2021-2022學年江蘇省鎮(zhèn)江市實驗高級中學高一下學期期中數(shù)學試題一、單選題1．函數(shù)的最小正周期是A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)求最小正周期的公式,即可求出答案【詳解】因為 ：      所以： ．故答案選：C【點睛】由，求函數(shù)最小正周期2．的值為（       ）A． B． C． D．1【答案】C【分析】根據(jù)兩角和正弦公式，化簡即可求解.【詳解】由兩角和正弦公式，可得.故選：C.3．下列各組的兩個向量，共線的是（       ）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】根據(jù)向量的共線的坐標表示，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，由，，可得，所以兩向量不共線；對于B中，由，，可得，所以兩向量不共線；對于C中，由，，可得，所以兩向量共線；對于D中，由，，可得，所以兩向量不共線.故選：C.4．的值是（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用降冪公式求解【詳解】.故選：D.5．在中，若，則（       ）A．60° B．90° C．120° D．45°【答案】B【分析】根據(jù)題意和正弦定理，得到，即可求解.【詳解】由，可得，根據(jù)正弦定理，可得，所以.故選：B.6．已知，，，則（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知可求得，即可得出所求.【詳解】因為，所以，即，又，，，則，所以.故選：D.7．已知，則（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)余弦的二倍角公式即可計算.【詳解】.故選：C.8．如圖，鎮(zhèn)江金山的江天禪寺是歷史悠久的佛教圣地，其周圍的金山湖公園也成為市民休閑旅游的最佳選擇.為了擴大對家鄉(xiāng)旅游的宣傳，現(xiàn)對江天禪寺進行無人機拍照.已知慈壽塔DE的右側(cè)是金山湖，我們選擇了三個點，分別是寶塔左側(cè)一點A與湖對岸B，F點，設寶塔底部E點和這三個點在同一直線上，無人機從A點沿AD直線飛行200米到達寶塔頂部D點后，然后再飛到F點的正上方，對山腳的江天禪寺EB區(qū)域進行拍照.現(xiàn)測得從A處看寶塔頂部D的仰角為60°，，米.若無人機在C點處獲得最佳拍照角度時（即最大），該無人機離地面的高度為（       ） A．米 B．米 C．米 D．200米【答案】C【分析】利用正余弦定理可得，，進而利用兩角差的正切公式可得，然后利用基本不等式即得.【詳解】在中，由正弦定理得，∴，再由余弦定理：，∴，又，所以，，設該無人機離地面的高度為米，則，當且僅當：，即取等號，此時無人機獲得最佳拍照角度，該無人機離地面的高度為米.故選：C二、多選題9．關于基本立體圖形，下列說法正確的是（       ）A．由一個平面多邊形沿某一方向平移形成的空間圖形叫棱柱B．棱錐的底面是多邊形，側(cè)面可以是四邊形C．將棱臺的側(cè)棱延長后必定交于一點D．將直角三角形繞著其一邊旋轉(zhuǎn)一周形成的圖形叫做圓錐【答案】AC【分析】根據(jù)棱柱、棱錐、棱臺、圓錐的定義依次判斷即可.【詳解】對于A，滿足棱柱定義，正確；對于B，由于棱錐的所有側(cè)棱都交于一點，故棱錐的側(cè)面都是三角形，故B錯誤；對于C，由棱臺的定義知正確；對于D，將直角三角形繞斜邊為軸，不是圓錐，所以D錯誤.故選：AC.10．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有點（       ）A．向左平移個單位長度，再把橫坐標縮短為原來的倍（縱坐標不變）B．向左平移個單位長度，再把橫坐標縮短為原來的倍（縱坐標不變）C．橫坐標縮短為原來的倍（縱坐標不變），再把圖象向左平移個單位長度D．橫坐標縮短為原來的音（縱坐標不變），再把圖象向左平移個單位長度【答案】BC【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換的規(guī)則，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，將的圖象上的各點向左平移個單位長度，可得的圖象，再將橫坐標縮小到原來的，縱坐標保持不變，可得的圖象，所以A錯誤.對于B中，將的圖象上的各點向左平移個單位長度，可得的圖象；再將橫坐標縮小到原來的，縱坐標保持不變，得到的圖象，所以B正確.對于C中，將的圖象上的各點橫坐標縮小到原來的，得到函數(shù)的圖象；縱坐標保持不變，再向左平移個單位長度，得到的圖象，所以C正確.對于D中，將函數(shù)的圖象上的各點橫坐標縮小到原來的，可得的圖象，縱坐標保持不變，再向左平移個單位，可得的圖象，所以D錯誤.故選：BC11．下列說法錯誤的是（       ）A．若，則B．若，則存在唯一實數(shù)使得C．兩個非零向量，若，則與共線且反向D．已知，且與的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍是【答案】ABD【分析】根據(jù)向量的概念依次判斷即可.【詳解】A. 取，盡管，但不一定成立，故A錯誤；B. 若，對于非零向量，當時，則不存在任意實數(shù)使得，故B錯誤；C. 由，兩邊平方 可得，從而，則與共線且反向，故C正確；D.當與的夾角為銳角，則，即，則，解得，但當時，與的夾角為零角，不滿足題意，所以的取值范圍是，故D錯誤；故選：ABD.【點睛】本題主要考查向量共線的問題，屬于簡單題.12．在中，角，，的對邊分別為，，，若為非零實數(shù)），則下列結(jié)論正確的是（       ）A．當時，是直角三角形 B．當時，是銳角三角形C．當時，是鈍角三角形 D．當時，是鈍角三角形【答案】ABC【解析】由題意根據(jù)正弦定理，余弦定理逐一判斷各個選項即可得解.【詳解】對于選項，當時，，根據(jù)正弦定理不妨設，，，顯然是直角三角形，故命題正確；對于選項，當時，，根據(jù)正弦定理不妨設，，，顯然是等腰三角形，，說明為銳角，故是銳角三角形，故命題正確；對于選項，當時，，根據(jù)正弦定理不妨設，，，可得，說明為鈍角，故是鈍角三角形，故命題正確；對于選項，當時，，根據(jù)正弦定理不妨設，，，此時，不等構(gòu)成三角形，故命題錯誤.故選：.【點睛】本題考查正弦定理與余弦定理的應用，利用正弦定理進行邊角轉(zhuǎn)化，再利用余弦定理求出角度的范圍即可判斷三角形形狀，意在考查學生對定理的掌握與應用，屬于基礎題.三、填空題13．人們經(jīng)過長期觀察與實踐，總結(jié)出平面有三個基本事實.其中基本事實2：如果一條直線上有兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)（如圖），請用符號語言表述基本事實2是_________________.【答案】，且   【分析】根據(jù)文字語言的表述，直接用符號語言表述，可得答案．【詳解】由題意，如果一條直線上有兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)，用符號語言表述為： ，且 ，故答案為：，且14．在中，，，，則_________________.【答案】-144【分析】確定三角形為直角三角形，求得，根據(jù)數(shù)量積的定義，可求得答案.【詳解】由，，得：，故 ,則，而.故答案為：15．黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值約為，這個比例被公認為是最能引起美感的比例，因此被稱為黃金分割.已知是黃金分割比的近似值，而黃金分割比還可以表示為，則______.（結(jié)果用表示）【答案】【分析】求出，利用二倍角的余弦公式以及誘導公式可求得結(jié)果.【詳解】，所以，，所以，，因此，.故答案為：.16．已知直角梯形，，，，是邊上的一動點，則的取值范圍為_____.【答案】【分析】設（），把與表示為與的線性關系，把表示成關于的解析式，解出的取值范圍.【詳解】因為在上，不妨設，則（其中），所以.因為，所以，故答案為：.四、解答題17．(1)已知，求的值；(2)證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用三角函數(shù)的基本關系式和正弦的倍角公式，化簡得到，即可求解；（2）利用三角函數(shù)的基本關系式和正弦的倍角公式，即可求解.【詳解】(1)解：由，可得，即，所以.(2)證明：由三角函數(shù)的基本關系式，可得，所以.18．已知不共線的平面向量，滿足，.(1)若，求實數(shù)的值；(2)若，求實數(shù)的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由得，解方程即可；（2）由得，解方程即可.【詳解】(1)因為，且，所以存在實數(shù)，使得，因為，，且與不共線，則.(2)因為 ，所以，即，又，，解得.19．已知函數(shù)的一段圖像(如圖所示)．(1)求函數(shù)解析式；(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】(1)；(2)，．【分析】(1)根據(jù)圖像上橫坐標求出正弦型函數(shù)的最小正周期，根據(jù)最小正周期求出ω；根據(jù)f(0)＝可求A；根據(jù)x＝時f(x)取最大值可求φ；(2)令ωx＋φ∈解出x范圍即為f(x)單調(diào)遞增區(qū)間．【詳解】(1)設函數(shù)的最小正周期為，則由圖知，∴，∴，∴，將點代入得，∴，∴，，∵，∴，∴，將點代入得，∴，∴．(2)由可得，∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為，．20．已知向量，，．（1）若，求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)得到關于的方程，結(jié)合求解出的值，由此確定出的值，則的值可求；（2）將等式兩邊同時平方，通過化簡先求解出的值，再根據(jù)與的關系，采用角的配湊以及兩角和的正弦公式求解出的值.【詳解】（1）因為，所以，即，所以，又，所以，所以；（2）因為，所以，化簡得，又，，則，，所以，則，又，，又，所以，所以，所以.【點睛】結(jié)論點睛：已知向量，（1）若，則有；（2）若，則有.21．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且滿足.(1)求角A；(2)若BC邊上的中線長為，且，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理化邊為角，再化簡整理即可求出；（2）由結(jié)合余弦定理可求得，進而求得，即可求出面積.【詳解】(1)因為，由正弦定理得，所以，化簡得，因為，所以，因為,所以；(2)設中線交于，則，由余弦定理得，即，化簡得，因為，所以，所以.22．某公司要在一條筆直的道路邊安裝路燈，要求燈柱與地面垂直，燈桿與燈柱所在的平面與道路走向垂直，路燈C采用錐形燈罩，射出的光線與平面的部分截面如圖中陰影部分所示．已知，路寬米．設．（1）求燈柱的高h（用表示）；（2）此公司應該如何設置的值才能使制造路燈燈柱與燈桿所用材料的總長度最??？最小值為多少？【答案】（1）；（2）該公司應設置，才能使制造路燈燈柱與燈桿所用材料的總長度最小，最小值為米．【分析】（1）在與在中，由正弦定理即可用表示燈柱的高；（2）根據(jù)正弦定理，分別表示出燈柱與燈桿的長，即可表示出，結(jié)合正弦和角公式化簡，結(jié)合角的取值范圍即可得解.【詳解】解：（1）∵與地面垂直，，∴，在中，，由正弦定理得，得，在中，，由正弦定理得，∴．∴．（2）在中，由正弦定理得，得，∴，∵，∴，∴當時，取得最小值．故該公司應設置，才能使制造路燈燈柱與燈桿所用材料的總長度最小，最小值為米． 

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