1.理解導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)函數(shù)的概念.2.會(huì)利用極限的思想求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).
同學(xué)們，大家知道，從數(shù)學(xué)的角度是如何衡量時(shí)代的進(jìn)步的嗎？那就是對(duì)函數(shù)的精細(xì)化研究，人們?yōu)榱烁玫难芯亢瘮?shù)的性質(zhì)，400年前法國(guó)數(shù)學(xué)家首次提出了導(dǎo)數(shù)的概念，在此基礎(chǔ)上，大數(shù)學(xué)家牛頓，萊布尼茨推動(dòng)了對(duì)導(dǎo)數(shù)研究的快速前進(jìn)，后來(lái)才有了柯西等人對(duì)導(dǎo)數(shù)的精確描述，希望同學(xué)們也能站在巨人的肩膀上，刻苦學(xué)習(xí)，深入研究，將來(lái)也一定能取得驚人的成就.
二、求函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)
問(wèn)題1　瞬時(shí)變化率的幾何意義是什么？它的數(shù)學(xué)意義又是什么？
提示　瞬時(shí)變化率的幾何意義是曲線在某點(diǎn)處的切線斜率；它的數(shù)學(xué)意義是函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).
1.導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上有定義，x0∈(a，b)，若Δx 時(shí)，比值 無(wú)限趨近于一個(gè) ，則稱(chēng)f(x)在x＝x0處 ，并稱(chēng)該常數(shù)A為函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作 .2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義就是曲線y＝f(x)在點(diǎn) 處的切線的 .
P(x0，f(x0))
反思感悟　利用定義求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，仍然采用“無(wú)限逼近”的思想，由割線的斜率無(wú)限逼近函數(shù)在某點(diǎn)處的切線的斜率，其格式采用的是兩點(diǎn)的斜率，故要注意分子、分母的對(duì)應(yīng)關(guān)系.
A.f′(x) B.f′(2) C.f(x) D.f(2)
解析　因?yàn)楹瘮?shù)f(x)可導(dǎo)，
反思感悟　用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的步驟(1)求函數(shù)的改變量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0).
跟蹤訓(xùn)練2　(1)f(x)＝x2在x＝1處的導(dǎo)數(shù)為A.2x B.2 C.2＋Δx D.1
A.－4 B.2 C.－2 D.±2
問(wèn)題2　以上我們知道，求函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)在該點(diǎn)附近的變化，能否通過(guò)求導(dǎo)研究函數(shù)的整體變化？
提示　這涉及到函數(shù)在任意一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題，
這就是函數(shù)在任意一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，即導(dǎo)函數(shù)，它不再是一個(gè)確定的數(shù)，而是一個(gè)函數(shù).
導(dǎo)函數(shù)的定義若f(x)對(duì)于區(qū)間(a，b)內(nèi)任一點(diǎn)都可導(dǎo)，則f(x)在各點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)也隨著自變量x的變化而變化，因而也是自變量x的函數(shù)，該函數(shù)稱(chēng)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡(jiǎn)稱(chēng)導(dǎo)數(shù)).y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)記作 或 ，即f′(x)＝y(tǒng)′＝ .注意點(diǎn)：(1)f′(x0)是具體的值，是數(shù)值.(2)f′(x)是函數(shù)f(x)在某區(qū)間I上每一點(diǎn)都存在導(dǎo)數(shù)而定義的一個(gè)新函數(shù)，是函數(shù).
f′(x) y′
反思感悟　求導(dǎo)函數(shù)的一般步驟：(1)Δy＝f(x＋Δx)－f(x).
解　∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)
1.知識(shí)清單：(1)導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義.(2)求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).(3)導(dǎo)函數(shù)的概念.2.方法歸納：定義法.3.常見(jiàn)誤區(qū)：利用定義求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)時(shí)易忽視分子、分母的對(duì)應(yīng)關(guān)系.
3.已知曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為2x－y＋2＝0，則f′(1)等于A.4 B.－4 C.－2 D.2
解析　由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知f′(1)＝2.
4.已知函數(shù)f(x)＝ ，則f′(1)＝ .
1.設(shè)f′(x0)＝0，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線A.不存在 B.與x軸平行或重合C.與x軸垂直 D.與x軸斜交
解析　因?yàn)閒′(x0)＝0，所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線斜率為0.
2.已知某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為s＝2t2－t，其中s的單位是m，t的單位是s，則s′ 為A.3 m/s B.5 m/s C.7 m/s D.9 m/s
3.若可導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象過(guò)原點(diǎn)，且滿足 ＝－1，則f′(0)等于A.－2 B.2 C.－1 D.1
解析　∵f(x)圖象過(guò)原點(diǎn)，∴f(0)＝0，
4.已知曲線f(x)＝ x2＋x的一條切線的斜率是3，則該切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為A.－2 B.－1 C.1 D.2
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則f′(x0)＝x0＋1＝3，∴x0＝2.
5.(多選)下列各點(diǎn)中，在曲線y＝x3－2x上，且在該點(diǎn)處的切線傾斜角為的是A.(0,0) B.(1，－1)C.(－1,1) D.(1,1)
解析　設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，
所以x0＝±1，當(dāng)x0＝1時(shí)，y0＝－1.當(dāng)x0＝－1時(shí)，y0＝1.
6.(多選)若函數(shù)f(x)在x＝x0處存在導(dǎo)數(shù)，則 的值A(chǔ).與x0有關(guān) B.與h有關(guān)C.與x0無(wú)關(guān) D.與h無(wú)關(guān)
解析　由導(dǎo)數(shù)的定義可知，函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)與x0有關(guān)，與h無(wú)關(guān).
7.設(shè)函數(shù)f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，則a＝ .
又因?yàn)閒′(1)＝3，所以a＝3.
8.已知函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)(2,1)處的切線與直線3x－y－2＝0平行，則f′(2)＝ .
解析　因?yàn)橹本€3x－y－2＝0的斜率為3，所以由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知f′(2)＝3.
9.求函數(shù)y＝f(x)＝2x2＋4x在x＝3處的導(dǎo)數(shù).
解　Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx，
10.一條水管中流過(guò)的水量y(單位：m3)與時(shí)間t(單位：s)之間的函數(shù)關(guān)系為y＝f(t)＝3t.求函數(shù)y＝f(t)在t＝2處的導(dǎo)數(shù)f′(2)，并解釋它的實(shí)際意義.
f′(2)的實(shí)際意義：水流在t＝2時(shí)的瞬時(shí)流速為3 m3/s.
11.若曲線f(x)＝x2的一條切線l與直線x＋4y－8＝0垂直，則l的方程為A.4x－y－4＝0 B.x＋4y－5＝0C.4x－y＋3＝0 D.x＋4y＋3＝0
解析　設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，
由題意可知，切線斜率k＝4，即f′(x0)＝2x0＝4，所以x0＝2.所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4)，切線方程為y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
12.若曲線y＝f(x)＝x＋ 上任意一點(diǎn)P處的切線斜率為k，則k的取值范圍是A.(－∞，－1) B.(－1,1)C.(－∞，1) D.(1，＋∞)
13.函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，f′(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，下列數(shù)值排序正確的是A.0

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5.1 導(dǎo)數(shù)的概念

版本： 蘇教版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修第一冊(cè)

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