?解答題中圓的計算和應(yīng)用題信息必刷卷
1．如圖，為的直徑，點在上，連接，，過點的切線與的延長線交于點，，與交于點．

(1)證明：；
(2)當(dāng)?shù)陌霃綖椋瑫r，求的長．
2．五一節(jié)前，某商店擬購進(jìn)A、B兩種品牌的電風(fēng)扇進(jìn)行銷售，已知購進(jìn)3臺A種品牌電風(fēng)扇所需費用與購進(jìn)2臺B種品牌電風(fēng)扇所需費用相同，購進(jìn)1臺A種品牌電風(fēng)扇與2臺B種品牌電風(fēng)扇共需費用400元．
（1）求A、B兩種品牌電風(fēng)扇每臺的進(jìn)價分別是多少元？
（2）銷售時，該商店將A種品牌電風(fēng)扇定價為180元/臺，B種品牌電風(fēng)扇定價為250元/臺，商店擬用1000元購進(jìn)這兩種風(fēng)扇（1000元剛好全部用完），為能在銷售完這兩種電風(fēng)扇后獲得最大的利潤，該商店應(yīng)采用哪種進(jìn)貨方案？
3．如圖，為的直徑，為弧中點，于點，交于點，交于點，

(1)求證：；
(2)求證：．
4．冰墩墩和雪容融是2022年北京冬季奧運會的吉祥物，據(jù)反饋冰墩墩、雪容融玩偶一經(jīng)上市，非常暢銷，小許選兩款玩偶各50個，決定在網(wǎng)店進(jìn)行銷售．售后統(tǒng)計，一個冰墩墩玩偶利潤為30元/個，一個雪容融玩偶利潤為5元/個，調(diào)研發(fā)現(xiàn)：冰墩墩的數(shù)量在50個的基礎(chǔ)上每增加3個，平均每個利潤減少1元；而雪容融的利潤始終不變；小許計劃第二次購進(jìn)兩種玩偶共100個進(jìn)行售賣．設(shè)冰墩墩的數(shù)量比第一次增加個，第二次冰墩墩售完后的利潤為元．
(1)用含的代數(shù)式表示第二次冰墩墩售完后的的利潤；
(2)如何安排購買方案，使得第二次售賣兩種玩偶的銷售利潤最大，最大利潤是多少？
5．八方支援，同心抗疫．某地農(nóng)產(chǎn)品物流區(qū)計劃運輸一批貨物支援抗疫一線，運輸公司有、兩種貨車，1輛貨車與2輛貨車一次可以運貨50噸，3輛貨車與4輛貨車一次可以運貨120噸．
(1)請問1輛貨車和1輛貨車一次可以分別運貨多少噸？
(2)目前有190噸貨物需要運輸，該運輸公司計劃安排、兩種貨車將全部貨物一次運完（、兩種貨車均滿載），其中每輛貨車一次運貨花費500元，每輛貨車一次運貨花費400元．請你列出所有的運輸方案，并指出哪種運輸方案費用最少．
6．如圖，圓中兩條互相垂直的弦，交于點．

(1)求證：；
(2)若點是的中點，圓的半徑長，，求的長；
(3)點在上，且，求證：．
7．如圖，AB是的直徑，直線BM經(jīng)過點B，連接AC、BC，滿足．

(1)求證：直線BM是的切線；
(2)過上一動點C作交OA于點D，過點O作交直線BM于點E，連接AE交CD于點F．
①求證：；
②若，求DF的長．
8．五一勞動節(jié)，我市為了豐富人民生活，計劃用兩種花卉對市中心廣場進(jìn)行美化．已知用6萬元購買A種花卉與用9萬元購買B種花卉的數(shù)量相等，且B種花卉每盆比A種花卉多元．
(1)A，B兩種花卉每盆各多少元?
(2)計劃購買A，B兩種花卉共6萬盆，其中A種花卉的數(shù)量不超過B種花卉數(shù)量的，求購買A種花卉多少盆時，購買這批花卉總費用最低，最低費用是多少元．
9．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D是AB邊上一點，以BD為直徑的⊙O與邊AC相切于點 E，連接DE并延長DE交BC的延長線于點F．
（1）求證：BD=BF；
（2）若CF=2，tanB=，求⊙O的半徑．

10．一大型商場經(jīng)營某種品牌商品，該商品的進(jìn)價為每件3元，根據(jù)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)銷售量y（件）與售價（元/件）（為正整數(shù)）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系：
（元/件）
4
5
6
（件）
10000
9500
9000
（1）求與的函數(shù)關(guān)系式（不求自變量的取值范圍）；
（2）在銷售過程中要求銷售單價不低于成本價，且不高于15元/件．若某一周該商品的銷售量不少于6000件，求這一周該商場銷售這種商品獲得的最大利潤及此時的銷售單價分別為多少元？
11．開學(xué)前夕，某書店計劃購進(jìn)A、B兩種筆記本，已知一本B種筆記本比一本A種筆記本多3元，且用60元購買的A種筆記本與用75元購買的B種筆記本數(shù)量相同．
(1)購進(jìn)的A、B兩種筆記本每本分別多少元？
(2)在銷售過程中，A、B兩種筆記本的標(biāo)價分別為20元/本、25元/本．若購進(jìn)的B種筆記本的數(shù)量是A種筆記本數(shù)量的2倍，當(dāng)兩種筆記本全部售出，并且總利潤不少于4200元時，請問至少購進(jìn)A種筆記本多少本？
12．為做好新冠疫情的防控工作，某單位需購買甲、乙兩種消毒液經(jīng)了解每桶甲種消毒液的零售價比乙種消毒液的零售價多6元，該單位以零售價分別用900元和720元采購了相同桶數(shù)的甲、乙兩種消毒液．
（1）求甲、乙兩種消毒液的零售價分別是每桶多少元？
（2）由于疫情防控進(jìn)入常態(tài)化，該單位需再次購買兩種消毒液共300桶，且甲種消毒液的桶數(shù)不少于乙種消毒液桶數(shù)的，由于購買量大，甲、乙兩種消毒液分別獲得了20元/桶，15元/桶的批發(fā)價．求甲種消毒液購買多少桶時，所需資金總額最少？最少總金額是多少元？
13．如圖，AB為的直徑，C為上一點，的切線BD交OC的延長線于點D．
（1）求證：；
（2）若，．求CD的長．

14．如圖，AB為⊙O的直徑，C，D為⊙O上異于A，B的兩點，連接CD．過點D作DB⊥CF，垂足為點E，直線AB與CE相交于F點．

(1)若∠ABD=2∠BAC，求證：CF為⊙O的切線；
(2)若⊙O半徑為，tan∠BDC=，求AC的長．
15．2022北京冬奧會各類機(jī)器人大顯神通，為了共享綠色生活，倡導(dǎo)對垃圾進(jìn)行歸類．某機(jī)器人公司研發(fā)出A型和B型兩款垃圾分揀機(jī)器人，已知2臺A型機(jī)器人和3臺B型機(jī)器人同時工作3小時共分揀垃圾4.2噸，3臺A型機(jī)器人和4臺B型機(jī)器人同時工作5小時共分揀垃圾10噸．
(1)1臺A型機(jī)器人和1臺B型機(jī)器人每小時各分揀垃圾多少噸?
(2)某垃圾處理廠計劃向機(jī)器人公司購進(jìn)一批A型和B型垃圾分揀機(jī)器人，這批機(jī)器人每小時一共能分揀垃圾20噸．設(shè)購買A型機(jī)器人a臺（10≤a≤45），B型機(jī)器人b臺，請用含a的代數(shù)式表示b；
(3)機(jī)器人公司的報價如下表：


型號
原價
購買數(shù)量少于20臺
購買數(shù)量不少于20臺
A型
20萬元/臺
原價購買
打九折
B型
12萬元/臺
原價購買
打八折
在（2）的條件下，設(shè)購買總費用為w萬元，問如何購買使得總費用w最少？請說明理由．
16．如圖，在中，，AD是的平分線，O是AB上一點，以O(shè)A為半徑的經(jīng)過點D．

(1)求證：BC是切線；
(2)若，求AC的長．
17．如圖，已知AB是的直徑，CB是的弦，D是的中點，連接AC，AD，CD，E是AB延長線上一點，且．

(1)判斷DE與的位置關(guān)系，并說明理由；
(2)若，求AC長．
18．“水都數(shù)學(xué)建?！迸d趣小組對某超市一種熱賣的商品做了市場調(diào)查，發(fā)現(xiàn)該商品的進(jìn)價為每件30元，開始到3月底的一段時間，超市以每件40元售出，每天可以賣出120件．從4月1日開始，該商品每天比前一天漲價1元，銷售量每天比前一天減少2件；從5月1日起到5月30日當(dāng)天，該商品價格一直穩(wěn)定在每件70元，銷售量一直持續(xù)每天比前一天減少2件，設(shè)從4月1日起的第x天的銷售量為y元，銷售該商品的每天利潤為w元．
(1)第天的銷售價為每件_______元，這段時間每天的銷售量y（元）與x（天）的函數(shù)關(guān)系式為__________；
(2)問銷售該商品第幾天時，當(dāng)天銷售利潤最大，最大利潤是多少？
(3)該商品在銷售過程中，共有多少天每天銷售利潤不低于2000元？
19．小王是“新星廠”的一名工人，請你閱讀下列信息：
信息一：工人工作時間：每天上午8：00﹣12：00，下午14：00﹣18：00，每月工作25天；
信息二：小王生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的件數(shù)與所用時間的關(guān)系見下表：
生產(chǎn)甲產(chǎn)品數(shù)（件）
生產(chǎn)乙產(chǎn)品數(shù)（件）
所用時間（分鐘）
10
10
350
30
20
850
信息三：按件計酬，每生產(chǎn)一件甲種產(chǎn)品得1.50元，每生產(chǎn)一件乙種產(chǎn)品得2.80元．
信息四：該廠工人每月收入由底薪和計酬工資兩部分構(gòu)成，小王每月的底薪為1900元，請根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）小王每生產(chǎn)一件甲種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一件乙種產(chǎn)品分別需要多少分鐘；
（2）2018年1月工廠要求小王生產(chǎn)甲種產(chǎn)品的件數(shù)不少于60件，則小王該月收入最多是多少元？此時小王生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品分別是多少件？
20．如圖，已知AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，∠OCB的角平分線交⊙O于點D，F(xiàn)在直線AB上，且DF⊥BC，垂足為E，連接AD、BD．

(1)求證：DF是⊙O的切線；
(2)若，⊙O的半徑為3，求EF的長．

1．(1)證明見解析
(2)
【解析】
（1）如圖，連接，利用切線的性質(zhì)可推出，利用圓周角定理可推出，從而得到，再根據(jù)和，通過等量代換即可得證；
（2）由（1）知，，在中，利用正弦的定義計算出，再利用三角形中位線性質(zhì)得到，接著在中利用正弦定義計算出，然后計算與的差即可．
(1)
證明：如圖，連接，
∵為的切線，
∴，
∴，
∵為的直徑，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴．



(2)
解：由（1）知：，
∵，的半徑為，
∵在中，，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴，
∵，
∴點是的中點，
∵點是的中點，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．

2．（1）A、B兩種品牌電風(fēng)扇每臺的進(jìn)價分別是100元、150元；（2）為能在銷售完這兩種電風(fēng)扇后獲得最大的利潤，該商店應(yīng)采用購進(jìn)A種品牌的電風(fēng)扇7臺，購進(jìn)B種品牌的電風(fēng)扇2臺．
【解析】
（1）設(shè)A種品牌電風(fēng)扇每臺進(jìn)價元，B種品牌電風(fēng)扇每臺進(jìn)價元，根據(jù)題意即可列出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解出x、y即可．
（2）設(shè)購進(jìn)A品牌電風(fēng)扇臺，B品牌電風(fēng)扇臺，根據(jù)題意可列等式，由a和b都為整數(shù)即可求出a和b的值的幾種可能，然后分別算出每一種情況的利潤進(jìn)行比較即可．
（1）設(shè)A、B兩種品牌電風(fēng)扇每臺的進(jìn)價分別是x元、y元，
由題意得：，
解得：，
答：A、B兩種品牌電風(fēng)扇每臺的進(jìn)價分別是100元、150元；
（2）設(shè)購進(jìn)A種品牌的電風(fēng)扇a臺，購進(jìn)B種品牌的電風(fēng)扇b臺，
由題意得：100a+150b＝1000，
其正整數(shù)解為：或或，
當(dāng)a＝1，b＝6時，利潤＝80×1+100×6＝680（元），
當(dāng)a＝4，b＝4時，利潤＝80×4+100×4＝720（元），
當(dāng)a＝7，b＝2時，利潤＝80×7+100×2＝760（元），
∵680＜720＜760，
∴當(dāng)a＝7，b＝2時，利潤最大，
答：為能在銷售完這兩種電風(fēng)扇后獲得最大的利潤，該商店應(yīng)采用購進(jìn)A種品牌的電風(fēng)扇7臺，購進(jìn)B種品牌的電風(fēng)扇2臺．
3．(1)見解析
(2)見解析
【解析】
（1）先證明∠BAD=∠CBD，再由直徑所對的圓周角是直角可得∠DGB+∠DBG=90°，再由DE⊥AB，推出∠BAD+∠ADE=90°，即可證明∠ADE=∠BGD，則GF=DF；
（2）證明△ABD∽△DBE，得到，證明△ADB∽△BDG，得到，即可證明結(jié)論．
(1)
解：∵D是弧BC的中點，
∴，.
∴∠BAD=∠CBD，
∵AB是圓O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠DGB+∠DBG=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，
∴∠BAD+∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠BGD，即∠FGD=∠FDG，
∴GF=DF；
(2)
解：∵∠ADB=∠DEB=90°，
∴∠A+∠ABD=∠EDB+∠EBD=90°，
∴∠A=∠EDB，
∴△ABD∽△DBE，
∴，
∴，
∵∠ADB=∠BDG=90°，∠BAD=∠GBD，
∴△ADB∽△BDG，
∴，
∴，
∴．

4．(1)
(2)購進(jìn)冰墩墩62個，雪容融38個或購進(jìn)冰墩墩63個，雪容融37個時，第二次售賣兩種玩偶的銷售利潤最大，最大利潤是1802元
【解析】
（1）由題意第二次購進(jìn)冰墩墩的數(shù)量為（50+x）個，平均每個的利潤減少元，根據(jù)利潤=一個利潤×數(shù)量，即可求得第二次冰墩墩售完后的的利潤；
（2）由題意知，第二次購買雪容融的數(shù)量為個，根據(jù)兩種玩偶銷售利潤的和得關(guān)于x的函數(shù)式，然后求最大值即可．
(1)
由題意，第二次購進(jìn)冰墩墩的數(shù)量為（50+x）個，平均每個的利潤減少元，則第二次冰墩墩售完后的的利潤；
整理得：．
(2)
第二次購進(jìn)冰墩墩的數(shù)量為（50+x）個，第二次購買雪容融的數(shù)量為個，
∴第二次售賣兩種玩偶的銷售利潤
,
∴,
由題意知，x為正整數(shù)，所以當(dāng)x=12或13時，w最大，最大值為1802；
當(dāng)x=12時，50+x=62，50-x=38；當(dāng)x=13時，50+x=63，50-x=37；
即購進(jìn)冰墩墩62個，雪容融38個或購進(jìn)冰墩墩63個，雪容融37個時，第二次售賣兩種玩偶的銷售利潤最大，最大利潤是1802元．
5．(1)1輛貨車一次可以運貨20噸，1輛貨車一次可以運貨15噸；
(2)①貨車2輛，貨車10輛；②貨車5輛，貨車6輛；③貨車8輛，貨車2輛；隨的增大而減小，費用越少，越大，故方案③費用最少
【解析】
（1）設(shè)1輛A貨車一次可以運貨x噸，1輛B貨車一次可以運貨y噸，根據(jù)1輛貨車與2輛貨車一次可以運貨50噸，3輛貨車與4輛貨車一次可以運貨120噸列出方程組解答即可；
（2）設(shè)A貨車運輸m噸，則B貨車運輸（190?m）噸，設(shè)總費用為w元，列出w的一次函數(shù)表達(dá)式，化簡得w隨m的增大而減??；根據(jù)A、B兩種貨車均滿載，得，都是整數(shù)，分類列舉得到符合題意的方案，最后根據(jù)費用越少，m越大得到費用最少的方案．
(1)
解：設(shè)1輛貨車一次可以運貨噸，1輛貨車一次可以運貨噸，
根據(jù)題意得：，
解得，
答：1輛貨車一次可以運貨20噸，1輛貨車一次可以運貨15噸；
(2)
解：設(shè)貨車運輸噸，則貨車運輸噸，設(shè)總費用為元，
則：
，
∵，
∴隨的增大而減?。?br /> ∵、兩種貨車均滿載，
∴，都是整數(shù)，
當(dāng)時，不是整數(shù)；當(dāng)時，；
當(dāng)時，不是整數(shù)；當(dāng)時，不是整數(shù)；
當(dāng)時，；當(dāng)時，不是整數(shù)；
當(dāng)時，不是整數(shù)；當(dāng)時，；
當(dāng)時，不是整數(shù)；
故符合題意的運輸方案有三種：
①貨車2輛，貨車10輛；
②貨車5輛，貨車6輛；
③貨車8輛，貨車2輛；
∵隨的增大而減小，
∴費用越少，越大，
故方案③費用最少．
6．(1)證明見解析；
(2)；
(3)證明見解析
【解析】
(1)連接AC，證明即可．
(2)連接OC，運用垂徑定理和勾股定理計算即可．
(3) 延長交于，證明即可．
(1)
連接．
∵，，
∴，
∴，
∴．

(2)
如上圖，連接．
∵是的中點，
∴，
∵，
∴．
在中，
∴．
(3)
證明：如上圖，延長交于，
∵，，???
∴．
又∵，
∴，
∵，為弧所對的圓周角．
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴．
7．(1)見解析；
(2)①見解析；②．
【解析】
（1）由直徑所對的圓周角是直角可得，又，由此可得，即，由此可證為的切線；
（2）①由平行線的性質(zhì)可得，又，由此即可得證；②設(shè)的半徑為，先證，可得，由可得，兩式聯(lián)立，即可解得的長．
(1)
解：是的直徑，
，
，
又，
，
即，
又是的直徑，
直線是的切線．
(2)
解：①，
，
又，
．
②設(shè)的半徑為．
，，
，
，即①．
，
，即②．
聯(lián)立①②，解得．
8．(1)A種花卉每盆1元，則B種花卉每盆1.5元
(2)購買A種花卉15000盆時，購買這批花卉總費用最低，最低費用是82500元
【解析】
（1）設(shè)A種花卉每盆元，則B種花卉每盆元，根據(jù)“用6萬元購買A種花卉與用9萬元購買B種花卉的數(shù)量相等”列分式方程，求解檢驗即可；
（2）設(shè)購買A種花卉盆，總費用為元，則購買B種花卉盆，根據(jù)兩種花卉的費用之和列出函數(shù)解析式，再根據(jù)m的范圍和一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
(1)
解：設(shè)A種花卉每盆元，則B種花卉每盆元，
由題意得，，
解得，
經(jīng)檢驗，是所列方程的解，且符合題意，
，
答：A種花卉每盆1元，則B種花卉每盆1.5元．
(2)
設(shè)購買A種花卉盆，總費用為元，則購買B種花卉盆，
由題意得，，
，
解得，
是的一次函數(shù)，，
隨的增大而減小，
當(dāng)時，最小，
，
所以，購買A種花卉15000盆時，購買這批花卉總費用最低，最低費用是82500元．
9．（1）證明見解析；（2）5.
【詳解】
（1）證明：連接OE，
∵AC與圓O相切，
∴OE⊥AC，
∵BC⊥AC，
∴OE∥BC，
又∵O為DB的中點，
∴E為DF的中點，即OE為△DBF的中位線，
∴OE=BF，
又∵OE=BD，
則BF=BD；
（2）解：設(shè)BC=3x，根據(jù)題意得：AC=4x，AB=5x
又∵CF=2，
∴BF=3x+2，
由（1）得：BD=BF，
∴BD=3x+1，
∴OE=OB=，AO=AB﹣OB=5x﹣=，
∵OE∥BF，
∴∠AOE=∠B，
∴cos∠AOE=cosB，即=，即=，
解得：x=，
則圓O的半徑為=5．

10．（1）；（2）一周該商場銷售這種商品獲得的最大利潤為54000元，銷售單價分別為12元
【詳解】
解：（1）設(shè)和的函數(shù)表達(dá)式為，
則，
解得，
故和的函數(shù)表達(dá)式為；．
（2）設(shè)這一周該商場銷售這種商品的利潤為元，
由題意得：，
解得，
這一周該商場銷售這種商品獲得利潤：，
∴，
∵，
故時，有最大值為54000，
答：一周該商場銷售這種商品獲得的最大利潤為54000元，銷售單價為12元．
11．(1)購進(jìn)的A、B兩種筆記本每本分別12元，15元
(2)至少購進(jìn)A種筆記本150本
【解析】
（1）設(shè)購進(jìn)的A種筆記本每本x元，則B種筆記本每本元,由題意列出方程，解方程即可；
（2）設(shè)購進(jìn)A種筆記本m本，則購進(jìn)B種筆記本本，列出一元一次不等式，解不等式即可．
(1)
解：設(shè)購進(jìn)的A種筆記本每本x元，則B種筆記本每本元,
∴，
解得，，
經(jīng)檢驗，是原分式方程的解；
元，
∴購進(jìn)的A、B兩種筆記本每本分別12元，15元．
(2)
設(shè)購進(jìn)A種筆記本m本，則購進(jìn)B種筆記本本，
∴，
∴
∴至少購進(jìn)A種筆記本150本．
12．（1）甲種消毒液每桶的單價為30元，乙種消毒液每桶的單價為24元；（2）甲種消毒液購買75桶時，所需資金總額最少，最少總金額是4875元．
【詳解】
解：（1）設(shè)甲種消毒液每桶的單價為x元，乙種消毒液每桶的單價為（x-6）元，
依題意，得： ，
解得：x=30，
經(jīng)檢驗，x=30是原方程的解，且符合實際意義，則x-6=24．
答：甲種消毒液每桶的單價為30元，乙種消毒液每桶的單價為24元；
（2）設(shè)購買甲種消毒液m桶，則購買乙種消毒液（300-m）桶，根據(jù)題意得到不等式：
m≥(300-m)，解得：m≥75，
∴75≤m≤300，
設(shè)總費用為W，根據(jù)題意得：
W=20m+15(300-m)=5m+4500，
∵k=5>0，
∴W隨m的減小而減小，
∴當(dāng)m=75時，W有最小值，
∴W=5×75+4500=4875元
∴甲種消毒液購買75桶時，所需資金總額最少，最少總金額是4875元．
13．（1）見解析；（2）CD＝
【詳解】
（1）證明：∵DB是⊙O的切線，
∴BD⊥AB，
∴∠OBD＝∠OBC＋∠DBC＝90°．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝90°．
∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB．
∴∠DBC＝∠OCA；
（2）解：在Rt△ACB中，∵∠A＝30°，AC＝2，
設(shè)，則，
∴，
解得：，
則，
∵∠A＝30°，
∴∠COB＝2∠A＝60°，
∴∠D＝90°?∠COB＝30°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠A＝30°．
∴∠DBC＝∠OCA＝30°，
∴∠D＝∠DBC．
∴CB＝CD．
∴CD＝．
14．(1)證明見解析
(2)
【解析】
(1)
證明：如下圖所示，連接OC．

∵DB⊥CF，
∴∠DEF=90°．
∵∠BAC和∠BOC分別是所對的圓周角和圓心角，
∴∠BOC=2∠BAC．
∵∠ABD=2∠BAC，
∴∠BOC=∠ABD．
∴．
∴∠OCF=∠DEF=90°．
∵OC是半徑，
∴CF為⊙O的切線．
(2)
解：如下圖所示，連接BC．

∵AB為⊙O的直徑，⊙O半徑為，
∴∠ACB=90°，．
∴．
∵∠BAC和∠BDC都是所對的圓周角，
∴∠BAC=∠BDC．
∵，
∴．
設(shè)AC=x，則．
∴．
解得，（舍）．
∴．
15．(1)1臺A型機(jī)器人和1臺B型機(jī)器人每小時各分揀垃圾0.4噸和0.2噸；
(2)b＝100﹣2a（10≤a≤45）；
(3)選購A型號機(jī)器人40臺，B型號機(jī)器人20臺時，總費用w最少，此時需要912萬元．理由見解析．
【解析】
（1）設(shè)1臺A型機(jī)器人和1臺B型機(jī)器人每小時各分揀垃圾x噸和y噸，根據(jù)題意列出方程組即可求出答案．
（2）根據(jù)題意列出方程，方程變形后即可求出答案．
（3）根據(jù)a的取值，求出w與a的函數(shù)關(guān)系，從而求出w的最小值．
(1)
解：設(shè)1臺A型機(jī)器人和1臺B型機(jī)器人每小時各分揀垃圾x噸和y噸，
由題意可知：，
解得：，
答：1臺A型機(jī)器人和1臺B型機(jī)器人每小時各分揀垃圾0.4噸和0.2噸．
(2)
解：由題意可知：0.4a+0.2b＝20，
∴b＝100﹣2a（10≤a≤45）．
(3)
解：當(dāng)10≤a＜20時，
此時60＜b≤80，
∴w＝20×a+0.8×12（100﹣2a）＝0.8a+960，
∵0.8＞0，
∴w隨a的增大而增大，
∴當(dāng)a＝10時，此時w有最小值，w＝968，
當(dāng)20≤a≤40時，
此時20≤b≤60，
∴w＝0.9×20a+0.8×12（100﹣2a）＝﹣1.2a+960，
∵﹣1.2＜0，
∴w隨a的增大而減小，
∴當(dāng)a＝40時，此時w有最小值，w＝912，
當(dāng)40＜a≤45時，
此時10≤b＜20，
∴w＝0.9×20a+12（100﹣2a）＝﹣6a+1200，
∵﹣6＜0，
∴w隨a的增大而減小，
當(dāng)a＝45時，此時w有最小值，此時w＝930，
答：選購A型號機(jī)器人40臺時，總費用w最少，此時需要912萬元．
16．(1)見解析
(2)6
【解析】
（1）要證BC是⊙O的切線，只要連接OD，再證OD⊥BC即可．
（2）過點D作DE⊥AB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知CD=DE=3，由勾股定理得到BE的長，再通過證明△BDE∽△BAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出AC的長．
(1)
連接OD；


∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠1=∠3．
∵OA=OD，
∴∠1=∠2．
∴∠2=∠3．
∴OD∥AC．
∴∠ODB=∠ACB=90°．
∴OD⊥BC．
∵OD是⊙O的半徑，
∴BC是⊙O切線．
(2)
過點D作DE⊥AB，

∵AD是∠BAC的平分線，
∴CD=DE=3．
在Rt△BDE中，∠BED=90°，
由勾股定理得：
∵∠BED=∠ACB=90°，∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAC．
∴．
∴．
∴AC=6．
17．(1)是的切線；理由見解析
(2)
【解析】
（1）根據(jù)題目條件證得，根據(jù)圓周角定理得，由于，故，進(jìn)而證得，于是,即可證明為的切線；
（2）由題可知，在中，，設(shè),則,繼而可求,,利用勾股定理得到，利用解得，,根據(jù)為直徑得到 ,根據(jù)，即可求出。
(1)
證明：連接 ，
是的中點，
，
，
，
，，
，
，
，
為的半徑，
是的切線；

(2)
解：，
，
，
，
，
設(shè)，則，
，，
，
,，???
， ，
為的直徑，
，
，
，
，
即，
．
18．(1)（x+40）；
(2)銷售該商品第25天時，當(dāng)天銷售利潤最大，最大利潤是240元；
(3)該商品在銷售過程中，共有26天每天銷售利潤不低于2000元；
【解析】
（1）先直接寫出第天的銷售價，再依據(jù)每天銷售量=每一件的售價×每天的銷售件數(shù)列函數(shù)關(guān)系式即可；
（2）列出兩個函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)函數(shù)性質(zhì)結(jié)合自變量的取值范圍求出最大值，比較大小可得；
（3）分別求出在上述兩種情況中利潤W≥2000時x的范圍，兩個范圍相結(jié)合即可得．
(1)
第天的銷售價為每件（x+40）元
由題意可知：第x天每天銷售（120-2x）件，
∴這段時間每天的銷售量y（元）與x（天）的函數(shù)關(guān)系式為；
故答案為：（x+40）；；
(2)
設(shè)銷售利潤為W元，
4月份時，，
∵-2＜0，開口向下
∴當(dāng)x=時，W有最大值，W最大值=，
5月份時，，
∵-80＜0，W隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x=31時，W有最大值，W最大值=，
∵2320＜2450，
∴銷售該商品第25天時，當(dāng)天銷售利潤最大，最大利潤是240元；
(3)
由（2）知，當(dāng)1≤x≤30時，令，
解得：，
根據(jù)二次函數(shù)圖像性質(zhì)，當(dāng)10≤x≤30時，W≥2000，
當(dāng)31≤x≤61時，令，
解得：x=35，
根據(jù)一次函數(shù)圖像性質(zhì)，當(dāng)31≤x≤35時，W≥2000，
∴10≤x≤35，
∴35-10+1=26，
∴該商品在銷售過程中，共有26天每天銷售利潤不低于2000元；
19．（1）生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品需要15分，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品需要20分；（2）小王該月最多能得3544元，此時生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別60，555件．
【詳解】
（1）設(shè)生產(chǎn)一件甲種產(chǎn)品需x分，生產(chǎn)一件乙種產(chǎn)品需y分．
由題意得：，
解這個方程組得：，
答：生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品需要15分，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品需要20分．
（2）設(shè)生產(chǎn)甲種產(chǎn)品共用x分，則生產(chǎn)乙種產(chǎn)品用（25×8×60-x）分．
則生產(chǎn)甲種產(chǎn)品件，生產(chǎn)乙種產(chǎn)品件．
∴w總額=1.5×+2.8×=0.1x+×2.8=0.1x+1680-0.14x=-0.04x+1680，
又≥60，得x≥900，
由一次函數(shù)的增減性，當(dāng)x=900時w取得最大值，此時w=0.04×900+1680=1644（元），
則小王該月收入最多是1644+1900=3544（元），
此時甲有=60（件），
乙有：=555（件），
答：小王該月最多能得3544元，此時生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別60，555件．
20．(1)見解析
(2)
【解析】
（1）連接OD，證明∠ODC=∠OCD，根據(jù)CD平分∠OCB，得到∠OCD=∠DCE，推出∠ODC=∠DCE，得到OD∥CE，根據(jù)CE⊥DF，推出OD⊥DF，得到DF是⊙O的切線；
（2）根據(jù)AB是⊙O的直徑，得到∠ADB=90°，根據(jù)⊙O的半徑為3，得到AB=6，根據(jù)，得到AD=2BD，根據(jù)，得到，，根據(jù)∠ADB=∠ODF=90°，得到∠ADO=∠BDE，推出∠BAD=∠BDE，根據(jù)∠ADB=∠DEB=90°，推出△ABD∽△DBE，得到，，推出，，根據(jù)OD∥CE，推出△FOD∽△FBE，得到，推出．
(1)
連接OD，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∵CD平分∠OCB，
∴∠OCD=∠DCE，
∴∠ODC=∠DCE，
∴OD∥CE，
∵CE⊥DF，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切線；

(2)
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∵⊙O的半徑為3，
∴AB=6，
∵，
∴AD=2BD，
∵，
∴，
∴，，
∵∠ADB=∠ODF=90°，
∴∠ADO=∠BDE，
∴∠BAD=∠BDE，
∵∠ADB=∠DEB=90°，
∴△ABD∽△DBE，
∴，，
∴，，
∵OD∥CE，
∴△FOD∽△FBE，
∴，
∴，
∴．

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