1.3 帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動(dòng)習(xí)題課 教案 【教學(xué)目標(biāo)】物理觀念：帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律科學(xué)思維：帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動(dòng)問題的分析方法科學(xué)探究：分析帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動(dòng)科學(xué)態(tài)度與責(zé)任：知道帶點(diǎn)粒子在磁場中運(yùn)問題的復(fù)雜性【知識(shí)回顧】帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)軌道半徑： 運(yùn)動(dòng)周期：  【新知探究】一、帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的圓周運(yùn)動(dòng)分析1．圓心的確定方法：兩線定一點(diǎn)(1)圓心一定在垂直于速度的直線上．如圖甲所示，已知入射點(diǎn)P和出射點(diǎn)M的速度方向，可通過入射點(diǎn)和出射點(diǎn)作速度的垂線，兩條直線的交點(diǎn)就是圓心．(2)圓心一定在弦的中垂線上．如圖乙所示，作P、M連線的中垂線，與其中一個(gè)速度的垂線的交點(diǎn)為圓心．2．半徑的確定半徑的計(jì)算一般利用幾何知識(shí)解直角三角形．做題時(shí)一定要作好輔助線，由圓的半徑和其他幾何邊構(gòu)成直角三角形．由直角三角形的邊角關(guān)系或勾股定理求解．3．粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間的確定(1)粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)一周的時(shí)間為T，當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)的圓弧所對(duì)應(yīng)的圓心角為α時(shí)，其運(yùn)動(dòng)時(shí)間t＝T(或t＝T)．(2)當(dāng)v一定時(shí)，粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝，l為帶電粒子通過的弧長．例1　如圖所示，勻強(qiáng)磁場寬L＝ m，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B＝1.67×10－3 T，方向垂直紙面向里，一質(zhì)子以水平速度v＝1.6×105 m/s垂直磁場邊界從小孔C射入磁場，打到照相底片上的A點(diǎn)．已知質(zhì)子的質(zhì)量m＝1.67×10－27 kg，帶電荷量e＝1.6×10－19 C．不計(jì)質(zhì)子的重力．求：(1)質(zhì)子在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑r；(2)A點(diǎn)距入射線方向上的O點(diǎn)的距離H；(3)質(zhì)子從C孔射入到A點(diǎn)所需時(shí)間．答案　(1)1 m　(2)0.5 m　(3)×10－5 s(或6.54×10－6 s)解析　(1)質(zhì)子在磁場中運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力，有evB＝，即：r＝解得：r＝1 m(2)設(shè)圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為θ，則由幾何關(guān)系可知：sin θ＝H＝r(1－cos θ)解得：θ＝60°，H＝0.5 m(3)質(zhì)子在磁場中轉(zhuǎn)動(dòng)的角度θ＝60°，則運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t＝T而：T＝＝解得：t＝×10－5 s(或6.54×10－6 s)練習(xí)　如圖所示，一束電荷量為e的電子以垂直于磁感應(yīng)強(qiáng)度B并垂直于磁場邊界的速度v射入寬度為d的勻強(qiáng)磁場中，穿出磁場時(shí)速度方向和原來的射入方向的夾角為θ＝60°，求電子的質(zhì)量和穿越磁場的時(shí)間．答案　　解析　過M、N作入射方向和出射方向的垂線，兩垂線交于O點(diǎn)，O點(diǎn)即電子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心，過N作OM的垂線，垂足為P，如圖所示．由直角三角形OPN知，電子運(yùn)動(dòng)的半徑為r＝＝d①由牛頓第二定律知evB＝m②聯(lián)立①②式解得m＝電子在磁場中運(yùn)動(dòng)的周期為T＝·＝電子在磁場中的軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為α＝θ＝60°故電子在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t＝T＝×＝.二、帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動(dòng)1．直線邊界(進(jìn)出磁場具有對(duì)稱性，如圖所示)2．平行邊界(存在臨界條件，如圖所示)3．圓形邊界(進(jìn)出磁場具有對(duì)稱性)(1)沿徑向射入必沿徑向射出，如圖所示．(2)不沿徑向射入時(shí)速度方向與對(duì)應(yīng)點(diǎn)半徑的夾角相等(如圖所示) 例2　如圖所示，直線MN上方有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，正、負(fù)電子先后從同一點(diǎn)O以與MN成30°角的相同速度v射入磁場(電子質(zhì)量為m，電荷量為e)．求：(1)它們從磁場中射出時(shí)出射點(diǎn)相距多遠(yuǎn)？(2)射出的時(shí)間差是多少？答案　(1)　(2)解析　(1)正、負(fù)電子在磁場中的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：電子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：evB＝m，解得：r＝，由題意可知：θ＝30°如圖可知，兩電子從磁場射出時(shí)距O點(diǎn)均為r，所以出射點(diǎn)相距為：L＝2r＝；(2)正電子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T＝，正電子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t1＝T，負(fù)電子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t2＝T，射出的時(shí)間差為：Δt＝t2－t1＝.例3　如圖所示，虛線圓所圍區(qū)域內(nèi)有方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B.一束電子沿圓形區(qū)域的直徑方向以速度v射入磁場，電子束經(jīng)過磁場區(qū)后，其運(yùn)動(dòng)方向與原入射方向成θ角．設(shè)電子質(zhì)量為m，電荷量為e，不計(jì)電子之間相互作用力及所受的重力．求：(1)電子在磁場中運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑R；(2)電子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t.答案　(1)　(2)解析　(1)電子在磁場中受到的洛倫茲力提供電子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，即：evB＝m，由此可得電子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為：R＝(2)根據(jù)幾何關(guān)系可以知道，電子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)軌跡所對(duì)應(yīng)的圓心角為θ則電子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：t＝T＝×＝×＝.三、帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動(dòng)的臨界問題借助運(yùn)動(dòng)半徑R和速度v(或磁場B)之間的約束關(guān)系進(jìn)行動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)軌跡分析，確定軌跡圓和邊界的關(guān)系，找出臨界點(diǎn)，然后利用數(shù)學(xué)方法求解極值．注意：(1)剛好穿出磁場邊界的條件是帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌跡與邊界相切．(2)當(dāng)速度v一定時(shí)，弧長(或弦長)越長，圓心角越大，則帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越長．(3)當(dāng)速率v變化時(shí)，圓心角大的，運(yùn)動(dòng)時(shí)間長．例4　直線OM和直線ON之間的夾角為30°，如圖所示，直線OM上方存在勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外．一帶電粒子的質(zhì)量為m，電荷量為q(q>0)．粒子沿紙面以大小為v的速度從OM上的某點(diǎn)向左上方射入磁場，速度與OM成30°角．已知該粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)軌跡與ON只有一個(gè)交點(diǎn)，并從OM上另一點(diǎn)射出磁場．不計(jì)重力．粒子離開磁場的出射點(diǎn)到兩直線交點(diǎn)O的距離為(　　)A.       B.       C.       D.答案　D解析　帶電粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r＝.軌跡與ON相切，畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，由幾何知識(shí)得CO′D為一直線，＝＝2＝4r＝，故D正確．例5　如圖所示，一足夠長的矩形區(qū)域abcd內(nèi)充滿方向垂直紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，在ad邊中點(diǎn)O，方向垂直磁場向里射入一速度方向跟ad邊夾角θ＝30°、大小為v0(未知量)的帶正電粒子，已知粒子質(zhì)量為m，電荷量為q，ad邊長為L，ab邊足夠長，粒子重力不計(jì)，求：(1)若粒子恰好不能從磁場下邊界射出，求粒子的入射速度大小v01；(2)若粒子恰好沿磁場上邊界切線射出，求粒子的入射速度大小v02；(3)若帶電粒子的速度v0大小可取任意值，求粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間．答案　(1)　(2)　(3)解析　(1)和(2)兩種臨界情況的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示若粒子速度為v0，則qv0B＝m，解得：v0＝設(shè)圓心在O1處對(duì)應(yīng)圓弧與cd邊相切，相應(yīng)速度為v01由幾何關(guān)系得：R1－R1sin θ＝，解得R1＝L則有：v01＝＝設(shè)圓心在O2處對(duì)應(yīng)圓弧與ab邊相切，相應(yīng)速度為v02由幾何關(guān)系得：R2＋R2sin θ＝，解得R2＝則有：v02＝＝(3)由t＝T和T＝可知，粒子在磁場中經(jīng)過的弧所對(duì)的圓心角α越大，在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間也越長．在磁場中運(yùn)動(dòng)的半徑r<R2時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長則圓弧所對(duì)圓心角為α＝2π－2θ＝所以最長時(shí)間為t＝T＝×＝.【隨堂演練】1．如圖所示，一束電子以大小不同的速率沿圖示方向飛入橫截面為正方形的勻強(qiáng)磁場，下列判斷正確的是(　　)A．電子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長，其軌跡線越長B．電子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長，其軌跡線所對(duì)應(yīng)的圓心角越大C．在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同的電子，其軌跡線一定重合D．電子的速率不同，它們在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間一定不相同答案　B2．如圖所示，圓形區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，一個(gè)帶電粒子以速度v從B點(diǎn)沿直徑BOA方向射入磁場，經(jīng)過Δt時(shí)間從C點(diǎn)射出磁場，OC與OB成60°角．現(xiàn)將帶電粒子的速度變?yōu)?/span>3v，仍從B點(diǎn)沿原方向射入磁場，不計(jì)重力，則粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間變?yōu)?/span>(　　)A.Δt        B.Δt        C.Δt        D．Δt答案　B解析　設(shè)圓形磁場的半徑為R，粒子速度為v時(shí)，做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r1，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，由幾何關(guān)系知，圓心角θ1＝120°，r1＝，由r＝知，若粒子速度變?yōu)?/span>3v，則r2＝3r1＝R，此時(shí)設(shè)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心角為θ2，則tan＝＝，得θ2＝60°.由Δt＝T＝可得，速度變?yōu)?/span>3v后粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，選項(xiàng)B正確．3.在直角坐標(biāo)系xOy的第一象限內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶負(fù)電粒子從y軸正半軸上的A點(diǎn)以與y軸正方向夾角為α＝45°的速度垂直磁場方向射入磁場，如圖所示，已知OA＝a，不計(jì)粒子的重力，則下列說法正確的是(　　)A．若粒子垂直于x軸離開磁場，則粒子進(jìn)入磁場時(shí)的初速度大小為B．改變粒子的初速度大小，可以使得粒子剛好從坐標(biāo)系的原點(diǎn)O離開磁場C．粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間為D．從x軸射出磁場的粒子中，粒子的速度越大，在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間就越短答案　ACD解析　如圖所示，若粒子垂直于x軸離開磁場，則粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r＝a，又由r＝知v＝，A項(xiàng)正確；由幾何關(guān)系知，粒子不可能從O點(diǎn)離開磁場，B項(xiàng)錯(cuò)誤；粒子從AO間射出時(shí)間最長，對(duì)應(yīng)圓心角θ＝270°，則最長時(shí)間t＝T＝×＝，C項(xiàng)正確；從x軸射出磁場的粒子，速度越大，半徑越大，圓心角越小，在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間越短，D項(xiàng)正確．4.如圖，在xOy坐標(biāo)系的第一象限的三角形區(qū)域AOD內(nèi)有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場，將一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子(重力不計(jì))從坐標(biāo)原點(diǎn)O以初速度v0垂直于AD射入磁場，已知A的坐標(biāo)為(0，a)，D的坐標(biāo)為(3a,0)．(1)欲使粒子能夠再次經(jīng)過x軸上的OD段，求磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值；(2)在第四象限另有一矩形磁場，在第(1)問中磁感應(yīng)強(qiáng)度取最小值的情況下，粒子經(jīng)過x軸后立即進(jìn)入該矩形磁場，然后恰好從D點(diǎn)離開該磁場返回到第一象限，求該磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和磁場的最小面積．答案　(1)(2)　解析　 (1)粒子進(jìn)入磁場后的軌跡圓與磁場邊界相切時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度最小，如圖：設(shè)此時(shí)粒子的軌道半徑為R，有：R＝acos 30°＝1.5a由qvB＝m得Bmin＝＝.(2)如圖所示，粒子進(jìn)入第四象限矩形磁場區(qū)域的速度方向與x軸正方向成60°角斜向下，由題意，當(dāng)CD為矩形的一條邊且軌跡圓(圓心為O′′)恰好與CD的對(duì)應(yīng)邊相切時(shí)，該磁場有最小面積；據(jù)幾何關(guān)系，有OC＝R＝a，CD＝3a－a粒子在矩形磁場區(qū)域運(yùn)動(dòng)的半徑r＝·＝a－a由qv0B＝m解得B＝矩形磁場的最小寬度：d＝r－rcos 60°＝0.5r解得矩形磁場的最小面積：S＝CD·d＝(－)a2＝.    

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