2020-2021學年江蘇省鎮(zhèn)江中學高一下學期期中數學試題一、單選題1．已知，若復數（是虛數單位）是純虛數，則     （    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】結合純虛數的定義，列出關系式，計算即可.【詳解】∵復數（是虛數單位）是純虛數，∴，解得.故選：B.【點睛】本題考查純虛數，考查學生的計算能力，屬于基礎題.2．已知與是兩個不共線的向量，為實數，若向量與向量平行，則的值為　　A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】根據題意即可得出，從而可得出，然后解出即可．【詳解】不共線，，又向量與平行，根據共線向量基本定理得：存在實數，使，根據平面向量基本定理得：，解得．故選：．3．已知向量，，，，則（    ）A． B． C．0 D．1【答案】D【分析】由題意求出的坐標，再由列方程組可求出的值，從而可求出的值【詳解】解：因為，，所以，因為，，所以，解得，所以，故選：D4．已知復數滿足(為虛數單位)，則的最大值為（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據，得到復數z所對應的點在以（0,1）為圓心，以2為半徑的圓上求解.【詳解】因為復數滿足，所以復數z所對應的點在以（0,1）為圓心，以2為半徑的圓上，如圖所示：由圖知：當z對應的點為（0,3）時，的模最大，最大值為3，故選：C5．設，，，則有（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用三角恒等變換化簡，再由單調性即可比較其大小.【詳解】因為，所以：又因為所以：.故選：A.6．中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則下列結論不正確的是（    ）A． B．C．若，則的面積是 D．是鈍角三角形【答案】B【分析】用正弦定理即可判斷A；用余弦定理可以判斷D，再結合平面向量數量積的定義可以判斷B；先用余弦定理確定A，再用三角形面積公式即可算出面積，進而判斷D.【詳解】對A，由正弦定理可得正確；對B，D，設，∴，A為鈍角，，B錯誤，D正確；對C，∵，則，∴，∴.故選：B.7．已知，，，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由求出的值，再由求出，從而可求出的值，進而可求出的值【詳解】解：因為，所以，所以，，所以，所以，所以，所以，因為，，所以，則 ，因為，所以，因為，所以，所以，所以，故選：D8．已知，，且，，若，則（    ）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】設，易知在上遞增，且是的一個零點，再由，且，得到也是的一個零點，由求解.【詳解】因為， 且，設，因為在上遞增，所以在上遞增，且是的一個零點，又因為 ，所以，又，即，所以也是的一個零點，所以，所以，，解得或（舍去），故選：A9．下列關于復數的命題中(是虛數單位)，說法正確的是(    )A．若關于x的方程有實根，則B．復數z滿足，則z在復平面對應的點位于第二象限C．是關于x的方程的一個根，其中p，q為實數，則D．已知復數，滿足，則【答案】A【分析】設實根為，代入方程可求得值，可判斷選項A是否正確；根據等式求出，可判斷選項B是否正確；把代入方程可求得值，可判斷選項C是否正確；舉例可判斷選項D是否正確．【詳解】對于選項A，設實根為，代入方程可得：，所以∴，解得：或，所以，故A正確；對于選項B，∵，∴，∴在復平面對應的點位于第一象限，故B錯誤；對于選項C，由題意得：，∴∴，解得：，故C錯誤；對于選項D，取，滿足，但，故D錯誤．故選：A．二、多選題10．下列命題中正確的是（    ）A．若，不共線，，，則向量，可以作為一組基底B．中，，則使直角三角形C．若的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則使等腰三角形D．對于任意向量，，都有【答案】BCD【分析】利用向量共線定理與平面向量的基底即可判斷選項；由向量的線性運算及數量積運算即可判斷選項；由正弦定理及三角恒等變換即可判斷選項；由向量的數量積運算即可判斷選項．【詳解】對于，由，，可知，向量與共線，故向量，不可以作為一組基底，故錯誤；對于，中，，即，所以，即，故是直角三角形，故正確；對于，因為，由正弦定理可得，又，所以，即，即，所以，即，所以是等腰三角形，故正確；對于，對任意向量，，，，故正確．故選：．11．如圖，B是AC的中點，，P是平行四邊形BCDE內(含邊界)的一點，且，則下列結論正確的是（    ）A．當P在C點時，，B．當時，C．若為定值1，則在平面直角坐標系中，點P的軌跡是一條線段D．當P是線段CE的中點時，，【答案】ACD【分析】利用三角形法則以及三點共線的性質和平面向量基本定理對應各個選項逐個求解即可．【詳解】選項：因為為的中點，則，所以，則，所以，，故正確；選項：當時，點在線段上，故，故錯誤；選項：當為定值1時，，，三點共線，又是平行四邊形內（含邊界）的一點，故的軌跡是一條線段，故正確；選項：當是線段的中點時，，所以，故正確，故選：．12．若的內角，，所對的邊分別為，，，且滿足，則下列結論正確的是（    ）A．角一定為銳角 B．C． D．的最小值為【答案】BC【分析】結合降次公式、三角形內角和定理、余弦定理、正弦定理、同角三角函數的基本關系式化簡已知條件，然后對選項逐一分析，由此確定正確選項.【詳解】依題意，，，為鈍角，A選項錯誤.，，B選項正確.，由正弦定理得，，，由于，為鈍角，為銳角，所以兩邊除以得，.C選項正確.，，整理得，由于為鈍角，，所以，當且僅當時等號成立.所以，D選項錯誤.故選：BC三、填空題13．已知復數，，則___________.【答案】1【分析】根據復數模的計算公式，直接計算，即可得出結果.【詳解】∵，，∴．故答案為：1．14．，則___________.【答案】【分析】求值式分子分母同除以，化為后代入的值計算．【詳解】，則故答案為：15．若，則與的夾角為________．【答案】.【分析】設向量與向量的夾角為，根據向量的線性運算法則，化簡得到，結合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】設向量與向量的夾角為，由，則，可得，解得，所以，因為，所以，即向量與向量的夾角為.故答案為：.16．拿破侖定理是法國著名軍事家拿破侖·波拿巴最早提出的一個幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊，向外構造三個等邊三角形，則這三個等邊三角形的外接圓圓心恰為另一個等邊三角形(此等邊三角形稱為拿破侖三角形)的頂點.”已知內接于單位圓，以BC，AC為邊向外作三個等邊三角形，其外接圓圓心依次記為，，.若，則的面積最大值為___________.【答案】【分析】根據拿破侖三角形的性質，可以設的兩條直角邊為，然后由的邊分別用表示出來，然后結合。利用余弦定理可表示出的長度，最后利用基本不等式求出邊長的最大值，則面積的最大值可求【詳解】解：如圖在直角中，設直角邊，由題意可得，做出拿破侖三角形如圖所示，連接，由等邊三角形外心的性質可知，同理，，在中，由余弦定理得，當且僅當時取等號，所以，所以的面積最大值為，故答案為：四、解答題17．已知.求：（1）的值；（2）的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用兩角和差公式展開整理，根據同角三角函數的基本關系可求的值；（2）根據二倍角公式求出，再利用兩角和差公式展開，代入即可得出結論.【詳解】（1），即，化簡得，①又sin2α+cos2α=1，②由①②解得cosα=或cosα=，因為，所以.（2）因為，cosα=，所以sinα=，則cos2α=1-2sin2α=，sin2α=2sinαcosα=，所以.【點睛】本題主要考查了兩角和差公式以及二倍角公式.屬于較易題.18．已知復數滿足，的實部大于0，的虛部為2.（1）求復數（2）設復數，，在復平面上對應的點分別為A，B，C，點滿足和共線，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由已知結合復數的模長公式及復數的概念即可求解；（2）結合復數的幾何意義可求的坐標，然后結合向量共線的坐標表示可求．【詳解】（1）設，（為實數），由得，因為的實部大于，的虛部，所以，所以，所以；（2），，所以，因為和共線，，所以，所以．19．已知向量，，，若函數的最小正周期為.（1）求的值和的對稱軸方程；（2）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，的面積為，求的值.【答案】（1），對稱軸為；（2）【分析】（1）由題意化簡出的解析式，即可得出答案.（2）根據可解出角的值，結合面積公式與角的余弦定理，即可得出答案.【詳解】（1）由題意知：所以所以的對稱軸方程：.（2）由題意知：，，則.又..所以.所以20．在直角梯形中，已知，，，，對角線交于點，點在上，且滿足.(1)求的值;(2)若為線段上任意一點，求的最小值.【答案】(1);(2)【分析】（1）以為基底，將數量積運算通過向量的線性運算，轉化成關于基底的運算；（2）先確定的位置，即，再令，從而將表示成關于的二次函數，利用二次函數的性質，即可得答案.【詳解】(1)在梯形中，因為，，所以， ;(2)令，則，即，令，則，，所以當時，有最小值.【點睛】本題考查向量的線性運算、向量數量積的最值，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想、數形結合思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意將最值問題轉化為函數的最值問題.21．如圖所示，是某海灣旅游區(qū)的一角，為營造更加優(yōu)美的旅游環(huán)境，旅游區(qū)管委會決定建立面積為平分千米的三角形主題游戲樂園，并在區(qū)域建立水上餐廳.已知，.（1）設，，用表示，并求的最小值；（2）設（為銳角），當最小時，用表示區(qū)域的面積，并求的最小值.【答案】(1);(2)S= ,8－.【詳解】試題分析：(1)首先確定函數的解析式為結合均值不等式的結論可得的最小值是;(2)結合題意和三角函數的性質可得S=，利用三角函數的性質可知的最小值是8－.試題解析：（1）由S△ACB＝AC·BC·sin∠ACB＝4得，BC＝，在△ACB中，由余弦定理可得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB，即y2＝x 2＋＋16，所以y＝y＝≥＝4，當且僅當x2＝，即x＝4時取等號．所以當x＝4時，y有最小值4．（2）由（1）可知，AB＝4，AC＝BC＝4，所以∠BAC＝30°，在△ACD中，由正弦定理，CD＝＝＝，在△ACE中，由正弦定理，CE＝＝＝，所以，S＝CD·CE·sin∠DCE＝＝．因為θ為銳角，所以當θ＝時，S有最小值8－4．    22．古希臘數學家普洛克拉斯曾說：“哪里有數學，哪里就有美，哪里就有發(fā)現(xiàn)……”，對稱美是數學美的一個重要組成部分，比如圓，正多邊形……，請解決以下問題：（1）魏晉時期，我國古代數學家劉徽在《九章算術注》中提出了割圓術：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”，割圓術可以視為將一個圓內接正n邊形等分成n個等腰三角形(如圖所示)，當n變得很大時，等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積，運用割圓術的思想，求的近似值(結果保留).（2）正n邊形的邊長為a，內切圓的半徑為r，外接圓的半徑為R，求證：.【答案】（1）；（2）詳見解析.【分析】（1）將一個單位圓分成120個扇形，每個扇形的圓心角為，再根據120個等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積求解；（2）設O為內切圓的圓心，OA，OB分別為外接圓和內切圓的半徑R，r，易知 ，然后在中，利用三角函數的定義求得R，r，利用三角恒等變換證明.【詳解】（1）將一個單位圓分成120個扇形，每個扇形的圓心角為，因為這120個等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積，所以 ；（2）設O為內切圓的圓心，OA，OB分別為外接圓和內切圓的半徑R，r，則 ，如圖所示：所以，在中，，即，所以，，即，所以，所以，.

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