三角形的中位線一．教學(xué)目標(biāo)1．探索并掌握三角形的中位線的概念、性質(zhì)。2．會(huì)利用三角形中位線的性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題。3．經(jīng)歷探索三角形中位線性質(zhì)的探索過(guò)程，發(fā)展學(xué)生觀察能力及抽象思維能力。二．知識(shí)梳理1.學(xué)習(xí)新知①剪一個(gè)三角形記為△ABC；②分別取AB、AC的中點(diǎn)D、E，連接DE；③沿DE將△ABC剪成兩部分，將△ADE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°，得四邊形BCFD，如圖     ④四邊形BCFD是平行四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。 ⑤還有什么發(fā)現(xiàn)？三角形中位線的概念：連接三角形兩邊的中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線  三角形中位線的性質(zhì): 三角形的中位線平行與第三邊，并且等于它的一半2．說(shuō)一說(shuō)三角形的中線與三角形的中位線的區(qū)別。3．根據(jù)圖中的條件，回答問(wèn)題。（1）如圖（a），已知D、E分別為AB和AC的中點(diǎn)，DE=5，求BC的長(zhǎng)。（2）如圖（b），D、E、F分別為AB、AC、BC的中點(diǎn)，AC=8，∠C=70°，求DF的長(zhǎng)和∠EDF的度數(shù)。（3）如圖（c ）,若△DEF的周長(zhǎng)為10cm，求△ABC的周長(zhǎng)； 若△ABC的面積等于20cm，求△DEF的面積。     （a）                          (c)                     (c)三．典例精講題型一：求線段的長(zhǎng)1、如圖，△ABC中，已知AB=8，∠C=90°，∠A=30°，DE是中位線，則DE的長(zhǎng)為（　?。?/span>A．4 B．3 C． D．2變式：2、如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，AC=12，F(xiàn)是DE上一點(diǎn)，連接AF，CF，DF=1．若∠AFC=90°，則BC的長(zhǎng)度為（　　）    A．12  B．13  C．14  D．15 例2、如圖，點(diǎn)A，B為定點(diǎn)，定直線l∥AB，P是l上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別為PA，PB的中點(diǎn)，對(duì)下列各值：①線段MN的長(zhǎng)；②△PAB的周長(zhǎng)；③△PMN的面積；④直線MN，AB之間的距離；⑤∠APB的大?。?/span>其中會(huì)隨點(diǎn)P的移動(dòng)而變化的是（　　）A．②③ B．②⑤ C．①③④ D．④⑤變式：1、如圖，在矩形ABCD中，P、R分別是BC和DC上的點(diǎn)，E、F分別是AP和RP的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在BC上從點(diǎn)B向點(diǎn)C移動(dòng)，而點(diǎn)R不動(dòng)時(shí)，下列結(jié)論正確的是（　?。?/span>                            A．線段EF的長(zhǎng)逐漸增長(zhǎng)B．線段EF的長(zhǎng)逐漸減小C．線段EF的長(zhǎng)始終不變D．線段EF的長(zhǎng)與點(diǎn)P的位置有關(guān)題型二：證明線段的倍分問(wèn)題例1、如圖，DE是△ABC的中位線，求證：DE∥BC，且DE=BC．  變式：1、如圖，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，BC的中點(diǎn)為M，ME∥AD，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F．（1）求證：AE=AF；（2）求證：BE=（AB+AC）．   例2、如圖，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．當(dāng)BD、AC滿足什么條件時(shí)，四邊形EFGH是正方形．題型三：構(gòu)造三角形的中位線例1、已知：△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC，E為BC的中點(diǎn)，求證：AB=2DE．             變式：1、在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC⊥BD且AC=6、BD=8，E、F分別是邊AB、CD的中點(diǎn)，求EF的長(zhǎng)．         例2、如圖，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于點(diǎn)E，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)．（1）如圖1，BE的延長(zhǎng)線與AC邊相交于點(diǎn)D，求證：EF=（AC﹣AB）；（2）如圖2，寫出線段AB、AC、EF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．  題型四：找規(guī)律的問(wèn)題題型四：找規(guī)律的問(wèn)題例1、如圖，在△A1B1C1中，已知A1B1=7，B1C1=4，A1C1=5，依次連接△A1B1C1三邊中點(diǎn)，得△A2B2C2，再依次連接△A2B2C2的三邊中點(diǎn)得△A3B3C3，…，則△A5B5C5的周長(zhǎng)為　　．變式：1、如圖，依次連接第一個(gè)矩形各邊的中點(diǎn)得到一個(gè)菱形，再依次連接菱形各邊的中點(diǎn)得到第二個(gè)矩形，按照此方法繼續(xù)下去，已知第一個(gè)矩形的周長(zhǎng)為1，則第n個(gè)矩形的周長(zhǎng)為（　?。?/span> B． C． D． 2、如圖，在△ABC中，BC=1，點(diǎn)P1，M1分別是AB，AC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P2，M2分別是AP1，AM1的中點(diǎn)，點(diǎn)P3，M3分別是AP2，AM2的中點(diǎn)，按這樣的規(guī)律下去，PnMn的長(zhǎng)為　　（n為正整數(shù)）． 四．課堂練習(xí)1．△ABC中，D、E分別是AB、AC邊上的中點(diǎn)，若BC=8，則DE=（    ）A．5          B．4           C．3          D．22．三角形的三條中位線長(zhǎng)分別為3cm，4cm，6cm，則原三角形的周長(zhǎng)為(     )A．24cm        B．26cm         C．34cm        D．52cm3．△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC中點(diǎn)，∠A=50°，∠ADE=60°，那么∠C=(    ) A．50°     B．60°      C．70°    D．80°4．如圖，在△ABC中，AB=6，AC=10，點(diǎn)D，E，F分別是AB，BC，AC的中點(diǎn)；則四邊形ADEF的周長(zhǎng)為（    ）  A．8       B．10      C．12       D．165．如圖，在四邊形ABCD 中，AB=CD，M、N、P分別AD、BC、BD的中點(diǎn)，若∠MPN=130°，則∠NMP=（    ） A．25°      B．30°      C．35°      D．50°6．在四邊形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的周長(zhǎng)為（    ）A．14       B．16        C．18        D．20         第4題圖                     第5題圖                 第6題圖7．如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，E、F分別是AP、PC的中點(diǎn)，則EF的長(zhǎng)度（    ）A．逐漸增大      B．逐漸減小      C．不變      D．無(wú)法確定8．如圖，已知矩形ABCD中，R，P分別是DC、BC上的點(diǎn)，E，F分別是AP，RP的中點(diǎn)，當(dāng)P在BC上從B向C移動(dòng)而R不動(dòng)時(shí)，那么線段EF的長(zhǎng)（    ）A．逐漸增大      B．逐漸減小         C．不改變         D．不能確定9．已知：如圖，四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，則四邊形EFGH一定是（  A  ）A．平行四邊形       B．矩形        C．正方形       D．菱形           第7題圖                   第8題圖                    第9題圖10．如圖，四邊形各邊中點(diǎn)及對(duì)角線中點(diǎn)共六個(gè)點(diǎn)中，任取四個(gè)點(diǎn)連成四邊形中，最多可以有（    ）個(gè)平行四邊形；A．2       B．3      C．4      D．5      11．△ABC中，D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，若DE＝4，AD＝3，AE＝2，則△ABC的周長(zhǎng)為______； 12．在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，四邊形EFGH的周長(zhǎng)為30，則AC+BD=        ； 13．已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，CA=CD，CF平分∠ACB，交AD于點(diǎn)F，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)．若EF=2，則BD=________；14．如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F分別是線段AO，BO的中點(diǎn)；若AC+BD=24cm，△OAB的周長(zhǎng)是18cm，則EF的長(zhǎng)為________cm；15．如圖，BD為△ABC的內(nèi)角平分線，CE為△ABC的外角平分線，AD⊥BD于D，AE⊥CE于E，延長(zhǎng)AD交BC的延長(zhǎng)線于F，連接DE，設(shè)BC=a，AC=b，AB=c，（a＜b＜c）；給出以下結(jié)論正確的有_____________；①CF=c﹣a；②AE=（a+b）；③DE=（a+b﹣c）；④DF=（b+c﹣a）；  第13題圖               第14題圖                   第15題圖 16．如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC，E、F、G分別是AB、CD、AC的中點(diǎn)；求證：△EFG是等腰三角形；17．已知：如圖，△ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E點(diǎn)，若AB＝5，AC＝7，求ED的長(zhǎng)；                                      18．已知：如圖，在□ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，F是AE的中點(diǎn)，FC與BE交于G；求證：GF＝GC；                                    19．已知：如圖，E為□ABCD中DC邊的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CE＝DC，連結(jié)AE分別交BC、BD于點(diǎn)F、G，連結(jié)AC交BD于O，連結(jié)OF．求證：AB＝2OF．    20．△ABC的中線BD、CE相交于O，F，G分別是BO、CO的中點(diǎn)；求證：EF∥DG，且EF=DG；                                                21、如圖1，在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連接EF并延長(zhǎng)，分別與BA、CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M、N，則∠BME=∠CNE（不需證明）．????????????? ????????????? ????????????? （溫馨提示：在圖1中，連接BD，取BD的中點(diǎn)H，連接HE、HF，根據(jù)三角形中位線定理，證明HE=HF，從而∠1=∠2，再利用平行線性質(zhì)，可證得∠BME=∠CNE．）????????????? ????????????? ????????????? 問(wèn)題一：如圖2，在四邊形ADBC中，AB與CD相交于點(diǎn)O，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連接EF，分別交DC、AB于點(diǎn)M、N，判斷△OMN的形狀，請(qǐng)直接寫出結(jié)論；????????????? ????????????? ????????????? 問(wèn)題二：如圖3，在△ABC中，AC＞AB，D點(diǎn)在AC上，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連接EF并延長(zhǎng)，與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，若∠EFC=60°，連接GD，判斷△AGD的形狀并證明．????????????? ????????????? ?????????????  

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