分）函數(shù)的部分簡(jiǎn)圖為（　?。?br /> A．
B．
C．
D．
6．（4分）一次志愿者活動(dòng)中，其中小學(xué)生2名、初中生3名、高中生3名．現(xiàn)將他們排成一列，要求2名小學(xué)生排在正中間，要求3名高中生中任意兩名不相鄰，則不同的排法有（　　）
A．144 B．216 C．288 D．432
7．（4分）對(duì)于a，b∈N*，規(guī)定，點(diǎn)集M＝{（a，b）|a?b＝60，a，b∈N*}，從點(diǎn)集M中任取一個(gè)點(diǎn)，在點(diǎn)橫縱坐標(biāo)有偶數(shù)的條件下，橫縱坐標(biāo)都是偶數(shù)的概率為（　　）
A． B． C． D．
8．（4分）已知函數(shù)f（x）是定義在R上的減函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)f'（x）滿足，則下列結(jié)論中正確的是（　?。?br /> A．f（x）＜0恒成立
B．當(dāng)且僅當(dāng)x∈（﹣∞，1）時(shí)，f（x）＜0
C．f（x）＞0恒成立
D．當(dāng)且僅當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）＞0
9．（4分）已知隨機(jī)變量ξ的分布列如表，若E（ξ）＝3，則D（ξ）的值可能是（　?。?br /> ξ
1
2
4
P
x
y
z
A． B． C． D．
10．（4分）已知對(duì)任意的x∈[﹣3，3]，恒有ax2+bx﹣3a+1≥0成立，則2a+b的最大值為（　?。?br /> A． B． C． D．1
三、填空題：共7小題，多空題6分，單空題4分，滿分36分。
11．（6分）已知A＝{x|（x+3）（1﹣x）＞0}，B＝{y|y＝log2（1﹣x），x∈A}，則A＝　 　；A∪B＝　 　．
12．（6分）已知定義在R上的奇函數(shù)，已知x＞0，，則f（﹣1）＝　 　，該函數(shù)的解析式為 　 　．
13．（6分）意大利畫家達(dá)?芬奇在繪制《抱銀貂的女子》（如圖）時(shí)曾仔細(xì)思索女子脖子上的黑色項(xiàng)鏈的形狀是什么曲線？這就是著名的“懸鏈線問題”．后人研究發(fā)現(xiàn)懸鏈線方程與雙曲余弦曲線密切關(guān)聯(lián)，雙曲余弦曲線C的解析式為（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．若直線y＝m與雙曲余弦曲線C交于點(diǎn)A，B，曲線C在A，B兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)P，且△APB為等邊三角形，則m＝　 　，|AB|＝　 　．

14．（6分）已知ai∈R（i＝0，1，?，10），若（x2+x﹣2）5＝a0+a1x+a2x2+?+a10x10，則a1+a2+?+a9＝　 ??；a7＝　 　．
15．（4分）將10個(gè)相同的小球放入A，B，C三個(gè)盒子，其中A盒子至少有1個(gè)小球，有 　 　種放法．
16．（4分）已知函數(shù)f（x）＝lnx+3和，對(duì)于任意x1，x2∈（1，2），且x1≠x2時(shí)，都有|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|成立，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為 　 ?。?br /> 17．（4分）已知函數(shù)和g（x）＝x2+1﹣2a，有下列四個(gè)結(jié)論：
①當(dāng)a＝1時(shí)，若函數(shù)y＝f（x）﹣m有3個(gè)零點(diǎn)，則0＜m≤1；
②當(dāng)1＜a≤2時(shí)，函數(shù)y＝f（g（x））有6個(gè)零點(diǎn)；
③當(dāng)時(shí)，函數(shù)y＝g（f（x））的所有零點(diǎn)之和為﹣1；
④當(dāng)a＝1時(shí)，函數(shù)y＝f（f（x））有3個(gè)零點(diǎn)．
其中正確結(jié)論的序號(hào)為 　 ?。?br /> 三、解答題：共5小題，滿分74分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
18．（14分）設(shè)全集為R，A＝{x|（ax+4）（x﹣2a+3）＞0，a＞0}，．
（Ⅰ）若a＝2，求A∩B，（?RA）∪（?RB）；
（Ⅱ）若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
19．（15分）對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)y＝f（x），如果存在正數(shù)k和區(qū)間[m，n]?D（n＞m），使得函數(shù)f（x）滿足{x|y＝f（x），x∈[m，n]}＝[km，kn]，則稱該函數(shù)為“k倍函數(shù)”，區(qū)間[m，n]為“優(yōu)美區(qū)間”．特別地，當(dāng)k＝1時(shí)，稱該函數(shù)為“一致函數(shù)”．
（Ⅰ）若是“k倍函數(shù)”，求k的取值范圍；
（Ⅱ）已知函數(shù)h（x）＝x2﹣2ax+b（a，b∈R）．若區(qū)間[1，a+1]為“一致函數(shù)”h（x）的“優(yōu)美區(qū)間”，求a，b的值．
20．（15分）（Ⅰ）計(jì)算求值：；
（Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明：．（參考數(shù)值：ln3＝1.0986）
21．（15分）甲盒中裝有3個(gè)紅球和2個(gè)黃球，乙盒中裝1紅球和4個(gè)黃球．
（Ⅰ）從甲盒有放回地摸球，每次摸出一個(gè)球，摸到紅球記1分，摸到黃球記2分．某人摸球4次，求該人得分ξ的分布列以及數(shù)學(xué)期望E（ξ）；
（Ⅱ）若同時(shí)從甲、乙兩盒中各取出2個(gè)球進(jìn)行交換，記交換后甲、乙兩盒中紅球的個(gè)數(shù)分別為ξ1、ξ2，求數(shù)學(xué)期望E（ξ1），E（ξ2）．
22．（15分）已知函數(shù)f（x）＝xln2x﹣ax2﹣x（a∈R）．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（Ⅱ）若a＞0，且對(duì)任意正數(shù)x都有成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

2020-2021學(xué)年浙江省寧波市九校高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．（4分）已知實(shí)數(shù)a＝log32，b＝log2π，，則有（　　）
A．a(chǎn)＜b＜c B．a(chǎn)＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a
【解答】解：因?yàn)?＝log31＜log32＜log33＝1，所以0＜a＜1；
因?yàn)?＝log22＜log2π＜log3，所以1＜b＜c，
所以a＜b＜c．
故選：A．
2．（4分）不論實(shí)數(shù)a為何值時(shí)，函數(shù)圖象恒過定點(diǎn)，則這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)為（　?。?br /> A． B． C． D．
【解答】解：函數(shù)a（2x）+2x，令2x0，解得x＝﹣1，所以y＝f（﹣1），所以f（x）圖象恒過定點(diǎn)（﹣1，），
即定點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，）．
故選：B．
3．（4分）下列四個(gè)命題中是真命題的是（　?。?br /> A．?x1∈（0，+∞），
B．?x2∈（1，+∞），
C．，
D．?x∈（0，1），
【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：
對(duì)于A，，若?x1∈（0，+∞），必有1，則必有，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，，若?x2∈（1，+∞），lgx2＞0，必有0，即，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，?x∈（0，），有，x1，則必有，C正確；
對(duì)于D，當(dāng)x時(shí)，，x3＝（）3，有x3，D錯(cuò)誤；
故選：C．
4．（4分）在（x﹣2y）7的展開式中，系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)是（　　）
A．672x2y5 B．﹣672x2y5 C．560x3y4 D．﹣560x3y4
【解答】解：（x﹣2y）7的展開式中，通項(xiàng)公式為 Tr+1?（﹣2）r?x7﹣ryr，
該項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值為?2r，要使該項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值最大，需，
即，求得r．
結(jié)合r∈N，可得當(dāng)r＝5時(shí)，該項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值最大為672，
故該項(xiàng)為T6＝﹣672 x2y5，
故選：B．
5．（4分）函數(shù)的部分簡(jiǎn)圖為（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)，其定義域?yàn)镽，
有f（﹣x）＝ln（x）cos（﹣x）＝﹣ln（x）cosx＝﹣f（x），則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，排除BD，
在區(qū)間（0，）上，cosx＞0，0x1，則有l(wèi)n（x）＜0，必有f（x）＜0，排除C，
故選：A．
6．（4分）一次志愿者活動(dòng)中，其中小學(xué)生2名、初中生3名、高中生3名．現(xiàn)將他們排成一列，要求2名小學(xué)生排在正中間，要求3名高中生中任意兩名不相鄰，則不同的排法有（　?。?br /> A．144 B．216 C．288 D．432
【解答】解：根據(jù)題意，分2種情況討論：
①2名小學(xué)夾在兩名高中生之間，有2＝144種站法，
②2名小學(xué)沒有夾在兩名高中生之間，有288種站法，
則有144+288＝432種不同的站法，
故選：D．
7．（4分）對(duì)于a，b∈N*，規(guī)定，點(diǎn)集M＝{（a，b）|a?b＝60，a，b∈N*}，從點(diǎn)集M中任取一個(gè)點(diǎn)，在點(diǎn)橫縱坐標(biāo)有偶數(shù)的條件下，橫縱坐標(biāo)都是偶數(shù)的概率為（　?。?br /> A． B． C． D．
【解答】解：a?b＝60，a，b∈N*，
若a和b一奇一偶，則ab＝60，滿足此條件的有1×60＝3×20＝4×15＝5×12，故點(diǎn)（a，b）有8個(gè)，
若a和b同奇偶，則a+b＝60，滿足點(diǎn)橫縱坐標(biāo)有偶數(shù)的有2+58＝4+56＝6+54＝…＝28+32＝30+30共15組，
故點(diǎn)（a，b）有29個(gè)，
所以點(diǎn)橫縱坐標(biāo)有偶數(shù)的個(gè)數(shù)為8+29＝37個(gè)，
橫縱坐標(biāo)都是偶數(shù)的個(gè)數(shù)為29個(gè)，
所以在點(diǎn)橫縱坐標(biāo)有偶數(shù)的條件下，橫縱坐標(biāo)都是偶數(shù)的概率為．
故選：A．
8．（4分）已知函數(shù)f（x）是定義在R上的減函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)f'（x）滿足，則下列結(jié)論中正確的是（　?。?br /> A．f（x）＜0恒成立
B．當(dāng)且僅當(dāng)x∈（﹣∞，1）時(shí)，f（x）＜0
C．f（x）＞0恒成立
D．當(dāng)且僅當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）＞0
【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是定義在R上的減函數(shù)，所以f′（x）＜0，
故f（x）+（x﹣1）f′（x）＞0，
令g（x）＝（x﹣1）f（x），則g（x）在R遞增，
而g（1）＝0，故x＞1時(shí)，g（x）＞0，x＜1時(shí)，g（x）＜0，則f（x）＞0，
故f（x）＞0在R恒成立，
故選：C．
9．（4分）已知隨機(jī)變量ξ的分布列如表，若E（ξ）＝3，則D（ξ）的值可能是（　　）
ξ
1
2
4
P
x
y
z
A． B． C． D．
【解答】解：因?yàn)镋（ξ）＝3，
則，
所以x＝﹣1+2z，y＝2﹣3z，
故D（ξ）＝x（1﹣3）2+y（2﹣3）2+z（4﹣3）2＝﹣2+6z，
因?yàn)椋獾茫?br /> 則1＜﹣2+6z＜2，
所以1＜D（ξ）＜2．
故選：B．
10．（4分）已知對(duì)任意的x∈[﹣3，3]，恒有ax2+bx﹣3a+1≥0成立，則2a+b的最大值為（　?。?br /> A． B． C． D．1
【解答】解：一方面，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，a﹣b﹣3a+1?0，即2a+b?1．
另一方面，當(dāng)時(shí)，此時(shí)2a+b＝1，
．
綜上所述，2a+b 的最大值為 1．
故選：D．
三、填空題：共7小題，多空題6分，單空題4分，滿分36分。
11．（6分）已知A＝{x|（x+3）（1﹣x）＞0}，B＝{y|y＝log2（1﹣x），x∈A}，則A＝?。ī?，1）　；A∪B＝　（﹣∞，2）　．
【解答】解：A＝{x|（x+3）（1﹣x）＞0}＝{x|﹣3＜x＜1}，
B＝{y|y＝log2（1﹣x），x∈A}＝{y|y＜2}，
∴A＝（﹣3，1）；A∪B＝（﹣∞，2）．
故答案為：（﹣3，1），（﹣∞，2）．
12．（6分）已知定義在R上的奇函數(shù)，已知x＞0，，則f（﹣1）＝　﹣4　，該函數(shù)的解析式為 　?。?br /> 【解答】解：根據(jù)題意，x＞0，，則f（1）＝1+1+2＝4，則f（﹣1）＝﹣4，
f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，則f（0）＝0，
當(dāng)x＜0時(shí)，﹣x＞0，則f（﹣x）＝x22，
又由f（x）為奇函數(shù)，則f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣x22，
綜合可得：，
故答案為：﹣4，．
13．（6分）意大利畫家達(dá)?芬奇在繪制《抱銀貂的女子》（如圖）時(shí)曾仔細(xì)思索女子脖子上的黑色項(xiàng)鏈的形狀是什么曲線？這就是著名的“懸鏈線問題”．后人研究發(fā)現(xiàn)懸鏈線方程與雙曲余弦曲線密切關(guān)聯(lián)，雙曲余弦曲線C的解析式為（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．若直線y＝m與雙曲余弦曲線C交于點(diǎn)A，B，曲線C在A，B兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)P，且△APB為等邊三角形，則m＝　2　，|AB|＝　?。?br />
【解答】解：令g（x），
g（﹣x），
所以g（x）＝g（﹣x），
所以g（x）為偶函數(shù)，即g（x）關(guān)于y軸對(duì)稱，
所以A，B兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，則設(shè)B（x0，m），A（﹣x0，m），且m，
又△APB為等邊三角形，
所以點(diǎn)P在y軸上，且
又g′（x），
kPB，
所以切線PB的方程為y﹣m（x﹣x0），
令x＝0時(shí)，y（﹣x0）+m，
所以點(diǎn)P到直線AB的距離d＝PC＝m﹣[（﹣x0）+m]x0，
所以tan∠BPC＝tan30°，
所以，
令t＝e（t＞0），則，
所以t2﹣6t0，
所以t±2，
所以t2，
所以m2，
所以e2，
所以x0＝ln（2），
所以|AB|＝2x0＝2ln（2），
故答案為：2；2ln（2）．

14．（6分）已知ai∈R（i＝0，1，?，10），若（x2+x﹣2）5＝a0+a1x+a2x2+?+a10x10，則a1+a2+?+a9＝　32　；a7＝　﹣30?。?br /> 【解答】解：∵（x2+x﹣2）5＝a0+a1x+a2x2+?+a10x10，令x＝0，可得 a0＝﹣32，a101，
再令x＝1，可得﹣32+a1+a2+?+a9+1＝1，∴a1+a2+?+a9＝32．
∵a7為x7的系數(shù)，故在（x2+x﹣2）5中，有3個(gè)因式取x2，其余的2個(gè)因式一個(gè)取x，另一個(gè)取﹣2；
或有2個(gè)因式取x2，其余的三個(gè)因式都取x．
故 a7??（﹣2）30，
故答案為：32；﹣30．
15．（4分）將10個(gè)相同的小球放入A，B，C三個(gè)盒子，其中A盒子至少有1個(gè)小球，有 　55　種放法．
【解答】解：根據(jù)題意，可以先放入A盒子中一個(gè)球，原問題等價(jià)于將9個(gè)球放入A，B，C三個(gè)盒子，可以有空盒子的問題，
將9個(gè)小球和2個(gè)擋板排成一排，用2個(gè)擋板可以將9個(gè)小球分為3組，分別放入A，B，C三個(gè)盒子即可，
有C112＝55種排法，
則有55種不同的放法，
故答案為：55．
16．（4分）已知函數(shù)f（x）＝lnx+3和，對(duì)于任意x1，x2∈（1，2），且x1≠x2時(shí)，都有|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|成立，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為 　?。?br /> 【解答】解：由柯西中值定理可知，|f'（x）|min≥|g'（x）|max在[1，2]上恒成立，
而，故當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，；
g′（x）＝x﹣b，故當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，g′（x）∈[1﹣b，2﹣b]；
①當(dāng)時(shí)，|g′（x）|max＝2﹣b，則，解得，矛盾；
②當(dāng)時(shí)，|g′（x）|max＝1﹣b，則，解得；
③當(dāng)b＞2時(shí)，|g′（x）|max＝1﹣b，則，解得，矛盾；
綜上，實(shí)數(shù)b的取值范圍為．
故答案為：．
17．（4分）已知函數(shù)和g（x）＝x2+1﹣2a，有下列四個(gè)結(jié)論：
①當(dāng)a＝1時(shí)，若函數(shù)y＝f（x）﹣m有3個(gè)零點(diǎn)，則0＜m≤1；
②當(dāng)1＜a≤2時(shí)，函數(shù)y＝f（g（x））有6個(gè)零點(diǎn)；
③當(dāng)時(shí)，函數(shù)y＝g（f（x））的所有零點(diǎn)之和為﹣1；
④當(dāng)a＝1時(shí)，函數(shù)y＝f（f（x））有3個(gè)零點(diǎn)．
其中正確結(jié)論的序號(hào)為 　①②③?。?br /> 【解答】解：對(duì)于①：當(dāng)a＝1時(shí)，f（x），
作出直線y＝m與函數(shù)f（x）的大致圖象，如下：

由圖可知，若函數(shù)y＝f（x）﹣m有3個(gè)零點(diǎn)，則0＜m≤1，故①正確；
對(duì)于②：當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＝x2﹣2ax﹣a+2，
其對(duì)應(yīng)的方程的根判別式為Δ＝（﹣2a）2﹣4（﹣a+2）＝（2a+1）2﹣9，
當(dāng)1＜a≤2時(shí)，Δ＞0，
令g（x）＝t，作出函數(shù)y＝f（t），t＝g（x）的大致圖象，
分別如下：

由圖可知，函數(shù)y＝f（t）有3個(gè)零點(diǎn)，即t1＝﹣1，t2＝p，t3＝q，且0＜p＜1，q＞1，
又g（0）＝1﹣2a＜﹣1，且函數(shù)t＝g（x）的圖象與直線t＝﹣1，t＝p，t＝q共6個(gè)交點(diǎn)，
所以函數(shù)y＝f（g（x））有6個(gè)零點(diǎn)，故②正確；
對(duì)于③：當(dāng)a時(shí)，f（x），
令u＝f（x），則y＝g（u），作出函數(shù)u＝f（x），y＝g（u）的大致圖象，
分別如下：

由圖可知，函數(shù)y＝g（u）只有1個(gè)零點(diǎn)，即u＝0，
函數(shù)u＝f（x）的圖象與直線u＝0只有1個(gè)交點(diǎn)，為（﹣1，0），
所以函數(shù)y＝g（f（x））所有零點(diǎn)之和為﹣1，故③正確；
對(duì)于④：當(dāng)a＝1時(shí)，f（x），
令v＝f（x），則y＝f（v），
作出函數(shù)y＝f（v），v＝f（x）的大致圖象，分別如下：

由圖可知，函數(shù)y＝f（v）有2個(gè)零點(diǎn)，即v1＝﹣1，v2＝1，
函數(shù)v＝f（x）的圖象與直線v＝﹣1，v＝1共有4個(gè)交點(diǎn)，
所以y＝f（f（x））有四個(gè)零點(diǎn)，故④不正確．
故答案為：①②③．
三、解答題：共5小題，滿分74分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
18．（14分）設(shè)全集為R，A＝{x|（ax+4）（x﹣2a+3）＞0，a＞0}，．
（Ⅰ）若a＝2，求A∩B，（?RA）∪（?RB）；
（Ⅱ）若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【解答】解：（Ⅰ）式子有意義，則有，即，得﹣2≤x＜1，
∴B＝[﹣2，1）；
當(dāng)a＝2時(shí)，（ax+4）（x﹣2a+3）＞0，
即為（2x+4）（x﹣1）＞0，
得x＜﹣2或x＞1；
∴A＝（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞），
所以A∩B＝?，（?RA）∪（?RB）＝R．
（Ⅱ）因?yàn)椤皒∈B”是“x∈A”的充分不必要條件，
所以B是A的真子集；
所以（ax+4）（x﹣2a+3）＞0在x∈[﹣2，1）上恒成立，
因?yàn)閍＞0，則．
所以（ax+4）（x﹣2a+3）＞0的解集為，
所以2a﹣3＜﹣2，得，
綜上可得a的取值范圍為．
19．（15分）對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)y＝f（x），如果存在正數(shù)k和區(qū)間[m，n]?D（n＞m），使得函數(shù)f（x）滿足{x|y＝f（x），x∈[m，n]}＝[km，kn]，則稱該函數(shù)為“k倍函數(shù)”，區(qū)間[m，n]為“優(yōu)美區(qū)間”．特別地，當(dāng)k＝1時(shí)，稱該函數(shù)為“一致函數(shù)”．
（Ⅰ）若是“k倍函數(shù)”，求k的取值范圍；
（Ⅱ）已知函數(shù)h（x）＝x2﹣2ax+b（a，b∈R）．若區(qū)間[1，a+1]為“一致函數(shù)”h（x）的“優(yōu)美區(qū)間”，求a，b的值．
【解答】解：（Ⅰ）因?yàn)槭恰発倍函數(shù)”且是增函數(shù)，
所以在區(qū)間有兩個(gè)不同的解，
令，則kt2﹣2t+k＝0（k＞0）在[0，+∞）有兩個(gè)不同的解，
則由于對(duì)稱軸，
端點(diǎn)t＝0代入得k＞0，Δ＝22﹣4k2＞0，得﹣1＜k＜1，
綜上可得：k的取值范圍為（0，1）．
（Ⅱ）h（x）＝x2﹣2ax+b＝（x﹣a）2+b﹣a2
因?yàn)閰^(qū)間[1，a+1]為“一致函數(shù)”h（x）的“優(yōu)美區(qū)間”，所以a+1＞1即a＞0
（1）當(dāng)0＜a≤1時(shí)，則，得；
（2）當(dāng)a＞1，且
即1＜a≤2時(shí)，
則無解；
當(dāng)a＞2時(shí)，則，得
綜上可得或．
20．（15分）（Ⅰ）計(jì)算求值：；
（Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明：．（參考數(shù)值：ln3＝1.0986）
【解答】（Ⅰ）解：代數(shù)式有意義，
則，
解得，n∈N*，所以n＝2；
所以．
（Ⅱ）證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，不等式，
即證ln3，由ln3＝1.0986知，不等式成立；
②假設(shè)n＝k（k≥1，k∈N*），結(jié)論成立，
即成立；
則n＝k+1時(shí)，
不等式左側(cè)等于，
再證明：，
即證，
即證，
即為，（*）
令，則（*）等價(jià)于，
令函數(shù)，
則，
所以在[1，+∞）遞減，
所以，當(dāng)t＞1時(shí)，，
即成立，
所以成立，
所以，
即n＝k+1時(shí)，結(jié)論成立；
綜合①②，可得成立．
21．（15分）甲盒中裝有3個(gè)紅球和2個(gè)黃球，乙盒中裝1紅球和4個(gè)黃球．
（Ⅰ）從甲盒有放回地摸球，每次摸出一個(gè)球，摸到紅球記1分，摸到黃球記2分．某人摸球4次，求該人得分ξ的分布列以及數(shù)學(xué)期望E（ξ）；
（Ⅱ）若同時(shí)從甲、乙兩盒中各取出2個(gè)球進(jìn)行交換，記交換后甲、乙兩盒中紅球的個(gè)數(shù)分別為ξ1、ξ2，求數(shù)學(xué)期望E（ξ1），E（ξ2）．
【解答】解：（Ⅰ）由題意可知，，
所以ξ的分布列為：
ξ
4
5
6
7
8
P





；
（Ⅱ）由題意可知，兩盒中紅球的總數(shù)為4個(gè)，ξ1的可能取值為1，2，3，4，ξ2的可能取值為3，2，1，0，
且ξ1+ξ2＝4，
因?yàn)椋?br /> ；
；
；
故，
所以E（ξ2）＝E（4﹣ξ1）＝4﹣E（ξ1）＝1.8．
22．（15分）已知函數(shù)f（x）＝xln2x﹣ax2﹣x（a∈R）．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（Ⅱ）若a＞0，且對(duì)任意正數(shù)x都有成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
【解答】解：（Ⅰ）因?yàn)閒（x）＝xln2x﹣ax2﹣x（a∈R），
所以，
研究f'（x）＝ln2x﹣2ax的變號(hào)零點(diǎn)，
由f'（x）＝ln2x﹣2ax＝0得，
記t＝2x＞0，，因?yàn)?，令g′（t）＝0，可得t＝e，
所以t∈（0，e）時(shí)，g'（t）＞0，t∈（e，+∞）時(shí)g'（t）＜0，
故在（0，e）遞增，（e，+∞）遞減，
畫出函數(shù)的簡(jiǎn)圖：

且，
所以a≤0時(shí)，有一個(gè)極值點(diǎn)；，有兩個(gè)極值點(diǎn)；，無極值點(diǎn)．
（Ⅱ）a＞0，且對(duì)任意正數(shù)x都有成立
等價(jià)于ae3ax≥ln3x
等價(jià)于3axe3ax≥3xln3x＝ln3x?eln3x（*）
因?yàn)楹瘮?shù)y＝ex?x在（0，+∞）單調(diào)遞增
所以（*）式子等價(jià)于3ax≥ln3x即為
由第一題的過程可知，所求范圍為[，+∞）．

聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2022/5/27 10:10:46；用戶：高中數(shù)學(xué)；郵箱：sdgs@xyh.com；學(xué)號(hào)：28144983

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