2021-2022學(xué)年江蘇省揚(yáng)州市高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若全集，集合，，則（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)補(bǔ)集和交集的定義即可得解.【詳解】解：因?yàn)?/span>，集合，，所以，所以.故選：B.2．已知，則“”是“”的（       ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】根據(jù)充分與必要條件的概念，舉例判斷即可【詳解】當(dāng)時(shí)，滿足，但不滿足；又當(dāng)時(shí)，滿足，但不滿足.故“”是“”的既不充分也不必要條件故選：D3．甲、乙分別從《揚(yáng)州民間藝術(shù)》、《揚(yáng)州鹽商文化》、《揚(yáng)州評話》和《大運(yùn)河的前世今生》4門課程中選修1門，且2人選修的課程不同，則不同的選法有（       ）種.A．6 B．8 C．12 D．16【答案】C【分析】由于兩人選不同，屬于排列，計(jì)算結(jié)果即可.【詳解】甲、乙2位同學(xué)分別從4門課程中選修1門，且2人選修的課程不同，則有種.故選：C.4．如圖，平行六面體的底面是邊長為1的正方形，且，，則線段的長為（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先以為基底表示空間向量，再利用數(shù)量積運(yùn)算律求解.【詳解】解：，，，，所以，故選：B5．某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出（單位：萬元）與銷售額（單位：萬元）之間有如下對應(yīng)數(shù)據(jù)：2456830405070 已知關(guān)于的線性回歸方程，現(xiàn)有四個(gè)命題：甲：根據(jù)模型預(yù)測當(dāng)時(shí)，的估計(jì)值為35；乙：；丙：這組數(shù)據(jù)的樣本中心為；?。?/span>.如果只有一個(gè)假命題，則該命題是（       ）A．甲 B．乙 C．丙????????????? D．丁【答案】A【分析】先假設(shè)，然后逐項(xiàng)驗(yàn)證即可【詳解】,若,則,數(shù)據(jù)的樣本中心為則,得根據(jù)模型預(yù)測當(dāng)時(shí),的估計(jì)值為37即乙丙丁為真命題,甲為假命題故選：A6．已知函數(shù)，則（       ）A．－12 B．12 C．－26 D．26【答案】A【分析】求導(dǎo)代入可得，進(jìn)而求得即可【詳解】，故，解得，故，故故選：A7．已知過原點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖像有兩個(gè)公共點(diǎn)，則該直線斜率的取值范圍（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】畫出函數(shù)圖象并分別求出和兩段圖象的切線方程，由交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可求出斜率的范圍.【詳解】設(shè)過原點(diǎn)與相切的于點(diǎn)，，則斜率為，此切線方程為，將原點(diǎn)帶入得，即斜率為，當(dāng)斜率時(shí)函數(shù)與過原點(diǎn)的直線有兩個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)過原點(diǎn)與相切的于點(diǎn)，，則斜率為，此切線方程為，將原點(diǎn)帶入得，即斜率為，當(dāng)斜率時(shí)函數(shù)與過原點(diǎn)的直線有兩個(gè)公共點(diǎn)，故選：B.8．托馬斯·貝葉斯（Thomas Bayes）在研究“逆向概率”的問題中得到了一個(gè)公式：，這個(gè)公式被稱為貝葉斯公式（貝葉斯定理），其中稱為的全概率.假設(shè)甲袋中有3個(gè)白球和3個(gè)紅球，乙袋中有2個(gè)白球和2個(gè)紅球.現(xiàn)從甲袋中任取2個(gè)球放入乙袋，再從乙袋中任取2個(gè)球.已知從乙袋中取出的是2個(gè)紅球，則從甲袋中取出的也是2個(gè)紅球的概率為（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，先分析求解設(shè)從甲中取出個(gè)球，其中紅球的個(gè)數(shù)為個(gè)的事件為，事件的概率為，從乙中取出個(gè)球，其中紅球的個(gè)數(shù)為2個(gè)的事件為，事件的概率為，再分別分析三種情況求解即可【詳解】設(shè)從甲中取出個(gè)球，其中紅球的個(gè)數(shù)為個(gè)的事件為，事件的概率為，從乙中取出個(gè)球，其中紅球的個(gè)數(shù)為2個(gè)的事件為，事件的概率為，由題意：①，；②，；③，；根據(jù)貝葉斯公式可得，從乙袋中取出的是2個(gè)紅球，則從甲袋中取出的也是2個(gè)紅球的概率為故選：C二、多選題9．已知奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義域、值域均為，則（       ）A．是奇函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是偶函數(shù) D．是偶函數(shù)【答案】BD【分析】根據(jù)奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義逐一判斷即可【詳解】對于A選項(xiàng)，因?yàn)?/span>且，所以既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤對于B選項(xiàng)，因?yàn)?/span>，所以是奇函數(shù)，故B正確對于C選項(xiàng)，因?yàn)?/span>，所以是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤對于D選項(xiàng)，因?yàn)?/span>，所以是偶函數(shù)，故D正確故選：BD10．現(xiàn)有2名男同學(xué)與3名女同學(xué)排成一排，則（       ）A．女生甲不在排頭的排法總數(shù)為24B．男女生相間的排法總數(shù)為12C．女生甲、乙相鄰的排法總數(shù)為48D．女生甲、乙不相鄰的排法總數(shù)為72【答案】BCD【分析】A. 利用排除法求解判斷； B.利用插空法求解判斷；C.利用捆綁法求解判斷；D.利用插空法求解判斷.【詳解】A. 女生甲在排頭的排法有，所以女生甲不在排頭的排法總數(shù)為，故錯(cuò)誤；B. 2名男同學(xué)全排列為種，產(chǎn)生3個(gè)空，再將3名女同學(xué)排上有種，所以男女生相間的排法總數(shù)為，故正確；C.女生甲、乙相鄰看作一個(gè)元素，則種，女生甲、乙再排列有種，所以女生甲、乙相鄰的排法總數(shù)為種，故正確； D.除女生甲、乙以外3人全排列有種，產(chǎn)生4個(gè)空，再將女生甲、乙排上有種，所以女生甲、乙不相鄰的排法總數(shù)種，故正確故選：BCD11．已知正方體、的棱長為1，點(diǎn)是對角線、上異于、的動點(diǎn)，則（       ）A．當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，異面直線與所成角的余弦值為B．當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，、、、四點(diǎn)共面C．當(dāng)平面時(shí)，D．當(dāng)平面時(shí)，【答案】ACD【分析】對AB，連接，，則異面直線與所成角即與所成角，從而判斷A，再根據(jù)平面可判斷B；對CD，根據(jù)線面平行的判定可得平面平面，進(jìn)而得到當(dāng)平面時(shí)為與平面的交點(diǎn).結(jié)合線面垂直的判定與性質(zhì)可得，進(jìn)而結(jié)合三角函數(shù)的關(guān)系求得【詳解】對AB，當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，連接，易得三點(diǎn)共線，連接，則異面直線與所成角即與所成角，因?yàn)?/span>，故A正確；此時(shí)顯然平面，故、、、四點(diǎn)不共面，故B錯(cuò)誤；對CD，連接，由正方體的性質(zhì)可得，則平面平面.又平面，故為與平面的交點(diǎn).又，故平面，故，同理可得，故平面，故.故D正確；故，所以，故，故C正確；故選：ACD12．若過點(diǎn)最多可以作出條直線與函數(shù)的圖像相切，則（       ）A．可以等于2022 B．不可以等于3C． D．時(shí)，【答案】AD【分析】設(shè)過點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖像相切時(shí)的切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而可得過點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖像相切的切線條數(shù)即為直線與曲線的圖象的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，畫出函數(shù)的大致圖象，利用數(shù)形結(jié)合可得不同取值時(shí)的取值，結(jié)合選項(xiàng)分析即得.【詳解】設(shè)過點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖像相切時(shí)的切點(diǎn)為，則，因?yàn)?/span>，，所以切線方程為，又在切線上，所以，整理得，令，則過點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖像相切的切線條數(shù)即為直線與曲線的圖象的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，因?yàn)?/span>，令，得，所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，因?yàn)?/span>，，，所以，函數(shù)的圖像大致如圖由圖可知當(dāng)時(shí)，直線與曲線的圖像沒有公共點(diǎn)，即，當(dāng)或時(shí)，直線與曲線的圖像有1個(gè)公共點(diǎn)，即，當(dāng)時(shí)，直線與曲線的圖像有2個(gè)公共點(diǎn)，即，當(dāng)時(shí)，直線與曲線的圖像有3個(gè)公共點(diǎn)，即，對于A，當(dāng)，此時(shí)，則符合題意，故A正確；對于B，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；對于C，當(dāng)時(shí)，，則，故C錯(cuò)誤；對于D，當(dāng)或時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，故D正確.故選：AD.三、填空題13．如果隨機(jī)變量，且，則_________.【答案】0.3【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求解即可【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量，故故答案為：14．已知是平面的一個(gè)法向量，點(diǎn)在平面內(nèi)，則點(diǎn)到平面的距離為_________.【答案】【分析】利用空間向量求點(diǎn)到平面的距離即可.【詳解】由題可得，又是平面的一個(gè)法向量，∴則點(diǎn)P到平面的距離為.故答案為：.15．已知，，若對，，使得，則實(shí)數(shù)的最小值為_________.【答案】【分析】依題意可知，分別求出及，列式即可求解【詳解】依題意可知則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減所以在上單調(diào)遞增，則所以，所以，即的最小值為故答案為：16．正四棱柱中，，，點(diǎn)為側(cè)面上一動點(diǎn)（不含邊界），且滿足.記直線與平面所成的角為，則的取值范圍為_________.【答案】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由，得到，根據(jù)，得到或，然后利用線面角的向量求法求解.【詳解】解：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，設(shè)，所以，因?yàn)?/span>，所以，則，因?yàn)?/span>，則，解得或，易知平面的一個(gè)法向量為，所以，則，所以，故答案為：.四、解答題17．設(shè)：，：.(1)若，且、均為真命題，求滿足條件的實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合；(2)若是的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）當(dāng)時(shí)，分別化簡與，再取交集即得所求（2）是的充分條件，則所表示的取值范圍是所表示的取值范圍的子集，利用集合的包含關(guān)系即可求解【詳解】(1)因?yàn)?/span>：，：，即，所以、均為真命題，則取公共部分得實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合為；(2)（2）因?yàn)?/span>是的充分條件，且：，：，所以，所以，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.18．已知的展開式中，_________.現(xiàn)在有以下三個(gè)條件：條件①：第4項(xiàng)和第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比為；條件②：只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；條件③：其前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于56.請?jiān)谏厦嫒齻€(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在上面的橫線上，并解答下列問題：(1)求展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)的和；(2)求展開式中的常數(shù)項(xiàng).【答案】(1)1024(2)180【分析】（1）選條件①得到求解；選條件②得到求解；選條件③得到求解.（2）由（1）得到二項(xiàng)式為，再利用通項(xiàng)公式求解.【詳解】(1)解：選條件①：因?yàn)榈?/span>4項(xiàng)和第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比為；所以，即，即，解得（舍）或.所以展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)的和；選條件②：因?yàn)橹挥械?/span>6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；所以為偶數(shù)，且，解得.所以展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)的和；選條件③：因?yàn)槠淝叭?xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于56，所以，即，即，所以（舍）或.所以展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)的和；(2)由（1）二項(xiàng)式為，其通項(xiàng)公式為：，令，解得，所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.19．甲、乙、丙進(jìn)行乒乓球比賽，比賽規(guī)則如下：賽前抽簽決定先比賽的兩人，另一人輪空：每場比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場比賽，負(fù)者下一場輪空，直至有人累計(jì)勝兩場，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙先比賽，丙輪空.設(shè)比賽的場數(shù)為，且每場比賽雙方獲勝的概率都為.(1)求和；(2)求的標(biāo)準(zhǔn)差.【答案】(1)，(2)【分析】（1）分析，兩種情況下的勝負(fù)關(guān)系，再根據(jù)概率的公式求解即可；（2）根據(jù)題意可得可能的取值為，再求解的概率，進(jìn)而根據(jù)均值和方差的公式求解即可【詳解】(1)：甲勝乙，甲勝丙，結(jié)果甲勝；乙勝甲，乙勝丙，結(jié)果乙勝.；：甲勝乙，丙勝甲，丙勝乙，結(jié)果丙勝；乙勝甲，丙勝乙，丙勝甲，結(jié)果丙勝..(2)根據(jù)題意可得可能的取值為.：甲勝乙，丙勝甲，乙勝丙，甲勝乙，結(jié)果甲勝；甲勝乙，丙勝甲，乙勝丙，乙勝甲，結(jié)果乙勝；乙勝甲，丙勝乙，甲勝丙，甲勝乙，結(jié)果甲勝；乙勝甲，丙勝乙，甲勝丙，乙勝甲，結(jié)果乙勝；.，，所以標(biāo)準(zhǔn)差為.20．如圖，四棱錐的底面是直角梯形，且，，，，正三角形所在平面與平面相互垂直，、分別為、的中點(diǎn).(1)求證：；(2)若二面角的余弦值為，求的值.【答案】(1)證明見解析；(2)6.【分析】（1）根據(jù)給定條件，證明，再利用線面垂直、面面垂直的性質(zhì)推理作答.（2）取的中點(diǎn)，連接，以O為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量求解作答.【詳解】(1)在四棱錐中，是正三角形，是的中點(diǎn)，則，又平面平面，平面平面，平面，則有平面，而平面，所以.(2)取的中點(diǎn)，連接，在直角梯形中，，、分別為、的中點(diǎn)，則，又，即有，由（1）知平面，又、平面，則，.以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，得，由（1）知，平面，則是平面的一個(gè)法向量，，因二面角的余弦值為，則，又，解得，的值是6.21．隨著科技的發(fā)展，看電子書刊的人越來越多在某市隨機(jī)選出200人進(jìn)行采訪，經(jīng)統(tǒng)計(jì)這200人中看電子書刊的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的（假設(shè)被采訪者只給出“看電子書刊”或“看紙質(zhì)書刊”兩種結(jié)果）.將這200人按年齡（單位：歲）分成五組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組.這200人中看紙質(zhì)書刊的人的年齡的頻數(shù)分布表如下：年齡頻數(shù)1522584213 (1)年齡在內(nèi)的稱為青壯年，年齡在內(nèi)的稱為中老年.若選出的200入中看電子書刊的中老年有10人.①請完成下面的列聯(lián)表，并判斷能否有95%的把握認(rèn)為看書刊的方式與年齡層有關(guān). 看電子書刊看紙質(zhì)書刊合計(jì)青壯年   中老年   合計(jì)  200 ②將頻率視為概率，現(xiàn)從該市所有青壯年和中老年人群中隨機(jī)采訪三人，求這三人中恰有兩人為中老年且看電子書刊的概率；(2)該市倡議：書香戰(zhàn)“疫”，以“讀”攻毒，同時(shí)許多人呼吁“回歸紙質(zhì)書刊”該市現(xiàn)有報(bào)刊亭每天早上從報(bào)刊發(fā)行處購進(jìn)某報(bào)紙后零售，且規(guī)定的零售價(jià)格是1.5元/份.若晚上報(bào)紙賣不完，則可再退回發(fā)行處，此時(shí)退回的價(jià)格是0.4元/份.有一報(bào)刊亭根據(jù)市場調(diào)研，每天的需求量及其概率情況如下：每天的需求量（單位：份）300400500600概率0.10.30.40.2 報(bào)刊發(fā)行處每100份報(bào)紙為一包，并規(guī)定報(bào)刊亭只能整包購進(jìn)，每包價(jià)格為100元.請為該報(bào)刊亭籌劃一下，應(yīng)該如何確定每天購進(jìn)報(bào)紙的包數(shù)（，且），使得日收益的數(shù)學(xué)期望最大.附參考公式：（其中）.參考數(shù)據(jù)：0.100.050.0250.010.0.0050.0012.7063.8415.024.6.6357.87910.828 【答案】(1)①表格見解析，有95%的把握認(rèn)為看書刊方式與年齡層有關(guān)；②(2)【分析】(1)根據(jù)數(shù)據(jù)列表計(jì)算即可；(2)分別求出， ，，時(shí)，的值比較即可.【詳解】(1)①填寫列聯(lián)表如下： 看電子書刊看紙質(zhì)書刊合計(jì)青壯年4095135中老年105565合計(jì)50150200 假設(shè)：看書刊的方式與年齡層沒有關(guān)系.根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可以求得，由于，且當(dāng)成立時(shí)，，所以有95%的把握認(rèn)為看書刊方式與年齡層有關(guān).②隨機(jī)采訪的一人為中老年且看電子書刊的概率為，且每次采訪相互獨(dú)立，所以這三人中恰有兩人為中老年且看電子書刊的概率為.(2)時(shí)，（元）；時(shí)，（元）；時(shí)，（元）；時(shí)，（元）.綜上所述，當(dāng)時(shí)，利潤的數(shù)學(xué)期望最大.22．已知函數(shù)，.(1)令上，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若對于任意的，恒成立，試探究是否存在極大值?若存在，求極大值點(diǎn)的取值范圍；若不存在，請說明理由.【答案】(1)見解析(2)存在，【分析】（1）對參數(shù)分，討論即可（2）通過隱零點(diǎn)代換找出與的關(guān)系，得到關(guān)于的不等式，解不等式即可【詳解】(1)由題可知,.若的單調(diào)遞減區(qū)間是,無增區(qū)間若當(dāng)當(dāng)所以的單遞減區(qū)間是,單調(diào)增區(qū)間是(2)因?yàn)閷τ谌我獾?/span>恒成立所以,所以因?yàn)?/span>,記則,所以單調(diào)遞減又所以存在,使得,即當(dāng)在上單調(diào)遞增當(dāng)在上單調(diào)遞減所以當(dāng)時(shí),取極大值令則對于任意的恒成立,所以        又因,所以,所以化簡不等式,可得又,所以所以極大值點(diǎn)的取值范圍為【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題有一個(gè)關(guān)鍵是取點(diǎn)，即 

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