理解因式分解的意義，并感受分解因式與整式乘法是相反方向的運(yùn)算；
2．掌握提公因式法和公式法（直接運(yùn)用公式不超過兩次）這兩種分解因式的基本方法；
3. 了解因式分解的一般步驟；能夠熟練地運(yùn)用這些方法進(jìn)行多項(xiàng)式的因式分解.
【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】
【要點(diǎn)梳理】
要點(diǎn)一、因式分解
把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的運(yùn)算，二者不能混淆.因式分解是一種恒等變形，而整式乘法是一種運(yùn)算.
要點(diǎn)二、提公因式法
把多項(xiàng)式分解成兩個(gè)因式的乘積的形式，其中一個(gè)因式是各項(xiàng)的公因式，另一個(gè)因式是，即，而正好是除以所得的商，提公因式法分解因式實(shí)際上是逆用乘法分配律.
要點(diǎn)三、公式法
1.平方差公式
兩個(gè)數(shù)的平方差等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，即：
2.完全平方公式
兩個(gè)數(shù)的平方和加上這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和（差）的平方．
即，.
形如，的式子叫做完全平方式.
要點(diǎn)詮釋：（1）平方差公式的特點(diǎn)：左邊是兩個(gè)數(shù)（整式）的平方，且符號(hào)相反，右邊是兩個(gè)數(shù)（整式）的和與這兩個(gè)數(shù)（整式）的差的積.
（2）完全平方公式的特點(diǎn)：左邊是二次三項(xiàng)式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍. 右邊是兩數(shù)的和（或差）的平方.
（3）套用公式時(shí)要注意字母和的廣泛意義，、可以是字母，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.
要點(diǎn)四、十字相乘法和分組分解法
十字相乘法
利用十字交叉線來分解系數(shù)，把二次三項(xiàng)式分解因式的方法叫做十字相乘法.
對(duì)于二次三項(xiàng)式，若存在 ，則
分組分解法
對(duì)于一個(gè)多項(xiàng)式的整體，若不能直接運(yùn)用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解時(shí)，可考慮分步處理的方法，即把這個(gè)多項(xiàng)式分成幾組，先對(duì)各組分別分解因式，然后再對(duì)整體作因式分解——分組分解法.即先對(duì)題目進(jìn)行分組，然后再分解因式.
要點(diǎn)五、因式分解的一般步驟
因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分組分解法, 十字相乘法, 添、拆項(xiàng)法等.
因式分解步驟
（1）如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，先提取公因式；
（2）如果各項(xiàng)沒有公因式那就嘗試用公式法；
（3）如用上述方法也不能分解，那么就得選擇分組或其它方法來分解．
（4）結(jié)果要徹底，即分解到不能再分解為止．
【典型例題】
類型一、提公因式法分解因式
1、 分解因式：
(1)；
(2)．
【答案與解析】
解：(1)．
(2)
．
【總結(jié)升華】在提取公因式時(shí)要注意提取后各項(xiàng)字母，指數(shù)的變化，另外分解要徹底，特別是因式中含有多項(xiàng)式的一定要檢驗(yàn)是否能再分，分解因式后可逆過來用整式乘法驗(yàn)證其正確與否．
2、利用分解因式證明：能被120整除．
【思路點(diǎn)撥】25＝，進(jìn)而把整理成底數(shù)為5的冪的形式，然后提取公因式并整理為含有120的因數(shù)即可．
【答案與解析】
證明：＝
＝
＝
＝
＝
＝
∴能被120整除．
【總結(jié)升華】解決本題的關(guān)鍵是用因式分解法把所給式子整理為含有120的因數(shù)相乘的形式．
類型二、公式法分解因式
3、放學(xué)時(shí)，王老師布置了一道分解因式題：，小明思考了半天，沒有答案，就打電話給小華，小華在電話里講了一句，小明就恍然大悟了，你知道小華說了句什么話嗎？小明是怎樣分解因式的．
【思路點(diǎn)撥】把分別看做一個(gè)整體，再運(yùn)用完全平方公式解答．
【答案與解析】
解：把看作完全平方式里的；
原式＝
＝
＝．
【總結(jié)升華】本題主要考查利用完全平方公式分解因式，注意把看作完全平方式里的是解題的關(guān)鍵．
舉一反三：
【變式】下面是某同學(xué)對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解的過程．
解：設(shè)
原式＝（第一步）
＝（第二步）
＝（第三步）
＝（第四步）
回答下列問題：
（1）該同學(xué)第二步到第三步運(yùn)用了因式分解的（ ）．
A、提取公因式 B．平方差公式
C、兩數(shù)和的完全平方公式 D．兩數(shù)差的完全平方公式
（2）該同學(xué)因式分解的結(jié)果是否徹底________．（填“徹底”或“不徹底”）
若不徹底，請(qǐng)直接寫出因式分解的最后結(jié)果_________.
（3）請(qǐng)你模仿以上方法嘗試對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解．
【答案】
解：（1）運(yùn)用了C，兩數(shù)和的完全平方公式；
（2）還可以分解，分解不徹底；結(jié)果為.
（3）設(shè)．
＝，
＝，
＝2，
＝，
＝．
4、（2014春?高密市期末）把下列各式進(jìn)行因式分解
（1）4（x﹣2）2﹣1；
（2）（x+y）2+4（x+y+1）.
【思路點(diǎn)撥】（1）直接利用平方差公式分解因式即可；（2）經(jīng)過變形，利用完全平方公式分解因式即可.
【答案與解析】
解：（1）4（x﹣2）2﹣1
=[2（x﹣2）+1][2（x﹣2）﹣1]
=（2x﹣3）（2x﹣5）；
（2）（x+y）2+4（x+y+1）
=（x+y）2+4（x+y）+4
=（x+y+2）2.
【總結(jié)升華】此題主要考查了公式法分解因式，熟練掌握乘法公式是解題關(guān)鍵．
舉一反三：
【變式】設(shè)，，…，（為大于0的自然數(shù)）．（1）探究是否為8的倍數(shù)，并用文字語言表述你所獲得的結(jié)論；（2）若一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根是一個(gè)自然數(shù)，則稱這個(gè)數(shù)是“完全平方數(shù)”．試找出，，…，，…這一列數(shù)中從小到大排列的前4個(gè)完全平方數(shù)，并指出當(dāng)滿足什么條件時(shí)，為完全平方數(shù)（不必說明理由）．
【答案】
解：（1）∵，
又為非零的自然數(shù)，
∴是8的倍數(shù)．
這個(gè)結(jié)論用文字語言表述為：兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù)
（2）這一列數(shù)中從小到大排列的前4個(gè)完全平方數(shù)為16，64，144，256．
為一個(gè)完全平方數(shù)的2倍時(shí)，為完全平方數(shù)
類型三、十字相乘法和分組分解法分解因式
5、分解因式：（1）
（2）
（3）
【答案與解析】
解：（1）原式
（2）原式＝

（3）原式＝
【總結(jié)升華】做題之前要仔細(xì)觀察，注意從整體的角度看待問題.
舉一反三：
【變式】（2014秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）（x﹣y）2+5（x﹣y）﹣50．
【答案】解：將（x-y）看成一個(gè)整體，原式=（x﹣y+10）（x﹣y﹣5）．
6、已知長(zhǎng)方形周長(zhǎng)為300厘米，兩鄰邊分別為厘米、厘米，
且＝0，求長(zhǎng)方形的面積．
【思路點(diǎn)撥】把＝0化簡(jiǎn)成，可得，由題意可得，解方程組即可.
【答案與解析】
解：∵＝0
∴＝0
∵＝0
∴，，（不合題意，舍去）
又由題意可得
解方程組
解之得，＝100，＝50
∴長(zhǎng)方形的面積＝100×50＝5000平方厘米．
【總結(jié)升華】本題是因式分解在學(xué)科內(nèi)的綜合運(yùn)用，主要考查了分組分解法，提取公因式法和運(yùn)用平方差公式法．
舉一反三：
【變式】因式分解：，正確的分組是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D；
當(dāng)被分解的式子是四項(xiàng)時(shí)，應(yīng)考慮運(yùn)用分組分解法進(jìn)行分解．本題中正好符合完全平方公式，應(yīng)考慮2，3，4項(xiàng)為一組．
ADDIN CNKISM.UserStyle【鞏固練習(xí)】
一.選擇題
1. 下列式子變形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2. 已知：△ABC的三邊長(zhǎng)分別為，那么代數(shù)式的值（ ）
A.大于零 B.等于零 C.小于零 D不能確定
3．已知有一個(gè)因式是，把它分解因式后應(yīng)當(dāng)是（ ）
A． B．
C． D．
4．若，且，，那么必須滿足條件( )．
A.都是正數(shù)B. 異號(hào)，且正數(shù)的絕對(duì)值較大
C.都是負(fù)數(shù)D. 異號(hào)，且負(fù)數(shù)的絕對(duì)值較大
5.（2015?賀州）把多項(xiàng)式4x2y﹣4xy2﹣x3分解因式的結(jié)果是（ ）
A．4xy（x﹣y）﹣x3B．﹣x（x﹣2y）2
C．x（4xy﹣4y2﹣x2）D．﹣x（﹣4xy+4y2+x2）
6．將下述多項(xiàng)式分解后，有相同因式的多項(xiàng)式有 ( )
①； ②； ③； ④；
⑤； ⑥
A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)
7. 已知可因式分解成，其中均為整數(shù)，則（ ）
A．－12 B．－32 C．38 D．72
8. 將分組分解，下列的分組方法不恰當(dāng)?shù)氖牵? ）
A. B.
C. D.
二.填空題
9.（2015春?濱江區(qū)期末）因式分解：16m4﹣8m2n2+n4= ．
10. 分解因式：＝_____________.
11.已知，則＝ ．
12.分解因式：＝__________.
13．若有一個(gè)因式為，則的值應(yīng)當(dāng)是_________.
14.把多項(xiàng)式分解因式的結(jié)果是__________.
15.已知，則＝ ．
16.分解因式：（1）＝________；（2）＝________.
三.解答題
17.求證：能被45整除．
18.（2015春?焦作校級(jí)期中）已知x2+x=1，求x4+x3﹣2x2﹣x+2015的值．
19.（1）有若干塊長(zhǎng)方形和正方形硬紙片如圖1所示，用若干塊這樣的硬紙片拼成一個(gè)新的長(zhǎng)方形，如圖2．
①用兩種不同的方法，計(jì)算圖2中長(zhǎng)方形的面積；
②由此，你可以得出的一個(gè)等式為：________.
（2）有若干塊長(zhǎng)方形和正方形硬紙片如圖3所示．
①請(qǐng)你用拼圖等方法推出一個(gè)完全平方公式，畫出你的拼圖；
②請(qǐng)你用拼圖等方法推出因式分解的結(jié)果，畫出你的拼圖．
20.下面是某同學(xué)對(duì)多項(xiàng)式＋4進(jìn)行因式分解的過程：
解：設(shè)
原式＝ （第一步）
＝ （第二步）
＝ （第三步）
＝ （第四步）
回答下列問題：
（1）該同學(xué)第二步到第三步運(yùn)用了因式分解的（ ）
A．提取公因式 B.平方差公式
C.兩數(shù)和的完全平方公式 D.兩數(shù)差的完全平方公式
（2）該同學(xué)因式分解的結(jié)果是否徹底？______________(填徹底或不徹底)
若不徹底，請(qǐng)直接寫出因式分解的最后結(jié)果_______________.
（3）請(qǐng)你模仿以上方法嘗試對(duì)多項(xiàng)式 進(jìn)行因式分解.
【答案與解析】
一.選擇題
1. 【答案】B；
【解析】
A.右邊不是整式積的形式，故不是分解因式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B.是整式積的形式，故是分解因式，故本選項(xiàng)正確；
C.是整式的乘法，故不是分解因式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D.，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．
2. 【答案】C；
【解析】，因?yàn)闉槿切稳呴L(zhǎng)，所以，所以原式小于零.
3. 【答案】A
【解析】代入答案檢驗(yàn).
4. 【答案】B；
【解析】由題意，所以選B.
5. 【答案】B；
【解析】解：4x2y﹣4xy2﹣x3
=﹣x（x2﹣4xy+4y2）
=﹣x（x﹣2y）2，
故選：B．
6. 【答案】C；
【解析】①，③，⑤，⑥分解后有因式.
7.【答案】Ａ；
【解析】原式＝，∵可以分解成，∴∴－12．
8. 【答案】D；
【解析】A、B各組提公因式后，又有公因式可提取分解，所以分組合理，C第一組運(yùn)用立方和公式，第二組提取公因式后，有公因式，所以分組合理，D第一組提取公因式后與第二組無公因式且又不符公式，所以分解不恰當(dāng).
二.填空題
9. 【答案】（2m﹣n）2（2m+n）2；
【解析】解：16m4﹣8m2n2+n4
=（4m2﹣n2）2
=（2m﹣n）2（2m+n）2．
故答案為：（2m﹣n）2（2m+n）2．
10.【答案】；
【解析】
＝＝．
11.【答案】－3；
【解析】.
12.【答案】；
【解析】＝＝．
13.【答案】－6；
【解析】由題意，當(dāng)時(shí)，，解得＝－6.
14.【答案】；
【解析】＝＝．
15.【答案】39；
【解析】原式＝.
16.【答案】；；
【解析】；
.
三.解答題
17.【解析】
證明：原式＝
＝＝．
所以能被45整除．
18.【解析】
解：∵x2+x=1，
∴x2=1﹣x，x2﹣1=﹣x，
∴x4+x3﹣2x2﹣x+2015
=x2（x2﹣1）+x3﹣x2﹣x+2015
=x2（﹣x）+x3﹣x2﹣x+2015
=﹣（x2+x）+2015
=﹣1+2015
=2014．
即x4+x3﹣2x2﹣x+2015=2014．
19.【解析】
解：（1）①長(zhǎng)方形的面積＝；長(zhǎng)方形的面積＝；
②；
（2）①如圖，可推導(dǎo)出；
②．
20.【解析】
解：（1）C；
（2）不徹底；；
（3）設(shè)，原式＝
.

相關(guān)學(xué)案

初中數(shù)學(xué)人教版七年級(jí)下冊(cè)6.3 實(shí)數(shù)導(dǎo)學(xué)案及答案：

這是一份初中數(shù)學(xué)人教版七年級(jí)下冊(cè)6.3 實(shí)數(shù)導(dǎo)學(xué)案及答案，文件包含實(shí)數(shù)全章復(fù)習(xí)與鞏固提高知識(shí)講解doc、實(shí)數(shù)全章復(fù)習(xí)與鞏固提高鞏固練習(xí)doc等2份學(xué)案配套教學(xué)資源，其中學(xué)案共13頁， 歡迎下載使用。

數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)1 因式分解導(dǎo)學(xué)案：

這是一份數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)1 因式分解導(dǎo)學(xué)案，文件包含《因式分解》全章復(fù)習(xí)與鞏固提高知識(shí)講解doc、《因式分解》全章復(fù)習(xí)與鞏固提高鞏固練習(xí)doc等2份學(xué)案配套教學(xué)資源，其中學(xué)案共13頁， 歡迎下載使用。

初中數(shù)學(xué)湘教版七年級(jí)下冊(cè)第4章 相交線與平行線綜合與測(cè)試學(xué)案及答案：

這是一份初中數(shù)學(xué)湘教版七年級(jí)下冊(cè)第4章 相交線與平行線綜合與測(cè)試學(xué)案及答案，共14頁。學(xué)案主要包含了學(xué)習(xí)目標(biāo)，知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，要點(diǎn)梳理，典型例題，答案與解析，總結(jié)升華，總計(jì)升華，思路點(diǎn)撥等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)學(xué)案 更多

湘教版第3章 因式分解綜合與測(cè)試導(dǎo)學(xué)案及答案

湘教版第3章 因式分解綜合與測(cè)試導(dǎo)學(xué)案及答案
初中數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)上冊(cè)13.1.1 軸對(duì)稱學(xué)案

初中數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)上冊(cè)13.1.1 軸對(duì)稱學(xué)案
七年級(jí)上冊(cè)第二章 整式的加減2.2 整式的加減學(xué)案設(shè)計(jì)

七年級(jí)上冊(cè)第二章 整式的加減2.2 整式的加減學(xué)案設(shè)計(jì)
初中數(shù)學(xué)人教版七年級(jí)上冊(cè)第一章 有理數(shù)1.2 有理數(shù)1.2.1 有理數(shù)導(dǎo)學(xué)案及答案

初中數(shù)學(xué)人教版七年級(jí)上冊(cè)第一章 有理數(shù)1.2 有理數(shù)1.2.1 有理數(shù)導(dǎo)學(xué)案及答案
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
初中數(shù)學(xué)湘教版七年級(jí)下冊(cè)電子課本 舊教材

章節(jié)綜合與測(cè)試

版本： 湘教版

年級(jí)： 七年級(jí)下冊(cè)

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學(xué)案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部