?2021中考數(shù)學真題知識點分類匯編-圓填空題1（含答案）

一．垂徑定理（共4小題）
1．（2021?西寧）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，BE＝2，則⊙O的半徑OC＝　 ?。?br />
2．（2021?牡丹江）半徑為12cm的圓中，垂直平分半徑的弦長為 　 　．
3．（2021?長沙）如圖，在⊙O中，弦AB的長為4，則∠AOC的度數(shù)為 　 ?。?br />
4．（2021?成都）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y＝與⊙O相交于A，B兩點，則弦AB的長為 　 ?。?br />
二．垂徑定理的應(yīng)用（共2小題）
5．（2021?黔東南州）小明很喜歡鉆研問題，一次數(shù)學楊老師拿來一個殘缺的圓形瓦片（如圖所示）讓小明求瓦片所在圓的半徑，量得弧AB的中心C到AB的距離CD＝1.6cm，AB＝6.4cm　 　cm．

6．（2021?恩施州）《九章算術(shù)》被尊為古代數(shù)學“群經(jīng)之首”，其卷九勾股篇記載：今有圓材埋于壁中，不知大小．以鋸鋸之，鋸道長一尺．問徑幾何？如圖，大意是，埋在墻壁中，不知其大小，鋸口深CD等于1寸，鋸道AB長1尺（1尺＝10寸）
答：圓材直徑 　 　寸．

三．圓心角、弧、弦的關(guān)系（共1小題）
7．（2021?南京）如圖，AB是⊙O的弦，C是，OC交AB于點D．若AB＝8cm，CD＝2cm　 　cm．

四．圓周角定理（共12小題）
8．（2021?阿壩州）如圖，A，B，C是⊙O上的三個點，∠B＝40°　 ?。?br />
9．（2021?朝陽）已知⊙O的半徑是7，AB是⊙O的弦，且AB的長為7　 ?。?br /> 10．（2021?盤錦）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A在x軸負半軸上，⊙D經(jīng)過A，B，O，C四點，AB＝4，則圓心點D的坐標是 　 ?。?br />
11．（2021?德陽）在銳角三角形ABC中，∠A＝30°，BC＝2，則h的取值范圍是 　 ?。?br /> 12．（2021?淮安）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，則∠D的度數(shù)是 　 　．

13．（2021?徐州）如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，則∠BAC＝　 　°．

14．（2021?本溪）如圖，由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A，B，以AB為直徑的圓經(jīng)過點C和點D，則tan∠ADC＝　 　．

15．（2021?黑龍江）如圖，在⊙O中，AB是直徑，點D在圓上且∠ADC＝30°，則⊙O的半徑為 　 　cm．

16．（2021?黑龍江）如圖，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OB＝6，以點O為圓心，與OB交于點C，過點C作CD⊥OB交AB于點D，則PC+PD的最小值為 　 　．

17．（2021?廣元）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格圖中，已知點A、B、C、D、O均在格點上，點E是線段CD與⊙O的交點．則∠BAE的正切值為 　 ?。?br />
18．（2021?宿遷）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點B、C在⊙O上，邊AB、AC分別交⊙O于D、E兩點的中點，則∠ABE＝　 ?。?br />
19．（2021?天津）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，△ABC的頂點A，點B在網(wǎng)格線上．
（Ⅰ）線段AC的長等于 　 ?。?br /> （Ⅱ）以AB為直徑的半圓的圓心為O，在線段AB上有一點P，滿足AP＝AC．請用無刻度的直尺，畫出點P，并簡要說明點P的位置是如何找到的（不要求證明） 　 ?。?br />
五．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（共3小題）
20．（2021?寧夏）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠ADC＝150°，則⊙O的半徑等于 　 ?。?br />
21．（2021?鹽城）如圖，在⊙O內(nèi)接四邊形ABCD中，若∠ABC＝100°　 　°．

22．（2021?常德）如圖，已知四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，∠BOD＝80°　 ?。?br />
六．點與圓的位置關(guān)系（共2小題）
23．（2021?廣東）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，∠ADB＝45°，則線段CD長度的最小值為 　 　．
24．（2021?青海）點P是非圓上一點，若點P到⊙O上的點的最小距離是4cm，最大距離是9cm　 ?。?br /> 七．三角形的外接圓與外心（共6小題）
25．（2021?煙臺）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，點A，B，O在網(wǎng)格線的交點上　 　．

26．（2021?襄陽）點O是△ABC的外心，若∠BOC＝110°，則∠BAC為 　 　°．
27．（2021?張家界）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠A＝50°，連接OD，OB，則∠BOD＝　 ?。?br />
28．（2021?隨州）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，連接AO并延長交⊙O于點D，則∠BAD的度數(shù)為 　 ?。?br />
29．（2021?安徽）如圖，圓O的半徑為1，△ABC內(nèi)接于圓O．若∠A＝60°，則AB＝　 　．

30．（2021?黑龍江）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠CAB＝30°，CD⊥AB于點D，若⊙O的半徑為2　 ?。?br />
八．切線的性質(zhì)（共12小題）
31．（2021?荊州）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，連接OC，過點D作DF∥OC交AB于F，DF＝，則BE＝　 　．

32．（2021?河池）如圖，在平面直角坐標系中，以M（2，3），AB為直徑的圓與x軸相切，與y軸交于A，則點B的坐標是 　 　．

33．（2021?泰州）如圖，平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（8，5），點P在y軸正半軸上，PB與⊙A相切于點B．若∠APB＝30°　 　．

34．（2021?包頭）如圖，在?ABCD中，AD＝12，連接OC．若OC＝AB，則?ABCD的周長為 　 ?。?br />
35．（2021?廣西）如圖，從一塊邊長為2，∠A＝120°的菱形鐵片上剪出一個扇形（陰影部分），且圓弧與BC，CD分別相切于點E，F(xiàn)，則圓錐的底面圓半徑是 　 　．

36．（2021?北京）如圖，PA，PB是⊙O的切線，A，則∠AOB＝　 ?。?br />
37．（2021?南京）如圖，F(xiàn)A，GB，ID，JE是五邊形ABCDE的外接圓的切線　 　°．

38．（2021?陜西）如圖，正方形ABCD的邊長為4，⊙O的半徑為1．若⊙O在正方形ABCD內(nèi)平移（⊙O可以與該正方形的邊相切）　 ?。?br />
39．（2021?杭州）如圖，已知⊙O的半徑為1，點P是⊙O外一點，T為切點，連結(jié)OT　 ?。?br />
40．（2021?寧波）抖空竹在我國有著悠久的歷史，是國家級的非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一．如圖，AC，D，延長AC，BD交于點P．若∠P＝120°，則圖中的長為 　 　cm．（結(jié)果保留π）

41．（2021?溫州）如圖，⊙O與△OAB的邊AB相切，切點為B．將△OAB繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△O′A′B，邊A′B交線段AO于點C．若∠A′＝25°，則∠OCB＝　 　度．

42．（2021?涼山州）如圖，等邊三角形ABC的邊長為4，⊙C的半徑為，過點P作⊙C的切線PQ，切點為Q　 　．

九．切線的判定與性質(zhì)（共1小題）
43．（2021?濰坊）如圖，在直角坐標系中，點A是函數(shù)y＝﹣x圖象l上的動點，1為半徑作⊙A．已知點B（﹣4，0），連接AB，當⊙A與兩坐標軸同時相切時，tan∠ABO的值可能為 　 ?。?br /> A.3
B.
C.5
D.


參考答案與試題解析
一．垂徑定理（共4小題）
1．（2021?西寧）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，BE＝2，則⊙O的半徑OC＝　　．

【答案】．
【解析】解：∵弦CD⊥AB于點E，CD＝10，
∴CE＝CD＝3，
設(shè)OB＝OC＝x，則OE＝x﹣2，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE2+OE3＝OC2，
即57+（x﹣2）2＝x8，
解得：x＝，
即OC＝，
2．（2021?牡丹江）半徑為12cm的圓中，垂直平分半徑的弦長為 　12cm　．
【答案】12cm．
【解析】解：如圖所示：設(shè)圓為⊙O，弦為AB，連接OA，

由題意可得：OA＝OC＝12cm，CO⊥AB，
∵CO⊥AB，
∴AD＝DB，
在Rt△ODA中，由勾股定理可得：AD＝＝（cm），
∴AB＝4AD＝12（cm），
3．（2021?長沙）如圖，在⊙O中，弦AB的長為4，則∠AOC的度數(shù)為 　45°?。?br />
【答案】45°．
【解析】解：∵OC⊥AB，
∴AC＝BC＝＝5，
∵OC＝2，
∴△AOC為等腰直角三角形，
∴∠AOC＝45°，
4．（2021?成都）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y＝與⊙O相交于A，B兩點，則弦AB的長為 　2?。?br />
【答案】4．
【解析】解：設(shè)直線AB交y軸于C，過O作OD⊥AB于D

在y＝x+中,
∴C(8,),OC＝,
在y＝x+x+,
解得x＝﹣2,
∴A(﹣2,0),
Rt△AOC中，tan∠CAO＝＝＝,
∴∠CAO＝30°，
Rt△AOD中，AD＝OA?cos30°＝2×＝，
∵OD⊥AB，
∴AD＝BD＝，
∴AB＝2，
二．垂徑定理的應(yīng)用（共2小題）
5．（2021?黔東南州）小明很喜歡鉆研問題，一次數(shù)學楊老師拿來一個殘缺的圓形瓦片（如圖所示）讓小明求瓦片所在圓的半徑，量得弧AB的中心C到AB的距離CD＝1.6cm，AB＝6.4cm　4　cm．

【答案】4．

【解析】解：∵C點是的中點，
∴CD過圓心，AD＝BD＝×6.8＝3.2（cm），
設(shè)圓心為O，連接OA，
設(shè)⊙O的半徑為Rcm，則OD＝（R﹣2.6）cm，
在Rt△OAD中，（R﹣1.7）2+3.52＝R2，解得R＝4（cm），
所以圓形瓦片所在圓的半徑為4cm．
6．（2021?恩施州）《九章算術(shù)》被尊為古代數(shù)學“群經(jīng)之首”，其卷九勾股篇記載：今有圓材埋于壁中，不知大?。凿忎徶?，鋸道長一尺．問徑幾何？如圖，大意是，埋在墻壁中，不知其大小，鋸口深CD等于1寸，鋸道AB長1尺（1尺＝10寸）
答：圓材直徑 　26　寸．

【答案】26．
【解析】解：過圓心O作OC⊥AB于點C，延長OC交圓于點D，如圖：

∵OC⊥AB，
∴AC＝BC＝AB，．
則CD＝3寸，AC＝BC＝．
設(shè)圓的半徑為x寸，則OC＝（x﹣3）寸．
在Rt△OAC中，由勾股定理得：
52+（x﹣7）2＝x2，
解得：x＝13．
∴圓材直徑為8×13＝26（寸）．
三．圓心角、弧、弦的關(guān)系（共1小題）
7．（2021?南京）如圖，AB是⊙O的弦，C是，OC交AB于點D．若AB＝8cm，CD＝2cm　5　cm．

【答案】5．
【解析】解：如圖，連接OA，

∵C是的中點，
∴D是弦AB的中點，
∴OC⊥AB，AD＝BD＝4，
∵OA＝OC，CD＝2，
∴OD＝OC﹣CD＝OA﹣CD，
在Rt△OAD中，
OA5＝AD2+OD2，即OA5＝16+（OA﹣2）2，
解得OA＝3，
四．圓周角定理（共12小題）
8．（2021?阿壩州）如圖，A，B，C是⊙O上的三個點，∠B＝40°　50°　．

【答案】50°．
【解析】解：∵∠B＝40°，
∴∠AOC＝2∠B＝80°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠OAC＝（180°﹣∠AOC）＝，
9．（2021?朝陽）已知⊙O的半徑是7，AB是⊙O的弦，且AB的長為7　60°或120°?。?br /> 【答案】60°或120°．

【解析】解：∠ACB和∠ADB為弦AB所對的圓周角，連接OA，如圖，
過O點作OH⊥AB于H，則AH＝BH＝，
在Rt△OAH中，∵cos∠OAH＝＝＝，
∴∠OAH＝30°，
∵OA＝OB，
∴∠OBH＝∠OAH＝30°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠ACB＝∠AOB＝60°，
∵∠ADB+∠ACB＝180°，
∴∠ADB＝180°﹣60°＝120°，
即弦AB所對的圓周角的度數(shù)為60°或120°．
10．（2021?盤錦）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A在x軸負半軸上，⊙D經(jīng)過A，B，O，C四點，AB＝4，則圓心點D的坐標是 ?。ī仯?）?。?br />
【答案】（﹣，1）．
【解析】解：∵四邊形ABOC為圓的內(nèi)接四邊形，
∴∠ABO+∠ACO＝180°，
∴∠ABO＝180°﹣120°＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴AB為⊙D的直徑，
∴D點為AB的中點，
在Rt△ABO中，∵∠ABO＝60°，
∴OB＝AB＝4，
∴OA＝OB＝2，
∴A（﹣2，8），2），
∴D點坐標為（﹣，4）．
11．（2021?德陽）在銳角三角形ABC中，∠A＝30°，BC＝2，則h的取值范圍是 　2＜h≤2+?。?br /> 【答案】2＜h≤2+．

【解析】解：如圖，BC為⊙O的弦，OB＝OC＝2，
∵BC＝2，
∴OB＝OC＝BC，
∴△OBC為等邊三角形，
∴∠BOC＝60°，
∴∠BAC＝∠BOC＝30°，
作直徑BD、CE、CD，
∴當點A在上（不含D，△ABC為銳角三角形，
在Rt△BCD中，∵∠D＝∠BAC＝30°，
∴CD＝BC＝5，
當A點為的中點時，即h最大，
延長AO交BC于H，如圖，
∵A點為的中點，
∴＝，
∴AH⊥BC，
∴BH＝CH＝1，
∴OH＝BH＝，
∴AH＝OA+OH＝2+，
∴h的范圍為2＜h≤6+．
12．（2021?淮安）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，則∠D的度數(shù)是 　35°　．

【答案】35°．
【解析】解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝55°，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝35°，
∴∠D＝∠B＝35°．
13．（2021?徐州）如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，則∠BAC＝　32　°．

【解析】解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵∠B＝∠ADC＝58°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝32°．
【答案】32．
14．（2021?本溪）如圖，由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A，B，以AB為直徑的圓經(jīng)過點C和點D，則tan∠ADC＝　?。?br />
【答案】．
【解析】解：∵AB為直徑，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，tan∠ABC＝＝，
∵∠ADC＝∠ABC，
∴tan∠ADC＝．
15．（2021?黑龍江）如圖，在⊙O中，AB是直徑，點D在圓上且∠ADC＝30°，則⊙O的半徑為 　5　cm．

【答案】5．
【解析】解：如圖，連接OC．

∵∠AOC＝2∠ADC，∠ADC＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等邊三角形，
∴OA＝AC＝5（cm），
∴⊙O的半徑為8cm．
16．（2021?黑龍江）如圖，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OB＝6，以點O為圓心，與OB交于點C，過點C作CD⊥OB交AB于點D，則PC+PD的最小值為 　2　．

【答案】5．
【解析】解：延長CO交⊙O于點E，連接ED，則PC+PD的值最小．

∵CD⊥OB，
∴∠DCB＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠DCB＝∠AOB，
∴CD∥AO，
∴＝，
∴＝，
∴CD＝2，
在Rt△CDE中，DE＝＝，
∴PC+PD的最小值為2．
17．（2021?廣元）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格圖中，已知點A、B、C、D、O均在格點上，點E是線段CD與⊙O的交點．則∠BAE的正切值為 　?。?br />
【答案】．
【解析】解：由題意可得，∠BDE＝∠BAE，
在Rt△BDC中，∠DBC＝90°，
∴tan∠BDC＝＝＝，
∴tan∠BAE＝．
18．（2021?宿遷）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點B、C在⊙O上，邊AB、AC分別交⊙O于D、E兩點的中點，則∠ABE＝　13°　．

【解析】解：如圖，連接DC，
∵∠DBC＝90°，
∴DC是⊙O的直徑，
∵點B是的中點，
∴∠BCD＝∠BDC＝45°，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣32°＝58°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝58°﹣45°＝13°＝∠ABE，
19．（2021?天津）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，△ABC的頂點A，點B在網(wǎng)格線上．
（Ⅰ）線段AC的長等于 　?。?br /> （Ⅱ）以AB為直徑的半圓的圓心為O，在線段AB上有一點P，滿足AP＝AC．請用無刻度的直尺，畫出點P，并簡要說明點P的位置是如何找到的（不要求證明） 　取BC與網(wǎng)格線的交點D，連接OD延長OD交⊙O于點E，連接AE交BC于點G，連接BE，延長AC交BE的延長線于F，連接FG延長FG交AB于點P，點P即為所求?。?br />
【答案】．（Ⅰ）
（Ⅱ）如圖，取BC與網(wǎng)格線的交點D，則點D為BC中點，連接OD并延長OD交⊙O于點E，連接AE交BC于點G，連接BE，延長AC交BE的延長線于F，則OE為△BFA的中位線，則AB＝AF，連接FG延長FG交AB于點P，則BG＝FG，∠AFG＝∠ABG，即△FAP≌△BAC，則點P即為所求．

【解析】解：（Ⅰ）AC＝＝．
（Ⅱ）如圖，點P即為所求．

五．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（共3小題）
20．（2021?寧夏）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠ADC＝150°，則⊙O的半徑等于 　2?。?br />
即⊙O的半徑為3．
【答案】2．
【解析】解：連接OA，OC，

∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠ADC＝150°，
∴∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△OAC為等邊三角形，
∴OA＝AC＝2，
21．（2021?鹽城）如圖，在⊙O內(nèi)接四邊形ABCD中，若∠ABC＝100°　80　°．

【答案】80．
【解析】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣100°＝80°．
22．（2021?常德）如圖，已知四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，∠BOD＝80°　140°?。?br />
【答案】140°．
【解析】解：∵∠BAD為所對的圓周角且∠BOD＝80°，
∴∠BAD＝＝＝40°，
又∵四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝180°﹣40°＝140°，
六．點與圓的位置關(guān)系（共2小題）
23．（2021?廣東）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，∠ADB＝45°，則線段CD長度的最小值為 　　．
【答案】．

【解析】解：如圖所示．
∵∠ADB＝45°，AB＝2，故圓心O在AB的右側(cè)），
當O、D、C三點共線時．
∵∠ADB＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∴△AOB為等腰直角三角形，
∴AO＝BO＝sin45°×AB＝．
∵∠OBA＝45°，∠ABC＝90°，
∴∠OBE＝45°，作OE⊥BC于點E，
∴△OBE為等腰直角三角形．
∴OE＝BE＝sin45°?OB＝8，
∴CE＝BC﹣BE＝3﹣1＝7，
在Rt△OEC中，
OC＝＝＝．
當O、D、C三點共線時，
CD最小為CD＝OC﹣OD＝．
24．（2021?青海）點P是非圓上一點，若點P到⊙O上的點的最小距離是4cm，最大距離是9cm　6.5cm或2.5cm?。?br /> 【答案】6.5cm或2.5cm．
【解析】解：分為兩種情況：

①當點在圓內(nèi)時，如圖1，
∵點到圓上的最小距離PB＝4cm，最大距離PA＝7cm，
∴直徑AB＝4+9＝13（cm），
∴半徑r＝6.5cm；
②當點在圓外時，如圖2，
∵點到圓上的最小距離PB＝7cm，最大距離PA＝9cm，
∴直徑AB＝9﹣2＝5（cm），
∴半徑r＝2.8cm．
綜上所述，圓O的半徑為6.5cm或8.5cm．
七．三角形的外接圓與外心（共6小題）
25．（2021?煙臺）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，點A，B，O在網(wǎng)格線的交點上　?。?br />
【答案】．

【解析】解：如圖，連接AO并延長交⊙O于D，
由圓周角定理得：∠ACB＝∠ADB，
由勾股定理得：AD＝＝2，
∴sin∠ACB＝sin∠ADB＝＝＝，
26．（2021?襄陽）點O是△ABC的外心，若∠BOC＝110°，則∠BAC為 　55°或125　°．
【答案】55°或125．
【解析】解：①△ABC是銳角三角形，如圖，

∵∠BOC＝110°，
∴∠BAC＝55°；
②△A′BC是鈍角三角形，如圖，
∵∠BAC+∠BA′C＝180°，
∴∠BA′C＝125°．
27．（2021?張家界）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠A＝50°，連接OD，OB，則∠BOD＝　50°?。?br />
【答案】50°
【解析】解：∵∠A＝50°，
∴∠BOC＝100°．
∵OB＝OC，
∴△OBC為等腰三角形，
又∵D為BC中點，
∴OD為BC上中線，
根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)可得OD為∠BOC的平分線，
∴∠BOD＝∠BOC＝50°．
28．（2021?隨州）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，連接AO并延長交⊙O于點D，則∠BAD的度數(shù)為 　40°?。?br />
【答案】40°．

【解析】解：連接BD，如圖．
∵AD為直徑，
∴∠ABD＝90°，
∵∠C與∠ADB所對的弧為，
∴∠ADB＝∠C＝50°．
∴∠BAD＝90°﹣∠ADB＝90°﹣50°＝40°．
29．（2021?安徽）如圖，圓O的半徑為1，△ABC內(nèi)接于圓O．若∠A＝60°，則AB＝　?。?br />
【答案】．
【解析】解：如圖，連接OA，

在△ABC中，∠BAC＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∵OA＝OB，
∴△OAB是等腰直角三角形，
∴AB＝OA＝．
30．（2021?黑龍江）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠CAB＝30°，CD⊥AB于點D，若⊙O的半徑為2　?。?br />
【答案】．

【解析】解：連接CO，OB，
則∠O＝2∠A＝60°，
∵OC＝OB，
∴△BOC是等邊三角形，
∵⊙O的半徑為2，
∴BC＝8，
∵CD⊥AB，∠CBA＝45°，
∴CD＝BC＝，
八．切線的性質(zhì)（共12小題）
31．（2021?荊州）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，連接OC，過點D作DF∥OC交AB于F，DF＝，則BE＝　　．

【答案】．
【解析】解：∵OD⊥AC，AD＝4，
∴AD＝DC＝4，
∵DF∥OC，DF＝，
∴OC＝2DF＝3，
在Rt△COD中，OD＝＝，
∵BE是⊙O的切線，
∴AB⊥BE，
∵OD⊥AD，
∴∠ADO＝∠ABE，
∵∠OAD＝∠EAB，
∴△AOD∽△AEB，
∴＝，即＝，
解得：BE＝，
32．（2021?河池）如圖，在平面直角坐標系中，以M（2，3），AB為直徑的圓與x軸相切，與y軸交于A，則點B的坐標是 ?。?，3﹣）　．

【答案】（4，3﹣）．

【解析】解：設(shè)以AB為直徑的圓與x軸相切于點D，連接MD，
則MD⊥x軸，
∵點M的坐標為（2，3），
∴CE＝BE＝6，BM＝DM＝3，
∵AB為圓的直徑，
∴AC⊥BC，
∴BC∥x軸，
∴MD⊥BC，
∴BC＝2CE＝8，CE＝BE＝2，
在Rt△BME中，由勾股定理得：ME＝＝＝，
∴DE＝MD﹣ME＝8﹣，
∴點B的坐標為（4，3﹣），
33．（2021?泰州）如圖，平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（8，5），點P在y軸正半軸上，PB與⊙A相切于點B．若∠APB＝30°　（0，11）?。?br />
【答案】（5，11）．
【解析】解：過點A分別作AC⊥x軸于點C、AD⊥y軸于點D，
當點P在點D是上方時，如圖，

∵AD⊥y軸，AC⊥x軸，
∴四邊形ADOC為矩形，
∴AC＝OD，OC＝AD，
∵⊙A與x軸相切，
∴AC為⊙A的半徑，
∵點A坐標為（8，5），
∴AC＝OD＝8，OC＝AD＝8，
∵PB是切線，
∴AB⊥PB，
∵∠APB＝30°，
∴PA＝2AB＝10，
在Rt△PAD中，根據(jù)勾股定理得，
PD＝＝＝6，
∴OP＝PD+DO＝11，
∵點P在y軸的正半軸上，
∴點P坐標為（0，11），
34．（2021?包頭）如圖，在?ABCD中，AD＝12，連接OC．若OC＝AB，則?ABCD的周長為 　24+6　．

【答案】24+5．
【解析】解：連接OE，過點C作CF⊥AD交AD于點F，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∴∠EOD+∠OEC＝180°，
∵⊙O與BC相切于點E，
∴OE⊥BC，
∴∠OEC＝90°
∴∠EOD＝90°，
∵CF⊥AD，
∴∠CFO＝90°，
∴四邊形OECF為矩形，
∴FC＝OE，
∵AD為直徑，AD＝12，
∴FC＝OE＝OD＝AD＝5，
∵OC＝AB，CF⊥AD，
∴OF＝OD＝5，
在Rt△OFC中，由勾股定理得，
OC2＝OF2+FC7＝32+42＝45，
∴AB＝OC＝3，
∴?ABCD的周長為12+12+3+5，
35．（2021?廣西）如圖，從一塊邊長為2，∠A＝120°的菱形鐵片上剪出一個扇形（陰影部分），且圓弧與BC，CD分別相切于點E，F(xiàn)，則圓錐的底面圓半徑是 　　．

【答案】．

【解析】解：連接AC、AE，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴∠BAC＝∠BAD＝，AB＝BC，
∴△ABC為等邊三角形，
∵圓弧與BC相切于E，
∴AE⊥BC，
∴BE＝CE＝1，
∴AE＝＝＝，
設(shè)圓錐的底面圓半徑為r，
根據(jù)題意得2πr＝，解得r＝，
即圓錐的底面圓半徑為．
36．（2021?北京）如圖，PA，PB是⊙O的切線，A，則∠AOB＝　130°?。?br />
【答案】130°．
【解析】解：∵PA，PB是⊙O的切線，A，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠OAP+∠AOB+∠OBP+∠P＝360°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°．
37．（2021?南京）如圖，F(xiàn)A，GB，ID，JE是五邊形ABCDE的外接圓的切線　180　°．

【答案】180．

【解析】解：如圖，設(shè)圓心為O，OB，OD和OE，
∵FA，GB，ID，
∴∠OAF＝∠OBG＝∠OCH＝∠ODI＝∠OEJ＝90°，
即（∠BAF+∠OAB）+（∠CBG+∠OBC）+（∠DCH+∠OCD）+（∠EDI+∠ODE）+（∠AEJ+∠OEA）＝90°×5＝450°，
∵OA＝OB＝OC＝OD＝OE，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OBC＝∠OCB，∠ODE＝∠OED，
∴∠OAB+∠OBC+∠OCD+∠ODE+∠OEA＝×五邊形ABCDE內(nèi)角和＝，
∴∠BAF+∠CBG+∠DCH+∠EDI+∠AEJ＝（∠BAF+∠OAB）+（∠CBG+∠OBC）+（∠DCH+∠OCD）+（∠EDI+∠ODE）+（∠AEJ+∠OEA）﹣（∠OAB+∠OBC+∠OCD+∠ODE+∠OEA）＝450°﹣270°＝180°，
38．（2021?陜西）如圖，正方形ABCD的邊長為4，⊙O的半徑為1．若⊙O在正方形ABCD內(nèi)平移（⊙O可以與該正方形的邊相切）　3+1?。?br />
【答案】3+3．

【解析】解：當⊙O與CB、CD相切時，如圖，
過O點作OE⊥BC于E，OF⊥CD于F，
∴OE＝OF＝1，
∴OC平分∠BCD，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴點O在AC上，
∵AC＝BC＝2OE＝，
∴AQ＝OA+OQ＝4﹣+1＝3，
即點A到⊙O上的點的距離的最大值為3+7，
39．（2021?杭州）如圖，已知⊙O的半徑為1，點P是⊙O外一點，T為切點，連結(jié)OT　?。?br />
【解析】解：∵PT是⊙O的切線，T為切點，
∴OT⊥PT，
在Rt△OPT中，OT＝1，
∴PT＝＝＝，
故：PT＝．
40．（2021?寧波）抖空竹在我國有著悠久的歷史，是國家級的非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一．如圖，AC，D，延長AC，BD交于點P．若∠P＝120°，則圖中的長為 　2π　cm．（結(jié)果保留π）

【答案】2π．

【解析】解：如圖所示，連接OC，
∵AC，BD分別與⊙O相切于點C，D，
∴∠OCP＝∠ODP＝90°，
由四邊形內(nèi)角和為360°可得，
∠COD＝360°﹣∠OCP﹣∠ODP﹣∠CPD
＝360°﹣90°﹣90°﹣120°
＝60°．
∴的長＝．
41．（2021?溫州）如圖，⊙O與△OAB的邊AB相切，切點為B．將△OAB繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△O′A′B，邊A′B交線段AO于點C．若∠A′＝25°，則∠OCB＝　85　度．

【答案】85．

【解析】解：∵⊙O與△OAB的邊AB相切，
∴OB⊥AB，
∴∠OBA＝90°，
連接OO′，如圖，
∵△OAB繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△O′A′B，
∴∠A＝∠A′＝25°，∠ABA′＝∠OBO′，
∵OB＝OO′，
∴△OO′B為等邊三角形，
∴∠OBO′＝60°，
∴∠ABA′＝60°，
∴∠OCB＝∠A+∠ABC＝25°+60°＝85°．
42．（2021?涼山州）如圖，等邊三角形ABC的邊長為4，⊙C的半徑為，過點P作⊙C的切線PQ，切點為Q　3　．

【答案】3．

【解析】解：連接CP、CQ，如圖，
∵等邊三角形ABC的邊長為4，
∴AB＝CB＝4，∠BCH＝60°＝30°，
∴BH＝AB＝3BC＝，
∵PQ為⊙C的切線，
∴CQ⊥PQ，
在Rt△CPQ中，PQ＝＝，
∵點P是AB邊上一動點，
∴當點P運動到H點時，CP最小，
即CP的最小值為2，
∴PQ的最小值為＝3，
九．切線的判定與性質(zhì)（共1小題）
43．（2021?濰坊）如圖，在直角坐標系中，點A是函數(shù)y＝﹣x圖象l上的動點，1為半徑作⊙A．已知點B（﹣4，0），連接AB，當⊙A與兩坐標軸同時相切時，tan∠ABO的值可能為 　B或D?。?br /> A.3
B.
C.5
D.

【答案】B或D．

【解析】解：如圖，當⊙A在第二象限，連接AM，
在Rt△ABM中，AM＝1＝OM，
∴tan∠ABO＝＝；
當⊙A在第四象限，與兩坐標軸同時相切時，A′B
在Rt△A′BM′中，A′M′＝1＝OM′，
∴tan∠A′BO＝＝；

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