人教版 (2019)選擇性必修第二冊(cè)3 帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)導(dǎo)學(xué)案及答案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng) 1．理解帶電粒子的初速度方向與磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向垂直時(shí)，粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。2．會(huì)推導(dǎo)帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑、周期公式，知道它們與哪些因素有關(guān)，并能熟練應(yīng)用。知識(shí)點(diǎn)一　帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)[情境導(dǎo)學(xué)]在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中，常常要研究帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)。如圖所示，如果沿著與磁場(chǎng)垂直的方向發(fā)射一束帶電粒子，請(qǐng)猜想這束粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)徑跡，你猜想的依據(jù)是什么？提示：運(yùn)動(dòng)徑跡為圓，猜想的依據(jù)是洛倫茲力方向垂直于速度方向。[知識(shí)梳理]1．當(dāng)帶電粒子以平行于磁場(chǎng)的方向進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，由于洛倫茲力為零，所以粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)。2．帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)要受到洛倫茲力的作用。由于帶電粒子初速度的方向和洛倫茲力的方向都在與磁場(chǎng)方向垂直的平面內(nèi)，所以粒子在這個(gè)與磁場(chǎng)方向垂直的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。3．帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，洛倫茲力不改變粒子的速度大小，只改變粒子的速度方向。洛倫茲力提供向心力，即沿著與磁場(chǎng)垂直方向射入磁場(chǎng)的帶電粒子，在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。[初試小題]1．判斷正誤。(1)電子射入磁場(chǎng)中一定受洛倫茲力作用。(×)(2)電子以某一速度進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)的徑跡一定為圓。(×)(3)洛倫茲力的方向隨電荷運(yùn)動(dòng)方向的變化而變化，但無(wú)論怎樣變化，洛倫茲力的方向都與運(yùn)動(dòng)方向垂直。(√)(4)由于洛倫茲力始終與運(yùn)動(dòng)方向垂直，所以洛倫茲力不改變速度的大小，只改變速度的方向。(√)2．一質(zhì)子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，不考慮其他場(chǎng)力(重力)作用，下列說(shuō)法正確的是(　　)A．可能做類平拋運(yùn)動(dòng)B．一定做勻變速直線運(yùn)動(dòng)C．可能做勻速直線運(yùn)動(dòng)D．只能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)解析：選C　根據(jù)F＝qvB可知，洛倫茲力的大小與速度有關(guān)，速度大小變化時(shí)，洛倫茲力大小也變化，根據(jù)左手定則可知，洛倫茲力方向與速度方向垂直。質(zhì)子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)形式有三種：當(dāng)質(zhì)子的速度方向與磁場(chǎng)方向平行時(shí)，質(zhì)子不受洛倫茲力，質(zhì)子做勻速直線運(yùn)動(dòng)；當(dāng)質(zhì)子的速度方向與磁場(chǎng)方向垂直時(shí)，質(zhì)子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)；當(dāng)質(zhì)子的速度方向與磁場(chǎng)方向有一定夾角(不垂直)時(shí)，質(zhì)子做等螺距螺旋運(yùn)動(dòng)。綜上可知，選項(xiàng)C正確。知識(shí)點(diǎn)二　帶電粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑和周期[情境導(dǎo)學(xué)]垂直射入磁場(chǎng)的帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓周的半徑可能與哪些因素有關(guān)？周期可能與哪些因素有關(guān)？提示：半徑可能與帶電粒子電荷量、質(zhì)量、速度以及磁感應(yīng)強(qiáng)度有關(guān)。周期可能與帶電粒子的電荷量、質(zhì)量以及磁感應(yīng)強(qiáng)度有關(guān)。[知識(shí)梳理]1．帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑(1)粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑與它的質(zhì)量、速度成正比，與電荷量、磁感應(yīng)強(qiáng)度成反比。(2)公式：r＝。2．帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期(1)帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期跟軌道半徑和運(yùn)動(dòng)速度無(wú)關(guān)。(2)公式：T＝。[初試小題]1．判斷正誤。(1)同一帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速度越大，運(yùn)動(dòng)半徑越大。(√)(2)同一帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速度越大，其周期越小。(×)(3)洛倫茲力在特殊情況下可能對(duì)帶電粒子做功，改變粒子的速度大小。(×)(4)運(yùn)動(dòng)電荷進(jìn)入磁場(chǎng)后(無(wú)其他場(chǎng))可能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，不可能做類平拋運(yùn)動(dòng)。(√)2．質(zhì)子p(H)和α粒子(He)以相同的速率在同一勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑分別為Rp和Rα，周期分別為Tp和Tα，則下列選項(xiàng)正確的是(　　)A．Rp∶Rα＝1∶2；Tp∶Tα＝1∶2B．Rp∶Rα＝1∶1；Tp∶Tα＝1∶1C．Rp∶Rα＝1∶1；Tp∶Tα＝1∶2D．Rp∶Rα＝1∶2；Tp∶Tα＝1∶1解析：選A　質(zhì)子p(H)和α粒子(He)的帶電荷量之比qp∶qα＝1∶2，質(zhì)量之比mp∶mα＝1∶4。由帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可知，軌道半徑R＝，周期T＝，因?yàn)閮闪Ｗ铀俾氏嗤?，代?/span>q、m可得Rp∶Rα＝1∶2，Tp∶Tα＝1∶2，故選項(xiàng)A正確。帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)[問(wèn)題探究]觀察圖片圖中確定軌跡圓心的依據(jù)是什么？提示：軌跡半徑和速度垂直，兩個(gè)半徑的交點(diǎn)必然是圓心。[要點(diǎn)歸納]1．帶電粒子垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，只受洛倫茲力，洛倫茲力提供帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力，運(yùn)動(dòng)半徑r＝，運(yùn)動(dòng)周期T＝。2．分析方法：“三定”，即一定圓心，二定半徑，三定圓心角。(1)圓心的確定：因?yàn)槁鍌惼澚κ冀K與電荷運(yùn)動(dòng)方向垂直，洛倫茲力為粒子做圓周運(yùn)動(dòng)提供了向心力，總是指向圓心。在實(shí)際問(wèn)題中，圓心位置的確定極為重要，通常有兩種方法：①畫出粒子運(yùn)動(dòng)中的任意兩點(diǎn)(一般是射入和射出磁場(chǎng)的兩點(diǎn))的洛倫茲力的方向，其延長(zhǎng)線的交點(diǎn)即為圓心，如圖甲所示。②通過(guò)入射點(diǎn)或出射點(diǎn)作速度方向的垂線，再連接入射點(diǎn)和出射點(diǎn)，作其中垂線，這兩條線的交點(diǎn)就是圓弧軌道的圓心，如圖乙所示。(2)求軌道半徑的方法①根據(jù)半徑公式r＝求解。②根據(jù)幾何知識(shí)求解，如圖丙所示。若已知出射點(diǎn)相對(duì)于入射點(diǎn)側(cè)移距離x，則滿足r2＝d2＋(r－x)2。若已知出射速度方向與水平方向的夾角為θ，磁場(chǎng)的寬度為d，則有r＝。(3)圓心角的確定：確定圓心角時(shí)，常用角度關(guān)系，如圖丁所示。①速度的偏向角φ等于圓心角θ。②圓心角θ等于弦切角α的2倍。③相對(duì)的弦切角相等；相鄰的弦切角互補(bǔ)，即α＋α′＝180°。④進(jìn)出同一直邊界時(shí)速度方向與該邊界的夾角相等，如圖戊所示。(4)求運(yùn)動(dòng)時(shí)間的方法①利用圓心角求解，若求出這部分圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角，則t＝T。②利用弧長(zhǎng)s和速度v求解，則t＝。[例題1]　如圖所示，一帶電荷量為2．0×10－9 C、質(zhì)量為1．8×10－16 kg的粒子，在直線上一點(diǎn)O沿與直線夾角為30°方向進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，經(jīng)過(guò)1．5×10－6 s后到達(dá)直線上另一點(diǎn)P。(1)求粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期；(2)求磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小；(3)若O、P之間的距離為0.1 m，則粒子的運(yùn)動(dòng)速度多大？[思路點(diǎn)撥](1)畫出粒子由O點(diǎn)到P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。(2)怎樣確定圓心。(3)O到P的圓心角多大。[解析]　(1)作出粒子軌跡，如圖所示，由圖可知粒子由O到P的大圓弧所對(duì)的圓心角為300°，則＝解得周期T＝t＝×1．5×10－6 s＝1．8×10－6 s。(2)由于粒子做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力為洛倫茲力，得Bqv＝所以B＝＝ω＝＝ T＝0.314 T。(3)由幾何知識(shí)可知，半徑R＝OP＝0.1 m故粒子的速度v＝＝ m/s≈3．49×105 m/s。[答案]　(1)1．8×10－6 s　(2)0.314 T(3)3．49×105 m/s“三步法”處理帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)　　　　 [針對(duì)訓(xùn)練]1．[多選]如圖所示，帶負(fù)電的粒子以速度v從粒子源P處射出，若圖中勻強(qiáng)磁場(chǎng)范圍足夠大(方向垂直紙面)，則帶電粒子的可能軌跡是(　　)A．a　　 B．bC．c　　　 D．d解析：選BD　粒子的出射方向必定與它的運(yùn)動(dòng)軌跡相切，故軌跡a、c均不可能，帶電粒子的可能軌跡是b、d，故B、D正確。2．[多選]如圖所示，兩個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的方向相同，磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為B1、B2，虛線MN為理想邊界?，F(xiàn)有一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為e的電子以垂直于邊界MN的速度v由P點(diǎn)沿垂直于磁場(chǎng)的方向射入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B1的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，其運(yùn)動(dòng)軌跡為圖中虛線所示的心形圖線，以下說(shuō)法正確的是(　　)A．電子的運(yùn)動(dòng)軌跡為P→D→M→C→N→E→PB．電子運(yùn)動(dòng)一周回到P點(diǎn)所用的時(shí)間T＝C．B1＝4B2D．B1＝2B2解析：選AD　由左手定則可知，電子在P點(diǎn)所受的洛倫茲力的方向向上，軌跡為P→D→M→C→N→E→P，選項(xiàng)A正確；由題圖得兩磁場(chǎng)中軌跡圓的半徑比為1∶2，由半徑r＝可得＝2，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確；電子運(yùn)動(dòng)一周的時(shí)間t＝T1＋＝＋＝，選項(xiàng)B錯(cuò)誤。3．如圖所示，一束電子(電荷量為e)以速度v由A點(diǎn)垂直射入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、寬度為d的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，在C點(diǎn)穿出磁場(chǎng)時(shí)的速度方向與電子原來(lái)的入射方向成30°夾角，則電子的質(zhì)量是多少？電子穿過(guò)磁場(chǎng)的時(shí)間是多少？解析：電子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，只受洛倫茲力的作用，故其軌跡是圓周的一部分，又因洛倫茲力方向總是與速度方向垂直，故電子做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在電子射入和穿出磁場(chǎng)時(shí)受到的洛倫茲力作用線的交點(diǎn)上，即過(guò)軌跡上兩點(diǎn)作速度的垂線可找到圓心O點(diǎn)，如圖所示。由幾何關(guān)系可知，弧AC所對(duì)的圓心角θ＝30°，OC為半徑，則r＝＝2d，由eBv＝m得r＝，所以m＝；因?yàn)榛?/span>AC所對(duì)的圓心角是30°，故電子穿過(guò)磁場(chǎng)的時(shí)間t＝T＝·＝＝。答案：　帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題[問(wèn)題探究]如圖所示，在一個(gè)直角三角形區(qū)域ACB內(nèi)存在方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，一帶正電的粒子從AB邊上的D點(diǎn)垂直于磁場(chǎng)邊界AB射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，且恰不從BC邊射出磁場(chǎng)區(qū)域。恰不從BC邊射出磁場(chǎng)區(qū)域的條件是什么？提示：粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡恰好與BC邊相切。[要點(diǎn)歸納]帶電粒子在三類有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡特點(diǎn)(1)直線邊界：進(jìn)出磁場(chǎng)具有對(duì)稱性。(2)平行邊界：存在臨界條件。(3)圓形邊界：沿徑向射入必沿徑向射出。[例題2]　如圖所示，圓形區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一個(gè)帶電粒子以速度v從A點(diǎn)沿直徑AOB方向射入磁場(chǎng)，經(jīng)過(guò)時(shí)間t從C點(diǎn)射出磁場(chǎng)，OC與OB成60°角?，F(xiàn)將帶電粒子的速度變?yōu)?/span>，仍從A點(diǎn)沿原方向射入磁場(chǎng)，不計(jì)重力，則粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是多少？[解析]根據(jù)作圖法找出速度為v時(shí)的粒子軌跡圓圓心O′，由幾何關(guān)系可得磁場(chǎng)中的軌跡弧所對(duì)圓心角∠AO′C＝θ＝60°，設(shè)圓形磁場(chǎng)的半徑為r，粒子的軌跡半徑為R1，因此有qvB＝m，tan＝，軌跡圓半徑R1＝r；當(dāng)粒子速度變?yōu)?/span>時(shí)，粒子的軌跡半徑為R2，因此有qB＝m，tan＝，因?yàn)?/span>＝即R1＝3R2，所以其軌跡圓半徑R2＝r，磁場(chǎng)中的軌跡弧所對(duì)圓心角θ1＝120°。由周期T＝知兩種情況下周期相等，當(dāng)速度為v時(shí)，由＝得T＝6t，所以當(dāng)速度為時(shí)，粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間t2＝T＝×6t＝2t。[答案]　2t帶電粒子在不同邊界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)是指在局部空間存在著勻強(qiáng)磁場(chǎng)，帶電粒子從磁場(chǎng)區(qū)域外垂直磁場(chǎng)方向射入磁場(chǎng)區(qū)域，在磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)經(jīng)歷一段勻速圓周運(yùn)動(dòng)，也就是通過(guò)一段圓弧后離開磁場(chǎng)區(qū)域的運(yùn)動(dòng)過(guò)程。解決這一類問(wèn)題時(shí)，找到粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的圓心位置、半徑大小以及與半徑相關(guān)的幾何關(guān)系是解題的關(guān)鍵。(1)充分利用在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性①從某一直線邊界射入的粒子，從同一邊界射出時(shí)，速度方向與邊界的夾角相等。②在圓形磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)，沿徑向射入的粒子，必沿徑向射出。(2)帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間①當(dāng)速度v一定時(shí)，弧長(zhǎng)越長(zhǎng)，圓心角越大，則帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越長(zhǎng)。②當(dāng)速率v變化時(shí)，必須看圓心角，圓心角越大的，運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng)。　　　　 [針對(duì)訓(xùn)練]1．[多選]長(zhǎng)為l的水平極板間有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，板間距離也為l，極板不帶電?，F(xiàn)有質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子(不計(jì)重力)，從兩極板間邊界中點(diǎn)處垂直磁感線以速度v水平射入磁場(chǎng)，欲使粒子不打在極板上，可采用的辦法是(　　)A．使粒子的速度v＜B．使粒子的速度v＞C．使粒子的速度v＞D．使粒子的速度＜v＜解析：選AB　如圖所示，帶電粒子剛好打在極板右邊緣時(shí)，有r12＝2＋l2，又r1＝，所以v1＝；粒子剛好打在極板左邊緣時(shí)，有r2＝＝，解得v2＝。故A、B正確。綜合上述分析可知，選項(xiàng)A、B正確。2．如圖所示，在直角三角形abc區(qū)域(含邊界)內(nèi)存在垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，∠a＝60°，∠b＝90°，邊長(zhǎng)ac＝L。一個(gè)粒子源在a點(diǎn)將質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子以大小和方向不同的速度射入磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子中，速度的最大值是(　　)A．　　　 B．C．　　　 D．解析：選A　根據(jù)題意可知，當(dāng)粒子沿ab方向射入并且運(yùn)動(dòng)軌跡與bc相切時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，速度最大，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，設(shè)軌跡半徑為R，根據(jù)幾何知識(shí)可知aC＝，AC＝R，CE＝R－R，則Cc＝2，L＝aC＋Cc＝R＋2＝2R，可得R＝；由于qvB＝m，得到v＝，選項(xiàng)A正確。3．如圖所示，在x軸上方存在垂直于紙面向里且磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在x軸下方存在垂直于紙面向外且磁感應(yīng)強(qiáng)度為的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一帶負(fù)電的粒子從原點(diǎn)O與x軸成30°角斜向上射入磁場(chǎng)，且在x軸上方磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑為R。則(　　)A．粒子經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后一定能回到原點(diǎn)OB．粒子在x軸上方和下方磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑之比為2∶1C．粒子完成一次周期性運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為D．粒子第二次射入x軸上方磁場(chǎng)時(shí)，沿x軸前進(jìn)了3R解析：選D　根據(jù)左手定則判斷可知，負(fù)電荷在第一象限和第四象限所受的洛倫茲力方向不同，粒子在第一象限沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，而在第四象限沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，不可能回到原點(diǎn)O，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由r＝可知，粒子在x軸上方和下方磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑之比為1∶2，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；粒子完成一次周期性運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝T1＋T2＝＋＝，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；粒子第二次射入x軸上方磁場(chǎng)時(shí)沿x軸前進(jìn)了l＝R＋2R＝3R，選項(xiàng)D正確。帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的多解問(wèn)題[問(wèn)題探究]兩水平極板間有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，一帶正電的粒子(不計(jì)重力)，從極板間邊界中點(diǎn)處垂直射入磁場(chǎng)，欲使粒子不打在極板上，求粒子出射的可能性。提示：(1)當(dāng)粒子從右邊射出時(shí)，恰好經(jīng)過(guò)極板的右邊點(diǎn)時(shí)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的半徑最小，半徑再大一些就可以從右邊射出；(2)當(dāng)粒子從左邊射出時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡為半圓，軌跡恰好與極板相切。[要點(diǎn)歸納]帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)多解問(wèn)題的分析思路(1)帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)造成多解的常見(jiàn)情況如下。①帶電粒子的電性不確定形成多解。受洛倫茲力作用的帶電粒子，可能帶正電，也可能帶負(fù)電。當(dāng)粒子具有相同速度時(shí)，正、負(fù)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡不同，導(dǎo)致多解。如圖甲所示，帶電粒子以速率v垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，若帶正電，其軌跡為a；若帶負(fù)電，其軌跡為b。②磁場(chǎng)方向的不確定形成多解。磁感應(yīng)強(qiáng)度是矢量，如果題述條件只給出磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，而未說(shuō)明磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向，則應(yīng)考慮因磁場(chǎng)方向不確定而導(dǎo)致的多解。如圖乙所示，帶正電的粒子以速率v垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，若B垂直紙面向里，其軌跡為a；若B垂直紙面向外，其軌跡為b。③臨界狀態(tài)不唯一形成多解。帶電粒子在洛倫茲力作用下飛越有界磁場(chǎng)時(shí)，由于粒子運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧狀，它可能穿過(guò)去了，也可能轉(zhuǎn)過(guò)180°從入射面邊界反向飛出，如圖丙所示，于是形成了多解。④運(yùn)動(dòng)的往復(fù)性形成多解。帶電粒子在部分是電場(chǎng)、部分是磁場(chǎng)的空間中運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)往往具有往復(fù)性，從而形成多解，如圖丁所示。(2)解決帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的多解問(wèn)題的關(guān)鍵是充分考慮問(wèn)題的各種可能性，認(rèn)真分析其物理過(guò)程，畫出各種可能的運(yùn)動(dòng)軌跡，找出隱含的幾何關(guān)系，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)、物理知識(shí)求解。[例題3]　如圖所示，一足夠長(zhǎng)的矩形區(qū)域abcd內(nèi)充滿磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。現(xiàn)從矩形區(qū)域ad邊的中點(diǎn)O處垂直磁場(chǎng)射入一速度方向跟ad邊夾角θ＝30°、大小為v0的帶正電粒子，已知粒子質(zhì)量為m，電荷量為q，ad邊長(zhǎng)為L，ab邊足夠長(zhǎng)，粒子重力不計(jì)。(1)求粒子能從ab邊上射出磁場(chǎng)的v0大小范圍。(2)問(wèn)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間是多少？在這種情況下，粒子v0大小范圍。[解析]　(1)粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力得qv0B＝m，即r＝。若粒子軌跡恰好與ab邊相切，其軌跡如圖中Ⅰ所示，設(shè)圓心為O1，相應(yīng)速度為v01，軌道半徑為r1，由幾何知識(shí)得r1＋r1sin θ＝，解得r1＝，v01＝。若粒子軌跡恰好與cd邊相切，軌跡如圖中Ⅱ所示，設(shè)圓心為O2，相應(yīng)速度為v02，軌道半徑為r2，由幾何知識(shí)得r2－r2sin θ＝，解得r2＝L，v02＝。所以粒子能從ab邊上射出磁場(chǎng)的速度v0應(yīng)滿足<v0≤。(2)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑r≤r1時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，此時(shí)，粒子從ad邊射出，射出時(shí)速度與ad邊夾角為θ，圓弧所對(duì)圓心角α為(2π－2θ)，粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T＝，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間t＝T＝·＝，粒子速度v0≤v01＝。[答案]　(1)<v0≤　(2)　v0≤[針對(duì)訓(xùn)練]1．[多選]如圖所示，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向里，MN是它的下邊界?，F(xiàn)有質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電粒子與MN成30°角垂直射入磁場(chǎng)，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間可能為(　　)A． B．C． D．解析：選AD　由于帶電粒子的電性不確定，其軌跡可能是如圖所示的兩種情況。由qvB＝m和T＝得T＝。由圖可知，若為正電荷，軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為θ1＝300°，若為負(fù)電荷，軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為θ2＝60°，則對(duì)應(yīng)時(shí)間分別為t1＝T＝T＝，t2＝T＝T＝。選項(xiàng)A、D正確。2．[多選]如圖所示，A點(diǎn)的離子源在紙面內(nèi)沿垂直OQ的方向向上射出一束負(fù)離子，重力忽略不計(jì)。為把這束負(fù)離子約束在OP之下的區(qū)域，可加垂直紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。已知O、A間的距離為s，負(fù)離子的比荷為，速率為v，OP與OQ間夾角為30°。則所加磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)滿足(　　)A．垂直紙面向里，B>B．垂直紙面向里，B>C．垂直紙面向外，B>D．垂直紙面向外，B>解析：選BC　當(dāng)所加勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向垂直紙面向里時(shí)，由左手定則可知負(fù)離子向右偏轉(zhuǎn)；負(fù)離子被約束在OP之下的區(qū)域的臨界條件是離子的運(yùn)動(dòng)軌跡與OP相切，如圖(大圓弧)，由幾何知識(shí)知R2＝OBsin 30°＝OB，而OB＝s＋R2，故R2＝s，所以當(dāng)離子運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑小于s時(shí)滿足約束條件；由牛頓第二定律可得qvB＝，所以得B>，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確。當(dāng)所加勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向垂直紙面向外時(shí)，由左手定則可知負(fù)離子向左偏轉(zhuǎn)；負(fù)離子被約束在OP之下的區(qū)域的臨界條件是離子的運(yùn)動(dòng)軌跡與OP相切，如圖(小圓弧)，由幾何知識(shí)知R1＝，所以當(dāng)離子運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑小于時(shí)滿足約束條件；由牛頓第二定律得qvB＝，所以得B>，選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。3．[多選]如圖所示，直線MN與水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，左下方存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，兩磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B。一粒子源位于MN上的a點(diǎn)，能水平向右發(fā)射不同速率、質(zhì)量為m(重力不計(jì))、電荷量為q(q>0)的同種粒子，所有粒子均能通過(guò)MN上的b點(diǎn)，已知ab＝L，則粒子的速度可能是(　　)A．　　　 B．C． D．解析：選AB　由題意可知，粒子可能的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，所有圓弧所對(duì)的圓心角均為120°，所以粒子運(yùn)動(dòng)的半徑為r＝·(n＝1,2,3…)；粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力，得qvB＝m，則v＝＝·(n＝1,2,3…)，選項(xiàng)A、B正確。 1．兩個(gè)粒子，所帶電荷量相等，在同一勻強(qiáng)磁場(chǎng)中只受洛倫茲力而做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則下列說(shuō)法正確的是(　　)A．若速率相等，則半徑必相等B．若質(zhì)量相等，則周期必相等C．若質(zhì)量相等，則半徑必相等D．若動(dòng)能相等，則周期必相等解析：選B　粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，則有Bqv＝m，得r＝，T＝＝。由于帶電粒子的帶電荷量相等，同一勻強(qiáng)磁場(chǎng)B相同，對(duì)兩粒子的圓軌跡，若速率相等而質(zhì)量不等，或者質(zhì)量相等而速率不等，則半徑r不同，故A、C錯(cuò)誤。兩粒子若質(zhì)量相等，則周期必相等；若動(dòng)能相等，而速率不等，則二者質(zhì)量不等，周期不相等，故B正確，D錯(cuò)誤。2．如圖所示，MN是勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的一塊薄金屬板，帶電粒子(不計(jì)重力)在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)并穿過(guò)金屬板(粒子速率變小)，虛線表示其運(yùn)動(dòng)軌跡，由圖知(　　)A．粒子帶正電B．粒子運(yùn)動(dòng)方向是abcdeC．粒子運(yùn)動(dòng)方向是edcbaD．粒子在上半周所用時(shí)間比在下半周所用時(shí)間長(zhǎng)解析：選C　帶電粒子(不計(jì)重力)在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，穿過(guò)金屬板后粒子速率變小，根據(jù)帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑公式r＝可知，粒子的運(yùn)動(dòng)半徑將減小，故粒子應(yīng)是由下方穿過(guò)金屬板，粒子運(yùn)動(dòng)方向?yàn)?/span>edcba，根據(jù)左手定則可得，粒子應(yīng)帶負(fù)電，故A、B錯(cuò)誤，C正確。由T＝可知，粒子運(yùn)動(dòng)的周期和速度無(wú)關(guān)，而上下均為半圓，則粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間均為，故D錯(cuò)誤。3．洛倫茲力演示儀的結(jié)構(gòu)示意圖如圖所示。由電子槍產(chǎn)生電子束，玻璃泡內(nèi)充有稀薄的氣體，在電子束通過(guò)時(shí)能夠顯示電子的徑跡。前后兩個(gè)勵(lì)磁線圈之間產(chǎn)生勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向與兩個(gè)線圈中心的連線平行。電子速度的大小和磁感應(yīng)強(qiáng)度可以分別通過(guò)電子槍的加速電壓U和勵(lì)磁線圈的電流I來(lái)調(diào)節(jié)。適當(dāng)調(diào)節(jié)U和I，玻璃泡中就會(huì)出現(xiàn)電子束的圓形徑跡。下列調(diào)節(jié)方式中，一定能讓圓形徑跡半徑增大的是(　　)A．同時(shí)增大U和I　　　　 B．同時(shí)減小U和IC．增大U，減小I D．減小U，增大I解析：選C　電子在加速電場(chǎng)中加速，由動(dòng)能定理，有eU＝mv02；電子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力充當(dāng)向心力，有eBv0＝。聯(lián)立以上兩式得r＝＝，可知增大電子槍的加速電壓，減小勵(lì)磁線圈中的電流使電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)減弱，都可以使電子束的軌跡半徑變大，故C正確。4．兩個(gè)質(zhì)量相同、所帶電荷量相等的帶電粒子a、b，以不同的速率對(duì)準(zhǔn)圓心O沿著AO方向射入圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示。若不計(jì)粒子的重力，則下列說(shuō)法正確的是(　　)A．a(chǎn)粒子帶正電，b粒子帶負(fù)電B．a(chǎn)粒子在磁場(chǎng)中所受洛倫茲力較大C．b粒子動(dòng)能較大D．b粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間較長(zhǎng)解析：選C　粒子向右運(yùn)動(dòng)，b向上偏轉(zhuǎn)，a向下偏轉(zhuǎn)，根據(jù)左手定則可知，b帶正電，a帶負(fù)電，故A錯(cuò)誤；根據(jù)洛倫茲力提供向心力，有qvB＝，解得r＝，故運(yùn)動(dòng)軌跡半徑較大的b粒子的速度較大，動(dòng)能也較大，C正確；由公式F＝qvB可知，速度大的b粒子受到的洛倫茲力較大，B錯(cuò)誤；粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T＝，可知a、b做圓周運(yùn)動(dòng)的周期相同，則在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)角較大的粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間較長(zhǎng)，a粒子的偏轉(zhuǎn)角較大，因此運(yùn)動(dòng)的時(shí)間較長(zhǎng)，D錯(cuò)誤。5．如圖所示，勻強(qiáng)磁場(chǎng)寬L＝ m，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B＝1．67×10－3 T，方向垂直紙面向里，一質(zhì)子以水平速度v＝1．6×105 m/s垂直磁場(chǎng)邊界從小孔C射入磁場(chǎng)，打到照相底片上的A點(diǎn)。已知質(zhì)子的質(zhì)量m＝1．67×10－27 kg，帶電荷量e＝1．6×10－19 C。不計(jì)質(zhì)子的重力。求：(1)質(zhì)子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑r；(2)A點(diǎn)距入射線方向上的O點(diǎn)的距離H；(3)質(zhì)子從小孔C射入至到達(dá)A點(diǎn)所需的時(shí)間。解析：(1)質(zhì)子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力，有evB＝，解得r＝代入數(shù)據(jù)得r＝1 m。(2)設(shè)圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為θ，則由幾何關(guān)系可得sin θ＝，H＝r(1－cos θ)解得θ＝60°，H＝0.5 m。(3)質(zhì)子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)動(dòng)的角度θ＝60°，則運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t＝T又T＝解得t＝×10－5 s(或6．54×10－6 s)。答案：(1)1 m　(2)0.5 m　(3)×10－5 s(或6．54×10－6 s)

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