?專題12 矩形、菱形和正方形復(fù)習(xí)考點(diǎn)攻略

考點(diǎn)一 矩形
1．矩形的性質(zhì)：
（1）四個(gè)角都是直角；
（2）對(duì)角線相等且互相平分；
（3）面積=長(zhǎng)×寬=2S△ABD=4S△AOB．（如圖）

2．矩形的判定：
（1）有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；
（2）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；
（3）對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形．
【例1】如圖，在矩形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，連接，若，，則的長(zhǎng)是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AC=BD，OA=OC=OD=OB，
∵，，∴AC= ∴BD=10cm，∴，
∵點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，∴．
故選：D．
【例2】如圖，已知平行四邊形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且AF＝AD，連接BF，求證：四邊形ABFC是矩形．

【答案】見解析
【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形∴
∴
∵E為BC的中點(diǎn)∴∴∴
∵∴四邊形ABFC是平行四邊形
∴平行四邊形ABFC是矩形．

考點(diǎn)二 菱形
1．菱形的性質(zhì)：
（1）四邊相等；
（2）對(duì)角線互相垂直、平分，一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；
（3）面積=底×高=對(duì)角線乘積的一半．
2．菱形的判定：
（1）有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；
（2）對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；
（3）四條邊都相等的四邊形是菱形．
【例3】如圖，在菱形中，，點(diǎn)在上，若，則__________．

【答案】115°
【解析】解：四邊形ABCD是菱形，，∴AB∥CD，
∴∠BCD=180°-∠B=130°，∠ACE=∠BCD=65°，
∵ ，∴∠ACE=∠AEC=65°，∴∠BAE=180°-∠AEC=115°．
【例4】如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求證：四邊形AEDF是菱形．

【答案】見解析
【解析】∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四邊形AEDF為平行四邊形，
∴∠FAD=∠EDA，
∵AD是∠BAC的平分線，∴∠EAD=∠FAD，∴∠EAD=∠EDA，
∴AE=ED，∴四邊形AEDF是菱形．
考點(diǎn)三 正方形
1．正方形的性質(zhì)：
（1）四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；
（2）對(duì)角線相等且互相垂直平分；
（3）面積=邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)=2S△ABD=4S△AOB．
2．正方形的判定：
（1）有一個(gè)角是直角，且有一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形；
（2）一組鄰邊相等的矩形是正方形；
（3）一個(gè)角是直角的菱形是正方形；
（4）對(duì)角線相等且互相垂直、平分的四邊形是正方形．
【例5】如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E.F分別在邊CD，AD上，BE與CF交于點(diǎn)G．若BC=4，DE=AF=1，則GF的長(zhǎng)為（ ）



A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】正方形ABCD中，∵BC=4，
∴BC=CD=AD=4，∠BCE=∠CDF=90°，
∵AF=DE=1，∴DF=CE=3，∴BE=CF=5，
在△BCE和△CDF中，，
∴△BCE≌△CDF（SAS），∴∠CBE=∠DCF，
∵∠CBE+∠CEB=∠ECG+∠CEB=90°=∠CGE，
cos∠CBE=cos∠ECG=，
∴，CG=，∴GF=CF﹣CG=5﹣=，
故選A．
【例6】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將邊長(zhǎng)為1的正方形OABC繞點(diǎn)O順
時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，繞點(diǎn)O連續(xù)旋轉(zhuǎn)2019次得到正方形
OA2019B2019C2019，那么點(diǎn)A2019的坐標(biāo)是（　　）

A．（，﹣） B．（1，0） C．（﹣，﹣） D．（0，﹣1）
【答案】A.
【解析】解：∵四邊形OABC是正方形，且OA＝1，
∴A（0，1），
∵將正方形OABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形OA1B1C1，
∴A1（，），A2（1，0），A3（，﹣），…，
發(fā)現(xiàn)是8次一循環(huán)，所以2019÷8＝252…余3，
∴點(diǎn)A2019的坐標(biāo)為（，﹣）
故選：A．


考點(diǎn)四 四邊形、平行四邊形和特殊四邊形的關(guān)系

①兩組對(duì)邊分別平行；②相鄰兩邊相等；③有一個(gè)角是直角；④有一個(gè)角是直角；⑤相鄰兩邊相等；⑥有一個(gè)角是直角，相鄰兩邊相等；⑦四邊相等；⑧有三個(gè)角都是直角．
【例7】如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，AC、BD是對(duì)角線 ，E、F、G、H分別是AD、BD、BC、AC的中點(diǎn)，連接EF、FG、GH、HE，則四邊形EFGH的形狀是（ ）
A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形

【答案】C
【解析】由點(diǎn)E、F、G、H分別是任意四邊形ABCD中AD、BD、BC、CA的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線性質(zhì)，得EF＝GH＝AB，EH＝FG＝CD，又由AB=CD，得EF＝FG＝GH＝EH時(shí)，四邊形EFGH是菱形．
∵點(diǎn)E、F、G、H分別是任意四邊形ABCD中AD、BD、BC、CA的中點(diǎn)，∴EF＝GH＝AB，EH＝FG＝CD，∵AB=CD，∴EF＝FG＝GH＝EH時(shí)，四邊形EFGH是菱形，故選C．
考點(diǎn)五 中點(diǎn)四邊形
（1）任意四邊形所得到的中點(diǎn)四邊形一定是平行四邊形.
（2）對(duì)角線相等的四邊形所得到的中點(diǎn)四邊形是矩形.
（3）對(duì)角線互相垂直的四邊形所得到的中點(diǎn)四邊形是菱形.
（4）對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形所得到的中點(diǎn)四邊形是正方形.
【例8】如果順次連接四邊形的各邊中點(diǎn)得到的四邊形是矩形，那么原來四邊形的對(duì)角線一定滿足的條件是（ ）
A．互相平分 B．相等 C．互相垂直 D．互相垂直平分
【答案】C
【解析】
根據(jù)題意畫出圖形如下：答：AC與BD 的位置關(guān)系是互相垂直．
證明：∵四邊形EFGH是矩形，∴∠FEH=90°，
又∵點(diǎn)E、F、分別是AD、AB、各邊的中點(diǎn)，∴EF是三角形ABD的中位線，
∴EF∥BD，∴∠FEH=∠OMH=90°，
又∵點(diǎn)E、H分別是AD、CD各邊的中點(diǎn)，∴EH是三角形ACD的中位線，
∴EH∥AC，∴∠OMH=∠COB=90°，即AC⊥BD．故選C．


第一部分 選擇題
一、選擇題（本題有10小題，每題4分，共40分）
1.如圖，在平行四邊形ABCD中，M、N是BD上兩點(diǎn)，BM＝DN，連接AM、MC、CN、NA，添加一個(gè)條件，使四邊形AMCN是矩形，這個(gè)條件是（　?。?br />
A．OM＝AC B．MB＝MO C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND
【答案】A
【解析】由平行四邊形的性質(zhì)可知：OA＝OC，OB＝OD，再證明OM＝ON即可證明四邊形AMCN是平行四邊形．
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA＝OC，OB＝OD
∵對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)M、N滿足BM＝DN，
∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，
∴四邊形AMCN是平行四邊形，
∵OM＝AC，
∴MN＝AC，
∴四邊形AMCN是矩形．
2. 如圖，四邊形ABCD為菱形，AB＝2，∠DAB＝60°，點(diǎn)E、F分別在邊DC、BC上，且CE＝CD，CF＝CB，則S△CEF＝（　?。?br />
A． B． C． D．
【答案】D．
【解答】∵四邊形ABCD為菱形，AB＝2，∠DAB＝60°
∴AB＝BC＝CD＝2，∠DCB＝60°
∵CE＝CD，CF＝CB
∴CE＝CF＝
∴△CEF為等邊三角形
∴S△CEF＝＝

3.順次連接菱形四邊的中點(diǎn)得到的四邊形一定是（ ）
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．以上都不對(duì)
【答案】C
【解析】解：如圖，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∵E，F(xiàn)，G，H是中點(diǎn)，∴EF∥BD，F(xiàn)G∥AC，∴EF⊥FG，
同理：FG⊥HG，GH⊥EH，HE⊥EF，∴四邊形EFGH是矩形．故選：C．


4.把邊長(zhǎng)分別為1和2的兩個(gè)正方形按圖的方式放置.則圖中陰影部分的面積為（ ）



【答案】A
【解析】陰影部分面積=1××=

5. 如圖為矩形ABCD，一條直線將該矩形分割成兩個(gè)多邊形，若這兩個(gè)多邊形的內(nèi)角和分別為a和b，則a+b不可能是（　?。?br />
A．360° B．540° C．630° D．720°
【答案】C．
【解析】一條直線將該矩形ABCD分割成兩個(gè)多邊形，每一個(gè)多邊形的內(nèi)角和都是180°的
倍數(shù)，都能被180整除，分析四個(gè)答案，
只有630不能被180整除，所以a+b不可能是630°．


6. 如圖，矩形ABCD中，對(duì)角線AC的垂直平分線EF分別交BC，AD于點(diǎn)E，F(xiàn)，若BE＝3，AF＝5，則AC的長(zhǎng)為（　?。?br />
A．4 B．4 C．10 D．8
【答案】A
【解析】連接AE，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出OA＝OC，AE＝CE，證明△AOF≌△COE得出AF＝CE＝5，得出AE＝CE＝5，BC＝BE+CE＝8，由勾股定理求出AB＝＝4，再由勾股定理求出AC即可．
連接AE，如圖：
∵EF是AC的垂直平分線，
∴OA＝OC，AE＝CE，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
在△AOF和△COE中，，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF＝CE＝5，
∴AE＝CE＝5，BC＝BE+CE＝3+5＝8，
∴AB＝＝＝4，
∴AC＝＝＝4；
故選：A．

7.如圖，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，過點(diǎn)D作DE⊥BA，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則線段DE的長(zhǎng)為（　?。?br />
A． B． C．4 D．
【答案】D
【詳解】解：記AC與BD的交點(diǎn)為，菱形,
菱形的面積
菱形的面積
故選D．

8. 如果順次連接四邊形的各邊中點(diǎn)得到的四邊形是矩形，那么原來四邊形的對(duì)角線一定滿足的條件是（ ）
A．互相平分 B．相等 C．互相垂直 D．互相垂直平分
【答案】C
【解析】根據(jù)題意畫出圖形如下：答：AC與BD 的位置關(guān)系是互相垂直．
證明：∵四邊形EFGH是矩形，∴∠FEH=90°，
又∵點(diǎn)E、F、分別是AD、AB、各邊的中點(diǎn)，∴EF是三角形ABD的中位線，
∴EF∥BD，∴∠FEH=∠OMH=90°，
又∵點(diǎn)E、H分別是AD、CD各邊的中點(diǎn)，∴EH是三角形ACD的中位線，
∴EH∥AC，∴∠OMH=∠COB=90°，即AC⊥BD．故選C．


9. 如圖，在中，，高，正方形一邊在上，點(diǎn)分別在上，交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：∵四邊形EFGH是正方形，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴．
設(shè)AN=x，則EF=FG=DN=60-x，∴解得：x=20所以，AN=20．故選：B．
10. 如圖①，E為矩形ABCD的邊AD上一點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿折線B﹣E﹣D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D停止，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，它們的運(yùn)動(dòng)速度都是1cm/s．現(xiàn)P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s），△BPQ的面積為y（cm2），若y與x的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖②所示，則矩形ABCD的面積是（　　）

A．96cm2 B．84cm2 C．72cm2 D．56cm2
【答案】C
【解析】解：從函數(shù)的圖象和運(yùn)動(dòng)的過程可以得出：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E時(shí)，x＝10，y＝30，
過點(diǎn)E作EH⊥BC，

由三角形面積公式得：y＝，解得EH＝AB＝6，∴BH=AE=8,
由圖2可知當(dāng)x＝14時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)D重合，
∴ED=4,∴BC=AD＝12，∴矩形的面積為12×6＝72．
故選：C．
第二部分 填空題
二、 填空題（本題有6小題，每題4分，共24分）
11.如圖，在矩形ABCD中，，，以點(diǎn)A為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)E，圖中陰影部分的面積是___________（結(jié)果保留）．

【答案】
【解析】
12.如圖，已知菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，E為BC的中點(diǎn)，若OE＝3，則菱形的周長(zhǎng)為　 　 ?。?br />
【答案】24
【解析】∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，BO＝DO，
∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，
∴OE是△BCD的中位線，
∴CD＝2OE＝2×3＝6，
∴菱形ABCD的周長(zhǎng)＝4×6＝24
13.如圖，在正方形紙片ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，將正方形紙片折疊，點(diǎn)B落在線段AE上的點(diǎn)G處，折痕為AF．若AD＝4cm，則CF的長(zhǎng)為　 　cm．

【答案】6﹣．
【解析】設(shè)BF＝x，則FG＝x，CF＝4﹣x，在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2＝（﹣4）2+x2，在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2＝（4﹣x）2+22，從而得到關(guān)于x方程，求解x，最后用4﹣x即可．
設(shè)BF＝x，則FG＝x，CF＝4﹣x．
在Rt△ADE中，利用勾股定理可得AE＝．
根據(jù)折疊的性質(zhì)可知AG＝AB＝4，所以GE＝﹣4．
在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2＝（﹣4）2+x2，
在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2＝（4﹣x）2+22，
所以（﹣4）2+x2＝（4﹣x）2+22，
解得x＝﹣2．
則FC＝4﹣x＝6﹣．
14.如圖，在2×6的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1個(gè)單位長(zhǎng)度，網(wǎng)格中小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C在格點(diǎn)上，連接AB，BC，則tan∠ABC＝　 ?。?br />
【答案】
【解析】連接AD，根據(jù)網(wǎng)格利用勾股定理求出AB，AD，BD的長(zhǎng)，利用勾股定理的逆
定理判斷出三角形ABD為直角三角形，利用銳角三角函數(shù)定義求出所求即可．
連接AD，由勾股定理得：AD＝＝，AB＝＝2，BD＝＝，
∵（）2+（2）2＝（）2，即AD2+AB2＝BD2，
∴△ABD為∠BAD是直角的直角三角形，
∴tan∠ABC＝＝＝

15. 如圖，矩形ABCD中將其沿EF翻折后，D點(diǎn)恰落在B處，∠BFE=65°，則
∠AEB=____________.

【答案】50°
【解析】如圖所示，

由矩形ABCD可得AD∥BC，∴∠1=∠BFE=65°，由翻折得∠2=∠1=65°，
∴∠AEB=180°–∠1–∠2=180°–65°–65°=50° ．故答案為：50°．

16.一張菱形紙片的邊長(zhǎng)為，高等于邊長(zhǎng)的一半，將菱形紙片沿直線折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，直線交直線于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為___________．
【答案】或
【解析】解：由題干描述可作出兩種可能的圖形．①M(fèi)N交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，如下圖所示

∵高AE等于邊長(zhǎng)的一半∴ 在Rt△ADE中，
又∵沿MN折疊后，A與B重合∴∴
②MN交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，如下圖所示
同理可得，， 此時(shí)，
故答案為：或．
第三部分 解答題
三、解答題（本題有7小題，共56分）
17.已知：如圖，在?ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F(xiàn)分別為垂足．
（1）求證：△ABE≌△CDF；
（2）求證：四邊形AECF是矩形．

【答案】（1）見解析；（2）見解析．
【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠B＝∠D，AB＝CD，AD∥BC，
∵AE⊥BC，CF⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEC＝∠CFD＝∠AFC＝90°，
在△ABE和△CDF中，，
∴△ABE≌△CDF（AAS）；
（2）證明：∵AD∥BC，
∴∠EAF＝∠AEB＝90°，
∴∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°，
∴四邊形AECF是矩形．
18.如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為AD、CD邊上的點(diǎn)，DE＝DF，
求證：∠1＝∠2．

【答案】見解析．
【解析】證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，
在△ADF和△CDE中，，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴∠1＝∠2．

19. 如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E.F分別為AD．CD邊上的點(diǎn)，DE=DF，求證：∠1=∠2．

【答案】見解析.
【解析】∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=CD，
在△ADF和△CDE中，，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴∠1=∠2．
20.如圖，在菱形中，將對(duì)角線分別向兩端延長(zhǎng)到點(diǎn)和，使得．連接．求證：四邊形是菱形．

【答案】見解析
【解析】證明：連接BD，交AC于O，如圖所示：

∵四邊形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
∵AE=CF，∴OE=OF，∴四邊形BEDF是平行四邊形，
∵EF⊥BD，∴四邊形BEDF是菱形．
21.如圖，在矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，EF經(jīng)過對(duì)角線BD的中點(diǎn)O，分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn).

（1）求證：△BOF≌△DOE；
（2）當(dāng)EF⊥BD時(shí)，求AE的長(zhǎng).
【答案】（1）見解析；（2） cm
（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠BFO＝∠DEO，∠FBO＝∠EDO，
又∵O是BD中點(diǎn)，
∴OB＝OD，
∴△BOF≌△DOE（ASA）
（2）連接BE.

∵EF⊥BD，O為BD中點(diǎn)，
∴EB＝ED，
設(shè)AE＝xcm，由EB＝ED＝AD﹣AE＝（4﹣x）cm，
在Rt△ABE中，AB＝3cm，
根據(jù)勾股定理得：AB2+AE＝BE2 ， 即9+x2＝（4﹣x）2 ，
解得：x＝ ，
∴AE的長(zhǎng)是 cm.

22. 如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D、E分別是線段BC、AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作BC的平行線交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CF．
（1） 求證：△BDE≌△FAE；
（2） 求證：四邊形ADCF為矩形．

【答案】（1）見解析；（2）見解析
【解析】（1）證明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，∵E是線段AD的中點(diǎn)，∴AE=DE，
∵∠AEF=∠DEB，∴（AAS）；
（2）證明：∵，∴AF=BD，∵D是線段BC的中點(diǎn)，∴BD=CD，∴AF=CD，
∵AF∥CD，∴四邊形ADCF是平行四邊形，
∵AB=AC，∴，∴∠ADC=90°，
∴四邊形ADCF為矩形．
23. 如圖，△ABC中，點(diǎn)O是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線MN∥BC，交∠ACB的平分線于點(diǎn)E，交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)F．
（1）判斷OE與OF的大小關(guān)系？并說明理由；
（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？并說出你的理由；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形AECF是正方形．并說明理由．

【答案】（1）OE=OF；（2） 見解析；（3）見解析
【解析】（1）OE=OF，理由如下：
因?yàn)镃E平分∠ACB，所以∠1=∠2，又因?yàn)镸N∥BC，所以∠1=∠3，所以∠3=∠2，所以EO=CO，同理，F(xiàn)O=CO，所以O(shè)E=OF．

（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形，理由如下：
因?yàn)镺E=OF，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，所以四邊形AECF是平行四邊形，又因?yàn)镃F平分∠BCA的外角，所以∠4=∠5，又因?yàn)椤?=∠2，所以∠1=∠2，∠2+∠4==90°，即∠ECF=90°，所以平行四邊形AECF是矩形．
（3）當(dāng)△ABC是直角三角形時(shí)，即∠ACB=90°時(shí)，四邊形AECF是正方形，理由如下：
由（2）證明可知，當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形，又因?yàn)椤螦CB=90°，CE，CN分別是∠ACB與∠ACB的外角的平分線，所以∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=45°，所以AC⊥MN，所以四邊形AECF是正方形．




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