圓與相似三角函數(shù)綜合問題壓軸題--2022年初中數(shù)學(xué)中考備考考前必刷-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?圓與相似三角函數(shù)綜合問題壓軸題
1．如圖，是的直徑，、是上兩點，且，過點的直線交的延長線于點，交的延長線于點，連接、交于點．
（1）求證：是的切線；
（2）若，的半徑為2，求陰影部分的面積；
（3）連結(jié)，在（2）的條件下，求的長．

2．如圖，內(nèi)接于，是的直徑，為上一點，，延長交于點，．

（1）求證：是的切線；
（2）若，，求的長．
3．如圖，四邊形是⊙的內(nèi)接矩形，過點的切線與的延長線交于點，連接與交于點，，．

（1）求證：；
（2）設(shè)，求的面積（用的式子表示）；
（3）若，求的長．
4．如圖1，正方形ABCD的邊長為4，點P在邊BC上，⊙O經(jīng)過A，B，P三點．
（1）若BP＝3，判斷邊CD所在直線與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）如圖2，E是CD的中點，⊙O交射線AE于點Q，當AP平分∠EAB時，求tan∠EAP的值．

5．如圖，AB是⊙O的直徑，點D在⊙O上，且∠AOD＝90°，點C是⊙O外一點，分別連接CA，CB、CD，CA交⊙O于點M，交OD于點N，CB的延長線交⊙O于點E，連接AD，ME，且∠ACD＝∠E．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）連接DM，若⊙O的半徑為6，tanE＝，求DM的長．

6．如圖，在中，，以為直徑的交于點D，于點E，直線于點F，交的延長線于點H．

（1）求證：是的切線；
（2）當時，求的值．
7．如圖，在四邊形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，點E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足為F．

(1)求證：四邊形AECD是平行四邊形；
(2)若AE平分∠BAC，BE＝5，cosB＝，求BF和AD的長．
8．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC為直徑的⊙O交AB于點D，DE交AC于點E且∠A＝∠ADE.

(1)求證：DE是⊙O的切線；
(2)若AD＝8，DE＝5，求BC的長．
9．如圖，正方形的對角線，相交于點，是邊上一點，連接交于點，連接．

(1)求證：≌；
(2)如圖，過點作的垂線，交的延長線于點，交于點．
①求證：；
②若，，求的長．
10．已知：如圖，AB為⊙O的直徑，BC交⊙O于點D，點E是AC的中點，DE與⊙O相切于點D，ED與AB的延長線相交于點F．

(1)求證：AB⊥AC；
(2)求證：AB·DF= AC·BF．
11．如圖，在△ABC中，點O為BC邊上一點，⊙O經(jīng)過A、B兩點，與BC邊交于點E，點F為BE下方半圓弧上一點，F(xiàn)E⊥AC，垂足為D，∠BEF＝2∠F．

(1)求證：AC為⊙O切線．
(2)若AB＝5，DF＝4，求⊙O半徑長．
12．已知：△ABC內(nèi)接于半徑為2的⊙O，BC=，射線BO交邊AC于點E．

(1)如果點E恰好是邊AC的中點，求邊AB的長；
(2)如果△ABE∽△ACB，求的大??；
(3)當△AEO為等腰三角形時，求的大?。?br /> 13．如圖，在中，，以為直徑作，交于點，為的中點，連接并延長交的延長線于點．

(1)求證：是的切線；
(2)若，，求的半徑．

1．（1）見解析；（2）；（3）
（1）根據(jù)同圓中等弧所對的圓周角相等得到∠CAD=∠DAB，根據(jù)等邊對等角得到∠DAB=∠ODA，則∠CAD=∠ODA，即可判定OD∥AE，進而得到OD⊥DE，據(jù)此即可得解；
（2）連接BD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出AE=3，AD=2，解直角三角形得到∠DAB=30°，則∠EAF=60°，∠DOB=60°，DF=2，再根據(jù)S陰影=S△DOF-S扇形DOB即可得解；
（3）過點E作EM⊥AB于點M，連接BE，解直角三角形得到AM=，EM=，則MB=，再根據(jù)勾股定理求解即可．
【詳解】
解：（1）證明：如圖，連接，

，
，
，
，
，
，
，
，
是的半徑，
是的切線；
（2）解：，
，
，
，的半徑為2，
，
，
如圖，連接，

是的直徑，，
，
，
，
，
即，
，
在中，，
，
，，
，
，
，
；
（3）如圖，過點作于點，連接，

在中，，，
，
．
2．（1）見解析；（2）
（1）根據(jù)，可得，根據(jù)對頂角相等可得，進而可得，根據(jù)，可得，結(jié)合，根據(jù)角度的轉(zhuǎn)化可得，進而即可證明是的切線；
（2）根據(jù)，可得，設(shè)，則，分別求得，進而根據(jù)勾股定理列出方程解方程可得，進而根據(jù)即可求得．
【詳解】
（1），
，
，
，
，
，
是直徑，
，
，
是的切線；
（2），
，
，
設(shè)，則，
，，
在中，，
即，
解得（舍去），
．
3．（1）見解析；（2）；（3）
（1）由矩形性質(zhì)可得,然后證明即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)勾股定理得出，根據(jù)相似三角形性質(zhì)得出，則，根據(jù)勾股定理得出的值，運用三角形面積公式表示即可；
（3）記與圓弧交于點，連接，證明，即可得出，求出的值，過作于，過作于．運用等面積法得出，根據(jù)勾股定理得出，代入數(shù)據(jù)聯(lián)立的值，解方程得出，，設(shè)，則，根據(jù)相似三角形性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【詳解】
解：（1）∵四邊形為的內(nèi)接矩形，
∴，過圓心，且．
∵,
∴,
又∵是的切線，故，
由此可得，
又∵與都是圓弧所對的圓周角，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：由，，則，
由題意．
由（1）知，則，
代入，，，
可得，解得．
在直角中，，
所以；
（3）解：記與圓弧交于點，連接．

∵，，，
∴．
又，所以，
∴．
∴，故．
由（2）知，由，，則，
由題意可得，
代入數(shù)據(jù)，，，
得到，解得①．
過作于，過作于．
易知．
由等面積法可得，
代入數(shù)據(jù)得，即．
在直角三角形中，
．②
由①②可得，得，
解得，（舍去）．
所以，．
由，故，故．
設(shè)，則，代入得，
解得，即的長為．
4．（1）相切，見解析；（2）
（1）如圖1中，連接AP，過點O作OH⊥AB于H，交CD于E．求出OE的長，與半徑半徑，可得結(jié)論．
（2）如圖2中，延長AE交BC的延長線于T，連接PQ．利用面積法求出BP，可得結(jié)論．
【詳解】
解：（1）如圖1﹣1中，連接AP，過點O作OH⊥AB于H，交CD于E．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝4，∠ABP＝90°，
∴AP＝＝＝5，
∵OH⊥AB，
∴AH＝HB，
∵OA＝OP，AH＝HB，
∴OH＝PB＝，
∵∠D＝∠DAH＝∠AHE＝90°，
∴四邊形AHED是矩形，
∴OE⊥CE，EH＝AD＝4，
∴OE＝EH＝OH＝4﹣＝，
∴OE＝OP，
∴直線CD與⊙O相切．
（2）如圖2中，延長AE交BC的延長線于T，連接PQ．

∵∠D＝∠ECT＝90°，DE＝EC，∠AED＝∠TEC，
∴△ADE≌△TCE（ASA），
∴AD＝CT＝4，
∴BT＝BC+CT＝4+4＝8，
∵∠ABT＝90°，
∴AT＝＝＝4，
∵AP是直徑，
∴∠AQP＝90°，
∵PA平分∠EAB，PQ⊥AQ，PB⊥AB，
∴PB＝PQ，
設(shè)PB＝PQ＝x，
∵S△ABT＝S△ABP+S△APT，
∴×4×8＝×4×x+×4×x，
∴x＝2﹣2，
∴tan∠EAP＝tan∠PAB＝＝．
5．（1）見解析；（2）
（1）根據(jù)圓周角定理和等量代換可得∠BAC＝∠ACD，進而得出AB∥CD，由∠AOD＝90°可得OD⊥CD，從而得出結(jié)論；
（2）由tanE＝，可得tan∠ACD＝tan∠OAN＝tanE＝，在直角三角形中由銳角三角函數(shù)可求出ON、DN、CD，由勾股定理求出CN，由三角形的面積公式求出DF，再根據(jù)圓周角定理可求出∠AMD＝45°，進而根據(jù)等腰直角三角形的邊角關(guān)系求出DM即可．
【詳解】
解：（1）∵∠ACD＝∠E，∠E＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠ACD，
∴AB∥CD，
∴∠ODC＝∠AOD＝90°，
即OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切線；
（2）過點D作DF⊥AC于F，

∵⊙O的半徑為6，tanE＝＝tan∠ACD＝tan∠OAN，
∴ON＝OA＝×6＝2，
∴DN＝OD﹣ON＝6﹣2＝4，
∴CD＝3DN＝12，
在Rt△CDN中，
CN＝＝＝4，
由三角形的面積公式可得，
CN?DF＝DN?CD，
即4DF＝4×12，
∴DF＝，
又∵∠AMD＝∠AOD＝×90°＝45°，
∴在Rt△DFM中，
DM＝DF＝×＝．
6．（1）見詳解；（2）
（1）連接OE，先證明∠C=∠OEB，可得OE∥AC，從而得HF⊥OE，進而即可得到答案；
（2）連接AE，由，可得AB =18，AE=，再證明，設(shè)HA=x，則HE=x，OH=x-9，根據(jù)勾股定理，列出方程，即可求解．
【詳解】
（1）證明：連接OE，

∵，
∴∠C=∠ABC，
∵OB=OE，
∴∠ABC=∠OEB，
∴∠C=∠OEB，
∴OE∥AC，
∵，
∴EF⊥OE，即：HF⊥OE，
∴是的切線；
（2）連接AE，

∵AB是的直徑，
∴∠AEB=90°，即AE⊥BC，
∵，
∴AB=EB÷=6÷=18，AE=，
∴OA=OE=，
∵OE⊥HF，∠AEB=90°，
∴∠HEB+∠BEO=∠AEO+∠BEO，即：∠HEB=∠AEO，
∵OA=OE，
∴∠AEO=∠EAO，
∴∠HEB=∠EAO，
又∵∠H=∠H，
∴，
∴，
設(shè)HA=x，則HE=x，OH=x-9，
∴在中，HE2+OE2=OH2，即：(x)2+92=( x-9)2，解得：或x=0（舍去），
∴HE=×=，
∴．
7．(1)見解析
(2)，
（1）證，再由，即可得出結(jié)論；
（2）先由銳角三角函數(shù)定義求出，再由勾股定理求出，然后由角平分線的性質(zhì)得，最后由平行四邊形的性質(zhì)求解即可．
(1)
證明：，
，
，
四邊形是平行四邊形；
(2)
解：，
，
，，
，
，
平分，，，
，
由（1）得：四邊形是平行四邊形，
．
8．(1)見詳解
(2)BC的長
（1）連接OD，結(jié)合圓的性質(zhì)，通過角的變換即可得，即可得DE是⊙O的切線；
（2）首先證明AC=2DE=10，在Rt△ADC中，DC=6，設(shè)BD=x，在Rt△BDC中，BC2=x2+62，在Rt△ABC中，BC2=（x+8）2-102，可得x2+62=（x+8）2-102，解方程即可解決問題．
(1)
如圖：連接OD

∴DE是⊙O的切線
(2)
連結(jié)CD，

∵∠ADE=∠A，
∴AE=DE．
∵BC是⊙O的直徑，∠ACB=90°．
∴EC是⊙O的切線．
∴DE=EC．
∴AE=EC，
又∵DE=5，
∴AC=2DE=10，
在Rt△ADC中，DC=
設(shè)BD=x，在Rt△BDC中，BC2=x2+62，
在Rt△ABC中，BC2=（x+8）2﹣102，
∴x2+62=（x+8）2﹣102，解得x=，
∴BC=.
9．(1)見解析
(2)①見解析；②
（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，，利用即可證明≌；
（2）①根據(jù)等角的余角相等得，由（1）知≌，得，等量代換即可解決問題；
根據(jù)，得，，則，作于，則，而，再運用的結(jié)論即可解題．
(1)
證明：∵四邊形是正方形，
，，
在和中，
，
≌．
(2)
，
，
，
，
，
由（1）知≌，
，
，
；
，，
，
，
，，
，
作于，則，
，
，
，
由知，且，
，
．

10．(1)見解析
(2)見解析
（1）連AD，OD，利用AB為⊙O的直徑，得到∠ADB=∠ADC=90°，再利用E是AC的中點，證得∠EDA=∠EAD，最后證得∠EDO=∠EAO=90°即可；
（2）先證得△ABD∽△CBA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AB：AC＝BD：AD，再證得△FDB∽△FAD，得到BD：AD＝BF：DF，即可證得結(jié)論．
(1)
連AD，OD，

∵DE與⊙O相切于點D，
∴∠EDO=90°，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵E是AC的中點，
∴EA=ED，
∴∠EDA=∠EAD，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠EDO=∠EAO=90°，
∴AB⊥AC；
(2)
∵∠BAC=∠ADC=90°，
∴∠C=∠BAD，
∵∠ABD=∠CBA，
∴△ABD∽△CBA，
∴AB：AC＝BD：AD，
∵∠FDB+∠BDO=∠BDO+∠ADO=90°，
∴∠FDB=∠ADO=∠OAD，
∵∠F=∠F，
∴△FDB∽△FAD，
∴BD：AD＝BF：DF，
∴AB：AC＝BF：DF，
∴AB?DF=AC?BF．
11．(1)證明見解析
(2)
（1）連接OA，根據(jù)已知條件得到∠AOE＝∠BEF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OA⊥AC，于是得到結(jié)論；
（2）連接OF，設(shè)∠AFE＝α，則∠BEF＝2α，得到∠BAF＝∠BEF＝2α，得到∠OAF＝∠BAO＝α，求得∠AFO＝∠OAF＝α，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AB＝AF＝5，由勾股定理得到AD＝，根據(jù)圓周角定理得到∠BAE＝90°，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
(1)
證明：連接OA，

∴∠AOE＝2∠F，
∵∠BEF＝2∠F，
∴∠AOE＝∠BEF，
∴，
∵DF⊥AC，
∴OA⊥AC，
∴AC為⊙O切線；
(2)
解：連接OF，

∵∠BEF＝，
∴設(shè)∠AFE＝α，則∠BEF＝2α，
∴∠BAF＝∠BEF＝2α，
∵∠B＝∠AFE＝α，
∴∠BAO＝∠B＝α，
∴∠OAF＝∠BAO＝α，
∵OA＝OF，
∴∠AFO＝∠OAF＝α，
∴△ABO≌△AFO（AAS），
∴AB＝AF＝5，
∵DF＝4，
∴AD＝，
∵BE是⊙O的直徑，
∴∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠FDA，
∵∠B＝∠AFD，
∴△ABE∽△DFA，
∴，
∴，
∴BE＝，
∴⊙O半徑＝．
12．(1)；
(2)75°；
(3)70°或50°
（1）利用垂徑定理得到BE垂直平分AC，即可得到AB=BC；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠BAE=∠CAB，∠ABE=∠ACB，∠AEB=∠ABC，由OA=OB，得到∠ABO=∠BAO，利用∠AOB=2∠C，得到4∠C=180°，求出∠ACB =45°，得到∠ABE=∠ACB =45°，連接OC，過O作OH⊥BC于H，則BH=CH=BC=，利用三角函數(shù)求出∠OBH=30°，即可求出∠ABC；
（3）∠OCB=∠OBH=30°，設(shè)∠AEB=x，則∠ACO=∠CAO=x-60°，分三種情況，當AO=AE時，當AO=EO時，當AE=OE時，分別列方程求出x，從而得到∠ABC的度數(shù)．
(1)
解：∵射線BO交邊AC于點E，且點E是AC的中點，
∴BE⊥AC，AE=CE，
∴BE垂直平分AC，
∴AB=BC=；
(2)
∵△ABE∽△ACB，
∴∠BAE=∠CAB，∠ABE=∠ACB，∠AEB=∠ABC，
∵OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO，
∵∠AOB=2∠C，∠AOB+∠ABO+∠BAO=180°，
∴4∠C=180°，
∴∠ACB=45°，∠ABE=∠ACB =45°，
連接OC，過O作OH⊥BC于H，則BH=CH=BC=，
∵OB=2，
∴cos∠OBH=，
∴∠OBH=30°，

∴∠ABC=∠ABE+∠OBH=75°；
(3)
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBH=30°，
設(shè)∠AEB=x，則∠ACO=∠CAO=x-60°，
當AO=AE時，∠AOE=∠AEO=x，
x+x+x-60°=180°，解得x=80°，
∴∠ABO=40°，
∴∠ABC=∠ABO+∠OBC=70°；
當AO=EO時，∠EAO=∠AEO=x-60°，

x=x-60°，無解；
當AE=OE時，∠EAO=∠AOE=x-60°，
2（x-60°）+x=180°，
解得x=100°，
∴∠ABO=20°，
∴∠ABC=∠ABO+∠OBC=50°；
綜上，∠ABC的度數(shù)為70°或50°．
13．(1)見解析
(2)3
（1）連接OD、CD，由AC為⊙O的直徑知△BCD是直角三角形，結(jié)合E為BC的中點知∠CDE=∠DCE，由∠ODC=∠OCD且∠OCD+∠DCE=90°可得答案；
（2）設(shè)⊙O的半徑為r，由OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2可得r=3，即可得出答案．
(1)
解：如圖，連接OD、CD．
∵AC為⊙O的直徑，
∴∠ADC=90°，
∴∠CDB=90°，即△BCD是直角三角形，
∵E為BC的中點，
∴BE=CE=DE，
∴∠CDE=∠DCE，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∵∠ACB=90°，
∴∠OCD+∠DCE=90°，
∴∠ODC+∠CDE=90°，即OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切線；

(2)
解：設(shè)⊙O的半徑為r，
∵∠ODF=90°，
∴OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2，
解得：r=3，
∴⊙O的半徑為3．

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