? 圓
一、選擇題
1.如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)D在AB的延長線上,過點(diǎn)D作⊙O的切線,切點(diǎn)為C,若∠A=25°,則
∠D= ( )
A.40° B.45° C.50° D.65°

2.如圖,正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O,點(diǎn)P是劣弧上一點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)C重合),則∠CPD=( )
A.45° B.36° C.35° D.30°

3.如圖,AB是⊙O的直徑,CD是弦,∠BCD=30°,AB=4,則陰影部分的面積是 ( )
A.2π3 B.π3 C.2π D.π

4.如圖,直線l與⊙O相切于點(diǎn)A,直徑BC的延長線與切線l交于點(diǎn)D,連接AB,且∠BDA=3∠DBA,則∠DBA的度數(shù)為 ( )
A.15° B.20° C.18° D.22°

5.在聯(lián)歡會上,甲、乙、丙3人分別站在不在同一直線上的三點(diǎn)A,B,C上,他們在玩搶凳子的游戲,要在他們中間放一個(gè)木凳,誰先搶到凳子誰獲勝,為使游戲公平,凳子應(yīng)放的最恰當(dāng)?shù)奈恢檬恰鰽BC的 ( )
A.三條高的交點(diǎn) B.重心 C.內(nèi)心 D.外心
6.用圓心角為120°，半徑為6 cm的扇形紙片卷成一個(gè)冰激凌脆皮筒形狀的圓錐體(如圖所示)，則這個(gè)圓錐幾何體的高是 ( )
A. 2 cm B.32 cm C.42 cm D.4 cm

7.如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，則點(diǎn)O是 △ABC的 ( )
A.三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)
B.三條角平分線的交點(diǎn)
C.三條中線的交點(diǎn)
D.三條高線的交點(diǎn)

8.如圖,在⊙O中,點(diǎn)P是直徑CB延長線上一點(diǎn),PA與⊙O相切于點(diǎn)A.點(diǎn)Q是弧AC上一點(diǎn),連接OA,AQ,BQ,則∠P與∠Q的關(guān)系為 ( )
A.∠P=∠Q B.∠P+∠Q=90°
C.∠P+2∠Q=90° D.∠P+∠Q=180°

9.如圖，在扇形OAB中，已知∠AOB=90°,OA=2,過的中點(diǎn)C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為D，E，則圖中陰影部分的面積為 ( )
A.π-1 B.π2-1 C.π-12 D.π2-12

10.如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠ACB=45°,直線AD與⊙O相切，則cos∠BAD= ( )
A.12 B.22 C.32 D.1

二、填空題
11.如圖,四邊形ABCD是⊙O內(nèi)接四邊形,若∠BAC=35°,∠CBD=70°,則∠BCD的度數(shù)為_________.

12.如圖，AB為半圓的直徑，且AB=2，半圓繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)40°，點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到A′的位置，則圖中陰影部分的面積為__________(結(jié)果保留π)．

13.如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠ABC=120°,AB=BC=4,則⊙O的直徑=________.

14.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABD=80°,∠C=125°,AB=32,則弧AB的長為_________.

15.如圖，已知水平放置的圓柱形污水排水管道的截面半徑OB=12 cm,截面圓心O到污水面的距離OC=6 cm,則截面上有污水部分的面積為________.

16.某蔬菜基地的圓弧形蔬菜大棚的剖面如圖所示,已知AB=16 m,半徑 OA=10 m,則蔬菜大棚的高度CD=______m.

三、解答題
17.如圖，圓O是△ABC的外接圓，其切線AE與直徑BD的延長線相交于點(diǎn)E，且AE=AB.
(1)求∠ACB的度數(shù)；
(2)若DE=2,求圓O的半徑.








18.如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD平分∠ACB，過點(diǎn)D的切線與CB的延長線交于點(diǎn)E.
(1)求證：DE∥AB；
(2)當(dāng)DE=7,BE=5時(shí)，求sinA的值.

19.如圖1,在⊙O中,AC為直徑,D在上,B為中點(diǎn),過B作BF⊥AD的延長線于點(diǎn)F.
(1)求證:BF為⊙O的切線;
(2)如圖2,連接DO交AB于G,并延長交⊙O于E,連接BE,若AG=AD=1,求DF.









20.如圖1，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，CD⊥AB于點(diǎn)D，E是BA延長線上一點(diǎn)，
連接CE，∠ACE=∠ACD,K是線段AO上一點(diǎn)，連接CK并延長交⊙O于點(diǎn)F.
(1)求證：CE是⊙O的切線；
(2)若AD=DK,求證：AK·AO=KB·AE;
(3)如圖2，若AE=AK,=,G是BC的中點(diǎn)，AG與CF交于點(diǎn)P，連接BP.請猜想PA，PB，PF的數(shù)量關(guān)系，并證明.





21.如圖，四邊形OABC中，∠OAB=90°，OA = OC，BA= BC. 以O(shè)為圓心，以O(shè)A為半徑作⊙O.
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）連接BO并延長交⊙O于點(diǎn)D，延長AO交⊙O于點(diǎn)E，與BC的延長線交于點(diǎn)F，若=，
①補(bǔ)全圖形；
②求證：OF=OB.








22.如圖,PC是⊙O的直徑,PA切⊙O于點(diǎn)P,OA交⊙O于點(diǎn)B,連接BC.已知⊙O的半徑為2,∠C=35°.
(1)求∠A的度數(shù);
(2)求的長.







23.如圖，BE是⊙O的直徑，點(diǎn)A和點(diǎn)D是⊙O上的兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作⊙O的切線交BE的延長線于點(diǎn)C．
（1）若∠ADE＝25°，求∠C的度數(shù)；
（2）若AB＝AC，CE＝2，求⊙O半徑的長．








24.如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AC為⊙O的直徑，過點(diǎn)C作AC的垂線交AB的延長線于點(diǎn)D，E為CD的中點(diǎn)，連接BE．判斷直線BE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．


圓

1.A 【解析】連接OC,∵CD為圓O的切線，∴∠OCD=90°.∵∠A=25°，∴∠COD=2∠A=50°，∴∠D=40°，故選A.
2.B【解析】如圖，連接OC,OD.在正五邊形ABCDE中，∠COD=360°5=72°，∴∠CPD=12∠COD=36°，故選B．

3.A【解析】∵∠BCD=30°，∴∠BOD=2∠BCD=60°.∵AB=4，∴OB=2，∴陰影部分的面積為60×π×22360=2π3，故選A.
4.C【解析】連接OA，則OA⊥AD，即∠DAO=90°,設(shè)∠DBA=x，則∠BDA=3x，∠AOD=2x，∴2x+3x=90°，∴x=18°，故選C.
5.D【解析】根據(jù)題意,為了公平,放凳子的恰當(dāng)位置應(yīng)到三人的距離相等,∴這點(diǎn)是△ABC的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn),即為△ABC的外心,故選D.
6.C【解析】圓錐底面圓周長為120π·6180=4π cm,∴圓錐的底面圓半徑r=2 cm,又扇形的半徑R為圓周的母線長,即R=6 cm,設(shè)圓錐的高為h,由勾股定理得 h=R2?r2=62?22=42 cm,故選C.
7.B【解析】∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，則點(diǎn)O到△ABC三邊的距離相等，∴點(diǎn)O是△ABC的三條角平分線的交點(diǎn)，故選B.
8.C【解析】由圖形可知∠AOB=2∠Q，因?yàn)镻A是⊙O的切線，所以∠P+∠AOB=90°,所以∠P+2∠Q=90°,故選C.
9.B【解析】連接OC，由題意知四邊形CDOE為正方形，∴CE=OE=1，S陰影=S扇形AOB-S正方形CDOE=
90π×22360?12=π2-1，故選B.
10.B【解析】∵弦切角等于所夾弧所對圓周角,∴∠BAD=∠ACB=45°,∴cos∠BAD=cos45°=22,故選B.
11.75°【解析】由圓周角定理得∠CAD=∠CBD=70°，∴∠BAD=70°+35°=105°.∵四邊形ABCD是
⊙O內(nèi)接四邊形，∴∠BCD=180°－∠BAD=75°．
12.49π【解析】由題意，S陰影=S扇形ABA'+S半圓-S半圓=S扇形ABA'=40π×22360=49π.
13.8【解析】連接OA，OB,OC, 因?yàn)?∠ABC=120°,AB=BC=4，所以∠ABO=60°，所以△OAB為等邊三角形，所以⊙O的半徑為4，⊙O的直徑為8.
14.32π【解析】如圖，連接OA,OB.∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠BAD+∠BCD=180°.∵∠BCD=125°，∴∠BAD=55°.又∵∠ABD=80°，∴∠ADB=180°-55°-80°=45°，∴∠AOB=2∠ADB=90°.∵OA=OB，∴△AOB是等腰直角三角形.∵AB=32，∴OA=OB=22AB=22×32=3，∴的長為90π×3180=32π.

15.(48π-363) cm2【解析】∵OC⊥AB，∴AC=BC，由勾股定理得BC=OB2?OC2=122?62=63(cm)，則AB=2BC=123 (cm).∵cos∠BOC=OCBO=12，∴∠COB=60°，∴截面上有污水部分的面積為120π×122360-
12×123×6=(48π-363) cm2.
16.4【解析】由題意知AB=16 m，根據(jù)垂徑定理可得AD=BD=12AB=8 m，在Rt△AOD中，OA=10 m，由勾股定理得 OD=6 m，∵OC=OA=10 m，∴CD=OC-OD=4 m．
17.【解析】(1)如圖,連接OA.
設(shè)∠E=x,
∵AE=AB,∴∠ABE=∠E=x.
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠ABO=x,
∴∠AOB=180°-∠OAB-∠ABO=180°-2x.
∵AE是圓O的切線,
∴OA⊥AE,即∠OAE=90°,
∴∠BAE=∠OAB+∠OAE=x+90°.
在△ABE中,由三角形的內(nèi)角和定理得
∠ABE+∠E+∠BAE=180°,
即x+x+x+90°=180°,解得x=30°,
∴∠AOB=180°-2x=180°-2×30°=120°,
則由圓周角定理得∠ACB=12∠AOB=12×120°=60°,
故∠ACB的度數(shù)為60°.

(2)解法一：設(shè)圓O半徑為r,則OA=OD=r.
∵AE是圓O的切線，∴∠OAE=90°.
∵∠E=30°,∴在Rt△AOE中,OA=12OE,
∴r=12(r+2),
即2r=r+2，∴r=2.
解法二：連接AD,設(shè)圓O的半徑為r,
則OA=OD=r,BD=2r.
∵DE=2,
∴OE=OD+DE=r+2.
∵BD是圓O的直徑,
∴∠BAD=90°.
由(1)可知,∠ABD=30°,
則在Rt△ABD中,
AD=12BD=r,
AB=BD2?AD2=3r,
∴AE=3r.
在Rt△AOE中,
由勾股定理得OA2+AE2=OE2,
即r2+3r2=r+22,
解得r=2或r=-23(不符題意,舍去),
則圓O的半徑為2.
18.【解析】(1)證明：連接OD，BD.
∵DE是⊙O的切線，∴DE⊥OD.
∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°.
∵CD平分∠ACB，∴∠1=∠2=45°,
∴∠3=∠1=45°.
∵OB=OD,∴∠ODB=∠3=45°,
∴∠4=45°,
∴∠3=∠4,∴DE∥AB.

(2)作BF⊥DE于點(diǎn)F，
則四邊形ODFB是正方形.
設(shè)DF=BF=x,則EF=7-x.
在Rt△BEF中，得x2+7?x2=52.
整理，得x2-7x+12=0,
解得x=3或x=4,
∴EF=4或EF=3.
∵∠A+∠5=∠5+∠6=90°,
∴∠A=∠6，
∴sinA=EFBE,
∴sinA=45或sinA=35.
19.【解析】(1)證明:如圖，連接OB,∴OB=OA,
∴∠2=∠3.
∵B為中點(diǎn),
∴∠1=∠2,
∴∠1=∠3,
∴AF∥OB,
∴∠OBF+∠F=180°.
∵BF⊥AD的延長線于點(diǎn)F,
∴∠F=90°,
∴∠OBF=90°,
∴半徑OB⊥BF于點(diǎn)B,
∴BF為⊙O的切線.
(特別說明:證明切線時(shí),沒說明90°轉(zhuǎn)化為垂直、半徑或者點(diǎn)在圓上扣1分)

(2)如圖，連接AE,延長BO交AE于點(diǎn)H.

∵DE為直徑,
∴∠DAE=∠DBE=90°.
∵AF∥BO,
∴∠BHA=180°-∠DAH=90°,
∴四邊形AFBH為矩形,
∴AH=BF,AF=BH.
設(shè)DF=x,
∴BH=AF=x+1.
∵OH⊥AE于點(diǎn)H,
∴AH=EH.
∵DO=EO,
∴OH為△ADE的中位線,
∴OH=12AD=12,
∴OB=BH-OH=x+12.
∵AF∥OB,
∴∠4=∠7.
∵AD=AG=1,
∴∠4=∠5.
∵∠5=∠6,∴∠6=∠7,
∴BG=OB=OA=x+12,
∴AB=BG+AG=x+32.
在Rt△AOH中,根據(jù)勾股定理得
AH2=OA2-OH2=x2+x,
∴BF2=AH2=x2+x.
在Rt△AFB中,根據(jù)勾股定理得
AF2+BF2=AB2,
即x+12+(x2+x)=x+322,
解得DF=x=52.
20.【解析】(1)證明：連接OC，

∵CD⊥AB,∴∠CAD+∠ACD=90°.
∵OA=OC,∴∠DAC=∠ACO.
又∠ACE=∠ACD,
∴∠ACE+∠ACO=90°,
即∠ECO=90°,
∴CE是⊙O的切線.
(2)證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°,
∴∠CAD+∠B=90°.
又∠CAD+∠ACD=90°,∴∠ACD=∠B,
∴∠ACE=∠ABC.
∵AD=DK,CD⊥AK,
∴CA=CK,∠CAD=∠CKD,
∴∠CAE=∠BKC,∴△CAE∽△BKC,
∴AEKC=ACKB,
即AC·KC=KB·AE.
又∠CAD=∠CKD,∠CAD=∠OCA,
∴△OCA∽△CAK,
∴ACKA=AOKC,
即AC·KC=AK·AO,
∴AK·AO=KB·AE.
(3)PA2+PF2=PB2.理由如下：
連接AF，BF.

∵=,
∴∠ACF=∠BCF=12∠ACB=45°,AF=BF，
∴∠ECK=∠ACK+∠ACE=45°+∠ACE,
∠EKC=∠BCK+∠KBC=45°+∠ABC,
∴∠ECK=∠EKC,
∴EC=EK=AE+AK=2AE.
∵∠ACE=∠CBE,∠E=∠E,
∴△EAC∽△ECB,
∴ACCB=AECE=12,∴BC=2AC.
∵G是BC的中點(diǎn)，∴BC=2CG=2GB,∴AC=CG.
∵∠ACF=∠BCF,
∴CP⊥AG,AP=PG.
設(shè)AC=CG=GB=x,
則AG=2x,AP=PG=22x,
∴PGGB=GBGA=12.
又∠PGB=∠BGA,∴△PGB∽△BGA,
∴∠GBP=∠GAB,
∴∠GBP+∠BCF=∠GAB+∠GAC,
即∠BPF=∠BAC=∠BFP,
∴BP=BF=AF.
∵在Rt△APF中，PA2+PF2=AF2,
∴PA2+PF2=PB2.
21.【解析】（1）證明：連接AC，
∵OC=OA，
∴點(diǎn)C在⊙O上．
∵OA=OC，BA=BC，
∴∠OAC=∠OCA，∠BAC=∠BCA．
∴∠OCB=∠OAB =90°．
∴OC⊥BC于點(diǎn)C．
∴BC是⊙O切線．
（2）①補(bǔ)全圖形.

②證明：∵BA，BC是⊙O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，C，
∴BA=BC，∠DBA=∠DBC．
∴BD是AC的垂直平分線．
∵OA=OC，∴∠AOB=∠COB．
∵=，AE為⊙O的直徑，
∴=．
∴∠COE=∠DOE．
∵∠AOB=∠DOE，
∴∠AOB=∠BOC=∠COE=60°．
∵BC是⊙O的切線，切點(diǎn)為C，
∴∠OCB =∠OCF =90°．
∴∠OBC=∠OFC =30°．
∴OF=OB．
22.【解析】(1)∵∠AOP=2∠C,∠C=35°，
∴∠AOP=2×35°=70°.
∵PA切⊙O于點(diǎn)P,PC是⊙O的直徑,
∴∠P=90°，
∴∠A+∠AOP=90°，
∴∠A=90°-∠AOP=90°-70°=20°.
(2)∵∠BOC=180°-∠AOP，
∴∠BOC=180°-70°=110°，
∴的長為110π×2180=11π9.
(其他方法按步驟給分)
23.【解析】（1）連接OA，

∵AC是⊙O的切線，
∴∠OAC＝90°，
∵∠ADE＝25°，
∴∠AOE=2∠ADE=50°,
∴∠C＝90°-∠AOE＝90°-50°＝40°.
（2）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠AOC＝2∠B，
∴∠AOC＝2∠C，
∵∠OAC＝90°，
∴∠AOC+∠C＝90°，
∴3∠C＝90°，
∴∠C＝30°，
∴OA＝12OC.
設(shè)⊙O的半徑為r，
∵CE＝2，
∴r＝12(r+2)，
解得r＝2，
即⊙O的半徑為2．
24.【解析】直線BE與⊙O相切.
理由如下:∵AC⊥CD,
∴∠ACD=90°.
∵△ABC內(nèi)接于⊙O,AC為⊙O的直徑,
∴∠ABC=90°,
∴∠CBD=180°-∠ABC=90°.
∵E為CD的中點(diǎn),
∴BE=12DC=EC,
∴∠EBC=∠ECB.
連接OB,

∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB,
∴∠EBC+∠OBC=∠ECB+∠OCB=∠ACD=90°,
即∠OBE=90°,
∴OB⊥BE,
∵OB為⊙O的半徑,
∴直線BE與⊙O相切.

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