2022年（通用版）中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)核心專題復(fù)習(xí)攻略專題09 全等三角形和相似三角形（原卷+解析版）

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專題09  全等三角形和相似三角形復(fù)習(xí)考點(diǎn)攻略考點(diǎn)一   全等三角形的性質(zhì)和判定1．全等三角形的性質(zhì)：（1）全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等；（2）全等三角形的周長相等，面積相等；（3）全等三角形對應(yīng)的中線、高線、角平分線、中位線都相等．2．三角形全等的判定定理：（1）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡寫成“邊角邊”或“SAS”）；（2）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡寫成“角邊角”或“ASA”）；（3）邊邊邊定理：有三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）；（4）對于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r(shí)，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）．3. 判定兩個(gè)三角形全等的思路：（1）已知兩邊 （2）已知一邊、一角 （3）已知兩角  【例1】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D，F分別在AB，AC上，CF=CB．連接CD，將線段CD繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得CE，連接EF．（1）求證：△BCD≌△FCE；（2）若EF∥CD．求∠BDC的度數(shù)．【例2】如圖，已知，．求證：．考點(diǎn)二　比例線段及其性質(zhì)1．比例的基本性質(zhì)：組成比例的四個(gè)數(shù)，叫做比例的項(xiàng)．兩端的兩項(xiàng)叫做比例的外項(xiàng)，中間的兩項(xiàng)叫做比例的內(nèi)項(xiàng)． 2．比例線段：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如a∶b=c∶d（即ad=bc），我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．3．判定四條線段是否成比例：只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩條線段之比與后兩條線段之比是否相等即可，求線段之比時(shí)，要先統(tǒng)一線段的長度單位，最后的結(jié)果與所選取的單位無關(guān)系．4. 黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)，叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，其中AC=AB0.618AB5. 平行線分線段成比例定理    三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例。推論：（1）平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例。逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。（2）平行于三角形一邊且和其他兩邊相交的直線截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例。 【例3】在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，如果AD=1，BD=3，那么由下列條件能夠判斷DE∥BC的是（    ）A．        B．   C．        D． 【例4】生活中到處可見黃金分割的美，如圖，在設(shè)計(jì)人體雕像時(shí)，使雕像的腰部以下與全身的高度比值接近0．618，可以增加視覺美感，若圖中為2米，則約為（   ）A．1．24米 B．1．38米 C．1．42米 D．1．62米 考點(diǎn)三   相似三角形的性質(zhì)和判定1．相似三角形的性質(zhì)：（1）相似三角形的對應(yīng)角相等；（2）相似三角形的對應(yīng)線段（邊、高、中線、角平分線）成比例；（3）相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方．2．相似三角形的判定（1）有兩角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；（2）兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似；（3）三邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似；（4）兩直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，兩直角三角形相似．【方法】判定三角形相似的幾條思路：（1）條件中若有平行線，可采用相似三角形的判定（1）；（2）條件中若有一對等角，可再找一對等角[用判定（1）]或再找夾邊成比例[用判定（2）]；（3）條件中若有兩邊對應(yīng)成比例，可找夾角相等；（4）條件中若有一對直角，可考慮再找一對等角或證明斜邊、直角邊對應(yīng)成比例；（5）條件中若有等腰條件，可找頂角相等，或找一個(gè)底角相等，也可找底和腰對應(yīng)成比例．3. 相似三角形模型模型一：“A、8”模型     已知：，結(jié)論模型二：共邊共角型     已知：，結(jié)論： 模型三：一線三角型   模型四：旋轉(zhuǎn)型          模型五：垂直型      如圖，在Rt三角形ABC中，∠C=90°，CD為斜邊AB上的高結(jié)論：∽△BCD  4. 相似多邊形：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形；相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做它們的相似比．5．相似多邊形性質(zhì);（1）相似多邊形的對應(yīng)邊成比例；（2）相似多邊形的對應(yīng)角相等；（3）相似多邊形周長的比等于相似比，相似多邊形面積的比等于相似比的平方．【例5】如圖，已知∠CAE=∠BAD，那么添加一個(gè)條件后，仍不能判定△ABC與△ADE相似的是（    ）A．∠C=∠AED B．∠B=∠D C．= D．= 【例6】如圖，在△ABC中，AC=2，BC=4，D為BC邊上的一點(diǎn)，且∠CAD=∠B．若△ADC的面積為a，則△ABD的面積為A．2a         B．aC．3a         D．a 考點(diǎn)四   位似圖形的性質(zhì)1. 位似圖形: 如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形而且每組對應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，對應(yīng)邊互相平行（或在同一條直線上），那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，相似比叫做位似比．2．位似圖形的性質(zhì)（1）在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或–k；（2）位似圖形上任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比或相似比．3．找位似中心的方法：將兩個(gè)圖形的各組對應(yīng)點(diǎn)連接起來，若它們的直線或延長線相交于一點(diǎn)，則該點(diǎn)即是位似中心．【例7】在如圖所示的網(wǎng)格中，以點(diǎn)為位似中心，四邊形的位似圖形是（    ）                       A．四邊形  B．四邊形  C．四邊形  D．四邊形【例8】如圖，在直角坐標(biāo)系中，△OAB的頂點(diǎn)為O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以點(diǎn)O為位似中心，在第三象限內(nèi)作與△OAB的位似比為的位似圖形△OCD，則點(diǎn)C坐標(biāo)（　　）                      A．（﹣1，﹣1） B．（﹣，﹣1） C．（﹣1，﹣） D．（﹣2，﹣1） 第一部分 選擇題一、選擇題（本題有10小題，每題4分，共40分）1. 在下列圖形中，不是位似圖形的是（    ）A．  B． C．  D． 2. 如圖，OA=OB，∠A=∠B，有下列3個(gè)結(jié)論：①△AOD≌△BOC，②△ACE≌△BDE，③點(diǎn)E在∠O的平分線上，其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3如圖，已知∠ADB=∠CBD，下列所給條件不能證明△ABD≌△CDB的是（    ）A．∠A=∠C    B．AD=BC   C．∠ABD=∠CDB D．AB=CD已知線段a、b，如果a：b=5：2，那么下列各式中一定正確的是（    ）A．a+b=7 B．5a=2b C．= D．=1如圖，在△ABC中，DE∥AB，且＝，則的值為（　　）A． B． C． D．如圖，直線，直線和被，，所截，，，，則的長為（    ）A．2 B．3 C．4 D．古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時(shí)，提出了分線段的“中末比”問題：點(diǎn)G將一線段分為兩線段，，使得其中較長的一段是全長與較短的段的比例中項(xiàng)，即滿足，后人把這個(gè)數(shù)稱為“黃金分割”數(shù)，把點(diǎn)G稱為線段的“黃金分割”點(diǎn)．如圖，在中，已知，，若D，E是邊的兩個(gè)“黃金分割”點(diǎn)，則的面積為（    ）A． B． C． D．如圖，△ABC中，DF∥BE，AD、BE相交于點(diǎn)G，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是A．       B．C．       D． 9.如圖，在和中，，連接交于點(diǎn)，連接．下列結(jié)論：①；②；③平分；④平分．其中正確的個(gè)數(shù)為（    ）A．4     B．3    C．2    D．110.如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，交CD的延長線于點(diǎn)G，若AF＝2FD，則的值為（　?。?/span>                           A． B． C． D．   第二部分   填空題二、填空題（本題有6小題，每題4分，共24分）11.若，則________．12.如圖，已知點(diǎn)F是△ABC的重心，連接BF并延長，交AC于點(diǎn)E，連接CF并延長，交AB于點(diǎn)D，過點(diǎn)F作FG∥BC，交AC于點(diǎn)G．設(shè)三角形EFG，四邊形FBCG的面積分別為S1，S2，則S1：S2=__________．已知，如圖，，，且，則與__________是位似圖形，位似比為____________.14.如圖，在中，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，，的延長線交于點(diǎn)F．若的面積為1，則四邊形的面積為________．15.如圖，等腰中，，邊的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．若的周長為，則的長為________． 16.如圖，矩形中，，，點(diǎn)在對角線上，且，連接并延長，交的延長線于點(diǎn)，連接，則的長為_______．第三部分 解答題三、解答題（本題有7小題，共56分）17.如圖，在四邊形中，，點(diǎn)E，F分別在，上，，，求證：．   18.如圖，，，．，與交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）求的度數(shù)．   如圖，在ABC中，已知DE∥BC，AD=4，DB=8，DE=3，（1）求的值，（2）求BC的長   如圖，，，于D，于E，且．求證：．  21.如圖，菱形ABCD中，∠BAD=60°，點(diǎn)E在邊AD上，連接BE，在BE上取點(diǎn)F，連接AF并延長交BD于H，且∠AFE=60°，過C作CG∥BD，直線CG、AF交于G．（1）求證：∠FAE=∠ABE；（2）求證：AH=BE；（3）若AE=3，BH=5，求線段FG的長．    22..如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD是△ABC的邊BC上的高，AE是⊙O的直徑，連接BE，△ABE與△ADC相似嗎？請證明你的結(jié)論．       如圖，⊙O中，弦AB、CD相交于AB的中點(diǎn)，連接AD并延長至點(diǎn)F，使DE=AD，連接BC、BF． （1）求證：；（2）當(dāng)時(shí)，求的值