因式分解一、因式分解的概念例1 下列各式從左邊到右邊的變形中，是因式分解的為(　　)A.a(x+y)=ax+ay        B.x2-4x+4=x(x-4)+4C.10x2-5x=5x(2x-1)       D.x2-16+6x=（x+4）（x-4）分析：要充分理解因式分解的概念和具體要求.選項A屬于整式乘法；B只是分解了局部，沒有整體化成整式的積的形式；而D左右兩邊不相等，不屬于恒等變形，因而也不屬于分解因式.解：選C.二、因式分解的方法例2 因式分解：2(a-3)2-a+3=                 .分析：注意到-a+3提出負號后可變成（a-3），所以考慮將負號提出，添括號后提取公因式（a-3）.解：2(a-3)2-a+3=2(a-3)2-(a-3)= (a-3)(2a-6-1)=(a-3)(2a-7).注意：注意本題在提取公因式(a-3)后要將剩余部分合并.例3 因式分解：4m2+9(m+n)2+12m(m+n).分析：可將(m+n)看做一個整體，利用完全平方公式分解.解：4m2+9(m+n)2+12m(m+n)= (2m)2+2×2m×3(m+n)+ [3(m+n)]2=[2m+3(m+n)]2= (5m+3n)2.注意：當所要分解的多項式符合公式的“項數(shù)”時，注意靈活進行整體運用.例4 因式分解：a2(2x-3)+9(3-2x).分析：先提取(2x-3)，然后用平方差公式分解，注意后一項的符號變化.解：a2(2x-3)+9(3-2x)=(2x-3)(a2-9)=(2x-3)(a+3)(a-3).三、因式分解相關的計算例5 已知x=a+b，y=a-b，用簡便方法計算代數(shù)式(x2+y2)2-(x2-y2)2的值.分析：將代數(shù)式(x2+y2)2-(x2-y2)2用平方差公式分解后，每個括號內合并，然后觀察與x，y的關系，再將x=a+b，y=a-b代入求解.解：(x2+y2)2-(x2-y2)2=(x2+y2+x2-y2)(x2+y2-x2+y2)=2x2·2y2= 4x2y2=4(xy)2=4[(a+b)(a-b)]2=4a4-8a2b2+4b4.例6 計算.分析：若直接計算，則分母中的計算量很大，考慮括號內的部分能否用完全平方公式分解.解：==.四、因式分解相關的說明 例7 已知a2+b2=1，x2+y2=1.試說明： (ax+by)2+(bx-ay)2=1.分析：將所證式子的左邊整理成用a2+b2和x2+y2表示，故考慮將左邊因式分解. (ax+by)2+(bx-ay)2=a2x2+2abxy+b2y2+b2x2-2abxy+a2y2=a2x2+b2y2+b2x2+a2y2=(a2+b2)x2+(a2+b2)y2=(a2+b2)(x2+y2).因為a2+b2=1，x2+y2=1，所以(ax+by)2+(bx-ay)2=1.注意：此題采用“欲進先退”的策略，即要進行分解因式，先進行整式的乘法，待到式子化簡后，再分解因式進行說明.五、因式分解的實際應用例8 已知大正方形的周長和小正方形的周長相差88 cm，它們的面積相差836 cm2，求這兩個正方形的邊長.分析：設大正方形的邊長為x cm，小正方形的邊長為y cm，則根據它們的周長相差88 cm，可得4(x-y)=88.又因為它們的面積相差836 cm2，所以x2-y2=836，根據這兩個方程可求出x，y的值，但是兩個方程的數(shù)值較大，計算復雜，因此可以考慮將x2-y2=836用因式分解法變形，求解.解：設大正方形的邊長為x cm，小正方形的邊長為y cm，根據題意得 方程組等價于將③代入④，得x+y=38⑤.③和⑤組成方程組得解得x=30，y=8.所以大正方形的邊長是30 cm，小正方形的邊長是8 cm.誤區(qū)點撥誤區(qū)一因式對分解的概念理解不透徹例1 下列從左到右的變形是分解因式的是(    )A.            B.C.   D.=錯解：選B、C、D.錯因分析：B中只是將部分寫成積的形式，不符合因式分解的概念，C中是整式的乘法，和因式分解正好互為逆運算；D中的a-1實質上是，不是整式，而分解因式是要求把多項式寫成整式的積的形式，所以不正確.正解：選A.誤區(qū)二 多項式分解不徹底例2 因式分解a4-2a2+1.錯解： a4-2a2+1=(a2) 2-2a2+1=(a2-1)2.錯因分析：括號內的a2-1還可以利用平方差分解，然后利用積的平方寫成(a+1)2 (a-1)2.正解 ：a4-2a2+1=(a2) 2-2a2+1=(a2-1)2=(a+1)2 (a-1)2.誤區(qū)三 利用公式出現(xiàn)偏差例3 因式分解 (x+y)2-4xy.錯解 ：(x+y)2-4xy=（x+y+2xy）(x+y-2xy).錯因分析： 4xy不是一個整式的平方的形式，不能直接利用平方差公式分解.正解： (x+y)2-4xy=x2+y2+2xy-4xy=x2+y2-2xy=(x-y)2.誤區(qū)四 提公因式漏項例4 分解因式 3a2bc3-12abc2+3abc.錯解：3a2bc3-12abc2+3abc=3abc(ac2-4c).錯因分析：最后一項提取公因式3abc后，還剩余1單獨成一項.正解：3a2bc3-12abc2+3abc=3abc(ac2-4c+1).教學反思： 

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