2.2.2　等差數(shù)列的前n項(xiàng)和第2課時(shí)　等差數(shù)列前n項(xiàng)和的綜合應(yīng)用1.已知數(shù)列{an}滿足an=26-2n，則使其前n項(xiàng)和Sn取最大值的n的值為(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　A.11或12 B.12C.13 D.12或13【答案】D【解析】∵an=26-2n，∴an-an-1=-2，∴數(shù)列{an}為等差數(shù)列.又a1=24，d=-2，∴Sn=24n+×(-2)=-n2+25n=-n-2+.∵n∈N+，∴當(dāng)n=12或13時(shí)，Sn最大，故選D.2.等差數(shù)列{an}中，a1+a2+a3=-24，a18+a19+a20=78，那么此數(shù)列前20項(xiàng)的和為(　　)A.160 B.180 C.200 D.220【答案】B【解析】由a1+a2+a3=3a2=-24，得a2=-8，由a18+a19+a20=3a19=78，得a19=26，于是S20=10(a1+a20)=10(a2+a19)=10×(-8+26)=180.3.數(shù)列{an}為等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn=(n+1)2+λ，則λ的值是(　　)A.-2 B.-1 C.0 D.1【答案】B【解析】∵等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的形式為Sn=An2+Bn，∴λ=-1.4.在等差數(shù)列{an}中，Sn是其前n項(xiàng)和，且S2 011=S2 016，Sk=S2 008，則正整數(shù)k為(　　)A.2 017 B.2 018C.2 019 D.2 020【答案】C【解析】由二次函數(shù)的對(duì)稱性及S2 011=S2 016，Sk=S2 008，可得，解得k=2 019.故選C.5.若數(shù)列{an}滿足:a1=19，an+1=an-3(n∈N+)，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和最大時(shí)，n的值為(　　)A.6 B.7 C.8 D.9【答案】B【解析】因?yàn)?/span>an+1-an=-3，所以數(shù)列{an}是以19為首項(xiàng)，-3為公差的等差數(shù)列，所以an=19+(n-1)×(-3)=22-3n.設(shè)前k項(xiàng)和最大，則有所以≤k≤.因?yàn)?/span>k∈N+，所以k=7.故滿足條件的n的值為7.6.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3n2-2n+1(n∈N+)，則它的通項(xiàng)公式是　　　　　　　　. 【答案】an=【解析】當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1]=6n-5，當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=3×12-2×1+1=2，不符合an=6n-5，∴an=7.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a4=1，S5=10，則當(dāng)Sn取得最大值時(shí)，n的值為　　　　　. 【答案】4或5【解析】由解得∴a5=a1+4d=0，∴S4=S5且同時(shí)最大.∴n=4或5.8.一物體從1 960 m的高空降落，如果第1秒降落4.90 m，以后每秒比前一秒多降落9.80 m，那么落到地面所需要的時(shí)間秒數(shù)為　　　　. 【答案】20【解析】設(shè)物體經(jīng)過(guò)t秒降落到地面，物體在降落過(guò)程中，每一秒降落的距離構(gòu)成首項(xiàng)為4.90，公差為9.80的等差數(shù)列，根據(jù)題意，則有前t秒降落的距離為4.90t+×9.80=1 960，解得t=20，所以落到地面所需要的時(shí)間秒數(shù)為20.9.設(shè)等差數(shù)列{an}滿足a3=5，a10=-9.(1)求{an}的通項(xiàng)公式;(2)求{an}的前n項(xiàng)和公式Sn及使得Sn最大的自然數(shù)n的值.解(1)由an=a1+(n-1)d及a3=5，a10=-9，得解得所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=11-2n，n∈N+.(2)由(1)知，Sn=na1+d=10n-n2.因?yàn)?/span>Sn=-(n-5)2+25，所以當(dāng)n=5時(shí)，Sn取得最大值.10.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S4=40，Sn=210，Sn-4=130，則n等于(　　)A.12 B.14 C.16 D.18【答案】B【解析】因?yàn)?/span>Sn-Sn-4=an+an-1+an-2+an-3=80，S4=a1+a2+a3+a4=40，所以4(a1+an)=120，a1+an=30，由Sn==210，得n=14.11.已知等差數(shù)列{an}中，a1 009=4，S2 018=2 018，則S2 019等于(　　)A.-2 019 B.2 019C.-4 038 D.4 038【答案】C【解析】因?yàn)?/span>{an}是等差數(shù)列，所以S2 018=1 009(a1+a2 018)=1 009(a1 009+a1 010)=2 018，則a1 009+a1 010=2.又a1 009=4，所以a1 010=-2，則S2 019==2 019a1 010=-4 038.12.已知{an}為項(xiàng)數(shù)為2n+1的等差數(shù)列，其奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和之比為(　　)A. B.C. D.【答案】B【解析】S奇=，S偶=，∵a1+a2n+1=a2+a2n，∴.13.設(shè)數(shù)列{an}為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，已知a1+a4+a7=99，a2+a5+a8=93，若對(duì)任意n∈N+，都有Sn≤Sk成立，則k的值為(　　)A.22 B.21 C.20 D.19【答案】C【解析】對(duì)任意n∈N+，都有Sn≤Sk成立，即Sk為Sn的最大值.因?yàn)?/span>a1+a4+a7=99，a2+a5+a8=93，所以a4=33，a5=31，故公差d=-2，an=a4+(n-4)d=41-2n，當(dāng)Sn取得最大值時(shí)，滿足解得≤n≤，即滿足對(duì)任意n∈N+，都有Sn≤Sk成立的k的值為20.14.(多選題)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足S2 018>0，S2 019<0，則下列說(shuō)法正確的是(　　)A.S1 009最大 B.|a1 009|>|a1 010|C.a1 010>0 D.S2 018+S2 019<0【答案】AB【解析】∵S2 018>0，S2 019<0，∴>0，=2 019a1 010<0，∴a1 009+a1 010>0，a1 010<0，可得a1 009>0，a1 010<0，|a1 009|>|a1 010|，故A，B都正確，C錯(cuò)誤，由an=1 009.8-n，此時(shí)滿足條件，但是D選項(xiàng)不成立，故D錯(cuò)誤.15.在等差數(shù)列{an}中，Sn是它的前n項(xiàng)和，若S10=8且S20=10，則S30的值為　　　　. 【答案】6【解析】∵在等差數(shù)列{an}中，Sn是它的前n項(xiàng)和，∴S10，S20-S10，S30-S20成等差數(shù)列，∴8，2，S30-10成等差數(shù)列，∴2×2=8+S30-10，∴S30=6.16.(2021浙江溫州模擬)我國(guó)古代一部數(shù)學(xué)著作《張丘建算經(jīng)》中有一題為:“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月共織九匹三丈.”其白話意譯為:“現(xiàn)有一善織布的女子，從第2天開(kāi)始，每天比前一天多織相同數(shù)量的布，第一天織了5尺布，現(xiàn)在一個(gè)月(按30天計(jì)算)共織布390尺.”每天增加的數(shù)量為　　　　尺.設(shè)該女子一個(gè)月中第n天所織布的尺數(shù)為an，則a14+a15+a16+a17=　　　　. 【答案】　52【解析】依題意等差數(shù)列的前30項(xiàng)和為390，首項(xiàng)a1=5，設(shè)公差為d，所以S30=30×5+×d=390，解得d=，所以a14+a15+a16+a17=4a1+58d=20+32=52.17.某電站沿一條公路豎立電線桿，相鄰兩根電線桿的距離都是50 m，最遠(yuǎn)一根電線桿距離電站1 550 m，一汽車每次從電站運(yùn)出3根電線桿供應(yīng)施工.若該汽車往返運(yùn)輸總行程為17 500 m，共豎立多少根電線桿?第一根電線桿距離電站多少米?解由題意知汽車逐趟(由近及遠(yuǎn))往返運(yùn)輸行程組成一個(gè)等差數(shù)列，記為{an}，則an=1 550×2=3 100，d=50×3×2=300，Sn=17 500.由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，得由①得a1=3 400-300n.代入②得n(3 400-300n)+150n(n-1)-17 500=0，整理得3n2-65n+350=0，解得n=10或n=(舍去)，所以a1=3 400-300×10=400.故汽車?yán)?/span>10趟，共拉電線桿3×10=30(根)，最近的一趟往返行程400 m，第一根電線桿距離電站×400-100=100(m).所以共豎立了30根電線桿，第一根電線桿距離電站100 m.18.數(shù)列{an}中，a1=8，a4=2，且滿足an+2-2an+1+an=0(n∈N+).(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)Tn=|a1|+|a2|+…+|an|，求Tn.解(1)∵an+2-2an+1+an=0，∴an+2-an+1=an+1-an，∴{an}是等差數(shù)列，又a1=8，a4=2，∴d=-2，an=a1+(n-1)d=10-2n，n∈N+.(2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn=8n+×(-2)=9n-n2.∵an=10-2n，令an=0，得n=5.當(dāng)n>5時(shí)，an<0;當(dāng)n=5時(shí)，an=0;當(dāng)n<5時(shí)，an>0.∴當(dāng)n>5時(shí)，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+a5-(a6+a7+…+an)=S5-(Sn-S5)=2S5-Sn=2×(9×5-25)-9n+n2=n2-9n+40，當(dāng)n≤5時(shí)，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=9n-n2.∴Tn=

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